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2006理科汇编——函数与导数(已整理)


(2006 重庆理 9)如图所示, 单位圆中弧 ? AB 的长为 x , f ( x) 表示弧 AB 与弦 AB 所围 成的弓形面积的 2 倍,则函数 y ? f ( x) 的图象是( )

【答案】选 D (2006 重庆理 21)(本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f ( f ( x) ? x 2 ? x) ? f (

x) ? x 2 ? x . (Ⅰ)若 f (2) ? 3 , 求 f (1) ; 又若 f (0) ? a, 求f (a) ; (Ⅱ)设有且仅有一个实数 x0 , 使得 f ( x0 ) ? x0 ,求函数 f ( x) 的解析表达式. (21) (本小题 12 分) 解: (Ⅰ)因为对任意 x ? R, 有f ( f ( x) ? x ? x) ? f ( x) ? x ? x ,所以
2 2

f ( f (2) ? 2 2 ? 2) ? f (2) ? 2 2 ? 2.
又由 f (2) ? 3 ,得 f (3 ? 2 ? 2) ? 3 ? 2 ? 2, 即f (1) ? 1.
2 2

若 f (0) ? a, 即f (a ?0 ?0) ? a ?0 ?0, 即f (a) ? a.
2 2

(Ⅱ)因为对任意 x ? R, 有f ( f ( x) ? x ? x) ? f ( x) ? x ? x ,
2 2

又因为有且只有一个实数 x0 , 使得f ( x0 ) ? x0 , 所以对任意 x ? R, 有f ( x) ? x 2 ? x ? x0 , , 在上式中令 x ? x0 , 有f ( x0 ) ? x0 ? x0 ? x0 , 又因为 f ( x0 ) ? x0 , 所以x0 ? x0 ? 0, 故x0 ? 0或x0 ? 1.
2 2

若 x0 ? 0, 则 f ( x) ? x 2 ? x ? 0 ,即

f ( x) ? x 2 ? x.

但方程 x 2 ? x ? x0 有两个不同实根,与题设条件矛盾,故 x0 ? 0. 若 x0 =1, 则有 f ( x) ? x 2 ? x ? 1. 即f ( x) ? x 2 ? x ? 1. 易验证该函数满足题设条件. 综上,所求函数为 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 (2006 浙江理 12)

( x ? R)

对 a, b ? R ,记 max{a, b} ? ? 最小值是________________。. 【答案】填

?a, a ? b, ,函数 f ( x) ? max{| x ?1|,| x ? 2 |}( x ? R) 的 ?b, a ? b

3 2

(2006 浙江理 16)设 f ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,且 f (0) ? 0 , f (1) ? 0 ,求证:

(Ⅰ) a ? 0 且 ?2 ?

a ? ?1 ; b

(Ⅱ)方程 f ( x) ? 0 在 (0,1) 内有两个实根。 (16)本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。满分 14 分。 证明: (Ⅰ)因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0 ,所以 c ? 0,3a ? 2b ? c ? 0 . 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 b ,得 a ? c ? 0 ; 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 c ,得 a ? b ? 0 , 2a ? b ? 0 . 故 ?2 ?

b ? ?1 . a
2

b 3ac ? b 2 , ), (Ⅱ)抛物线 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c 的顶点坐标为 (? 3a 3a
在 ?2 ?

b 1 1 b 2 ? ?1 的两边乘以 ? ,得 ? ? ? . a 3 3 3a 3

又因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0, 而 f (? 所以方程 f ( x) ? 0 在区间 (0, ?

b a 2 ? c 2 ? ac )?? ? 0, 3a 3a

b b ) 与 ( ? ,1) 内分别有一实根。 3a 3a

故方程 f ( x) ? 0 在 (0,1) 内有两个实根.

(2006 天津理 9)函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图 所示,则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4 个 【答案】选 B )

y

y ? f ?( x)

b

a

O

x

(2006 天津理 10)已知函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象关于 直线 y ? x 对称,记 g ( x) ? f ( x)[ f ( x) ? 2 f (2) ? 1] ,若 y ? g ( x) 在区间 [ , 2 ] 上是增函 数,则实数 a 的取值范围是( A. [2,??) ) C. [ ,1)

1 2

B. (0,1) ? (1,2)

1 2

D. (0, ]

1 2

【答案】选 D,复合函数单调性 (2006 天津理 20)20、 (本题满分 12 分)
3 2 已知函数 f ? x ? ? 4 x ? 3 x cos ? ?

3 cos ? ,其中 x ? R,? 为参数,且 0 ? ? ? 2? . 16

(1)当时 cos ? ? 0 ,判断函数 f ?x ? 是否有极值; (2)要使函数 f ?x ? 的极小值大于零,求参数 ? 的取值范围; (3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 ? ,函数 f ?x ? 在区间 ?2a ? 1, a ? 内都是增 函数,求实数 a 的取值范围.
3 20. (1)解:当 cos ? ? 0 时, f ( x) ? 4x ,则 f ( x) 在( ? ?,?? )内是增函数,故无极 值。

(2)解: f ?( x) ? 12x 2 ? 6x cos? ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0, x 2 ?

cos ? 2

由(1) ,只需分下面两种情况讨论 ① 当 cos ? ? 0 时,随 x 的变化, f ?( x) 的符号及 f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

(??,0)
+ ↗

0 0 极大值

(0,

cos ? ) 2
- ↘

cos ? 2
0 极小值

(

cos ? ,?? ) 2
+ ↗

因此,函数 f ( x) 在 x ?

