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2011-2013北京市近三年二模数学试题分类


海淀区近三年二模试题
1、(2013.6)23.已知:抛物线 y ? ax ? (a ? 2) x ? 2 过点 A(3, 4) .
2

4、(2013.6)24.如图 1,在△ABC 中,AB=AC, ?ABC ? ? . 过点 A 作 BC 的平行线与∠ABC 的 平分线交于点 D,连接 CD.

(1)求抛物线的

解析式; (2)将抛物线 y ? ax ? (a ? 2) x ? 2 在直线 y ? ?1 下方的部分沿直线 y ? ?1 翻折,图象其余的部
2

分保持不变,得到的新函数图象记为 G .点 M ? m, y1 ? 在图象 G 上,且 y1≤0 . ①求 m 的取值范围; ②若点 N ? m ? k , y2 ? 也在图象 G 上,且满足 y2≥4 恒成立,则 k 的取值范围为 . 图1 (1)求证: AC ? AD ; 图2

2、(2012.6)23.已知抛物线 y ? (m ? 1)x 2 ? (m ? 2) x ? 1与 x 轴交于 A、B 两点. (1)求 m 的取值范围; (2) 若 m>1, 且点 A 在点 B 的左侧, OA : OB=1 : 3, 试确定抛物线 的解析式; (3)设(2)中抛物线与 y 轴的交点为 C,过点 C 作直线 l //x 轴, 将抛物线在 y 轴左侧的部分沿直线 l 翻折, 抛物线的其余部分保 持不变,得到一个新图象. 请你结合新图象回答: 当直线 y ? 新图象只有一个公共点 P(x0, y0)且 y0?7 时, 求 b 的取值范围. 3、 (2011.6) 23. 已知关于 x 的方程 mx2 ? (3 ? 2m) x ? (m ? 3) ? 0 , 其中 m ? 0 。 (1)求证:方程总有两个不相等的实数根; (2)设方程的两个实数根分别为 x1 , x 2 ,其中 x1 ? x2 ,若 y ?
y 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 x

(2)点 G 为线段 CD 延长线上一点,将射线 GC 绕着点 G 逆时针旋转 ? ,与射线 BD 交于点 E. ①若 ? ? ? , GD ? 2 AD ,如图 2 所示,求证: S? DEG ? 2S?BCD ; ②若 ? ? 2? , GD ? kAD ,请直接写出

S?DEG 的值(用含 k 的代数式表示) . S?BCD
2 2 x ? 2 x 与 x 轴负半轴交于点 A, 顶 m

5、(2012.6)24. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? 点为 B, 且对称轴与 x 轴交于点 C. (1)求点 B 的坐标 (用含 m 的代数式表示);

1 x?b 与 3

(2)D 为 BO 中点,直线 AD 交 y 轴于 E,若点 E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式; (3)在(2)的条件下,点 M 在直线 BO 上,且使得△AMC 的周长最小,P 在抛物线上,Q 在 直线 BC 上,若以 A、M、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点 P 的坐标.
y y B

x2 ? 1 ,求 y 与 m 的函数关系式; 3x1
A

B A C O x C O x

(3)在(2)的条件下,请根据函数图象,直接写出使不等式 y ? ? m 成立的 m 的取值范围。

备用图

1

6、 (2011.6)24. 在平面直角坐标系 xOy 中,O 是坐标原点,等边三角形 OAB 的一个顶点为 A(2, 0) ,另一个顶点 B 在第一象限内。 (1)求经过 O、A、B 三点的抛物线的解析式; (2)如果一个四边形是以它的一条对角线为对称轴的轴对称图形, 那么我们称这样的四边形为“筝形”。点 Q 在(1)的抛物线上,且以

成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由; (3)如图 3,若点 M、A 不重合,BN=NE,你在(1)中得到的结论两个是否成立, 请

y

B

直接写出你的结论.

