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佛山市2013届高三教学质量检测(二)(即佛山二模)理科数学试题(word版)


佛山市 2013 届普通高中高三教学质量检测(二)(即佛山二模)

数 学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.

2013.4.18

2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空

格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按 以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知 M ? x ?2 ? x ? 4, x ? Z , N ? x ?1 ? x ? 3 ,则 M ? N ? A. ? ?1,3? B. [?2,1) C. ?0,1, 2? D. ??2, ?1,0?

?

?

?

?

2.已知复数 z 的实部为 1 ,且 z ? 2 ,则复数 z 的虚部是 A.? 3 B. 3i C.? 3i D.? 3

3.已知数列 {an } 是等差数列,若 a3 ? a11 ? 24, a4 ? 3 ,则数列 {an } 的公差等于 A.1 B.3 C.5 D.6

4. 为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位:cm) .根 据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如右) ,那么在这 100 株树木中,底部周长小 于 110cm 的株数是 A.30 C.70 B.60 D.80
0.04 0.02 0.01 频率/组距

?? ? 1] 5.函数 f ( x) ? sin ? ? x ? ? , x ? [?1, ,则 2? ?
1] A. f ( x ) 为偶函数,且在 [0, 上单调递减;

80 90 100 110 120 130 周长(cm)

第 4 题图

第1页

B. f ( x ) 为偶函数,且在 [0, 上单调递增; 1] C. f ( x ) 为奇函数,且在 [?1,] 上单调递增; 0 D. f ( x ) 为奇函数,且在 [?1,] 上单调递减. 0 6.下列命题中假命题是 ... A.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行; B.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直; C.若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; D.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平 面相互平行.

? x?0 ? y?0 ? 7.直线 2 x ? y ? 10 ? 0 与不等式组 ? 表示的平面区域的公共点有 ? x ? y ? ?2 ?4 x ? 3 y ? 20 ?
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.无数个

8.将边长为 2 的等边三角形 PAB 沿 x 轴滚动,某时刻 P 与坐标原点重合(如图) ,设顶点

P( x, y) 的轨迹方程是 y ? f ( x) ,关于函数 y ? f ( x) 的有下列说法:
① f ( x ) 的值域为 [0, 2] ; ② f ( x ) 是周期函数; ③ f (?1.9) ? f (? ) ? f (2013) ; ④ y B

?

6

0

9 f ( x) dx ? ? . 2

OP A 第 8 题图

x

其中正确的说法个数为: A.0 B. 1 C. 2 D. 3

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.

第2页

(一)必做题(9~13 题) 9.命题“ ? x0 ? R, e
x0

? 0”的否定是

. . .

10. 已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ?
n

2 , ? a ? b? ? a , 向量 a 与 b 的夹角为
3 2

11.若二项式 ?1 ? 2 x ? 展开式中 x 的系数等于 x 的系数的 4 倍,则 n 等于

12 . 已 知 圆 C 经 过 点 A( 0 , 3 ) B(3,2) , 且 圆 心 C 在 直 线 y ? x 上 , 则 圆 C 的 方 程 和 为
s

.
t

13.将集合{ 2 ? 2 | 0 ? s ? t 且 s, t ? Z }中的元素按上小下大, 左小右大的顺序排成如图的三角形数表,将数表中位于第 i 行第 j 列

3 5 9 10 ? ?
第 13 题图

6 12 ?

的数记为 bi j ( i ? j ? 0 ),则 b65 =

.

?

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线 C1 : ? ? 2sin ? 与 C2 : ? ? 2cos? 的交点分别为 A、B ,则线段 AB 的垂直平分线的 极坐标方程为 .

B O

15. (几何证明选讲)如图,圆 O 的直径 AB ? 9 ,直线 CE 与圆 O

相切于点 C , AD ? CE 于 D ,若 AD ? 1 ,设 ?ABC ? ? , 则 sin ? ? ______.
E C
第 15 题图

A D

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 为始边,角 ? 的终边与单位圆 O 的交点 B 在第一象 限, 已知 A(?1,3) . (1)若 OA ? OB ,求 tan ? 的值;

第3页

(2)若 B 点横坐标为

4 ,求 S?AOB . 5

17. (本题满分 12 分) 市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如 图所示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的. 同一条道路去程与回程是否堵车相互独立. 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学, 再 返回经甲地赶去乙地上班.假设道路 A 、 B 、 D 上下班时间往返出现拥堵的概率都是 路 C 、 E 上下班时间往返出现拥堵的概率都是 (1)求李生小孩按时到校的概率; (2)李生是否有七成把握能够按时上班? (3)设 ? 表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到 拥堵的次数,求 ? 的均值.