cos ? cos ? cos ? 1 3 )且 f( ) ? ? cos 3 ? ? cos ? 处取得极小值 f ( 2 2 2 4 16

cos ? 1 3 3 ) ? 0 ,必有 ? cos ? (cos 2 ? ? ) ? 0 ,可得 0 ? cos? ? 2 4 4 2 ? ? 3? 11? ?? ? 由于 0 ? ? ? 2? ,故 ? ? ? 或 6 2 2 6 ② 当 cos ? ? 0 时,随 x 的变化, f ?( x) 的符号及 f ( x) 的变化情况如下表: cos ? cos ? cos ? (0,??) (?? , ) ( ,0) 0 x 2 2 2 f ?( x) + 0 0 + - f ( x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 3 cos ? 因此,函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值 f (0) ,且 f (0) ? 16 若 f (0) ? 0 ,则 cos ? ? 0 ,矛盾,所以当 cos ? ? 0 时, f ( x) 的极小值不会大于零 综 上 , 要 使 函 数 f ( x) 在 (??,??) 内 的 极 小 值 大 于 零 , 参 数 ? 的 取 值 范 围 为 ? ? 3? 11? ( , )?( , ) 6 2 2 6 cos ? ,?? ) 内都是增函数 (3)解:由(2)知,函数 f ( x) 在区间 (??,0) 与 ( 2 由题设,函数 f ( x) 在 (2a ? 1, a) 内是增函数,则 a 须满足不等式组
要使 f (

?2a ? 1 ? a ?2a ? 1 ? a ? 或? ? 1 2a ? 1 ? cos? ?a ? 0 ? 2 ? ? ? 3? 11? 3 , ) 时, 0 ? cos? ? 由(2) ,参数 ? ? ( , ) ? ( ,要使不等式 6 2 2 6 2 1 3 4? 3 2a ? 1 ? cos ? 关于参数 ? 恒成立,必有 2a ? 1 ? ,即 ?a 2 4 8 4? 3 4? 3 综上,解得 a ? 0 或 ? a ? 1 ,所以 a 的取值范围是 (??,0] ? [ ,1) 8 8
(2006 四川理 22) (22) (本大题满分 14 分)
2 已知函数 f ? x ? ? x ?

2 ? a ln x x

? x ? 0 ? , f ? x ? 的导函数是 f ? ? x ? ,对任意两个

不相等的正数 x1 , x2 ,证明: (Ⅰ)当 a ? 0 时,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x ?x ? f( 1 2) 2 2

(Ⅱ)当 a ? 4 时, f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? x1 ? x2 本小题主要考查导数的基本性质和应用, 函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、 推 理论证的能力,满分 14 分。
2 证明: (Ⅰ)由 f ? x ? ? x ?

2 ? a ln x x



f ? x1 ? ? f ? x2 ? 1 2 ?1 1? a ? ? x1 ? x2 2 ? ? ? ? ? ? ? ln x1 ? ln x2 ? 2 2 ? x1 x2 ? 2
? x ?x 1 2 x1 ? x2 2 ? ? 1 2 ? a ln x1 x2 ? 2 x1 x2
2

x ?x 4 ?x ?x ? ?x ?x ? f ? 1 2 ??? 1 2 ? ? ? a ln 1 2 2 ? 2 ? ? 2 ? x1 ? x2

2 x1 ? x2 ? 1 2 1 2 2 ? ?? x1 ? x22 ? ? ? x ? x ? 2 x x ? ? ? 1 2 1 2 ? ? ? ? 2 4 ? 2 ? 2



又 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2
2 2

?

2

? ? 2x x

1 2

? 4 x1 x2



x1 ? x2 4 ? x1 x2 x1 ? x2
x1 ? x2 2



∵ x1 x2 ? ∵a ? 0

∴ ln

x1 x2 ? ln
x1 ? x2 2

x1 ? x2 2


∴ a ln x1 x2 ? a ln

由①、②、③得

x ?x 1 2 4 ?x ?x ? x1 ? x2 2 ? ? 1 2 ? a ln x1 x2 ? ? 1 2 ? ? ? a ln x1 x2 ? 2 x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2


2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?x ?x ? ? f? 1 2? 2 ? 2 ?

2 (Ⅱ)证法一:由 f ? x ? ? x ?

2 2 a ? a ln x ,得 f ' ? x ? ? 2 x ? 2 ? x x x

? ? ? ? ∴ f ' ? x1 ? ? f ' ? x2 ? ? ? 2 x1 ? 22 ? a ? ? ? 2 x2 ? 22 ? a ? x1 x1 ? ? x2 x2 ? ?

? x1 ? x2 ? 2 ?

2 ? x1 ? x2 ? a ? 2 2 x1 x2 x1 x2

f ' ? x1 ? ? f ' ? x2 ? ? x1 ? x2 ? 2 ?

2 ? x1 ? x2 ? a ? ?1 2 2 x1 x2 x1 x2

下面证明对任意两个不相等的正数 x1 , x2 ,有 2 ?

2 ? x1 ? x2 ? a ? ? 1 恒成立 2 2 x1 x2 x1 x2

即证 a ? x1 x2 ?

2 ? x1 ? x2 ? 成立 x1 x2

∵ x1 x2 ? 设t ?

