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2013年高三数学最后必考题及答案一六


2013 年高三数学最后必考题及答案一六
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1.已知合集 U ? R ,集合 M ? { y | y ? 2|x| , x ? R}, N ? {x | x2 ? 4 ? 0, x ? R} ,则集合 M ? (

CU N ) 是( ) B. ?1, 2 ? C. (??, 2) D. ?2,???

A. (1,2)

2.从 5 位男数学教师和 4 位女数学教师中选出 3 位教师派到 3 个班担任班主任(每班 1 位班主任) , 要求这 3 位班主任中男女教师都有,则不同的选派方案共有( ) A.210 B.420 C.630 D.840 3.下列说法错误的是( ) A.命题:“已知 f ( x ) 是 R 上的增函数,若 a ? b ? 0 ,则 f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) ”的逆 否命题为真命题
2 2 B.命题 p :“存在 x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”,则 ? p :“任意 x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”

C.若 p 且 q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 D.“ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件 4.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 2a8 ? 6 ? a11 ,则 S9 =( A.54 B.45
n



C.36

D.27 )

? 1 ? 1 5.如果 ? 3x ? ? 的展开式中二项式系数之和为 128,则展开式中 3 项的系数是( 3 2 x x ? ?
A.7 B.-7 C.-21 D.21

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6.若两个非零向量 a, b 满足 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角为(
A.



? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

7.在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,各侧面均为正方形,侧面 AAC1C 的对角线相交于点 M ,则 BM 1 与平面 AAC1C 所成角的大小是( 1 A.30° B.45° C.60° ) D.90 )

8.若关于 x, y 的方程组 ? A. a ? b ? 1
2 2 2

? ax ? by ? 1 有实数解,则实数 a, b 满足( 2 2 ?x ? y ? 1
2

B. a ? b ? 1

C. a ? b ? 1
2 2

D. a ? b ? 1
2 2

9 . 将 函 数 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
3

? ) ? 3 的 图 形 按 向 量 a ? (m, n) 平 移 后 得 到 函 数 g ( x) 的 图 形 , 满 足

第1页

? ? ? g ( ? x) ? g ( ? x)和g (? x) ? g ( x) ? 0 ,则向量 a 的一个可能值是( 4 4
A. ( ?



, ?3) 6 3 6 [] 10. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且对任意 x ? R , 都有 f ( x) ? f ( x ? 4) , x? 4,6 当 6 ,3)
B. (

?

?

,3)

C. (?

?

, ?3)

D. (

?

时,f ( x) ? 2x ? 1 ,

则函数 f ( x) 在区间 [?2 , 0] 上的反函数 f ?1 ( x) 的值 f ?1 (19) ? ( A. 3 ? 2log 2 3 B. ?1 ? 2log 2 3 C. 5 ? log 2 3



D. log 2 15

11.设F为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, A, B, C 为抛物线上不同的三点,点 F 是△ABC的重心, O 为坐标原点,
2 △ OFA 、△ OFB 、△ OFC 的面积分别为 S1 、 S2 、 S3 ,则 S12 ? S2 ? S32 ? (



A.9

B.6

C.3

D.2

2 12.设 a ? 0, f ( x) ? ax ? bx ? c ,曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的倾斜角的取值

范围为 ? 0,

? ?? ,则点 P 到曲线 y ? f ( x) 对称轴距离的取值范围是( ? 4? ?
B. ?0,|



A. ?0, ? a

? 1? ? ?

? ?

b ? | 2a ? ?

C. ? 0,|

? ?

b ?1 ? | 2a ? ?

D. ?0, 2a ?

? ?

1? ?

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 3cos(

共 90 分)

?
2

? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 0 ,则 cos 2? 的值为 ___

?x ? 0 kS ? 14.设不等式组 ? y ? 0 在平面直角坐标系中所表示的区域的面积为 S ,则当 k ? 1时, k ?1 ? y ? ?k ( x ? 4) ?
的最小值为 ____ 15.棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上, E , F 分别是棱 AA1 、

DD1 的中点,则过 E , F 两点的直线被球 O 截得的线段长为____________
16.直线 l 与双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 交于 A, B 两点, M 是线段 AB 的中 点,若 l 与 a 2 b2
___

OM ( O 是原点)的斜率的乘积等于 1 ,则此双曲线的离心率为
17. (本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

............
?
6

已知函数 f ( x) ? 2 ? sin(2x ?