1 ,道 10
D

1 ,只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到. A 5 乙 B 甲
C
第 17 题图


E

18. (本题满分 14 分) 如 图 甲 , 设 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 3 , 点 E、F 分 别 在 AB、CD 上 , 并 且 满 足

AE ? 2 EB,CF ? 2 FD ,如图乙,将直角梯形 AEFD 沿 EF 折到 A1EFD1 的位置,使点 A1
在平面 EBCF 上的射影 G 恰好在 BC 上. (1)证明: A E // 平面 CD1F ; 1 (2)求平面 BEFC 与平面 A EFD1 所成二面角的余弦值. 1

A1
A

D
F

D1

E

E

F B

B
图甲

C
第 18 题图

G
图乙

C

第4页

19. (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系内,动圆 C 过定点 F ?1,0 ? ,且与定直线 x ? ?1 相切. (1)求动圆圆心 C 的轨迹 C2 的方程; (2) 中心在 O 的椭圆 C1 的一个焦点为 F ,直线 l 过点 M (4,0) .若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在曲线 C2 上,且直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求椭圆 C1 的长轴长取得最小值时的 椭圆方程.

20. (本题满分 14 分) 某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少 对环境的影响,环保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱, 1 个单位的固体碱在水中 逐 渐 溶 化 , 水 中 的 碱 浓 度 f ( x) 与 时 间 x ( 小 时 ) 的 关 系 可 近 似 地 表 示 为 :

x 6 ? ? 2? 6 ? x?3 ? f ( x) ? ? ?1 ? x ? 6 ?
染产生有效的抑制作用.

0? x?3
,只有当污染河道水中碱的浓度不低于

3? x?6

1 时,才能对污 3

(1)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效的抑制作用的时间有多长? (2)第一次投放 1 单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到

1 时,马上再投放 1 个 3

单位的固体碱,设第二次投放后水中碱浓度为 g ( x) ,求 g ( x) 的函数式及水中碱浓度的最大 ...... 值.(此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加) ..

第5页

21. (本题满分 14 分) 设 函 数 f 0 ( x) ? x 2 ? e
1 ? x 2

, 记 f 0 ( x) 的 导 函 数 f0?( x) ? f1 ( x) , f1 ( x) 的 导 函 数

f1?( x) ? f 2 ( x) , f 2 ( x) 的导函数 f 2?( x) ? f3 ( x) ,?, f n?1 ( x) 的导函数 fn??1 ( x) ? f n ( x) , n ? 1, 2,? .
(1)求 f 3 (0) ; (2)用 n 表示 f n (0) ; (3)设 Sn ? f 2 (0) ? f3(0) ? ? ? f n?1(0) ,是否存在 n ? N 使 Sn 最大?证明你的结论.
*

2013 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测

数 学(理科)

一、填空题 二、填空题 9. ? x? R, e x ? 0 13. 80 10. CDBCABBC

评分参

? 4

11. 8

12. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 5
2 2

?? 2 ? 14. ? sin ? ? ? ? ? (或 ? sin ? ? ? cos? ? 1) 4? 2 ?
三、解答题 16.⑴解法 1、 由题可知:A(?1,3) ,B(cos ? ,sin ? ) , 1分 ??? ? OA ? (?1,3) ??? ? OB ? (cos ? ,sin ? ) OA ? OB

15.

1 3

?? , ??2 分 , 得

第6页

??? ??? ? ? OA ? OB ? 0 ∴ 1 tan ? ? 3 解法 2、 由 题 B(cos ? ,sin ? ) kOA ? ?3

??3 分
? cos ? ? 3sin ? ? 0



??4 分 可 知 : ??1 分 ,
A(?1,3)



