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湖北省武昌区2015届高三年级元月调研考试理科数学试卷


理 科 数 学 试 卷
本试题卷共 5 页,共 22 题。满分 150 分,考试用时 120 分钟? ?★祝考试顺利 ★? 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置,认真核对与 准考证号条形码上的信息是否一致,并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。 2.选择题的作答:选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标

号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。 3.非选择题的作答:用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答在试 题卷上或答题卷指定区域外无效。? 4.考试结束,监考人员将答题卷收回,考生自己保管好试题卷,评讲时带来。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.i 为虚数单位,若 ( 3 ? i) z ? 3 ? i ,则 | z |? A.1 2.已知 A ? ?( x, y ) ? 的 A.充分而不必要的条件 C.充要条件 3.若 ( ax ?
2

B. 2

C. 3

D.2

? ? ? ?

?| x ? 1 |? 1? ? 2 2 “存在点 P ? A ”是“ P ? B ” ? , B ? {( x, y) | ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1} , ?| y ? 1 |? 1? ?
B.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件

b 6 ) 的展开式中 x3 项的系数为 20,则 a2+b2 的最小值为 x
B.2 C .3 D.4

A.1 4.根据如下样本数据 x 3

4

5

6

7

? 0.5 ? 2.0 y 4.0 2.5 0.5 ? 得到的回归方程为 y ? bx ? a .若 a ? 7.9 ,则 x 每增加 1 个单位, y 就

A.增加 1.4 个单位 C.增加 1.2 个单位

B.减少 1.4 个单位 D.减少 1.2 个单位

5.如图,取一个底面半径和高都为 R 的圆柱,从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心 为顶点的圆锥,把所得的几何体与一个半径为 R 的半球放在同一水平面 ? 上.用一平行于平面 ? 的 平面去截这两个几何体, 截面分别为圆面和圆环面 (图中阴影部分) .设截面面积分别为 S圆 和 S圆环 , 那么 A. S圆 ? S圆环 B. S圆 = S圆环 C. S圆 ? S圆环 D.不确定

高三年级理科数学试卷

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6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积和体积分别是 A.24+ 6 2 和 40 B.24+ 6 2 和 72 C.64+ 6 2 和 40 D.50+ 6 2 和 72
4 正视图 侧视图 6

2

3

? x ? y ? 2 ? 0, ? 7.已知 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一 ,则实数 a 的值为 ... ? 2 x ? y ? 2 ? 0. ?
俯视图

1 A. 或-1 2

1 B.2 或 2

C.2 或 1

D.2 或-1

8.如图,矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(0,—1),B( ? ,—1),C( ? ,1),D(0,1),正弦曲线 f(x)=sinx 和余弦曲线 g(x)=cosx 在矩形 ABCD 内交于点 F,向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点,则该点落在 阴影区域内的概率是 y A. 1 ? 2 C D ? F B. 1 ? 2 f(x)=sinx 2? O E x 1 C. g(x)=cosx ? A B 1 D. 2? 9.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A, B 是抛物线上的两个动点,且满足
2

?AFB ?

| MN | 2? .设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N ,则 的最大值是 | AB | 3
B. 3 2 C. 3 3 D. 3 4

A. 3

10.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,它的图象关于直线 x ? 1 对称,且 f ?x ? ? x ?0 ? x ? 1? . 若函数 y ? f ? x ? ? A. [ ?

1 ? a 在区间 ?? 10,10? 上有 10 个零点(互不相同) ,则实数 a 的取值范围是 x
B. ( ?

4 4 , ] 5 5

4 4 , ) 5 5

C. [ ?

1 1 , ] 10 10

D. ( ?

1 1 , ) 10 10

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答题卡对 .... 应题号 的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ...
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(一)必考题(11—14 题) 11.已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点, F 为 AD 的中点,则 AE ? BF ? _______.

12. 根据如图所示的框图, 对大于 2 的整数 N, 输出的数列的通项公式是_______.

13.设斜率为

x2 y 2 2 的直线 l 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 交于不同的两点 P、 a b 2
.

Q,若点 P、Q 在 x 轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点,则该双曲线的离心率 是

14. “渐升数”是指除最高位数字外,其余每一个数字比其左边的数字大的正整 数(如 13456 和 35678 都是五位的“渐升数” ). (Ⅰ)共有 个五位“渐升数” (用数字作答) ;

(Ⅱ)如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列,则第 110 个五 位“渐升数”是 .

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号 后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15. (选修 4-1:几何证明选讲) 过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点),再作割线 PBC 依次交圆于 B,C.若 PA=6,AC=8,BC =9,则 AB=________. 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 已 知曲 线 C1 的 参数 方程 是 ?

