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2011年长春市高中毕业班第一次调研测试数学(文科)含答案

时间:2011-12-26


2011 年长春市高中毕业班第一次调研测试

数学试题卷(文科)
考生须知: 1.本试卷分试题卷和答题纸,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前,在答题纸密封区内填写学校、班级、姓名和准考证号. 3.所有答案必需写在答题纸上,写在试卷上无效. 4.考试结束,只需上交答题纸. 参考公式: 柱体体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面

面积, h 为高 . 锥体体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高 . 3

第Ⅰ卷

(选择题,共 60 分)

一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题纸上) 1. 已知复数 z ?

A.1 B.0 C. ? 1 2 2. 已知集合 M ? x | x ? 1 , N ? ?x | x ? 0? ,则 M ? N =

1? i (i 是虚数单位) ,则 | z |? 1? i

?

?

D.2 D. ? x | 0 ? x ? 1?

A. ? 3.

B. {x | x ? 0}

C. ? x | x ? 1?

已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,则 l⊥m 是 ? // ? 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. 若 sin( A. C.

?

1 ? ? ? ) ? ,则 cos( ? ? ) 的值为 6 3 3
B. ?

1 3

1 3

2 2 2 2 D. ? 3 3 5. 如图所示, 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正
方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的体积为 A.
3 π 2

B.

5 π 4

C. π

D.

? 4

6. 平面向量 a 与 b 的夹角为 60? , a =(2,0), | b |=1,则 | a +2 b |= A. 3 B.2 3 C.4 D.12 数学(文) 第 1 页(共 10 页)

7. 如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过 3 分钟漏完,已知圆柱中液面上升的速度是一个常量, H 是圆锥形漏斗中液面下落的 距离,则 H 与下落时间 t (分)的函数关系表示的图象只可能是 H H H H H

O 3 A.

t

O B.

3

t

O 3 t C.

O 3 t D.

?x ? 1 ? 8. 已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则2 x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A. 1
2

B.2

C.3

D.4

9. 设 F1,F2 是双曲线

x PF -y2=1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 PF1 · 2 =0,则 4
B.2 2 C.4 D.8

| PF1 |·PF2 |的值等于 | A.2 10. 函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (? ? 0, | ? |?

?

2 位后得到的函数为奇函数,则函数 f (x) 的图象
A.关于点 (

若其图象向左平移 ) 的最小正周期为 ? ,

? 个单 6

?
12

,0) 对称

B.关于点 (

5? ? 对称 D.关于直线 x ? 对称 12 12 2 2 2 11. 已知直线 y ? x ? 2 与圆 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 及抛物线 y ? 8 x 的四个交点从上到下
C.关于直线 x ? 依次为 A、B、C、D 四点,则 | AD | ? | BC | 等于 A.12 B.14 C.16 D.18

5? ,0) 对称 12

12. 已知函数 f ( x) ? sin x ,对于满足 0 ? x1 ? x2 ? ? 的任意 x1 , x2 ,给出下列结论: ① ( x2 ? x1 )[ f ( x2 ) ? f ( x1 )] ? 0 ; ② x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ; ③ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ;

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ). 2 2 其中正确结论的个数为 A.1 B.2


C.3

D.4

数学(文) 第 2 页(共 10 页)

第Ⅱ卷

(非选择题,共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题—21 题为必考题,每个试题考生都必须作答, 第 22 题—24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、 填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填写在答题纸中的横线上) 13. 阅读程序框图,该程序输出的结果是 . 14. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? 3x ? 9 在 x ? ?3 时取得极 值,则 a = . 2 1 15. 已 知 2m ? n ? 1, m ? 0, n ? 0 , 则 ? 的最小值 m n 为 . 16. “三角形的三条中线交于一点,而且这一点到顶点的距 离等于它到对边中点距离的 2 倍” .试类比:四面体的四 条中线(顶点到对面三角形重心的连线段)交于一点, 而且这一点到顶点的距离等于它到对面重心距离的 倍. 三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 a2 =3, S 6 =36. (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 若数列{ bn }是等比数列且满足 b1 ? b2 ? 3, b4 ? b5 ? 24 .设数列 {an ? bn } 的前 n 项 和为 Tn ,求 T3 . 18. 如图, 一人在 C 地看到建筑物 A 在正北方向, 另一建筑物 B 在北偏西 45°方向,此人向北偏西 75°方向前进 30 km 到 达 D 处,看到 A 在他的北偏东 45°方向,B 在北偏东 75° 方向,试求这两座建筑物之间的距离.
45° 75°


A


B
45° 75°

D

19. 已 知 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 为 直 角 梯 形, AB ∥ DC , ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD , 1 且 PA ? AD ? DC ? AB ? 1 , M 是 PB 的中点. 2 (1) 求证: MC ∥平面 PAD ; (2) 求证: BC ? 平面 PAC ; (3) 求三棱锥 P ? ACM 的体积.