2 )? 2 sin x ,x ? R ,记 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边长分别为 a, b, c ,若

第2页

B f ( ) ? 1, b ? 1, c ? 3 ,求 a 的值。 2

18. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............

某市为了推动全民健身运动在全市的广泛开展,该市电视台开办了健身竞技类栏目《健身大闯关》 , 规定参赛者单人闯关,参赛者之间相互没有影响,通过关卡者即可获奖。现有甲、乙、丙 3 人参加当天的 闯关比赛,已知甲获奖的概率为

3 2 1 ,乙获奖的概率为 ,丙获奖而甲没有获奖的概率为 。 5 3 5

(Ⅰ)求三人中恰有一人获奖的概率; (Ⅱ)求三人中至少有两人获奖的概率。

19. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............

在正三角形 ABC 中, E 、 F 、 P 分别是 AB 、 AC 、 BC 边上的点,满足 AE : EB ? CF : FA

? CP : PB ? 1: 2 (如图 1).将△ AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置,使二面角 A1 ? EF ? B 成直二面角,
连结 A B 、 A P (如图 2) 1 1

A E F
B E

A1

F

B
(图 1)

P

C

P
(图 2)

C

(Ⅰ)求证: A E ⊥平面 BEP ; 1 (Ⅱ)求二面角 B ? A P ? F 的余弦值. 1 20. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............

已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,且 nan?1 ? 2Sn ,数列 {bn } 满足 bn ? 和为 Tn (其中 n ? N* ) . (Ⅰ)求 a n 和 Tn ;

1 ,数列 {bn } 的前 n 项 a2 n ?1 ? a2 n ?1

(Ⅱ)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,求实数 ? 的取值范围

第3页

21. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............

已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ( a ? 0 )是定义在 R 上的奇函数,且 x ? ?1 时,函数 f ( x) 取极值 1. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; 5 (Ⅱ)令 g ( x) ? ?mx ? m ,若 x1 , x2 ?[0, m] ( m ? 0 ) ,不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范 2 围;

22. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............

已知 F1 、 F2 分别为椭圆 C1 :

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上、下焦点,其中 F1 也是抛物线 C 2 : a2 b2
5 。 3

x 2 ? 4 y 的焦点,点 M 是 C1 与 C 2 在第二象限的交点,且 MF1 ?
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)已知点 P (1,3)和圆 O : x ? y ? b ,过点 P 的动
2 2 2

直线 l 与圆 O 相交于不同的两点 A, B ,在线段 AB 取一点 Q ,满足:

AP ? ?? PB , AQ ? ? QB ( ? ? 0 且 ? ? ?1 ) 。
求证:点 Q 总在某定直线上。

?

?

?

?

柳州铁一中 2010 级高三文科数学模拟试题(四)
一、选择题

题 号 答 案

1 B
4 5

2 B
14.

3 C
24

4 A

5 D
15. 2a

6 C

7 C
16.

8 A

9 B

10 A

11 C

12 D

二、填空题 13.

2

17. 解: f ( x) ? 2 ? ? sin 2 x cos

? ?

?
6

? cos 2 xsin

??

1 ? ? ? ?cos 2 x ? ???.2 分 6?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ???.3 分 2 2
第4页

?? ? ? cos ? 2 x ? ? ? 1 3? ?
由f?

???.4 分

?? ?? ?B? ? ? ? ? cos ? B ? ? ? 1 ? 1 即 cos ? B ? ? ? 0 3? 3? ?2? ? ?
a 2 ? c 2 ? b2 及 b ? 1, c ? 3 ???.7 分 2ac
???.9 分

所以 B ?

?
3

?

?
2

即B ?

?
6

???.6 分

由 cos B ?
2

得 a ? 3a ? 2 ? 0

解得 a ? 1 或 a ? 2 ???.10 分

18:解设甲获奖为事件 A,乙获奖为事件 B,丙获奖为事件 C,丙获奖的概率为 p 则有 p ?1 ? ? ?

? ?

3? 5?

1 1 解得 p ? 2 5

(1) 三人中恰有一个人获奖的概率为

3 ? 2 ?? 1 ? ? 3 ? 2 ? 1 ? ? 3 ?? 2 ? 1 3 p ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? ? ???.6 分 5 ? 3 ?? 2 ? ? 5 ? 3 ? 2 ? ? 5 ?? 3 ? 2 10
(2) P ?