B

C E

B

C E B M D F A N

E

C

O、A、B、Q 为顶点的四边形是“筝形,求点 Q 的坐标;
(3)设

OAB 的外接圆 M ,试判断(2)中的点 Q 与 M 的位

O

C

A

x
A(M) N D F

M N A

D

F

置关系,并通过计算说明理由。

图1

图2

图3

9、 (2011.6)25. 已知 7、(2013.6)25. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标是 ( 0,2 ) ,过点 A 作直线 l 垂直 y 轴,点 B 是直线 l 上异于点 A 的一点,且 ?OBA = a .过点 B 作直线 l 的垂线 m ,点 C 在直线 m 上,且在直 线 l 的下方, ?OCB = 2a .设点 C 的坐标为 ( x, y ) . (1) 判断△ OBC 的形状,并加以证明; (2) 直接写出 y 与 x 的函数关系式(不要求写自变量的取值 范围) ; (3) 延 长 CO 交 ( 2 ) 中所 求函 数的 图 象于 点 CD = CO × DO .

ABC ,以 AC 为边在

ABC 外作等腰

ACD ,其中 AC ? AD 。

(1)如图 1,若 ?DAC ? 2?ABC , AC ? BC ,四边形 ABCD 是平行四边形,则 ?ABC ? ______; (2)如图 2,若 ?ABC ? 30? ,

ACD 是等边三角形, AB ? 3 , BC ? 4 。求 BD 的长;

2 2 2 (3)如图 3,若 ?ACD 为锐角,作 AH ? BC 于 H。当 BD ? 4AH ? BC 时, ?DAC ? 2?ABC

是否成立?若不成立,请说明你的理由;若成立,证明你的结论。

D A D A D A B C B C

D .求证:

8、 (2012.6) 25. 在矩形 ABCD 中, 点 F 在 AD 延长线上, 且 DF= DC, M 为 AB 边上一点, N 为 MD 的中 点, 点 E 在直线 CF 上(点 E、C 不重合). (1)如图 1, 若 AB=BC, 点 M、A 重合, E 为 CF 的中点,试探究 BN 与 NE 的位置关系 及

B

H

C

CE 的值, 并证明你的结论; BM

(2)如图 2,且若 AB=BC, 点 M、A 不重合, BN=NE,你在(1)中得到的两个结论是否 2

2012、2013 部分区一模中高档试题分类汇编 1、 (2013.6 丰台 8)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有 一棵树与两墙的 距离分别是 a 米(0<a<12)、4 米.现在想用 16 米长的 篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃 ABCD,且将这棵树围在花圃内(不 考虑树的粗细). 设此矩形花圃的最大面积为 S,则 S 关于 a 的函数图象 大致是 S S S S B am P 4m A D 4、 ( 2012.6 东城 8 ) . 如右图,正方形 ABCD 的顶点 A(0,

2 ), 2

B(
C

2 , 0) ,顶点 C、D 位于第一象限,直线 l : x ? t (0 ? t ? 2) 将正 2

方形 ABCD 分成两部分,记位于直线 l 左侧阴影部分的面积为 S ,则 S 关于 t 的函数图象大致是





。 。
。 。 a O a


O

。 a

O

a

O

A.

B.

C.

D.
5、 (2013.6 东城 8) 如图,在平面直角坐标系中,已知⊙ O 的半径为 1, 动直线 AB 与 x 轴交于点 P ( x, 0) , 直线 AB 与 x 轴正方向夹角为 45 ? , 若直线 AB 与⊙ O 有公共点,则 x 的取值范围是 A. ?1 ? x ? 1 C. 0 ? x ? B. ? 2 ? x ? D. ? 2 ? x ?

2、 (2012.6 密云 8)如图,Rt△ ABC 中,∠ C=90° ,AC=3,BC=4,P 是斜边 AB
上一动点(不与点 A、B 重合) ,PQ⊥ AB 交△ ABC 的直角边于 点 Q,设 AP 为 x,△ APQ 的面积为 y,则下列图象中,能表示 y 关于 x 的函数关系的图象大致是

2 2

2

3、 (2012.6 大兴 8)如图,点 P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 上的一个动点,过 点 P 垂直于 AC 的直线交菱形 ABCD 的边于 M、N 两点.设 AC=2,BD=1,AP =x,△CMN 的面积为 y,则 y 关于 x 的函数图象大致形状是

3

a b2 a 2b 3 a 3b 4 a 4b 5 1、 (2012.6 门头沟 12).一组按规律排列的式子: ,? , ,? ,?,其中第 2 8 4 16
6 个式子是 ,第 n 个式子是 ( n 为正整数) .