C
P M A B

D

C

数学(文) 第 3 页(共 10 页)

20. 已知椭圆

x2 3 . ? y 2 ? 1 ( a ? 0 )的离心率为 2 2 a

(1) 求椭圆的方程; (2) 设 直 线 l 与 椭 圆 相 交 于 不 同 的 两 点 A 、 B , 已 知 点 A 的 坐 标 为 (?a,0) , 若

| AB | ?

4 2 ,求直线 l 的倾斜角. 5

21. 已知函数 f ( x) ? 1 ? ln x . (1) 求过原点且与曲线 y ? f (x) 相切的直线方程; (2) 若关于 x 的不等式 f (x) ≤ ax 恒成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题在答题纸上做答,如果多做,则按所做的第一题 记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知,如右图,在等腰梯形 ABCD 中, AD // BC , AB ? DC , 过点 D 作 AC 的平行线 DE ,交 BA 的延长线于点 E .求证: (1) ?ABC ≌ ?DCB ; (2) DE ? DC ? AE ? BD B C A E D

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 设过原点 O 的直线与圆 C :( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 的一个交点为 P , M 为线段 OP 的中点. 点 (1) 求圆 C 的极坐标方程; (2) 求点 M 轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解不等式 | x 2 ? 3x ? 4 |? x ? 1 .

数学(文) 第 4 页(共 10 页)

2011 年长春市高中毕业班第一次调研测试

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.A 2.D 3.B 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B 9.A 10.C 11.D 12.C 简答与提示: 1.? z ?

(1 ? i ) 2 2i 1? i = = = i ,?| z |? 1,故选 A. 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 2

2.由已知 M ? ?x | ?1 ? x ? 1? , N ? ?x | x ? 0? ,则 M ? N ? ?x | 0 ? x ? 1?,故选 D. 3.由于 l ? ? , m ? ? , ? // ? ? l ? m ;l ? ? , m ? ? , l ? m ? ? // ? ,所以 l ? m 是 ? ∥ ? 的必要不充分条件,故选 B. 4. cos( ? ? ) ? sin(

?

?
6

3

??) ?

1 , 故选 A. 3

5.由三视图知该几何体为圆柱,其底面半径为 r ? 故选 D.
2 2

? 1 2 ,高 h=1,∴ V ? ? r h ? , 2 4

2 6.由已知 | a |? 2, | a ? 2b | ? a ? 4a ? b ? 4b = 4+4× 1 × 2× cos60° +4=12,

则有 | a ? 2b |? 2 3 ,故选 B. 7.开始时液面下降速度较慢,逐渐变快,越来越快.故选 C. 8.由已知得线性可行域如图所示,则 z = 2 x ? y 的最小值为 2.故选 B.
y

9.由已知 F1 (? 5 ,0), F2 ( 5 ,0) ,则 F1 F2 ? 2 5 .

(3,4) (1,2)

? PF1 2 ? PF2 2 ? F1F2 2 ? 20 ? 即? , ? PF1 ? PF2 ? 4 ?
得 PF1 ? PF2 ? 2 .故选 A. 10. 由 已 知 T ?

O

(1,0)

x

2?

?

? ? , 则 ? ? 2 ; f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 向 左 移

? 个单位得 6

数学(文) 第 5 页(共 10 页)

? ? ? ? ? ? ( ? ? ) 即 f ( x) ? sin(2 x ? ) .代入选项检验,C 正确.故选 C.
3 2 3
2 2 2

? ? ? ? ? f ( x) ? sin ?2( x ? ) ? ? ? ? sin(2 x ? ? ? ) 为奇函数.有 ? ? ? k? (k ? Z ) ,则 6 3 3 ? ?

11.由已知圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 1 , 抛物线 y ? 8 x 的焦点为 (2,0) , 直线 y ? x ? 2 过 (2,0) 点, 则如图所示 AD ? BC ? AD ? 2 , 因为 ? 令 A( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? 12 , 则有 AD ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 ? 16 ,
O F(2,0) C D B x

? y 2 ? 8x ?y ? x ? 2

, x ? 12 x ? 4 ? 0 有
2

y A

故 AD ? BC ? 16 ? 2 ? 18 , 故选 D. 12. ( x2 ? x1 )[ f ( x2 ) ? f ( x1 )] ? 0 ? f ( x) 为增函数,因为函数

y ? f (x)