2 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 x2 ? x1 x2 x1 x2

x1 x2 , u ? x ? ? t 2 ?
'

4 4 ? t ? 0 ? ,则 u ' ? x ? ? 2t ? 2 t t
3

令 u ? x? ? 0 得 t ?

2 ,列表如下:
3

t
u' ?t ?
u ?t ?

? 0, 2 ?
3

2

?

3

2, ??

?

_

0
极小值 3 3 4 ∴ x1 x2 ?

?
?

?

u ? t ? ? 3 3 4 ? 3 108 ? 4 ? a

2 ? x1 ? x2 ? ?a x1 x2

' ' ∴对任意两个不相等的正数 x1 , x2 ,恒有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 ? x2

2 证法二:由 f ? x ? ? x ?

2 2 a ? a ln x ,得 f ' ? x ? ? 2 x ? 2 ? x x x

? ? ? ? ∴ f ' ? x1 ? ? f ' ? x2 ? ? ? 2 x1 ? 2 ? a ? ? ? 2 x2 ? 2 ? a ? 2 2 x1 x1 ? ? x2 x2 ? ?

? x1 ? x2 ? 2 ?
x1 , x2 是两个不相等的正数
∴2?

2 ? x1 ? x2 ? a ? 2 2 x1 x2 x1 x2

2 ? x1 ? x2 ? x x
2 2 1 2

?

a ? 2? x1 x2

?

4 x1 x2

?

3

?

a ? 2? x1 x2

?

4 x1 x2

?

3

?

4 x1 x2

设t ?

1 3 2 , u ?t ? ? 2 ? 4t ? 4t ?t ? 0? x1 x2
'

则 u ?t ? ? 4t ? 3t ? 2? ,列表:

t
u' ?t ?
u ?t ?

? 2? ? 0, ? ? 3?
_

2 3

?2 ? ? , ?? ? ?3 ?

0
极小值

?
38 27
?

?

∴u ?

38 ?1 27

即 2?

2 ? x1 ? x2 ? a ? ?1 2 2 x1 x2 x1 x2
2 ? x1 ? x2 ? a ? ? x1 ? x2 2 2 x1 x2 x1 x2

∴ f ' ? x1 ? ? f ' ? x2 ? ?? x1 ? x2 ? 2 ?

' ' 即对任意两个不相等的正数 x1 , x2 ,恒有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 ? x2

(2006 上海理 12)三个同学对问题“关于 x 的不等式 x2 ? 25? | x3 ? 5x2 |? ax 在 [1,12] 上 恒成立,求实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路: 甲说: “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” . 乙说: “把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值” . 丙说: “把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图像” . 参考上述解题思路, 你认为他们所讨论的问题的正确结论, 即 a 的取值范围是 。 【答案】 a ? 10 (2006 上海理 22)22. (本题满分 18 分) 已知函数 y ? x ?

a 有如下性质: 如果常数 a ? 0 , 那么该函数在 (0, a ] 上是减函数, x

在 [ a , ??) 上是增函数.

2b ( x ? 0) 的值域为 [6, ??) ,求 b 的值; x c 2 (2)研究函数 y ? x ? 2 (c ? 0) 在定义域内的单调性,并说明理由; x a a 2 (3)对函数 y ? x ? 和 y ? x ? 2 (a ? 0) 作出推广,使它们都是你所推广的函数的特 x x
(1)如果函数 y ? x ? 例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明) ,并求函数

1 1 1 F ( x) ? ( x 2 ? ) n ? ( x ? 2 ) n ( n 是正整数)在区间 [ , 2] 上的最大值和最小值(可利用 x x 2
你的研究结论) . 22.解(1) 函数 y=x+

2b (x>0)的最小值是 2 2 b ,则 2 2 b =6, ∴b=log29. x
c c c 2 ? x12 ? 2 ? ( x2 ? x12 )(1 ? 2 2 ) . 2 x2 x1 x1 ? x2

2 (2)设 0<x1<x2,y2-y1= x2 ?

c 在[ 4 c ,+∞)上是增函数; x2 c 2 当 0<x1<x2< 4 c 时 y2<y1, 函数 y= x ? 2 在(0, 4 c ]上是减函数. x c 2 又 y= x ? 2 是偶函数,于是,该函数在(-∞,- 4 c ]上是减函数, 在[- 4 c ,0)上是增函 x
2 当 4 c <x1<x2 时, y2>y1, 函数 y= x ?

数.

n (3)可以把函数推广为 y= x ? n 当 n 是奇数时,函数 y= x ?

a (常数 a>0),其中 n 是正整数. xn

a 在(0, 2 n a ]上是减函数,在[ 2 n a ,+∞) 上是增函数, xn

在(-∞,- 2 n a ]上是增函数, 在[- 2 n a ,0)上是减函数.
n 当 n 是偶数时,函数 y= x ?

a 在(0, 2 n a ]上是减函数,在[ 2 n a ,+∞) 上是增函数, n x

在(-∞,- 2 n a ]上是减函数, 在[- 2 n a ,0)上是增函数.

1 n 1 ) + ( 2 ? x) n x x 1 1 1 1 0 2n 1 2 n ?3 r n ? 2 n ?3 ) ? ? ? C n ( x 2 n ?3 r 2 n ?3 r ) ? ? ? C n (x n ? n ) = Cn ( x ? 2n ) ? Cn ( x x x x x 1 因此 F(x) 在 [ ,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数. 2 1 9 9 所以,当 x= 或 x=2 时, F(x)取得最大值( )n+( )n; 2 2 4
2 F(x)= ( x ?