3 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 1 3 2 1 19 ? .12 分 ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 5 3 ? 2 ? 5 ? 3 ? 2 ? 5 ? 3 2 5 3 2 30
A1

19. 不妨设正三角形 ABC 的边长为 3 .
A E F
B E F

B

P

C

P

C

(I)在图 1 中,取 BE 的中点 D,连结 DF. ∵AE : EB=CF : FA=1 : 2,∴AF=AD=2,而∠A=60 ,∴△ADF 是正三角形, 又 AE=DE=1,∴EF⊥AD.????2 分 在图 2 中,A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB 为二面角 A1-EF-B 的平面角. 由题设条件知此二面角为直二面角,∴A1E⊥BE. 又 BE∩EF=E,∴A1E⊥平面 BEF,即 A1E⊥平面 BEP.???.4 分 (II)建立分别以 ED、EF、EA 为 x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系,则 E(0,0,0),A(0,0,1),
0

??? ? ??? ? 3 ,0), P (1, 3 ,0),则, AB ? (2,0, ?1), BP ? (?1, 3,0) . ?? 设平面 ABP 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , ?? ?? ??? ?? ??? ? ? 由 n1 ? 平面 ABP 知, n1 ? AB, n1 ? BP ,即
B(2,0,0),F(0,

?? ?2 x1 ? z1 ? 0, ? 令 x1 ? 3 ,得 y1 ? 1, z1 ? 2 3 , n1 ? ( 3,1, 2 3) . ? ?? x1 ? 3 y1 ? 0. ? ?? ? ??? ? ??? ? (II) AF ? (0, 3, ?1), PF ? (?1,0,0) ,设平面 AFP 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) . ?? ? ?? ??? ?? ??? ? ? ? ? 由 n2 ? 平面 AFP 知, n2 ? AF , n2 ? PF ,即 ?? ? ??2 x2 ? 0, ? 令 y2 ? 1 ,得 x2 ? 0, z2 ? 3 , n2 ? (0,1, 3) . ? ? 3 y2 ? z2 ? 0. ?
第5页

?? ?? ? ?? ?? n1 ? n2 3 ? 0 ? 1? 1 ? 2 3 ? 3 7 ? cos ? n1 , n1 ?? ?? ?? ? ? , | n1 | ? | n2 | ( 3) 2 ? 12 ? (2 3) 2 ? 02 ? 12 ? ( 3) 2 8
所以二面角 B-A1P-F 的余弦值是 ? 20. 解答 (Ⅰ)∵ nan?1 ? 2Sn ① ∴ (n ? 1)an ? 2Sn ?1 ( n ? 2 ) ② ①-②,得 nan?1 ? (n ? 1)an ? 2an ,∴ nan ?1 ? (n ? 1)an ,即 ∴ an ? a1 ?
an ?1 n ? 1 ? , ······ 2 分 an n

7 ..?????..13 分 8

a a2 a3 2 3 n ? ?? ? n ? 1? ? ? ? ? ? ? n ( n ? 2 ), a1 ? 1 满足上式, a1 a2 an ?1 1 2 n ?1

故数列 {an } 的通项公式 an ? n ( n ? N* ). ··················· 4 分 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) , ············· 5 分 bn ? a2 n ?1 ? a2 n ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 n ∴ Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? . ·············· 6 分 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 (n ? 8)(2n ? 1) 8 (Ⅱ)①当 n 为偶数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式 ? ? ? 2n ? ? 17 恒 n n 成立. 8 , ? 2n ? ? 8 ,当且仅当 n ? 2 时取“=” ? ? ? 25 . ·············· 8 分 n ②当 n 为奇数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式 (n ? 8)(2n ? 1) 8 ?? ? 2n ? ? 15 恒成立. n n 8 8 ? 2n ? 随 n 增大而增大,? n ? 1 时, 2n ? 取得最小值 ?6 .? ? ? ?21 . ···· 10 分 n n 综合①、②可得 ? 的取值范围是 ? ? ?21 . ·················· 12 分
21.解析(Ⅰ)函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ( a ? 0 )是定义在 R 上的奇函数,
? f (? x) ? ? f ( x) 恒成立,即 bx 2 ? 0 对于 x ? R 恒成立,? b ? 0 . ········· 2 分