(0, ? )



























f ( x1 ) f ( x 2 ) f ( x) ? ,将 k ? 视为曲线 y ? f (x) 上的点与 x1 x2 x 原点连线斜率,结合函数图象可知横坐标越大,斜率越小,故②正确;当 x ? (0,??) 时, y ? f ( x) ? x ? sin x ? x 为减函数,? f ( x2 ) ? x2 ? f ( x1 ) ? x1 ,故③正确;由于 曲 线 y ? f (x) 图 象 上 连 结 任 意 两 点 线 段 中 点 在 曲 线 下 方 , ?x1 , x2 ? (0,??) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 ? f( 1 ) ,故④正确.故选 C. 2 2 x 2 f ( x1 ) ? x1 f ( x 2 ) ?
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 729 14. 5 15.9 16. 3 简答与提示: 13.当 a ? 1 时,S= 1? 9 =9; 当 a ? 2 时,S= 9? 9 =81; 当 a ? 3 时,S= 81? 9 =729 ; 当 a ? 4 时输 S=729.
3 2 2 14. f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 , f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 3 ,

A

f ?(3) ? 30 ? 6a ? 0, a ? 5 .
2 1 2 n 2m ≥5? 2 4 ?9. ? )(2m ? n) ? 4 ? 1 ? ? m n m n 16.如图,△ABE 中,M、N 为 AE、BE 的三等分点, ∴MN∥AB,AB=3MN,∴AG=3GM.
15. (
G B M C N D E

数学(文) 第 6 页(共 10 页)

三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 解:(1) ∵数列{an}是等差数列, ∴S6=3(a1+a6)=3(a2+a5)=36. ∵a2=3,∴a5=9,∴3d=a5-a2=6,∴d=2, 又∵a1=a2-d=1,∴an=2n-1. (2)由等比数列{bn}满足 b1 ? b2 ? 3 , b4 ? b5 ? 24 , 得

(5 分)

b4 ? b5 = q 3 =8,∴q=2, b1 ? b2
n ?1
2

∵ b1 ? b2 ? 3 ,∴ b1 ? b1q ? 3 ,∴ b1 ? 1 ,bn ? 2



(10 分) (12 分)

b ∴ a n · n =(2n-1)· 2
18.(本小题满分 12 分)

n ?1

, 则 T3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? 27 .
0 1

解:依题意得, DC ? 30 , ?ADB ? ?BCD ? 30? ? ?BDC, ?DBC ? 120?, ?ADC ? 60?, ?DAC ? 45?. 在 ?BDC 中,由正弦定理得,

DC sin ?BDC 30 sin 30? ? ? 10. sin ?DBC sin 120? 在 ?ADC 中,由正弦定理得, DC sin ?ADC 30 sin 60? AC ? ? ? 3 5. sin ?DAC sin 45? 在 ?ABC 中,由余弦定理得, AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos ?ACB ? (3 5 ) 2 ? ( 10 ) 2 ? 2 ? 3 5 ? 10 ? cos 45? ? 25. ?AB ? 5 . 答:这两座建筑物之间的距离为 5km. 19.(1)取 PA 中点 Q,连 MQ、DQ, 则 MQ∥DC,MQ=DC, ? 四边形 QMCD 为平行四边形, ? MC∥DQ, 又 DQ ? 平面 PAD , MC ? 平面 PAD , ? MC ∥平面 PAD . D (2)由已知可得 BC ?

(6 分)

(9 分)

(12 分)
P Q A M B

N

C

(4 分)

AC ? 2 , AB ? 2, BC ? 2 ,

? AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ,? BC ? AC, 又?PA ? BC, PA ? AC ? A, ? BC ? 平面 PAC.
(3)取 AB 中点 N,连结 CN,则 CN∥AD, 数学(文) 第 7 页(共 10 页)

(8 分)

∴CN⊥平面 PAB, 1 1 1 1 ∵ S ?PAM ? S ?PAB ? ? ? 1 ? 2 ? , 2 2 2 2

1 1 1 1 ?VP ? ACM ? VC ? PAM ? ? S ?PAM ? CN ? ? ? 1 ? . 3 3 2 6
20. (本小题满分 12 分) 解: (1)由 e =

(12 分)

c 3 ,得 3a 2 ? 4c 2 .再由 c 2 ? a 2 ? b2 ,解得 a = 2b=2. ? a 2 x2 所以椭圆的方程为 (4 分) ? y 2 ? 1. 4 (2) 由(1)可知点 A 的坐标是(-2,0).设点 B 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,直线 l 的斜率为 k.
则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) .

? y ? k ( x ? 2), ? 于是 A、B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 消去 y 并整理, 2 ? ? y ? 1. ?4 2 2 2 2 得 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? (16k ? 4) ? 0 .
由 ?2 x1 ?