1、 (2012.6 延庆 17)已知:如图,在四边形 ABCD 中, ?C ? 60? ,

D A B C

?DAB ? 135 , BC ? 8 , AB ? 2 6
?

求 DC 的长.

2、 (2013.6 东城 12).如图,∠ ACD 是△ ABC 的外角, ?ABC 的平分线 与 ?ACD 的平分线交于点 A1 , ?A1 BC 的平分线与 的平分线交于点 A2 ,?, ?An ?1BC 的平分 ?ACD 1 线与 ?An ?1CD 的平分线交于点 An . 设 ?A ? ? , 则 ?A1 = ; ?An =

2、 (2012.6 平谷 19)已知:如图,在四边形 ABCD 中,∠A=150°
∠D=90°,AD=4,AB=6,CD= 4 3 .求四边形 ABCD 的周长.
A

D

B

C

3、 (2013.6 丰台 19)如图,四边形 ABCD 中, CD= 2 , ?BCD ? 90? , ?B ? 60? ,

3、 (2012.6 丰台 12)符号“ f ”表示一种运算,它对一些数的运算如下:

?ACB ? 45? , ?CAD ? 30? ,求 AB 的长.

A D

f (1) ? 1 ?

2 2 2 2 , f (2) ? 1 ? , f (3) ? 1 ? , f (4) ? 1 ? ,…, 1 2 3 4
(n 为正整数) ; B

利用以上运算的规律写出 f (n) ?

C

f (1) f (2) f (3) ??? f (100) ?
4、 (2011.6 西城 12)对于每个正整数 n,抛物线 y ? x 2 ? 若 An Bn 表 示 这 两 点 间 的距 离 , 则 An Bn =
2n ? 1


x?
1 n ( n ? 1)

4、(2013.6 西城 22)如图,四边形 ABCD 中,∠BAD=135°,∠BCD=90°,AB=BC=2, 与 x 轴交于 An,Bn 两点, tan∠BDC= 6 . 3

n ( n ? 1)

(用含 n 的代数式表示) ; .

(1) 求 BD 的长; (2) 求 AD 的长.

A1 B1? A2 B2?

? A2 0 1 B 1 的值为 2011

5、 (2012.6 西城 12)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A1 , A2 , A3 ,… 都在 y 轴上,对应的纵坐标分别为 1,2,3,….直线 l1 ,

l2 , l3 ,…分别经过点 A1 , A2 , A3 ,…,且都平行于 x
轴.以点 O 为圆心,半径为 2 的圆与直线 l1 在第一象限 交于点 B1 ,以点 O 为圆心,半径为 3 的圆与直线 l2 在第 一象限交于点 B2 ,…,依此规律得到一系列点 Bn (n 为 正整数) ,则点 B1 的坐标为 ,点 Bn 的坐标为 . 4

1、 (2013.6 朝阳 15)如图,为了测量楼 AB 的高度,小明在点 C 处测得楼 AB 的顶端 A 的仰角为 30? ,又向前走了 20 米后到达点 D,点 B、D、C 在同 一条直线上,并在点 D 测得楼 AB 的顶端 A 的仰角为 60? ,求楼 AB 的高.

1、(2013.6 西城 22)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P ( x, y ) 经过变换 ? 得到点 P?( x?, y?) ,该变换记
? x ? ? ax ? by, ( a, b 为 常 数 ) . 例 如 , 当 a ? 1 , 且 b ? 1 时 , 作 ? ( x, y ) ? ( x ?, y ?) , 其 中 ? ? y ? ? ax ? by

