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高中新课标数学选修(2-2)综合测试题(9)


高中新课标数学选修(2-2)综合测试题

一.

选择题(每小题 5 分,共 60 分) 2 1.若复数 z ? (1 ? i) 2 ? ,则 z 的虚部等于[ 1? i A.1 B.3 C. i

] D. 3i ]

2. f (x ) 和 g (x) 是 R 上的两个可导函数,若 f '

( x) = g ' ( x) ,则有[ A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) ? 0 B. f ( x) ? g ( x) 是常数函数 D. f ( x) ? g ( x) 是常数函数

3.一个物体的运动方程是 s ? 3t cost ? x ( x 为常数) ,则其速度方程为[ A. v ? 3cost ? 3t sint ? 1 B. v ? 3cost ? 3t sint C. v ? ?3sint D. v ? 3cost ? 3t sint 4.设复数 z 满足 A.0 5.定积分 A.1

]

1? z ? i ,则 | 1 ? z | 的值等于[ 1? z
B.1 C. 2 ] C.

] D.2

?

?

2 0

sin x cos xdx 的值等于[
B.

1 2

1 4
,y?

D. 0

6.已知 a, b 是不相等的正数, x ? A. x ? y 7.若函数 y ? B. x ? y ]

a? b 2

a ? b ,则 x, y 的大小关系是[

]

C. x ?

2y

D.不确定

6x ,则其[ x ?1 A.有极小值 ? 3 ,极大值 3
2

C.仅有极大值 6

B.有极小值 ? 6 ,极大值 6 D.无极值 ] D.3
y

8.已知复数 z 的模等于 2,则 | z ? i | 的最大值等于[ A.1 B.2 C. 5

9.设 f ?(x) 是函数 f (x ) 的导函数, y ? f ?(x ) 的图象如图所示, 则 y ? f (x) 的图象最有可能的是[ ]

O

1

2

x

1

10.若 ( A.4

1? i n 1? i n ) ?( ) ? 2 ,则 n 的值可能为[ 1? i 1? i
B.5 C.6

] D.7 ]

11.若函数 f ( x) ? x3 ?12x 在区间 ( k ? 1, k ? 1) 上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是[ A. k ? ?3 或 ? 1 ? k ? 1或 k ? 3 C. ? 2 ? k ? 2 12.定义复数的一种运算 z1 * z2 ? B. ? 3 ? k ? ?1或 1 ? k ? 3 D.不存在这样的实数 k

| z1 | ? | z2 | (等式右边为普通运算),若复数 z ? a ? bi ,且实数 a,b 满足 2
]

a ? b ? 3 ,则 z * z 最小值为[
A.

9 2

B.

3 2 2

C.

3 2

D.

9 4

二. 填空题(每小题 4 分,共 16 分)
13.设复数 z1 ? 1 ? i, z 2 ? 3 ? i, 则z ?

z1 在复平面内对应的点位于第—————象限. z2

3 2 14.方程 x ? 6 x ? 9 x ? 4 ? 0 实根的个数为————————.

15.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c , x ?[-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=±1 处的切线斜率均为-1, 有以下命题:①f(x)的解析式为: f ( x) ? x3 ? 4x , x ?[-2,2];②f(x)的极值点有且仅有一个;③f (x)的最大值与最小值之和等于零.其中正确的命题是——————————. 16.仔细观察下面 4 个数字所表示的图形:

请问:数字 100 所代表的图形中有

方格

三. 解答题(共 74 分)
17.设复数 z ?

(1 ? i ) 2 ? 3(1 ? i ) 2 ,若 z ? mz ? n ? 1 ? i ,求实数 m,n 的值. 2?i
2

18.若函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x 存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围. 2

0 0 0 0 0 0 19. 观 察 给 出 的 下 列 各 式 : 1 ) tan 10 ? tan 20 ? tan 20 ? tan 60 ? tan 60 ? tan 10 ? 1 ; 2 ) ( (

tan 5 0 ? tan 15 0 ? tan 15 0 ? tan 70 0 ? tan 70 0 ? tan 5 0 ? 1 .由以上两式成立,你能得到一个什么的推广?证
明你的结论. 20.满足 Z ?

5 是实数,且 Z+3 的实部与虚部互为相反数的虚数 Z 是否存在?若存在,求出虚数 Z;若不 Z
2

存在,请说明理由.

3 )(x+a)(a ? R).(1)若函数 f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的范围;(2) 2 5 若 f ' (-1)=0,(I)求函数 f(x)的单调区间; (II)证明对任意的 x1、x2 ? (-1,0),不等式|f(x1)-f(x2)|< 恒 16
21.已知函数 f(x)=(x + 成立. 22.已知函数 f ( x) ? ln( 2 ? x) ? mx 在区间 ( 0,1) 上是增函数.(1)求实数 m 的取值范围; (2)若数列 ?an ?
? 满足 a1 ? (0,1), a n ?1 ? ln( 2 ? a n ) ? a n ( n ? N ) ,证明: 0 ? an ? an?1 ? 1 .

参考答案
一. 选择题 1.B 2.D 3.B 4.C 二. 填空题 13.四 14.2 15.(1) (3) 16.20201 三. 解答题 5.B 6.B 7.A 8.D 9.C 10.A 11.B 12.B

(1 ? i) 2 ? 3(1 ? i) 2i ? 3 ? 3i 3 ? i (3 ? i)(2 ? i) 17.解析: z ? ? ? ? ? 1 ? i ,将 z ? 1 ? i 代入 2?i 2?i 2 ? i (2 ? i)(2 ? i)
z 2 ? mz ? n ? 1 ? i ,得 (1 ? i) 2 ? m(1 ? i) ? n ? 1 ? i ,所以 (m ? n) ? (m ? 2)i ? 1 ? i
于是 ?