?x ? t, ( t 为 参 数, a 为 实数 常数 ) ,曲 线 C2 的参 数方 程是 ?y ? t ? a

? x ? ?t , ( t 为参数,b 为实数常数) .以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ? ? y ? ?t ? b
曲 线 C3 的 极 坐 标 方 程 是 ? ? 1 . 若 C1 与 C2 分 曲 线 C3 所 成 长 度 相 等 的 四 段 弧 , 则

a 2 ? b2 ?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 11 分) 已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ? (Ⅰ)求常数 a 的值;
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?
6

) ? sin( 2 x ?

?

) ? cos 2 x ? sin 2 x ? a 的在区间 [0, ] 上的最小值为 0. 6 2

?

(Ⅱ)当 x ? [0, ? ] 时,求使 f ( x) ? 0 成立的 x 的集合.

18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}的首项为 1,前 n 项和为 Sn ,且 S1,S2,S4 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)记 Tn 为数列 {

1 an ?1an

} 的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Tn ? 1007 ?若存在,求 n 的最
2015

大值;若不存在,说明理由.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点 E,F 分别是棱 AB,BC 上的动点,且 AE=BF. (Ⅰ)求证:A1F⊥C1E; (Ⅱ)当三棱锥 B1 ? BEF 的体积取得最大值时,求二面角 B1 ? EF ? B 的正切值. D1 A1 B1 C1

D A E B F

C

20. (本小题满分 12 分) 对某交通要道以往的日车流量(单位:万辆)进行统计,得到如下记录:
日车流量 x

0? x?5

5 ? x ? 10

10 ? x ? 15

15 ? x ? 20

20 ? x ? 25

x ? 25

0.05 0.25 0.35 0.25 0.10 0 频率 将日车流量落入各组的频率视为概率,并假设每天的车流量相互独立. (Ⅰ)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日车流量都不低于 10 万辆且另 1 天的日车流量低于 5 万辆的概率; (Ⅱ)用 X 表示在未来 3 天时间里日车流量不低于 10 万辆的天数,求 X 的分布列和数学期望.

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21. (本小题满分 14 分)

已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4,其长轴长和短轴长之比为 3 : 1 . a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 F 为椭圆 C 的右焦点,T 为直线 x ? t (t ? R, t ? 2) 上纵坐标不为 0 的任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. (ⅰ)若 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点),求 t 的值; (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,当

| TF | 最小时,求点 T 的坐标. | PQ |

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? 1(a 为常数),曲线 y=f(x)在与 y 轴的交点 A 处的切线斜率为-1.
x

(Ⅰ)求 a 的值及函数 f(x)的单调区间;
x 2 (Ⅱ)证明:当 x ? 0 时, e ? x ? 1 ;

?n ? 1? . 1 1 1 (Ⅲ)证明:当 n ? N 时, 1 ? ? ? ? ? ? ln 2 3 n (3e)n
?

3

武昌区 2015 届高三年级元月调研考试
理科数学参考答案及评分细则
一、选择题: 1.A 2.B 二、填空题:
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3.B

4.B

5.B

6.C

7.D

8.B

9. C

10.C

11. 0

12. an=2n,或 aN=2N 15. 4

13. 16. 2

2

14.(Ⅰ)126; (Ⅱ)34579 三、解答题:

17.解: (Ⅰ)因为 f ?x? ? 3 sin 2x ? cos2x ? a ,所以 f ? x ? ? 2 sin( 2 x ? 因为 x ? [0,

?
6

)?a.

? 7? 7? 7? ? [ , ] ,所以 x ? ) ? ?1 ? a . 时 f ( x ) 的取得最小值 f ( 2 6 6 6 6 6 依题意, ? 1 ? a ? 0 ,所以 a ? 1 ;???????????????????(6 分)

?

] 时, 2 x ?

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? 2 sin( 2 x ? 要使 f ?x ? ? 0 ,即 sin( 2 x ?

?
6

) ?1.

1 )?? . 6 2 ? ? 7? ? ? , k ? Z ,即 k? ? ? x ? k? ? , k ? Z . 所以 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 6 6 6 6 2 ? ? 5? 3? ?x? 当 k ? 0 时, ? ? x ? ;当 k ? 1 时, . 6 2 6 2 ? 5? , ? ] .????????????(11 分) 又 x ? [0, ? ] ,故使 f ( x) ? 0 成立的 x 的集合是 [0, ] ? [ 2 6 18.解: (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d ,依题意,1, 2 ? d , 4 ? 6d 成等比数列,
2 所以 ?2 ? d ? ? 4 ? 6d ,即 d ? 2d ? 0 ,所以 d ? 0 或 d ? 2 .

?