(6 分)

16k ? 4 2 ? 8k 4k ,得 x1 ? .从而 y1 ? . 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2
2 2

? 2 ? 8k 2 ? ? 4k ? 4 1? k 2 所以 | AB |? ? ?2 ? . ?? ? ? ? 1 ? 4k 2 ? ? 1 ? 4 k 2 ? 1 ? 4k 2 ?
2

2

4 1 ? k2 4 2 4 2 ? ,得 . 1?4 k 2 5 5 2 2 4 2 整理得 32k ? 9k ? 23 ? 0 ,即 (k ? 1)(32k ? 23) ? 0 ,解得 k = ?1 . ? 3? 经检验 ? ? 0 符合题意, 所以直线 l 的倾斜角为 或 . 4 4
由 | AB |? 21. (本小题满分 12 分) 解: (1)? f ( x) ? 1 ? ln x ,? f ' ( x) ?

(10 分)

(12 分)

1 , ( x ? 0) , x 设曲线 y ? f (x) 上切点坐标为 ( x0 ,1 ? ln x0 ) , 1 1 ? ln x0 ? 则k ? ,解得 x0 ? 1, k ? 1 , x0 x0 ?切线方程为 y ? x . f ( x) 1 ? ln x (2)[方法一]? x >0,? f (x) ≤ ax ? a ≥ , ? x x 1 ? ln x 1 ? (1 ? ln x) ? ln x 设 g ( x) ? ,则 g ?( x) ? ? 2 , x x2 x
数学(文) 第 8 页(共 10 页)

(5 分) (6 分) (8 分)

? ln x ? 0 ,得 x ? 1, x2 当 0 ? x ? 1 时, g ' ( x) ? 0 , g (x) 在 (0,1) 上为增函数, 当 x ? 1时, g ' ( x) ? 0 , g (x) 在 (1,??) 上为减函数, ? g ( x) max ? g (1) ? 1,?a ≥1. [方法二]? x >0, ? f (x) ≤ ax ? f ( x) ? ax ? 1 ? ln x ? ax ≤0. 1 设 h( x) ? 1 ? ln x ? ax , h' ( x) ? ? a , x 若 a ≤0,则 h(1) ? 1 ? a ? 0 ,不合题意. 1 1 若 a ? 0 ,令 h?( x) ? ? a ? 0 ,得 x ? , x a 1 1 当 0 ? x ? 时, h' ( x) ? 0 , h(x ) 在 (0, ) 上为增函数, a a 1 1 当 x ? 时, h' ( x) ? 0 , h(x ) 在 ( ,?? ) 上为减函数, a a 1 1 1 ? h( x) max ? h( ) ? 1 ? ln ? 1 ? ln ≤0, a a a ?a ≥1.
令 g ' ( x) ?

(9 分)

(12 分) (6 分) (8 分) (9 分) (10 分)

(12 分)

22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 证明:(1) 四边形 ABCD 是等腰梯形,∴ AC ? DB . ∵ AB ? DC , BC ? CB ,∴ ?ABC ≌ ?BCD . (5 分) (2)∵ ?ABC ≌ ?DCB ,∴ ?ACB ? ?DBC , ?ABC ? ?DCB . ∵ AD// BC ,∴ ?DAC ? ?ACB , ?EAD ? ?ABC . (8 分) ∵ ED// AC ,∴ ?EDA ? ?DAC , ∴ ?EDA ? ?ACB , ?EDA ? ?DBC . ∴ ?ADE ∽ ?CBD ∴ DE : BD ? AE : CD , ∴ DE ? DC ? AE ? BD . (10 分) 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解:(1)圆 ( x ? 1) ? y ? 1 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? .
2 2

(4 分)
E A D

(2)设点 P 的极坐标为 ( ?1 ,?1 ) ,点 M 的极坐标为 ( ? ,? ) , ∵点 M 为线段 OP 的中点, ∴ ?1 ? 2 ? , ?1 ? ? . 将 ?1 ? 2 ? , ?1 ? ? 代入圆的极坐标方程,得 ? ? cos ? . ∴点 M 轨迹的极坐标方程为 ? ? cos ? ,

(7 分)

1 1 它表示圆心在点 ( , 0) ,半径为 的圆. 2 2
24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解:原不等式等价于 ?

B

C

(10 分)

? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ? ? 或? 2 2 ? x ? 3 x ? 4 ? x ? 1 ??( x ? 3 x ? 4) ? x ? 1 ? ?
数学(文) 第 9 页(共 10 页)

(4 分)

? x ? 4或x ? ?1 ? ?1 ? x ? 4 ?? 或? ? ?1 ? x ? 3 ? x ? 5或x ? ?1 ? x ? 5 或 x ? ?1或 ?1 ? x ? 3 . ∴原不等式的解集为{ x | x ? 5 或 x ? ?1 或 ?1 ? x ? 3 }.

(7 分)

(10 分)

数学(文) 第 10 页(共 10 页)


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