??2 分 kOB ? tan ? OA ? OB ∵ , ∴ ??3 分 B KO ? K ? ?1 A O ?3 tan ? ? ?1 , 得 1 tan ? ? ??4 分 3 解法 3、 设 B( x , y ) , (列关于 x、y 的方程组 2 分,解方程组求得 x、y 的值 1 分,求 正切 1 分) ⑵解法 1、 ? 由⑴ OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 , 记 ?AOx ? ? , ? ? ( , ? ) 2 3 3 10 ?1 10 ∴ sin ? ? , cos ? ? ( 每 式 1 ? ?? 10 10 10 10 分) ??6 分 4 3 cos ? ? , 得 s i ? ? ? c ? s n 1 2o ? (列式计算各 1 ∵ OB ? 1 5 5 分) ??8 分 3 10 4 10 3 3 10 ( 列 式 计 算 各 1 sin ?AOB ? sin( ? ? ? ) ? ? ? ? ? 10 5 10 5 10 分) ??10 分 3 1 1 3 10 ? (列式计算各 1 ∴ S?AOB ? AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? 2 2 2 10 分) ??12 分 解法 2、 AO 由 题 意 得 : 的 直 线 方 程 为 3x ? y ? 0 ??6 分 3 4 3 则 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 即 B( , ) ( 列 式 计 算 各 1 5 5 5 分) ??8 分

第7页

4 3 3 ? ? 5 5 5 3 则 点 B 到 直 线 AO 的 距 离 为 d ? ? 10 ( 列 式 计 算 各 1 10 10 分) ??10 分

又 OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 ,∴ S?AOB ?
1 分)?12 分

1 1 3 10 3 AO ? d ? ? 10 ? ? (每式 2 2 10 2

解法 3、
sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 3 5

即 ??6 分

4 3 B( , ) 5 5







1 ,

分) 即 ??? ? 4 3 OB ? ( , ) , 5 5



??? ? OA ? (?
??7 分 ,

1

,

OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10

OB ? 1



??? ??? ?1? 4 ? 3 ? 3 ? ? OA ? OB 5 5 ? 10 ??9 分 cos ?AOB ? ??? ??? ? ? ? 10 10 ?1 OA OB
(模长、角的余弦各 1 分) ∴
sin ?AOB ? 1 ? cos 2 ?AOB ? 3 10 10

?

?10 分
1 1 3 10 3 AO BO sin ?AOB ? ? 10 ?1? ? (列式计算各 1 2 2 10 2 分) ??12 分 解法 4、根据坐标的几何意义求面积(求 B 点的坐标 2 分,求三角形边长 2 分,求某个内角的余弦与正弦各 1 分,面积表达式 1 分,结果 1 分)

则 S?AOB ?

17.⑴因为道路 D、E 上班时间往返出现拥堵的概率分别是 因此从甲到丙遇到拥堵的概率是

1 1 和 , 10 5

1 1 1 1 3 ? ? ? ? ? 0.15 (列式计算各 1 2 10 2 5 20

分) ??2 分 所 以 李 生 小 孩 能 够 按 时 到 校 的 概 率 1 ? 0.15 ? 85% ; ??3 分 ⑵ 甲 到 丙 没 有 遇 到 拥 堵 的 概 率 17 , ??4 分 20

是 是

第8页





























拥 堵 的 概 率 是 1 2 ? ? ??6 分 3 5 1 5 2 13 甲到乙没有遇到拥堵的概率是 1 ? ? ,李生上班途中均没有遇到拥堵的 15 15 17 17 13 3757 ? 0.8 , 概率是 ? ? ? 所以李生没有八成把握能够按时上班(计算结论 20 20 15 6000 各 1 分)??8 分 ⑶ 依 题 意 可 以 取 ? . , ??9 分 0 1 , 2 13 17 221 2 17 13 3 73 ? ? ? ? ? ? P(? ? 0) = , P(? ? 1) = , P(? ? 2) = 15 20 300 15 20 15 20 300 2 3 6 ? ? ,?11 分 15 20 300 分 布 列是: ? 0 1 2 221 73 6 p 300 300 300
1

17 , 20 甲 到 1 1 ? ? 3 1 0

??5 分 乙 遇 1 , ? 3 1 到 1 ? 0

221 73 6 85 17 ? 0+ ?1+ ? 2= ? 300 300 300 300 60 ??12 分 E? ?

.