当 x=1 时 F(x)取得最小值 2n+1. (2006 陕西理 10) 已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 4(0 ? a ? 3) , 若 x1 ? x2 ,x1 ? x2 ? 1 ? a ,
2

则(

) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D. f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小不能确定

A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) 【答案】选 A

(2006 山东理 6)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f (6) 的值为 ( ) (A) ?1 【答案】选 B

(B)0
19

(C)1

(D)2

(2006 全国Ⅱ理 12)函数 f ( x) ? (A)190 【答案】选 C (B)171

? | x ? n | 的最小值为(
n ?1

) (D)45 )

(C)90

(2006 辽宁理 2)设 f ( x ) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( (A) f ( x) f (? x) 是奇函数 (C) f ( x) ? f (? x) 是偶函数 【答案】选 D (B) f ( x) f (? x) 是奇函数 (D) f ( x) ? f (? x) 是偶函数

(2006 辽宁理 21) (本小题满分 12 分)

1 3 ax ? bx 2 ? cx ? d , 其中 a, b, c 是以 d 为公差的等差数列, 且a ? 0, 3 2b d ? 0 ,设 x0 为 f ( x) 的极小值点,在 [1 ? , 0] 上, f ?( x ) 在 x1 处取得最大值,在 x2 处取 a
已知函数 f ( x ) ? 得最小值,将点 (x0 , f ( x0 )),( x1, f ?( x1 )),( x2 , f ?( x2 , f ( x2 )) 依次记为 A, B, C ; (Ⅰ)求 x0 的值; (Ⅱ)若 ?ABC 有一边平行于 x 轴,且面积为 2 ? 3 ,求 a, d 的值 【解析】(I)解: ? 2b ? a ? c

? f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c ? ax2 ? (a ? c) x ? c ? ( x ? 1)(ax ? c)
令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1或x ? ?

c a

? a ? 0, d ? 0 ?0 ? a ? b ? c
? c c ? 1, ? ? ?1 a a c 当 ? ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; a
当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 所以 f(x)在 x=-1 处取得最小值即 xo ? ?1 (II) ? f ?( x) ? ax ? 2bx ? c(a ? 0)
2

? f ?( x) 的图像的开口向上,对称轴方程为 x ? ?

b a

b 2b b b ? 1 知 | (1 ? ) ? (? ) |?| 0 ? (? ) | a a a a 2b ? f ?( x) 在 [1 ? , 0] 上的最大值为 f ?(0) ? c a
由 即 x1 =0 又由

b b 2b ? 1, 知 ? ? [1 ? , 0] a a a

b d2 b b ? ? ? 当 x ? ? 时, f ( x ) 取得最小值为 f (? ) ? ? , 即x2 ? ? a a a a
1 ? f ( x0 ) ? f (?1) ? ? a 3

1 b d2 ? A(?1, ? a), B(0, c)C (? , ? ) 3 a a
由三角形 ABC 有一条边平行于 x 轴知 AC 平行于 x 轴,所以 ? a ? ? 又由三角形 ABC 的面积为 2 ? 3 得

1 3

d2 ,即a 2 =3d 2 ? (1) a

1 b a (?1 ? ) ? (c ? ) ? 2 ? 3 2 a 3

2 d2 ? 2 ? 3 ? (2) 利用 b=a+d,c=a+2d,得 d ? 3 a
联立(1)(2)可得 d ? 3, a ? 3 3 . 解法 2: ? f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c(a ? 0)

? f ?(1 ?

2b ) ? 0, f ?(0) ? c a 2b , 0] 上的最大值为 f ?(0) ? c 又 c>0 知 f ( x ) 在 [1 ? a
即: x1 =0 又由

b b 2b ? 1, 知 ? ? [1 ? , 0] a a a

b d2 b b ? 当 x ? ? 时, f ?( x ) 取得最小值为 f ?(? ) ? ? , 即x2 ? ? a a a a
1 ? f ( x0 ) ? f (?1) ? ? a 3

1 b d2 ? A(?1, ? a), B(0, c)C (? , ? ) 3 a a
由三角形 ABC 有一条边平行于 x 轴知 AC 平行于 x 轴,所以 ? a ? ? 又由三角形 ABC 的面积为 2 ? 3 得

1 3

d2 ,即a 2 =3d 2 ? (1) a

1 b a (?1 ? ) ? (c ? ) ? 2 ? 3 2 a 3

利用 b=a+d,c=a+2d,得

2 d2 d? ? 2 ? 3 ? (2) 3 a

联立(1)(2)可得 d ? 3, a ? 3 3 【点评】 本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数基础 知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力

(2006 辽宁理 22) (本小题满分 12 分) 已知 f0 ( x) ? xn , f k ( x) ?

f k??1 ( x) ,其中 k ? n(n, k ? N? ) , f k ?1 (1)

0 1 k n 设 F ( x) ? Cn f0 ( x2 ) ? Cn f1 ( x2 ) ? ... ? Cn f k ( x2 ) ? ... ? Cn f n ( x2 ) , x ???1,1? ,

(Ⅰ) 写出 f k (1) ; (Ⅱ)证明:对任意的 x1, x2 ?? ?1,1? ,恒有 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 2
n?1