? (?2,3) ? (1,?5) .
2、 (2012.6 通州 19)已知相邻的两根电线杆 AB 与 CD 高度相同,且相距 BC=50m.小王为测量电 线杆的高度,在两根电线杆之间某一处 E 架起测角仪,如图所示,分别测得两根电线杆顶端的仰角 为 45° 、23° ,已知测角仪 EF 高 1.5m,请你帮他算出电线杆的高度. (精确到 0.1m,参考数据: sin23°≈0.39,cos23°≈0.92,tan23°≈0.43) 显示解析 (1) 当 a ? 1 ,且 b ? ?2 时, ? (0,1) = (2) 若 ? (1, 2) ? (0, ?2) ,则 a = 重合,求 a 和 b 的值. 2、 (2013.6 丰台 22)操作探究: 一动点沿着数轴向右平移 5 个单位,再向左平移 2 个单位,相当于向右平移 3 个单位.用 实数加法表示为 5+( ?2 )=3. 若平面直角坐标系 xOy 中的点作如下平移:沿 x 轴方向平移的数量为 a(向右为正,向左 为负,平移 a 个单位) ,沿 y 轴方向平移的数量为 b(向上为正,向下为负,平移 b 个单位) , 3、 (2012.6 朝阳 21)如图,港口 B 在港口 A 的东北方向,上午 9 时,一艘轮船从港口 A 出发,以 16 海里/时的速度向正东方向航行,同时一艘快艇从港口 B 出发也向正东方向航行.上午 11 时 轮船到达 C 处,同时快艇到达 D 处,测得 D 处在 C 处的北偏东 60°的方向上,且 C、D 两地 相距 80 海里, 求快艇每小时航行多少海里? (结果精确到 0.1 海里/时, 参考数据: 2 ? 1.414, B D 3 ? 1.732 , 5 ? 2.236)
北 45°
60°

; ,b = ;

(3) 设点 P ( x, y ) 是直线 y ? 2 x 上的任意一点, 点 P 经过变换 ? 得到点 P?( x?, y?) .若点 P 与点 P?

则把有序数对{a,b}叫做这一平移的“平移量” .规定“平移量”{a,b}与“平移量”{c,d} 的加法运算法则为 {a,b} ? {c,d } ? {a ? c,b ? d } . (1)计算:{3,1}+{1,2}; (2)若一动点从点 A(1,1)出发,先按照“平移量”{2,1}平移到点 B,再按照“平移量” {-1,2}平移到点 C;最后按照“平移量”{-2,-1}平移到点 D,在图中画出四边形 ABCD, 并直接写出点 D 的坐标;

A

C



(3)将(2)中的四边形 ABCD 以点 A 为中心,顺时针旋转 90°,点 B 旋转到点 E,连结 AE、 BE 若动点 P 从点 A 出发,沿△AEB 的三边 AE、EB、BA 平移一周. 请用“平移量”加法 y 算式表示动点 P 的平移过程.

4、(2012.6 西城 19)如图,某天然气公司的主输气管道途经 A 小区,继续 沿 A 小区的北偏东 60?方 向往前铺设,测绘员在 A 处测得另一个需要安装天然气的 M 小区位于北偏东 30?方向,测绘员从

A 处出发,沿主输气管道 步行 2000 米到达 C 处,此时测得 M 小区位于北偏
西 60?方向.现要在主输气管道 AC 上选择一个支管道连接点 N,使从 N 处 到 M 小区铺设的管道最短. (1)问:MN 与 AC 满足什么位置关系时,从 N 到 M 小区 铺设的管道最短? (2)求∠AMC 的度数和 AN 的长. 5
1 O

1

x

3、 (2011.6 西城 22) 如图 1, 若将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 180°得到△COD, 则△AOB≌△COD. 此 时,我们称△AOB 与△COD 为“8 字全等型” .借助“8 字全等型”我们可以解决一些图形的 分割与拼接问题.例如:图 2 中,△ABC 是锐角三角形且 AC>AB, E 为 AC 的中点,F 为 BC 上一点且 BF≠FC(F 不与 B,C 重合) ,沿 EF 将其剪开,得到的两块图形恰能拼成一个梯形.

小华是这样思考的:要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然 后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短” ,就可以 求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过旋转可以解决这 个问题.他的做法是,如图 2,将△APC 绕点 C 顺时针旋转 60? ,得到△EDC,连接 PD、BE,则 BE 的长即为所求. (1)请你写出图 2 中,PA+PB+PC 的最小值为 (2)参考小华的思考问题的方法,解决下列问题: ;

请分别按下列要求用直线将图 2 中的△ABC 重新进行分割,画出分割线及拼接后的图形. (1)在图 3 中将△ABC 沿分割线剪开,使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形; (2)在图 4 中将△ABC 沿分割线剪开,使得到的三块图形恰能拼成一个矩形,且其中的两块 为直角三角形; (3)在图 5 中将△ABC 沿分割线剪开,使得到的三块图形恰能拼成一个矩形,且其中 的一 块为钝角三角形.