18 . ⑴ 证 明 : 在 图 甲 中 , 易 知 AE / / DF , 从 而 在 图 乙 中 有 ??1 分 A1E // D1F , 因为 A1E ? 平面 CD1 F , D1F ? 平面 CD1 F ,所以 A1E // 平面 CD1 F (条件 2 分)??4 分 ⑵解法 1、 如图,在图乙中作 GH ? EF ,垂足为 H ,连接 A1H , 由于 AG ? 平面 EBCF ,则 A1G ? EF , 1 分 所以 EF ? 平面 A1GH ,则 EF ? A H , 1 分 ??6

??5

第9页

所以 ?A1 HG 平面 BEFC 与平面 A1EFD1 所成二面角的平面角, 分 图甲中有 EF ? AH ,又 GH ? EF ,则 A、G、 H 三点共线, 分

??8 ??9

设 CF 的中点为 M ,则 MF ? 1 ,易证 ?ABG ? ?EMF ,所以, BG ? MF ? 1 , AG ? 10 ;??11 分(三角形全等 1 分) AB?AE 6 又由 ?ABG ? ?AHE , A1 H ? AH ? 得 , ??12 ? AG 10 分 4 于是,HG ? AG ? AH ? , ??13 10 分 2 HG 2 在 Rt ?AGH 中, cos ?A1GH ? ? ,即所求二面角的余弦值为 .?? 1 3 A1H 3 14 分 A1
A
H
D

D1
H

F E B

M
G
图甲

E B

F

C

G
图乙

C

解法 2、 如图,在图乙中作 GH ? EF , 垂足为 H , 连接 A1H , 由于 AG ? 平面 EBCF , 1 则 AG ? EF , 1 分 所以 EF ? 平面 AGH ,则 EF ? A1 H ,图甲中有 EF ? AH ,又 GH ? EF , 1 A、G、H 则 三 点 共 线, ??6 分 设 CF 的中点为 M ,则 MF ? 1 ,易证 ?ABG ? ?EMF ,所以 BG ? MF ? 1 , 则 AG ? 10 ; AB?AE 6 ? 又由 ?ABG ? ?AHE , A1 H ? AH ? 得 , ??7 AG 10 分 4 于是, HG ? AG ? AH ? , 10 ??5

第 10 页

? 6 ? ? 4 ? A 在 Rt ?AGH 中, 1G ? A1H 2 ? HG 2 ? ? 1 ? ?? ? ? 2 ? 10 ? ? 10 ?

2

2

??8


C 作 GT / / BE 交 EF 于点 T , T G 则G ? , 以点 G 为原点, 分别以 GC、GT、GA1 所在直线为 x、y、z 轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则 G(0,0,0) 、 ??? ? ??? ? E (1, ?1,0) 、 F (2, 2,0) 、 A1 (0,0, 2) ,则 EF ? (1 ,3,0) , 1 ? ? , 2) (坐标系、坐 EA ( 1 ,1 标、向量各 1 分) ??11 分 ???? 显 然 , GA1 ? ( 0 , 0 是, 平2 面 BEFC 的 一 个 法 向 ) 量, ??12 分 ? ??? ? ?n?EF ? x ? 3 y ? 0, ? ? 设 n ? ( x, y, z) 是平面 A1EFD1 的一个法向量,则 ? ? ???? ,即 ?n?EA1 ? ? x ? y ? 2 z ? 0 ? ? ? x ? ?3 y , y ? ?1 , 不 妨 取 , 则 ? ? z ? ?2 2 y ? ? n?( ? 3 , , 1 , 2 2 ) ??13 分 设平面 BEFC 与平面 A1EFD1 所成二面角为 ? ,可以看出, ? 为锐角,所以, ???? ? GA1 ?n | 0 ? 3 ? 0 ? (?1) ? 2 ? 2 2 | 2 cos ? ? ???? ? ? ? , 所 以 , 平 面 BEFC 与 平 面 2 2 2 3 | GA1 |? n | | 2 ? 3 ? (?1) ? (2 2)

A1EFD1 2 . 3

















值 ??14 分



19. ⑴由题可知,圆心 C 到定点 F ?1, 0? 的距离与到定直线 x ? ?1 的距离相 等 ??2 分 由抛物线定义知, C 的轨迹 C2 是以 F ?1, 0? 为焦点,直线 x ? ?1 为准线的抛物

线 ??4 分 (确定“曲线是抛物线”1 分,说明抛物线特征 1 分) 所 以 动 圆 圆 心 C 的 轨 迹 C2









y ? 4x . ⑵解法 1、
2

??5 分
m n 2 2

设 P(m, n) ,则 OP 中点为 ( , ) , 因为 O、 P 两点关于直线 y ? k ( x ? 4) 对称,
m ? 8k 2 ?n ?m? ? 2 ? k ( 2 ? 4) ?km ? n ? 8k ? ? 1 ? k 2 (中点 1 分,方程组 2 分,化 所以 ? ,即 ? ,解之得 ? ? m ? nk ? 0 ? n ? k ? ?1 ?n ? ? 8k ? m ? ? 1? k2 ? 简 1 分) ??8 分

第 11 页

将 其 代 入 抛 物 线 方 程 , 得 : (?
k2 ? 1.