(n ? 2) ? n ?1。

【解析】(I)由已知推得 fk ( x) ? (n ? k ?1) xn?k ,从而有 f k (1) ? n ? k ? 1 (II) 证法 1:当 ?1 ? x ? 1 时,
1 2( n?1) 2 2( n?2) k 2( n?k ) n?1 2 F ( x) ? x2n ? nCn x ? (n ?1)Cn x ... ? (n ? k ? 1)Cn x ? ... ? 2Cn x ?1

当 x>0 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在[0,1]上为增函数 因函数 F ( x) 为偶函数所以 F ( x) 在[-1,0]上为减函数 所以对任意的 x1, x2 ?? ?1,1? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (1) ? F (0)
0 1 2 k n ?1 F (1) ? F (0) ? Cn ? nCn ? (n ? 1)Cn ... ? (n ? k ? 1)Cn ? ... ? 2Cn n ?1 n?2 n?k 1 0 ? nCn ? (n ? 1)Cn ... ? (n ? k ? 1)Cn ? ... ? 2Cn ? Cn n?k n?k n?k ? (n ? k ? 1)Cn ? (n ? k )Cn ? Cn k k ? nCn ?1 ? Cn (k ? 1, 2,3? n ? 1) 1 2 k ?1 1 2 n ?1 0 F (1) ? F (0) ? n(Cn ?1 ? Cn ?1... ? Cn ?1 ) ? (Cn ? Cn ... ? Cn ) ? Cn

? n(2n?1 ? 1) ? 2n ? 1 ? 2n ?1 (n ? 2) ? n ? 1
因此结论成立. 证法 2: 当 ?1 ? x ? 1 时,
1 2( n?1) 2 2( n?2) k 2( n?k ) n?1 2 F ( x) ? x2n ? nCn x ? (n ?1)Cn x ... ? (n ? k ? 1)Cn x ? ... ? 2Cn x ?1

当 x>0 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在[0,1]上为增函数 因函数 F ( x) 为偶函数所以 F ( x) 在[-1,0]上为减函数 所以对任意的 x1, x2 ?? ?1,1? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (1) ? F (0)
0 1 2 k n?1 F (1) ? F (0) ? Cn ? nCn ? (n ?1)Cn ... ? (n ? k ? 1)Cn ? ... ? 2Cn 1 2 k ?1 n?1 0 又因 F (1) ? F (0) ? 2Cn ? 3Cn ? ... ? kCn ? ... ? nCn ? Cn

1 2 k ?1 n?1 0 所以 2[ F (1) ? F (0)] ? (n ? 2)[Cn ? Cn ? ... ? Cn ? ... ? Cn ] ? 2Cn

F (1) ? F (0) ? ?

n?2 1 2 k ?1 n ?1 0 [Cn ? Cn ? ... ? Cn ? ... ? Cn ] ? Cn 2

n?2 n (2 ? 2) ? 1 ? 2 n ?1 ( n ? 2) ? n ? 1 2

因此结论成立. 证法 3: 当 ?1 ? x ? 1 时,
1 2( n?1) 2 2( n?2) k 2( n?k ) n?1 2 F ( x) ? x2n ? nCn x ? (n ?1)Cn x ... ? (n ? k ? 1)Cn x ? ... ? 2Cn x ?1

当 x>0 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在[0,1]上为增函数 因函数 F ( x) 为偶函数所以 F ( x) 在[-1,0]上为减函数 所以对任意的 x1, x2 ?? ?1,1? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (1) ? F (0)
0 1 2 k n?1 F (1) ? F (0) ? Cn ? nCn ? (n ?1)Cn ... ? (n ? k ? 1)Cn ? ... ? 2Cn



1 n ?1 2 n?2 k n ?k n ?1 x[(1 ? x)n ? x n ] ? x[Cn x ? Cn x ? ...Cn x ? .. ? Cn x ? 1] 1 n 2 n ?1 k n ? k ?1 n ?1 2 ? Cn x ? Cn x ? ...Cn x ? .. ? Cn x ?x

对上式两边求导得
1 n?1 2 n ?2 k n ?k n?1 (1 ? x)n ? xn ? nx(1 ? x)n?1 ? nxn ? nCn x ? (n ?1)Cn x ? ...(n ? k ? 1)Cn x ? .. ? 2Cn x ?1

F ( x) ? (1 ? x2 )n ? nx2 (1 ? x2 )n?1 ? nx2n ? F (1) ? F (0) ? 2n ? n2n?1 ? n ?1 ? (n ? 2)2n?1 ? n ?1
因此结论成立. 【点评】本小题考查导数的基本计算 ,函数的性质,绝对值不等式及组合数性质等基础知识 , 考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力. (2006 江西理 5) 对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ? 1) f ?( x) ? 0 ,则必有( A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) 【答案】选 C (2006 江西理 12) 某地一年的气温 Q(t ) (单位:?c)与时间 t (月份)之间的关系如图(1)所示,已知 B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) )

该年的平均气温为 10?c, 令 G (t ) 表示时间段 (0, t ] 的平均气温,G (t ) 与 t 之间的函数关系用 下列图象表示,则正确的应该是( G(t) )

G(t) 10?c 10?c

G(t)

10?c t

O

6

12

O

6

12

t

O B

6

12

t

图(1)

A G(t)

G(t) 10?c 12 O 6 t t 10?c

O

6

12

C 【答案】选 A (2006 江西理 14) 设 f ( x) ? log3 ( x ? 6) 的 反 函 数 为 f
?1

D

[ f ?1 (n) ? 6] ? 27 , 则 ( x) , 若 [ f ?1 (m) ? 6]?