?m ? n ? 1, 得 m ? ?3, n ? 4 . ? ? ( m ? 2) ? 1.

3

1 ax 2 ? 2 x ? 1 . 因为函数 f(x)存在单调递减区间,所以 f ' ( x) <0 有解. 18.解析:由于 f ( x) ? ? ax ? 2 ? ? x x
'

又因为函数的定义域为 (0,?? ) ,则 ax2+2x-1>0 应有 x>0 的解.①当 a>0 时,y=ax2+2x-1 为开口向上的抛 物线,ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解;②当 a<0 时,y=ax2+2x-1 为开口向下的抛物线,而 ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解,则△=4+4a>0,且方程 ax2+2x-1=0 至少有一正根.此时,-1<a<0.综上所述,a 的取值范围为(- 1,0)∪(0,+∞). 19. 解 析 : 可 以 观 察 到 : 100 ? 200 ? 600 ? 900 ,50 ? 150 ? 700 ? 900 , 故 可 以 猜 想 此 推 广 式 为 : 若

? ? ? ?? ?

?
2

, ? , ? , ? 都不等于 k? ? 且

?
2

则有 tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? 1 . (k ? Z ) ,

证明如下:由 ? ? ? ?? ?

?
2

得? ?? ?

?

?? , 所 以 t a n (? ?) ? t a n ( ?? ) ? c o ? , 又 因 为 ? t 2 2

?

t a n? ? ? ) ? (

t a n ? t a n? ? ,所以 tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? tan ? ) ? cot ? (1 ? tan ? tan ? ) 1 ? t a n t a n? ?

所以 tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? (1 ? tan ? tan ? ) cot ? ? tan ? tan ? ? 1 . 20.解析: 设存在虚数 Z=x+yi y∈R 且 y≠0)? z ? (x、 。

5 5 5x 5y ? x ? yi ? ? x? 2 ? (y ? 2 )i. 2 z x ? yi x ?y x ? y2

5y ? ?0 ?x 2 ? y 2 ? 5, ? x ? ?1 ? x ? ?2 ?y ? 2 x ? y2 由已知得 ? ,因为 y ? 0,? ? 解之得? 或? ? y ? ?2 ? y ? ?1 ?x ? y ? ?3. ?x ? 3 ? ? y ?
? 存在虚数 Z ? ?1 ? 2i或Z ? ?2 ? i满足以上条件 .
21.解析:? f ( x) ? x ? ax ?
3 2

3 3 3 x ? a ,? f '( x) ? 3x2 ? 2ax ? 2 2 2

⑴? 函数 f ( x ) 的图象有与 x 轴平行的切线,? f '( x) ? 0 有实数解

9 , 2 3 3 所以 a 的取值范围是 ? ?, ………………………………………4 分 ( ? 2] ? [ 2, ?) ? 2 2 3 9 9 3 1 2 ⑵? f '(?1) ? 0 ,?3 ? 2a ? ? 0 , a ? ,? f '( x) ? 3x ? x ? ? 3( x ? )( x ? 1) 2 4 2 2 2 1 1 (Ⅰ)由 f '( x) ? 0得x ? ?1或 x ? ? ;由 f '( x) ? 0得 ? 1 ? x ? ? 2 2 1 1 ? f ( x) 的单调递增区间是 (??, ?1), (? , ??) ;单调减区间为 (?1, ? ) ……………8 分 2 2 25 1 49 27 (Ⅱ)易知 f ( x ) 的最大值为 f (?1) ? , f ( x ) 的极小值为 f (? ) ? ,又 f (0) ? 8 2 16 8 27 49 ? f ( x) 在 [ ?1, 上的最大值 M ? 0] ,最小值 m ? 8 16 ?, a 2 ? 0
4

3 则? ?4a 2 ?4 ?3 ? 2

? 对任意 x1, x2 ? (?1,0) ,恒有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? M ? m ?
22. 解 析 : 1 ) f ' ( x) ? ? (

27 49 5 ? ? . 8 16 16

1 ? m , 由 于 f (x) 在 区 间 (0,1) 上 是 增 函 数 , 所 以 f ' ( x) ? 0 , 即 2? x 1 1 1 1 ,而 ? ? ? m ? 0 在 (0,1) 上恒成立,所以 m ? ? 1,所以 m ? 1 . 2? x 2? x 2 2? x

( 2 ) 由 题 意 知 , 当 n=1 时 , a1 ? (0,1) . 假 设 当 n=k 时 有 ak ? (0,1) , 则 当 n=k+1 时 , 且 (由 问知 f ( x) ? ln( 2 ? x) ? x ak ?1 ? ln(2 ? ak ) ? ak ? ln2 ? 0 , ak ?1 ? ln(2 ? ak ) ? ak ? ln2 ? 1 (1)
? 在 区 间 ( 0,1) 上 是 增 函 数 ) . 所 以 当 n=k+1 时 命 题 成 立 , 故 0 ? a n ? 1, n ? N . 又 因 为

an?1 ? an ? l n2(? an ) ? 0 ,所以 0 ? an ? an?1 ? 1 .

5


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