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高中数学人教版必修三+选修1-1综合测试题


数学(文)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、下列命题中为真命题的是( A.若
1 x ? 1 y

y

y ? f ?(x )

) B.若 x ? 1 ,则 x ? 1 .
2

,则 x ? y .

b

r />
a
y .

O

x
D. 4 个

C.若 x ? y ,则 x ?

D.若 x ? y ,则 x ? y
2

2

2、已知 a ? R ,则“ a =2 ”是“ a 2 =2a ”的(

) D.既不充分也不必要条件
? 3x ? 1 ? 0

A.1 个

B.2 个
2

C.3 个
2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 3、设命题 p :方程 x 2 “ ? q ”“ p 、 A.0
? q
? 3x ? 1 ? 0

的两根符号不同;命题 q :方程 x 2 ) D.3

的两根之和为 3,命题“ ? p ” 、

12、如图 F1,F2 分别是椭圆

x a

2

?

y b

2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

的两个焦点,A 和 B 是以 O 为圆心,以 )

O F1

为半径的圆

”“ p ? 、 B.1

q

”中假命题的个数为( C.2

与该左半椭圆的两个交点,且 ? F 2 A B 是等边三角形,则椭圆的离心率为( A.
3 2

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 ?1

4、样本 a 1 , a 2 , ? , a 1 0 的平均数为 a ,样本 b1 , ? , b1 0 的平均数为 b ,则样本 a 1 , b1 , a 2 , b 2 , ? , a 1 0 , b1 0 的平均数为 A. a ? b
x
2

B.
y
2

1 2

?a

?b

?

C. 2 ? a ? b ( D.5 或 8 )
C.?1

?

D.

1 10

?a

?b

?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、命题: ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 的否定是
2

5、椭圆 A.5

?

? 1 的焦距为 2,则 m 的值等于

).

m

4

14、若双曲线 x ? 4 y ? 4 的左、右焦点是 F 1 、F 2 ,过 F 1 的直线交左支于 A、B 两点,若|AB|=5,则△AF2B
2 2

B.8

C.5 或 3 则( f (
?
2 )) ? ? (

的周长是
3

.

6、设函数 f ( x ) ? cos x ,
A.0
2

15、函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 5 的图像在 x ? 1 处的切线在 x 轴上的截距为________________
D . 以上均不对

B .1

7、抛物线 y ? 4 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标为( A.
17 16



16、以下四个关于圆锥曲线的命题中:
2 2 2

B.

15 16

C.

7 8

①设 A、B 为两个定点,k 为正常数, | P A | ? | P B | ? k ,则动点 P 的轨迹为椭圆; D.0 ) ②双曲线
x ? y ? 1 与椭圆 x ? y
2

??? ?

??? ?

? 1 有相同的焦点;

8、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线 x+2y-3=0,则该双曲线的离心率为( A.5 或
5 4

25

9

35
2 2

B.

5



5 2

C.

3



3 2

D.5 或

5 3

③方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ④和定点 A ( 5 , 0 ) 及定直线 l : x ? 其中真命题的序号为
25 4

9、若不等式|x-1| <a 成立的充分条件是 0<x<4,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.a ? 1 B.a ? 3 C.a ? 1 D.a ? 3 10、 小强和小华两位同学约定下午在人民公园假山前见面,约定谁先到后必须等 10 分钟,这时若另一人还没有 来就可以离开.如果小强是 1:40 分到达的,假设小华在 1 点到 2 点内到达,且小华在 1 点到 2 点之间何时 到达是等可能的,则他们会面的概率是 A.
1 6

的距离之比为

5 4

的点的轨迹方程为

x

?

y

? 1.

16

9

_________.

B.

1 2

C.

1 4

D.

1 3

11、 函数 f ( x ) 的定义域为开区间(a,b), 导函数 f ? ( x ) 在(a,b)内的图象如图所示, 则函数 f ( x ) 在开区间(a,b) 内有极小值点有( )

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17、 (本题满分 12 分)已知命题 p:方程
x
2

?

y

2

2m y
2

m ?1

? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,

命题 q:双曲线

?

x

2

? 1 的离心率 e ? (1, 2 ) ,若 p , q 只有一个为真,

5

m

20、 (本题满分 12 分)在人群流量较大的街道,有一中年人吆喝“送钱” ,只见他手拿一黑色小布袋,袋中有 3 只黄色、3 只白色的乒乓球(其体积、质地完成相同) ,旁边立着一块小黑板写道: 摸球方法:从袋中随机摸出 3 个球,若摸得同一颜色的 3 个球,摊主送给摸球者 5 元钱;若摸得非同一 颜色的 3 个球,摸球者付给摊主 1 元钱。 (1)摸出的 3 个球为白球的概率是多少? (2)摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球的概率是多少? (3)假定一天中有 100 人次摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按 30 天计)能赚多少钱?

求实数 m 的取值范围.

21、已知中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 18、 (本题满分 12 分) (1)已知双曲线的一条渐近线方程是 y ? ?
3 2
k2

3 2

的椭圆过点(

2



2 2

).