f (m ? n) ? _____________。
【答案】填 2 (2006 江西理 20) 设 a 为实数,设函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g (a ) 。 (Ⅰ)设 t ? 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f ( x ) 表示为 t 的函数 m(t ) ; (Ⅱ)求 g (a ) ; (Ⅲ)试求满足 g ( a ) ? g ( ) 的所有实数 a 。 20.本小题主要考查函数、方程等基本知识,考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学 知识分析问题、解决问题的能力。

1 a

t ? 1? x ? 1? x
要使有 t 意义,必须 1+x≥0 且 1-x≥0,即-1≤x≤1, ∴ t 2 ? 2 ? 2 1 ? x 2 ?[2, 4], t≥0
2 t 的取值范围是 [ 2, 2]. 由①得 1 ? x ?



1 2 t ?1 2

1 2 1 t ? 1 )+t= at 2 ? t ? a, t ? [ 2, 2] 2 2 1 2 (2)由题意知 g(a)即为函数 m(t ) ? at ? t ? a, t ? [ 2, 2] 的最大值。 2 1 1 2 注意到直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴,分以下几种情况讨论。 a 2
∴m(t)=a( 当 a>0 时,函数 y=m(t), t ?[ 2, 2] 的图象是开口向上的抛物线的一段, 由t ? ?

1 <0 知 m(t)在 [ 2, 2]. 上单调递增,∴g(a)=m(2)=a+2 a

(2)当 a=0 时,m(t)=t, t ?[ 2, 2] ,∴g(a)=2. (3)当 a<0 时,函数 y=m(t), t ?[ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段, 若t ? ?

1 2 ? [0, 2] ,即 a ? ? 则 g (a) ? m( 2) ? 2 a 2 1 1 1 2 1 ? ( 2, 2] ,即 ? ? a ? ? 则 g ( a ) ? m( ? ) ? ? a ? a a 2a 2 2 1 1 ? (2, ??) ,即 ? ? a ? 0 则 g (a) ? m(2) ? a ? 2 a 2

若t ? ? 若t ? ?

? a ? 2, ? 1 2 1 ? , ? ?a?? , 综上有 g ( a ) ? ? ? a ? 2a 2 2 ? ? 2 ? 2, a?? 2
(3)解法一: 情形 1:当 a ? ?2 时 由2?

a??

1 2

1 1 1 1 ? ? ,此时 g (a) ? 2 , g ( ) ? ? 2 a 2 a a

1 2 ,与 a<-2 矛盾。 ? 2解得a ? ?1 ? a 2
1 1 a 2 1 1 ? ? ? 时,此时 g (a) ? 2 , g ( ) ? ? ? a a 2 2 a 2

情形 2:当 ?2 ? a ? ? 2 ?

1 a 2 ? ? ? 解得, a ? ? 2 与 a ? ? 2 矛盾。 a 2
情形 3:当 ? 2 ? a ? ?

1 1 2 2 时,此时 g (a) ? 2 ? g ( ) , ? 2? ?? a a 2 2

所以 ? 2 ? a ? ?

2 , 2

情形 4:当 ?

1 1 2 1 , ? a ? ? 时, ?2 ? ? ? 2 ,此时 g (a ) ? ?a ? a 2a 2 2

1 1 2 2 g ( ) ? 2 ?a ? 矛盾。 ? 2, 解得a ? ? , 与a ? ? a 2a 2 2

1 1 1 ? a ? 0 时, ? ?2 ,此时 g(a)=a+2, g ( ) ? 2 2 a a 1 由 a ? 2 ? 2 解得 a ? 2 ? 2, 与a ? ? 矛盾。 2 1 1 1 情形 6:当 a>0 时, ? 0 ,此时 g(a)=a+2, g ( ) ? ? 2 a a a 1 由 a ? 2 ? ? 2解得a ? ?1 ,由 a>0 得 a=1. a
情形 5:当 ? 综上知,满足 g ( a ) ? g ( ) 的所有实数 a 为 ? 2 ? a ? ?

1 a

2 , 或 a=1 2


(2006 湖南理 4) “ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ?| x ? a | 在区间 [1,??) 上为增函数”的 (

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2006 湖南理 8) 设函数 f ( x) ?

x?a ,集合 M ? {x | f ( x) ? 0}, P ? {x | f ?( x) ? 0} , 若 M ? P ,则实数 x ?1
) B. (0,1) C. (1,??) D. [1,??)

a 的取值范围是(
A. (??,?1) (2006 湖北理 4) 设 f ( x) ? lg

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为( 2? x 2 x
B. (?4, ?1) ? (1, 4)

) D. (?4, ?2) ? (2, 4)

A. (?4, 0) ? (0, 4) (2006 湖北理 10)

C. (?2, ?1) ? (1, 2)

2 2 2 关于 x 的方程 ( x ? 1) ? x ? 1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题:

①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; ②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根; 其中假 命题的个数是( ) . A.0 B.1 C.2 D.3

(2006 湖北理 21) (本小题满分 14 分) 设 x ? 3 是函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? b)e3? x ( x ? R) 的一个极值点, (Ⅰ)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 f ( x ) 的单调区间;
2 (Ⅱ)设 a ? 0 , g ( x) ? (a ?