2

因此,当 d ? 0 时, an ? 1 ;当 d ? 2 时, an ? 2n ? 1.?????????????????(6 分) (Ⅱ)当 an ? 1 时, Tn ? n ? 1 ,此时不存在正整数 n,使得 Tn ? 当 an ? 2n ? 1时, Tn ?

1007 ; 2015

1 1 1 ? ??? ?2n ? 1? ? ?2n ? 1? 1? 3 3 ? 5

1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? )? . 2 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
由 Tn ?

1007 n 1007 ? ,得 ,解得 n ? 1007 . 2015 2n ? 1 2015

故 n 的最大值为 1006. ???????????????????(12 分) 19.解:设 AE ? BF ? x .以 D 为原点建立空间直角坐标系,得下列坐标: D?0,0,0? , A?2,0,0? , B?2,2,0? , C ?0,2,0? , D1 ?0,0,2? , A1 ?2,0,2?, B1 ?2,2,2? , C1 ?0,2,2? ,

E ?2, x,0?, F ?2 ? x,2,0? .
(Ⅰ)因为 A 1F ? (? x,2,?2) , C1E ? (2, x ? 2,?2) , 所以 A 1F ? C1E ? ?? x,2,?2? ? ?2, x ? 2,?2? ? 0 . 所以 A 1F ? C1E .???????????????(4 分)
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z D1 A1 B1

C1

D A E B F

C

y

x

(Ⅱ)因为 VB1 ? BEF ?

1 2 S ?BEF ? BB1 ? S ?BEF , 3 3

所以当 S ?BEF 取得最大值时,三棱锥 B1 ? BEF 的体积取得最大值. 因为 S?BEF ? ?2 ? x?x ? 1 ? ?x ? 1? ? 1 ,
2

所以当 x ? 1 时,即 E,F 分别是棱 AB,BC 的中点时,三棱锥 B1-BEF 的体积取得最大值,此时 E,F 坐标分别为 E ?2,1,0? , F ?1,2,0? . 设平面 B1EF 的法向量为 m ? ?a, b, c? , 则?

? ?m ? B1E ? ?a, b, c ? ? ?0,?1,?2? ? 0, ? ?m ? EF ? ?a, b, c ? ? ?? 1,1,0? ? 0,

得?

?b ? 2c ? 0, ?a ? b ? 0.

取 a ? 2, b ? 2, c ? ?1 ,得 m ? ?2,2,?1?.显然底面 ABCD 的法向量为 n ? ?0,0,1? . 设二面角 B1 ? EF ? B 的平面角为 ? ,由题意知 ? 为锐角. 因为 cos ? m, n ??

1 2 2 m?n 1 . ? ? ,所以 cos ? ? ,于是 sin ? ? 3 3 3 | m|?| n|

所以 tan? ? 2 2 ,即二面角 B1 ? EF ? B 的正切值为 2 2 .????????????(12 分) 20.解: (Ⅰ)设 A1 表示事件“日车流量不低于 10 万辆”,A2 表示事件“日车流量低于 5 万辆”,B 表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日车流量不低于 10 万辆且另 1 天车流量低于 5 万辆”.则 P(A1)=0.35+0.25+0.10=0.70,P(A2)=0.05, 所以 P(B)=0.7×0.7×0.05×2=0.049. ???????????????????(6 分) (Ⅱ) X 可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率分别为
0 1 P( X ? 0) ? C3 ? (1 ? 0.7)3 ? 0.027, P( X ? 1) ? C3 ? 0.7 ? (1 ? 0.7)2 ? 0.189,

2 3 P( X ? 2) ? C3 ? 0.72 ? (1 ? 0.7) ? 0.441, P( X ? 3) ? C3 ? 0.73 ? 0.343.

X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 因为 X~B(3,0.7),所以期望 E(X)=3×0.7=2.1. ?????????????????(12 分)
2 2 ? ?2c ? 2 a ? b ? 4, 21.解: (Ⅰ)由已知可得 ? 解得 a2=6,b2=2. ? ?a ? 3b,

x2 y 2 ? ? 1 . ???????????????????(4 分) 所以椭圆 C 的标准方程是 6 2
(Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)可得,F 点的坐标是(2,0). x=my+2, ? ?2 2 设直线 PQ 的方程为 x=my+2,将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得?x y ? ? 6 + 2 =1. 消去 x,得(m2+3)y2+4my-2=0,其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. -2 -4m 12 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 .于是 x1+x2=m(y1+y2)+4= 2 . m +3 m +3 m +3
高三年级理科数学试卷 第 7 页 (共 9 页)