(I)求椭圆方程;
x ,焦距为 2 13 ,求此双曲线的标准方程;

(II) 设不过原点 O 的直线 l : y ? kx ? m ( k ? 0 ) , 与该椭圆交于 P、 两点, Q 直线 OP、 的斜率依次为 k 1 、 OQ ,满足 4 k ? k 1 ? k 2 ,求 m 的值.
2

(2)求以双曲线

y

2

?

x

2

? 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆标准方程。

16

9

19、 (本题满分 12 分)对某种电子元件的使用寿命进行调查,抽样 200 个检验结果如表: 寿命(h) 个数

?1 0 0 , 2 0 0 ?
20

? 200, 300 ?
30

?300, 400 ?
80

? 400, 500 ?
40

?500, 600 ?
30

⑴ 列出频率分布表;⑵ 画出频率分布直方图以及频率分布折线图;⑶ 估计电子元件寿命在 100h~400h 以内的频率;⑷ 估计电子元件寿命在 400h 以上的频率.

22、已知三次函数 f ( x) ? ax ? 5 x ? cx ? d (a ? 0) 图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0) ,并 且 f (x) 在 x=3 处有极值. (Ⅰ)求 f (x) 的解析式;
3 2

(Ⅱ)若当 x∈(0,m)时, f (x) >0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

区间

频数 20 30 80 40 30

频率 0.1 0.15 0.4 0.2 0.15

频率/组距 0.001 0.0015 0.004 0.002 0.0015 (4) P? 4 0 0 h , 6 0 0 h ? =0.35

?1 0 0 , 2 0 0 ? ? 200, 300 ?
?300, 400 ?

? 400, 500 ? ?500, 600 ?

(3) P?1 0 0 h , 4 0 0 h ? =0.65

20、把 3 只黄色乒乓球标记为 A、B、C,3 只白色的乒乓球标记为 1、2、3。
从 6 个球中随机摸出 3 个的基本事件为:ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、 BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123,共 20 个 (1) 事件 E={摸出的 3 个球为白球}, 事件 E 包含的基本事件有 1 个, 即摸出 123 号 3 个球, E) P ( =1/20=0.05 (2) 事件 F={摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球},事件 F 包含的基本事件有 9 个,P(F)=9/20=0.45 (3) 事件 G={摸出的 3 个球为同一颜色}={摸出的 3 个球为白球或摸出的 3 个球为黄球}, G) P ( =2/20=0.1, 假定一天中有 100 人次摸奖,由摸出的 3 个球为同一颜色的概率可估计事件 G 发生有 10 次,不发 生 90 次。则一天可赚 90 ? 1 ? 10 ? 5 ? 40 ,每月可赚 1200 元。 21、 解: (I)设椭圆的方程为
x
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) ,由题意解得 a ? 2 , b ? 1 .

∴椭圆的方程

? y

2

? 1 .??????6 分

4

? y ? kx ? m ? 2 2 2 (II)由 ? x 2 得 ( 4 k ? 1) x ? 8 k m x ? 4 m ? 4 ? 0 ,??????7 分 2 ? y ?1 ? ? 4
8km ? x ? x2 ? ? 2 ? 1 ? 4k ? 1 ,???????????????????????10 分 ? 2 ? x x ? 4m ? 4 2 ? 1 2 4k ? 1 ?

高二开学考试数学(理科)参考答案:
1、C 2、C
2

设 P ( x 1 , y 1 ) ,Q ( x 2 , y 2 ) ,∴ k 1 ? 9、C
5

y1 x1

, k2 ?

y2 x2

, 4 k ? k1 ? k 2 ?
2 km m
2 2

y1 x1

?

y2 x2

3、A

4、C 5、B

6、B 7、B

8、D

10、A

11、D =

y 1 x 2 ? y 2 x1 x1 x 2

13、 ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0

14、18

15、 6

16、②③
1 3 ? m ? 15

=

2 k x1 x 2 ? m ( x1 ? x 2 ) x1 x 2

=2k ?

?1

,??????????13 分

17、p:0<m<

1 3

q:0< m <15
1 3 ? m ? 15
2 2

p 真 q 假,则空集;p 假 q 真,则

∴m ?
2

1 2

.???????????????????????????14 分

故 m 的取值范围为
18、 (1)
x
2

?

y

2

? 1或

y

?

x

? 1; (2)

x

2

?

y

2

22、解: (1)∵f(x)图象过点(1,8) ,∴a?5+c+d=8,即 a+c+d=13 ① / 2 又 f (x)=3ax ?10x+c,且点(1,8)处的切线经过(3,0) ,
? 1.

(2 分) (4 分) (5 分)

4

9

9

4

9

25

∴f/(1)= 略

8?0 1? 3

= ?4,即 3a?10+c= ?4,∴3a+c=6 ②

19、解:(1)

(2)

又∵f(x)在 x=3 处有极值,∴f /(3)=0,即 27a+c=30 ③

100 300

联立①、②、③解得 a=1,c=3,d=9,

f(x)= x3?5x2+3x+9
1 3

(7 分) ,x2=3 (8 分)

(2)f /(x)=3x2?10x+3=(3x?1) (x?3) 由 f /(x)=0 得 x1= 当 x∈(0, 当 x∈(
1 3
1 3

)时,f /(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)>f(0)=9

,3)时,f /(x)<0,f(x)单调递减,∴f(x)>f(3)=0. (11 分)

又∵f(3)=0,∴当 m>3 时,f(x)>0 在(0,m)内不恒成立. ∴当且仅当 m∈(0,3]时,f(x)>0 在(0,m)内恒成立. 所以 m 取值范围为(0,3] . (14 分)


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