25 x )e ,若存在 ?1 , ?2 ?[0, 4] 使得 f (?1 ) ? g (?2 ) ? 1 成立, 4

求 a 的取值范围。 点评:本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决 问题的能力。 解: (Ⅰ)f `(x)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3 x, 由 f `(3)=0,得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3 3=0,即得 b=-3-2a, 则 f `(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3
-x - -

=-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3 x=-(x-3)(x+a+1)e3 x. 令 f `(x)=0,得 x1=3 或 x2=-a-1,由于 x=3 是极值点, 所以 x+a+1≠0,那么 a≠-4. 当 a<-4 时,x2>3=x1,则 在区间(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)为减函数; 在区间(3,―a―1)上,f `(x)>0,f (x)为增函数; 在区间(―a―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数。 当 a>-4 时,x2<3=x1,则 在区间(-∞,―a―1)上,f `(x)<0, f (x)为减函数; 在区间(―a―1,3)上,f `(x)>0,f (x)为增函数; 在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a>0 时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上 单调递减,那么 f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)], 而 f (0)=-(2a+3)e3<0,f (4)=(2a+13)e 1>0,f (3)=a+6,






那么 f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].
2 又 g ( x) ? (a ?

25 x )e 在区间[0,4]上是增函数, 4 25 25 , (a2+ )e4], 4 4

且它在区间[0,4]上的值域是[a2+ 由于(a2+ (a2+

25 1 1 )-(a+6)=a2-a+ =( a ? )2≥0,所以只须仅须 4 4 2

25 3 )-(a+6)<1 且 a>0,解得 0<a< . 4 2 3 ) 。 2

故 a 的取值范围是(0, (2006 广东理 7)

函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像与 y 轴交于点 P(0, 2) (如图 2 所示) ,则方程

f ( x) ? 0 在 [1, 4] 上的根是( )
A.4 B.3 C. 2 D.1

y 4 2
y ? f ?1 ( x)

?1
(2006 广东理 20)20、 (本小题满分 12 分)

O

3

x

图2

A 是由定义在 [2,4] 上且满足如下条件的函数 ? ( x) 组成的集合:①对任意 x ? [1,2] ,
都有 ? (2 x) ? (1,2) ;②存在常数 L(0 ? L ? 1) ,使得对任意的 x1 , x2 ? [1,2] ,都有 | ? (2x1 )

?? (2x2 ) |? L | x1 ? x2 |
(Ⅰ)设 ? ( x) ? 3 1 ? x , x ? [2,4] ,证明: ? ( x) ? A (Ⅱ)设 ? ( x) ? A ,如果存在 x0 ? (1,2) ,使得 x0 ? ? (2 x0 ) ,那么这样的 x0 是唯一的; (Ⅲ) 设 ? ( x) ? A ,任取 x1 ? (1, 2) ,令 xn?1 ? ? (2xn ), n ? 1, 2,...... ,证明:给定正整数 k ,

Lk ?1 | x2 ? x1 | 对任意的正整数 p ,成立不等式 | xk ? p ? xk |? 1? L
解: 对任意 x ? [1,2] , ? (2x) ? 3 1 ? 2x , x ?[1,2] , 3 3 ? ? (2 x) ? 3 5 , 1 ? 3 3 ? 3 5 ? 2 ,所以

? (2 x) ? (1,2)
对任意的 x1 , x2 ? [1,2] ,

| ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |?| x1 ? x2 |
3?
3

2
3

?1 ? 2 x1 ?2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ?

2



?1 ? 2 x1 ?2
3

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ? ,

所以 0<

2

?1 ? 2 x1 ?

3

2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ? 2

2

?

2 3

,

?1 ? 2 x1 ?2

? 3 ?1 ? 2 x1 ??1 ? x2 ? ? 3 ?1 ? x2 ?

2

=

L



0 ? L ?1



| ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 ) |? L | x1 ? x2 |
所以 ? ( x) ? A

? ? (1,2), x0 ? x0 ? 使得 x0 ? ? (2 x0 ) , x0 ? ? ? ( 2 x0 ? )则 反证法:设存在两个 x0 , x0
由 | ? (2 x0 ) ? ? (2 x0 ) |? L | x0 ? x0 | , 得 | x0 ? x0 |? L | x0 ? x0 | , 所以 L ? 1 ,
/ /

/

/

矛盾,故结论成立。

x3 ? x2 ? ?(2x2 ) ? ?(2x1 ) ? L x2 ? x1 ,所以 xn?1 ? xn ? Ln?1 x2 ? x1
| xk ? p ? xk |? ?xk ? p ? xk ? p ?1 ? ? ?xk ? p?1 ? xk ? p?2 ? ? ??xk ?1 ? xk ? ? Lk ?1 | x2 ? x1 | 1? L

? x k ? p ? x k ? p ?1 ? x k ? p ?1 ? x k ? p ? 2 ? ? x k ?1 ? x k ? Lk ? p?2 x2 ? x1 ? Lk ? p?3 x2 ? x1 +?

Lk ?1 x2 ? x1 ?