8k 2 8k 2 ) ? 4? 2 1? k 1? k2

, 所 以

??9 分 立
? y ? k ( x ? 4) ? 2 ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
2 2 2 2









y







(b2 ? a2 ) x2 ? 8a2 x ? 16a2 ? a2b2 ? 0

??11 分
2


a ? b ? 16 ,
2 2

? ? (?8a ) ? 4(b ? a )(16a ? a2b2 ) ? 0

, 所 以
a? 34 2

得 , 即

??12 分 到
b2 ? a 2 ? 1


2a ?
2


3 4 ,





2a 2 ?

1 , 7

??13 分 因 此 , 椭 圆 C1 长 轴 长 的 最 小 值 为
2

34 . 此 时 椭 圆 的 方 程 为

x y + ? 1. 17 15 2 2 解法 2、 ? m2 ? ,m? 设 P? ? 4 ?

??14 分

, 因 为 O、 P 两 点 关 于 直 线 l 对 称 , 则 ??6 分

OM ? MP =4 ,


? m2 ? ? 4 ? ? m2 ? 4 ? ? 4 ?

2









m ? ?4 ??7 分 即 P(4, ?4) ,根据对称性,不妨设点 P 在第四象限,且直线与抛物线交于 A, B . 1 则 k AB ? ? ?1 , 于 是 直 线 l 方 程 为 y ? x ? 4 ( 斜 率 1 分 , 方 程 1 kOP

分) 联 立

??9 分
? y? x?4 ? 2 ?x y2 ? 2 ?1 ? 2 b ?a
2 2 2 2







y







(b2 ? a2 ) x2 ? 8a2 x ? 16a2 ? a2b2 ? 0

??11 分
2


a ? b ? 16 ,
2 2

? ? (?8a ) ? 4(b ? a )(16a ? a2b2 ) ? 0

, 所 以
a? 34 2

得 , 即

??12 分 到
b2 ? a 2 ? 1


2a ?


3 4 ,





2a 2 ?

1 , 7

??13 分 因 此 , 椭 圆 C1 长 轴 长 的 最 小 值 为

34 . 此 时 椭 圆 的 方 程 为

第 12 页

x2 y 2 + ? 1. 17 15 2 2

??14 分

20













0? x?3 ? ? x 6 1 ? ?2 ? 6 ? x ? 3 ? 3 ?



? 3? x ?6 ? ??2 分 ? x 1 ?1 ? 6 ? 3 ? 1? x ? 3 3? x ? 4 解 得 或 , 即 1? x ? 4 ??3 分 能 够 维 持 有 效 的 抑 制 作 用 的 时 间 : 4 ?1 ? 3 小 时. ??4 分 ⑵ 由⑴知, x ? 4 时第二次投入 1 单位固体碱,显然 g ( x) 的定义域为 4 ? x ? 10 ??5 分 当 4? x?6 时 , 第 一 次 投 放 1 单 位 固 体 碱 还 有 残 留 , 故 ? ( x ? 4) ? 11 x 6 6 ? x ? ? ? = + = ; g ? x? ?1 ? ? ?2 ? 6 ? ( x ? 4) ? 3 ? 3 3 x ?1 ? 6 ? ? ? ??6 分 当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留,故 ( x ? 4) 6 6? x?7 g ( x) ? 2 ? ? 当 时 , 6 ( x ? 4) ? 3 8 x 6 = ? ? ; ??7 分 3 6 x ?1 7 ? x ? 10 当 时 , x?4 5 x g ( x) ? 1 ? ? ? ; ??8 分 6 3 6 所 以 x ?1 ? 3 ? 3 ? x ?1 4 ? x ? 6 ? 6 ?8 x g ( x) ? ? ? ? 6? x?7 ??9 分 3 6 x ?1 ? ?5 x 7 ? x ? 10 ?3 ? 6 ? 4? x?6 当 时 ,