①如图 3,菱形 ABCD 中,∠ABC=60? ,在菱形 ABCD 内部有一点 P,请在图 3 中画出并 指明长度等于 PA+PB+PC 最小值的线段(保留画图痕迹,画出一条即可) ;②若①中菱形 ABCD 的边长为 4,请直接写出当 PA+PB+PC 值最小时 PB 的长.

5、 (2012.6 燕山 22) 在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一个角度α (α <360° )后,能与 自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,α 为这个旋转对称图形的一个旋转角. 例如,正方 形绕着它的对角线交点旋转 90° 、180° 、270° 都能与自身重合,所以正方形是旋转对称图形,90° 、 180° 、270° 都可以是这个旋转对称图形的一个旋转角.请依据上述规定解答下列问题: (1)判断下列命题的真假: ① 等腰梯形是旋转对称图形. ② 平行四边形是旋转对称图形. (2)下列图形中,是旋转对称图形,且有一个旋转角是 120° 的是__________(写出所有正确结论 前的序号). ①等边三角形 ②有一个角是 60° 的菱形 ③正六边形 ④正八边形
(3)正五边形显然满足下面两个条件: ① 是旋转对称图形,且有一个旋转角是 72° . ② 是轴对称图形,但不是中心对称图形. 思考:还有什么图形也同时满足上述两个条件?请说出一种. 6、 (2012.6 东城 22)阅读并回答问题:
2 小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学.一天他在解方程 x ? ?1 时,突发奇想:

4、 (2013.6 朝阳 22)阅读下列材料: 小华遇到这样一个问题,如图 1, △ABC 中,∠ACB=30? ,BC=6,AC=5,在△ABC 内部有一点 P,连接 PA、PB、PC,求 PA+PB+PC 的最小值.

E

A

A

D

A

D

x2 ? ?1 在实数范围内无解,如果存在一个数 i,使 i 2 ? ?1 ,那么当 x2 ? ?1 时,有 x ? ? i,从
2 而 x ? ? i 是方程 x ? ?1 的两个根.

P B
图1

C B

P
图2

C

B
图3

C

6

据此可知:(1) i 可以运算,例如:i3=i2· i=-1× i=-i,则 i4= i
2012

, i2011=______________,

D (2,0) 时,若△BDF 的面积为 1,且 CF∥AD,求 k1 的值,并直接写出线段 CF 的长.
5、 (2013.6 东城 23.)已知:关于 x 的一元二次方程 (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 (m 为实数).

=__________________; (根用 i 表示) .

(2)方程 x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的两根为 1、 (2012.6 朝阳 22)已知二次函数 y ? x2 ? 2x ? c .

(1)若方程有两个不相等的实数根,求 m 的取值范围; (2)求证:抛物线 y ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? 1 总过 x 轴上的一个定点; (3) 若 m 是整数, 且关于 x 的一元二次方程 (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 有两个不相等的整数根时, 把抛物线 y ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? 1 向右平移 3 个单位长度,求平移后的解析式.

(1)当 c=-3 时,求出该二次函数的图象与 x 轴的交点坐标; (2)若-2<x<1 时,该二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点,求 c 的取值范围. 2、 (2013.6 朝阳)23.已知关于 x 的一元二次方程 x2?(4?m)x?1?m = 0. (1)求证:无论 m 取何值,此方程总有两个不相等的实数根; (2)此方程有一个根是?3,在平面直角坐标系 xOy 中,将抛物线 y?x2?(4?m)x?1?m 向右平移 3 个单位,得到一个新的抛物线,当直线 y?x?b 与这个新抛物线有且只有一个 公共点时,求 b 的值.
y

- 2m ? 2)x ? m - 1 ? 0 6、 (2012.6 延庆 23)已知:关于 x 的一元二次方程 mx2 (
(1)若此方程有实根,求 m 的取值范围; (2)在(1)的条件下,且 m 取最小的整数,求此时方程的两个根; (3)在(2)的前提下,二次函数 y ? mx ( - 2m ? 2)x ? m - 1 与 x 轴有两个交点,连接这两点间的线段,
2

3、 (2013.6 丰台 23)已知关于 x 的方程 x ? (m ? 2) x ? m ? 3 ? 0 .
2

(1)求证:此方程总有两个实数根; (2) 设抛物线 y ? x2 ? (m ? 2) x ? m ? 3 与 y 轴交于点 M, 若抛物线与 x 轴的一个交点关于直线 y=-x 1 x
O

的对称点恰好是点 M,求 m 的值.