? ? 则 (x) ax3 ? cx , f(x) 3ax2 ? c , f ? ? x ? ?1 时,函数取极值 1.∴ 3a ? c ? 0 , ? a ? c ? 1 , 1 3 1 3 解得 a ? ,c ? ? .∴ f ( x) ? x3 ? x . ·················· 2 2 2 2 (Ⅱ)不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 恒成立,只需 f ( x)max ? g ( x)min ? 0 即可. ····· 5 ∵函数 g ( x) 在 [0, m] 上单调递减,∴ g ( x)min ? g (m) ? ?m2 ? m . ········ 2 1 3 3 3 2 3 3 又 f (x)? x ? x , f ?( x) ? x ? ? ( x ? 1)( x ? 1) , 2 2 2 2 2 由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 1 ; f ?( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 1 , 故函数 f ( x) 在 (??, ?1) , (1, ??) 上单调递增,在 ( ?1,1) 上单调递减, 则当 x ? 1 时, f ( x) 取得极小值, ······················ 1 3 在 (0, ??) 上,当 f ( x) ? x3 ? x ? f (0) 时, x ? 3 , 2 2 0 ? m ? 3 时, f ( x)max ? f (0) ? 0 , ①当 5 5 则 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x)max ? g ( x)min ? 0 ? (?m2 ? m) ? m2 ? m ? 0 , 2 2 5 解得 0 ? m ? ,故此时 0 ? m ? 3 . ···················· 2
第6页

4分 5分 6分

8分

10 分

1 3 ②当 m ? 3 时, f ( x)max ? f (m) ? m3 ? m , 2 2 1 3 3 5 1 则 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x)max ? g ( x)min ? m ? m ? (?m2 ? m) ? m3 ? m2 ? 4m ? 0 , 2 2 2 2 解得 ?4 ? m ? 2 ,故此时 3 ? m ? 2 .综上所述,实数 m 的取值范围是 (0, 2] .··· 12 分
22.(1)由 C 2 : x 2 ? 4 y 知 F1 (0,1) ,设 M ( x0, y0 )(x0 ? 0) ,因 M 在抛物线 C 2 上,故
2 x0 ? 4y0 ①

又 MF1 ?

5 5 ,则 y 0 ? 1 ? ②, 3 3
??????(3 分)

由①②解得 x0 ? ?

2 6 2 , y0 ? 3 3

椭圆 C1 的两个焦点 F1 (0,1) F2 (0,?1) ,点 M 在椭圆上,有椭圆定义可得 ,

2a ? MF1 ? MF2 ? (?

2 6 2 2 6 2 ? 0) 2 ? ( ? 1) 2 ? (? ? 0) 2 ? ( ? 1) 2 ? 4 3 3 3 3
y2 x2 ? ? 1 ????(6 分) 4 3

2 2 2 ∴ a ? 2, 又 c ? 1 ,∴ b ? a ? c ? 3 ,椭圆 C1 的方程为:

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), Q( x, y) , 由 AP ? ?? PB 可得: (1 ? x1 ,3 ? y1 ) ? ?? ( x2 ? 1, y 2 ? 3) , 即?
? ?

? x1 ? ?x2 ? 1 ? ? ? y1 ? ?y 2 ? 3(1 ? ? )
?

??????(9 分) 由 AQ ? ? QB 可得: ( x ? x1 , y ? y1 ) ? ? ( x2 ? x, y2 ? y) , 即?
?

? x1 ? ?x 2 ? (1 ? ? ) x ? y1 ? ?y 2 ? (1 ? ? ) y

2 2 ⑤×⑦得: x1 ? ?2 x2 ? (1 ? ?2 ) x 2 2 ⑥×⑧得: y1 ? ?2 y2 ? 3? (1 ? ?2 )

? ???(10 分)
2

两式相加得 ( x1 ? y1 ) ? ? ( x2 ? y2 ) ? (1 ? ? )(x ? 3 y)
2 2 2 2 2 2 2 又点 A,B 在圆 x ? y ? 3 上,且 ? ? ?1 ,

??????(11 分)

所以 x1 ? y1 ? 3 , x2 ? y2 ? 3
2 2 2 2

即 x ? 3 y ? 3 ,所以点 Q 总在定直线 x ? 3 y ? 3 上

??????(12 分)

第7页


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