1

第 13 页

11 x 6 10 10 x ? 1 6 10 x ?1 6 ? ? = ?( = ?2 2 ; ? ) ? ?2 ? 3 3 x ?1 3 3 x ?1 3 3 x ?1 3 x ?1 6 ? 当且仅当 时取“=”,即 x ? 1 ? 3 2 ?[4,6] (函数值与自变量值各 1 3 x ?1 分)??11 分 当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留, 6 1 ( x ? 5)(7 ? x) 当 6 ? x ? 7 时, g ?( x) ? ? ? ? 0 ,所以 g ( x) 为增函数; 2 ( x ? 1) 6 6( x ? 1) 2 7 ? x ? 10 当 时 , 为 减 函 数 ; 故 g ( x) 1 ??12 分 g ( x)max = g (7) ? , 2 10 1 17 ? 12 2 289 ? 288 又 ( ? 2 2) ? ? = ? 0 ,所以当 x ? 1 ? 3 2 时,水中 3 2 6 6 碱 浓 度 的 最 大 值 为 10 ?2 2 . ?? 3 13 分 答: 第一次投放 1 单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为 3 小时;第 一 次 投 放 1? 3 2 时 后 , 水 中 碱 浓 度 的 达 到 最 大 值 为 小 10 ?2 2 . ??14 分 3 21 . ⑴ 易 1 ? x ? 1 ? 得, f1 ? x ? ? ? ? x 2 ? 2 x ? e 2 , ??1 分 ? 2 ? g ( x) ?

?1 ? ? x f2 ? x ? ? ? x2 ? 2x ? 2 ? e 2 ?4 ? ??2 分 1 3 ? 1 ? ? x f3 ? x ? ? ? ? x 2 ? x ? 3 ? e 2 2 ? 8 ? f3 ( ? ? 0 )
1

, ??3 分 3





⑵不失一般性,设函数 f n ?1 ( x) ? ? an ?1 x 2 ? bn ?1 x ? cn ?1 ? ? e? x 的导函数为 对

f n ( x) ? ? an x 2 ? bn x ? cn ? ? e ? x ,其中 n ? 1, 2,? ,常数 ? ? 0 , a0 ? 1, b0 ? c0 ? 0 .

f n?1 ( x)





得 ??4 分1 a ? ? 2 n?



2 fn??1 ( ? ? x) ? n?1 [ a ? ? n?1 x ? x( 故由 fn??1 ( x) ? f n ( x) 得: an ? ? ? an?1 ①, ? ?bn ? 2an?1 ? ? ? bn?1 ? ②, ??5 分 ? ? cn ? bn?1 ? ? ? cn?1 ③

?

n?1

b ) ?

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① n

得 N

: ??6 分

代入②得: bn ? 2 ? ? n?1 ? ? ? bn?1 ,即 故 bn ? 2n ? ? n?1, n ? N .

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,其中 n ? 1, 2,? : ??7 分


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代入③得: cn ? 2n ? ? n?2 ? ? ? cn?1 ,即 故 cn ? (

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? ? 得 n ?1
n

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,其中 n ? 1, 2,? . : ??8 分 ) ? n

因此 fn (0) ? cn ? n(n ?1) ? ? n?2 , n ? N . 1 1 f n (0) ? n(n ? 1)( ? ) n ? 2 将 ??? 代 入 得 : , 其 2 2 n? N . ??9 分 1 (2)由(1)知 f n ?1 (0) ? n(n ? 1)(? ) n ?1 , 2 1 当 n ? 2k (k ? 1, 2,?) 时, S2 k ? S 2 k ?1 ? f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1) ? (? ) 2 k ?1 ? 0 , 2 ? S2k ? S2k ?1 ? 0, S2k ? S2k ?1 , 故 当 Sn 最 大 时 , n 为 数. ??10 分 n ? 2k ? 1(k ? 2) 当 时 S2k ? ? ( 1 S k? ? 0 f k ? ??11 分 )? f 2 1 1 1 又 f 2 k ? 2 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)(? ) 2 k , f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1)(? ) 2 k ?1 2 2 1 2k 1 2 k ?1 ? f 2 k ? 2 (0) ? f 2 k ?1 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)( ? ) ? 2k (2k ? 1)(? ) 2 2 1 ? (2k ? 1)(k ? 1)(? ) 2 k ?1 ? 0 , 2 ? S2k ?1 ? S2k ?1 , 因 此 数 列 ?S2k ?1? (k ? 1,2,?) 是 递 减 列 又 ??12 分



奇 , k? (

2

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S1 ? f 2 (0) ? 2
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S3 ? f2 (0) ? f3 (0) ? f4 (0) ? 2 , n ?1 故 当 或 S1 ? S3 ? 2 .





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??14 分

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