LK ?1 x 2 ? x1 1? L

(2006 福建理 21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? 8x , g ( x) ? 6ln x ? m ,
2

(Ⅰ)求 f ( x ) 在区间 [t , t ? 1] 上的最大值 h(t ) ; (Ⅱ)是否存在实数 m ,使得 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由。 (21)本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识,考查运用导数研究函数性质 的方法,考查运算能力,考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问

题、解决问题的能力。满分 12 分。 解: (I) f ( x) ? ? x2 ? 8x ? ?( x ? 4)2 ? 16. 当 t ? 1 ? 4, 即 t ? 3 时, f ( x ) 在 ?t, t ?1? 上单调递增,

h(t ) ? f (t ? 1) ? ?(t ? 1)2 ? 8(t ? 1) ? ?t 2 ? 6t ? 7;
当 t ? 4 ? t ? 1, 即 3 ? t ? 4 时, h(t ) ? f (4) ? 16; 当 t ? 4 时, f ( x ) 在 ?t, t ?1? 上单调递减,

h(t ) ? f (t ) ? ?t 2 ? 8t.
??t 2 ? 6t ? 7, t ? 3, ? 综上, h(t ) ? ?16,      3 ? t ? 4, ??t 2 ? 8t ,   t ? 4 ?
(II)函数 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点,即函数

? ( x) ? g ( x) ? f ( x) 的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
?? ( x) ? x 2 ? 8 x ? 6ln x ? m, ?? '( x) ? 2 x ? 8 ? 6 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)( x ? 3) ? ? ( x ? 0), x x x

当 x ? (0,1) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是增函数; 当 x ? (0,3) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是减函数; 当 x ? (3, ??) 时, ? '( x) ? 0, ? ( x) 是增函数; 当 x ? 1, 或 x ? 3 时, ? '( x) ? 0.

?? ( x)最大值 ? ? (1) ? m ? 7,? ( x)最小值 ? ? (3) ? m ? 6ln3 ?15.
? 当 x 充分接近 0 时, ? ( x) ? 0, 当 x 充分大时, ? ( x) ? 0. ? 要使 ? ( x) 的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须
? ?? ( x)最大值 ? m ? 7 ? 0, ? ? ?? ( x)最小值 ? m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0,
即 7 ? m ? 15 ? 6ln 3.

所以存在实数 m , 使得函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象有且只有三个不同的交点,m

的取值范围为 (7,15 ? 6ln 3). (2006 北京理 5)已知 f ( x) ? ? 值范围是( (A) (0,1) 【答案】选 C (2006 北京理 6)在下列四个函数中,满足性质“对于区间 (1, 2) 上的任意 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , ) (B) (0, )

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的增函数,那么 a 的取 ?log a x, x ? 1
(C) [ , ]

1 3

1 1 7 3

(D) [ ,1]

1 7

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 恒成立”的只有(
(A) f ( x) ?

) (C) f ( x) ? 2 (D) f ( x) ? x2

1 x

(B) f ( x) ? x

(2006 安徽理 15) 函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ? 解:由 f ? x ? 2 ? ?

1 , 若 f ?1? ? ?5 , 则 f ? f ?5?? ? ___。 f ? x?

1 1 ? f ( x) ,所以 f (5) ? f (1) ? ?5 ,则 得 f ? x ? 4? ? f ? x? f ? x ? 2? 1 1 f ? f ? 5? ? ? f (?5) ? f (?1) ? ?? 。 f (?1 ? 2) 5
已知函数 f ? x ? 在 R 上有定义,对任何实数 a ? 0 和任何实数 x ,都有 f ? ax ? ? af ? x ?

(2006 安徽理 20) (本大题满分 12 分) (Ⅰ)证明 f ? 0? ? 0 ;

? kx, x ? 0 ,其中 k 和 h 均为常数; ?hx, x ? 0 1 ? f ? x ? ( x ? 0) ,讨论 g ? x ? 在 ? 0, ??? 内的 (Ⅲ)当(Ⅱ)中的 k ? 0 时,设 g ? x ? ? f ? x?
(Ⅱ)证明 f ? x ? ? ? 单调性并求极值。 证明(Ⅰ)令 x ? 0 ,则 f ? 0? ? af ? 0? ,∵ a ? 0 ,∴ f ? 0? ? 0 。
2 (Ⅱ)①令 x ? a ,∵ a ? 0 ,∴ x ? 0 ,则 f x ? xf ? x ? 。
2 2

? ? 假设 x ? 0 时, f ( x) ? kx (k ? R) ,则 f ? x ? ? kx ,而 xf ? x ? ? x ? kx ? kx ,∴ f ? x ? ? xf ? x ? ,即 f ( x) ? kx 成立。 ②令 x ? ?a ,∵ a ? 0 ,∴ x ? 0 , f ? ? x ? ? ? xf ? x ? 假设 x ? 0 时, f ( x) ? hx (h ? R) , 则 f ? ? x ? ? ? hx , 而 ?x f x x ?? h x ? ???x ?h
2
2
2

2

2

2



2 ∴ f ? x ? ? xf ? x ? ,即 f ( x) ? hx 成立。∴ f ? x ? ? ?

?

?

? kx, x ? 0 成立。 hx , x ? 0 ?

(Ⅲ)当 x ? 0 时, g ? x ? ?

1 1 1 x2 ?1 ? f ? x ? ? ? kx , g ?( x) ? ? 2 ? k ? kx kx 2 f ? x? kx

令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 1或x ? ?1 ; 当 x ? (0,1) 时, g ?( x)<0 ,∴ g ( x) 是单调递减函数; 当 x ? [1, ??) 时, g ?( x)>0 ,∴ g ( x) 是单调递增函数; 所以当 x ? 1 时,函数 g ? x ? 在 ? 0, ??? 内取得极小值,极小值为 g (1) ?

1 ?k k


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