设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为 (

6 ? 2m , 2 ). m ?3 m ?3
2

因为 TF ? PQ ,所以直线 FT 的斜率为 ? m ,其方程为 y ? ?m( x ? 2) . 当 x ? t 时, y ? ?m?t ? 2? ,所以点 T 的坐标为 ?t ,?m?t ? 2??,

? m?t ? 2 ? m( 2 ? t ) x. ,其方程为 y ? t t 6 ? 2m ? 2m m( 2 ? t ) 6 , 2 ) 代入,得 2 ? ? 2 将 M 点的坐标为 ( 2 . m ?3 m ?3 m ?3 t m ?3 解得 t ? 3 . ??????????????????(8 分)
此时直线 OT 的斜率为 (ⅱ)由(ⅰ)知 T 为直线 x ? 3 上任意一点可得,点 T 点的坐标为 (3,?m) . 于是 | TF |?

m2 ? 1 ,

| PQ |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? [m( y1 ? y2 )] 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

? 4m 2 ?2 ? (m 2 ? 1)[( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? (m2 ? 1)[( 2 ) ?4 2 ] m ?3 m ?3 ? 4m 2 ?2 24(m2 ? 1) . ? (m2 ? 1)[( 2 ) ?4 2 ]? m2 ? 3 m ?3 m ?3

| TF | m2 ? 3 1 (m2 ? 3) 2 2 所以 ? m ?1 ? ? ? | PQ | m2 ? 1 24(m2 ? 1) 24
1 (m2 ? 3)2 1 (m2 ? 1)2 ? 4(m2 ? 1) ? 4 ? ? ? ? m2 ? 1 m2 ? 1 24 24
? 1 4 1 3 . ? m2 ? 1 ? 2 ?4 ? ? 2 4?4 ? m ?1 3 24 24

3 4 |TF| 当且仅当 m2+1= 2 ,即 m=± 1 时,等号成立,此时 取得最小值 . |PQ| m +1 3
|TF| 故当 最小时,T 点的坐标是(3,1)或(3,-1).??????????????????(14 分) |PQ| 22.解: (Ⅰ)由 f ( x) ? e ? ax ? 1,得 f ?( x) ? e ? a .
x x x x 又 f ?(0) ? 1 ? a ? ?1,所以 a ? 2 .所以 f ( x) ? e ? 2 x ? 1, f ?( x) ? e ? 2 .

由 f ?( x) ? e ? 2 ? 0 ,得 x ? ln 2 .
x

所以函数 f ( x) 在区间 (??, ln 2) 上单调递减,在 (ln 2,??) 上单调递增. ????????(4 分) (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 f ( x)min ? f (ln 2) ? e
ln 2

? 2 ln 2 ? 1 ? 1 ? ln 4 .
第 8 页 (共 9 页)

高三年级理科数学试卷

所以 f ( x) ? 1 ? ln 4 ,即 e ? 2 x ? 1 ? 1 ? ln 4 , e ? 2 x ? 2 ? ln 4 ? 0 .
x x

令 g ( x) ? e x ? x 2 ? 1 ,则 g?( x) ? e x ? 2 x ? 0 . 所以 g ( x) 在 (0,??) 上单调递增,所以 g ( x) ? e x ? x2 ? 1 ? g (0) ? 0 ,即 e ? x ? 1 .????(8 分)
x 2
x (Ⅲ)首先证明:当 x ? 0 时,恒有 e ?

1 3 x . 3

证明如下:令 h( x ) ? e ?
x

1 3 x ,则 h?( x) ? e x ? x 2 . 3

x 2 由(Ⅱ)知,当 x ? 0 时, e ? x ,所以 h( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 (0,??) 上单调递增,

所以 h( x) ? h(0) ? 1 ? 0 ,所以 e ?
x

1 3 x . 3

1 3 3 2 3 n ?1 依次取 x ? , ,?, ,代入上式,则 1 2 n 2 2 ? ln 3 ? 3 ln , 1 1 3 3 ? ln 3 ? 3 ln , 2 2 ?? n ?1 n ?1 ? ln 3 ? 3 ln . n n 2 3 n ?1 2 3 n ?1 ? n ln 3 ? 3 ln( ? ? ? ? ) 以上各式相加,有 ? ? ? ? 1 2 n 1 2 n 1 1 1 所以 n ? (1 ? ? ? ? ? ) ? n ln 3 ? 3 ln?n ? 1? , 2 3 n
所以 x ? ln( x ) ,即 x ? ln 3 ? 3 ln x .

1 1 1 ?n ? 1? 1 1 1 所以 1 ? ? ? ? ? ? 3 ln?n ? 1? ? n ln 3 ? n ,即 1 ? ? ? ? ? ? ln n n .???(14 分) 2 3 n 2 3 n 3e
3

另解:用数学归纳法证明(略)

高三年级理科数学试卷

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