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高三数学第一轮复习 第15课时—指数函数与对数函数教案

时间:2012-11-23


一.课题:指数函数与对数函数
二.教学目标:1.掌握指数函数与对数函数的概念、图象和性质; 2.能利用指数函数与对数函数的性质解题. 三.教学重点:运用指数函数、对数函数的定义域、单调性解题. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.指数函数、对数函数的概念、图象和性质; 2.同底的指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? log a x 互为反函数; (二)主要方法: 1.解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域; 2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1,要注意对底数的讨论; 3.比较几个数的大小的常用方法有:①以 0 和 1 为桥梁;②利用函数的单调性;③作差. (三)例题分析: 例 1.(1)若 a ? b ? a ? 1 ,则 log b
2

b , log b a , log a b 从小到大依次为 a x y z (2) 2 ? 3 ? 5 , x ,y ,z 都是正数, 2x , , 从小到大依次为 若 且 则 3y 5z
x x

; ;

(3)设 x ? 0 ,且 a ? b ? 1( a ? 0 , b ? 0 ),则 a 与 b 的大小关系是 ( ) ( A )b ? a ?1 ( B )a ? b ?1 ( C ) 1 ? b ? a ( D )1 ? a ? b

b b ? a ,故 log b ? log b a ? 1 ? log a b . a a lg t lg t lg t x y z (2)令 2 ? 3 ? 5 ? t ,则 t ? 1 , x ? ,y? ,z ? , lg 2 lg 3 lg 5 2 lg t 3lg t lg t ? (lg 9 ? lg 8) ∴ 2x ? 3y ? ? ? ? 0 ,∴ 2 x ? 3 y ; lg 2 lg 3 lg 2 ? lg 3 同理可得: 2 x ? 5 z ? 0 ,∴ 2 x ? 5 z ,∴ 3 y ? 2 x ? 5 z . (3)取 x ? 1 ,知选( B ). x?2 x 例 2.已知函数 f ( x) ? a ? (a ? 1) , x ?1 求证:(1)函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数;(2)方程 f ( x) ? 0 没有负数根. 证明:(1)设 ?1 ? x1 ? x2 , x ?2 x ?2 x 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a 1 ? 1 ? a x2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 x ? 2 x2 ? 2 3( x1 ? x2 ) , ? a x1 ? a x2 ? 1 ? ? a x1 ? a x2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ∵ ?1 ? x1 ? x2 ,∴ x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , 3( x1 ? x2 ) ∴ ?0; ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
解:(1)由 a ? b ? a ? 1 得
2

? 0, ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数; x ?2 x ?0, (2)假设 x0 是方程 f ( x) ? 0 的负数根,且 x0 ? ?1 ,则 a 0 ? 0 x0 ? 1 2 ? x0 3 ? ( x0 ? 1) 3 x ? ? ?1, 即a 0 ? ① x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1
x x x x2

∵ ?1 ? x1 ? x2 ,且 a ? 1 ,∴ a 1 ? a 2 ,∴ a 1 ? a

用心 爱心 专心

-1-

当 ?1 ? x0 ? 0 时,0 ? x0 ? 1 ? 1 ,∴ ∴①式不成立; 当 x0 ? ?1 时, x0 ? 1 ? 0 ,∴

3 3 ? 3 ,∴ ? 1 ? 2 ,而由 a ? 1 知 a x0 ? 1 , x0 ? 1 x0 ? 1

3 3 ? 0 ,∴ ? 1 ? ?1 ,而 a x0 ? 0 , x0 ? 1 x0 ? 1

∴①式不成立. 综上所述,方程 f ( x) ? 0 没有负数根. 例 3. 已知函数 f ( x) ? log a ( a ? 1) ( a ? 0 且 a ? 1 ). (《高考 A 计划》 考点 15, 4) 例 .
x

求证:(1)函数 f ( x) 的图象在 y 轴的一侧; (2)函数 f ( x) 图象上任意两点连线的斜率都大于 0 . 证明:(1)由 a ? 1 ? 0 得: a ? 1 , ∴当 a ? 1 时, x ? 0 ,即函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,此时函数 f ( x) 的图象在 y 轴的 右侧; 当 0 ? a ? 1 时, x ? 0 ,即函数 f ( x) 的定义域为 (??, 0) ,此时函数 f ( x) 的图象在 y 轴的 左侧. ∴函数 f ( x) 的图象在 y 轴的一侧;
x x

(2)设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 是函数 f ( x) 图象上任意两点,且 x1 ? x2 , 则直线 AB 的斜率 k ?

y1 ? y2 a x1 ? 1 x x , y1 ? y2 ? log a (a 1 ? 1) ? log a ( a 2 ? 1) ? log a x , x1 ? x2 a 2 ?1
x x x x

当 a ? 1 时,由(1)知 0 ? x1 ? x2 ,∴ 1 ? a 1 ? a 2 ,∴ 0 ? a 1 ? 1 ? a 2 ? 1 ,

a x1 ? 1 ∴0 ? x ? 1 ,∴ y1 ? y2 ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,∴ k ? 0 ; a 2 ?1 x x x x 当 0 ? a ? 1 时,由(1)知 x1 ? x2 ? 0 ,∴ a 1 ? a 2 ? 1 ,∴ a 1 ? 1 ? a 2 ? 1 ? 0 , a x1 ? 1 ∴ x ? 1 ,∴ y1 ? y2 ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,∴ k ? 0 . a 2 ?1 ∴函数 f ( x) 图象上任意两点连线的斜率都大于 0 .
(四)巩固练习: 1.已知函数 f ( x) ?| lg x | ,若

1 ? a ? b ? 1 ,则 f (a ) 、 f (b) 、 f (c) 从小到大依次为 c 1 f (b) ? f (a ) ? f (c) ;(注: f ( ) ? f (c) ) c x 2.若 a 为方程 2 ? x ? 0 的解,b 为不等式 log 2 x ? 1 的解, c 为方程 log 1 x ? x 的解,则 a 、
b 、 c 从小到大依次为 a ? c ? b ;
2

3.若函数 f ( x) ? 2

? m 的图象与 x 轴有交点,则实数 m 的取值范围是 0 ? m ? 1 . 五.课后作业:《高考 A 计划》考点 15,智能训练 3,5,7,10,12,15.

?| x ?1|

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