并以这条线段为直径在 x 轴的上方作半圆 P,设直线 l 的解析式为 y=x+b,若直线 l 与半圆 P 只有两 个交点时,求出 b 的取值范围. 7、 (2012.6 门头沟 23) 已知抛物线 y=ax2+x+2. (1)当 a=-1 时,求此抛物线的顶点坐标和对称轴; (2)若代数式-x2+x+2 的值为正整数,求 x 的值;

(备图)

(3)若 a 是负数时,当 a=a1 时,抛物线 y=ax2+x+2 与 x 轴的正半轴相交于点 M(m,0);当 a=a2 时,抛物线 y=ax2+x+2 与 x 轴的正半轴相交于点 N(n,0). 若点 M 在点 N 的左边,试比较 a1 与 a2
y

4、 (2012.6 西城 23) 在平面直角坐标系 xOy 中,A 为第一象限内的双曲线 y ?

k1 ( k1 ? 0 )上一点, x k 点 A 的横坐标为 1,过点 A 作平行于 y 轴的直线,与 x 轴交于点 B,与双曲线 y ? 2 ( k 2 ? 0 ) x
交于点 C . x 轴上一点 D ( m,0) 位于直线 AC 右侧,AD 的中点为 E.

的大小.

4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x

(1)当 m=4 时,求△ACD 的面积(用含 k1 , k 2 的代数式表示) ; (2)若点 E 恰好在双曲线 y ?

k1 ( k1 ? 0 )上,求 m 的值; x

(3)设线段 EB 的延长线与 y 轴的负半轴交于点 F,当点 D 的坐标为

7

1、(2012.6 延庆 24)(1)如图 1:在△ABC 中,AB=AC,当∠ABD=∠ACD=60°时,猜想 AB 与 BD+CD 数量关系,请直接写出结果 ; (2)如图 2:在△ABC 中,AB=AC,当∠ABD=∠ACD=45°时,猜想 AB 与 BD+CD 数量关系 并证明你的结论; (3)如图 3:在△ABC 中,AB=AC,当∠ABD=∠ACD= ? (20°≤ ? ≤70°)时,直接写 出 AB 与 BD+CD 数量关系(用含 ? 的式子表示)。

3、(2013.6 西城 24)在△ABC 中,AB=AC,AD,CE 分别平分∠BAC 和∠ACB,且 AD 与 CE 交于点 M.点

N 在射线 AD 上,且 NA=NC.过点 N 作 NF⊥CE 于点 G,且与 AC 交于点 F,再过点 F 作 FH∥CE,
且与 AB 交于点 H. (1) 如图 1,当∠BAC=60°时,点 M,N,G 重合. ①请根据题目要求在图 1 中补全图形; ②连结 EF,HM,则 EF 与 HM 的数量关系是__________; (2) 如图 2,当∠BAC=120°时,求证:AF=EH; (3) 当∠BAC=36°时,我们称△ABC 为“黄金三角形” ,此时
BC AC ? 5 ?1 2

.若 EH=4,

A

A

A

直接写出 GM 的长.

B D C
图1

B D C
图2

B D C
图3

图1

图2

备用图

2、 (2012.6 石景山 24)在△ ABC 中, AB ? AC , D 是底边 BC 上一点, E 是线段 AD 上一点,且 ∠ BED ? 2?CED ? ?BAC . (1) 如图 1,若∠ BAC ? 90? ,猜想 DB 与 DC 的数量关系为 ; (2) 如图 2,若∠ BAC ? 60? ,猜想 DB 与 DC 的数量关系,并证明你的结论; (3)若∠ BAC ? ? ? ,请直接写出 DB 与 DC 的数量关系. A A

4、 (2014.6 丰台 24)在 Rt△ABC 中,AB=BC,∠B=90° ,将一块等腰直角三角板的直角顶点 O 放在 斜边 AC 上,将三角板绕点 O 旋转. (1)当点 O 为 AC 中点时, ①如图 1, 三角板的两直角边分别交 AB,BC 于 E、F 两点,连接 EF,猜想线段 AE、CF 与 EF 之间存在的等量关系(无需证明) ; ②如图 2, 三角板的两直角边分别交 AB,BC 延长线于 E、F 两点,连接 EF,判断①中的猜 想是否成立.若成立,请证明;若不成立,请说明理由;

E B
图1

E

D

C

B

D
图2

C

(2)当点 O 不是 AC 中点时,如图 3,,三角板的两直角边分别交 AB,BC 于 E、F 两点,若 AO ? 1 ,
AC 4

求 OE 的值.
OF

A

A

A E O

8

E

O

O

B

F

C

B

C

F

B

F

C

G F B C
B

F C

图2

图3

1、 (2013.6 朝阳 25) 在□ABCD 中,E 是 AD 上一点,AE=AB,过点 E 作直线 EF,在 EF 上取一 点 G,使得∠EGB=∠EAB,连接 AG. (1)如图 1,当 EF 与 AB 相交时,若∠EAB=60°,求证:EG =AG+BG; (2)如图 2,当 EF 与 AB 相交时,若∠EAB= α(0? ﹤α﹤90? ) ,请你直接写出线段 EG、AG、 BG 之间的数量关系(用含 α 的式子表示) ; (3)如图 3,当 EF 与 CD 相交时,且∠EAB=90°,请你写出线段 EG、AG、BG 之间的数量关 系,并证明你的结论.
A G F B
F C

3、 (2013.6 朝阳 24. )如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y? ax2?bx?4 与 x 轴交于点 A(?2, 0)、 B(6,0),与 y 轴交于点 C,直线 CD∥x 轴,且与抛物线交于点 D,P 是抛物线上一动点. (1)求抛物线的解析式; (2)过点 P 作 PQ⊥CD 于点 Q,将△CPQ 绕点 C 顺时针旋转,旋转角为 α(0? ﹤α﹤90? ) ,当
D

E

D
G

A

E

D

A

E G

cosα=

3 ,且旋转后点 P 的对应点 P' 恰好落在 x 轴上时,求点 P 的坐标. 5
y y D B A C D B

F

C A

图1

B

图2

C

B

C

图3

O

x

O

x

2、 (2013.6 东城 24 )在矩形 ABCD 中, AB ? 4 , BC ? 3 , E 是 AB 边上一点, EF ? CE 交 AD 于 点 F ,过点 E 作 ?AEH ? ?BEC ,交射线 FD 于点 H ,交射线 CD 于点 N . (1)如图 1,当点 H 与点 F 重合时,求 BE 的长; (2)如图 2,当点 H 在线段 FD 上时,设 BE ? x , DN ? y ,求 y 与 x 之间的函数关系式,并 写出自变量 x 的取值范围;

备用图

4、 (2012.6 大兴 24) .已知二次函数 y=ax2+bx+2,它的图像经过点(1,2) . (1)如果用含 a 的代数式表示 b,那么 b= ; (2)如图所示,如果该图像与 x 轴的一个交点为(-1,0) .
①求二次函数的解析式; ②在平面直角坐标系中,如果点 P 到 x 轴的距离与点 P 到 y 轴的距离相等,则称点 P 为等距点.求 出这个二次函数图像上所有等距点的坐标. (3)当 a 取 a1,a2 时,二次函数图像与 x 轴正半轴分别交于点 M(m,0) ,点 N(n,0) .如果点 N 在点 M 的右边,且点 M 和点 N 都在点(1,0)的右边. 试比较 a1 和 a2 的大小,并说明理由.

(3)连结 AC ,当以点 E,F,H 为顶点的三角形与△AEC 相似时,求线段 DN 的长.

9

6、(2013.6 东城)25.定义:P,Q 分别是两条线段 a 和 b 上任意一点,线段 PQ 长度的最小值叫做 线段 a 与线段 b 的距离. 已知 O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐标系中的四 点. (1)根据上述定义,当 m=2,n=2 时,如图 1,线段 BC 与线段 OA 的距离是_____; 当 m=5,n=2 时,如图 2,线段 BC 与线段 OA 的距离是______ .

(2)如图 3,若点 B 落在圆心为 A,半径为 2 的圆上,求线段 BC 与线段 OA 的距离 d.

(3)当 m 的值变化时,动线段 BC 与线段 OA 的距离始终为 2, 若线段 BC 的中点为 M, 直接写出点 M 随线段 BC 运动所形成的图形的周长 .

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