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2015年陕西省理科高考真题数学卷word版(附答案)

时间:2015-06-15


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理
一、选择题 1.设集合 M ? {x | x 2 ? x} , N ? {x | lg x ? 0} ,则 M A. [0,1] B. (0,1] C. [0,1) D. (??,1]

N?

2.某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比例如图所

示,则该校女教师的人 数为 A.167 B.137 C.123 D.93

3.如图, 某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y ? 3sin( 这段时间水深(单位:m)的最大值为 A.5 B.6 C.8 D.10

?
6

x ? ?) ? k , 据此函数可知,

4.二项式 ( x ? 1)n (n ? N? ) 的展开式中 x 的系数为 15,则 n ?
2

A.4 A. 3?

B.5

C.6

D.7 C. 2? ? 4 D. 3? ? 4

5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 B. 4?

6.“ sin ? ? cos ? ”是“ cos 2? ? 0 ”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要 7.对任意向量 a, b ,下列关系式中 u 恒成立的是 A.| a ? b |?| a || b | B.| a ? b |?|| a | ? | b || C.(a ? b)2 ?| a ? b |2 D.(a ? b)( a ? b) ? a ? b
2 2

8.根据右边框图,当输入 x 为 2005 时,输出的 y ?

A28

B10

C4

D2

9.设 f ( x) ? ln x,0 ? a ? b ,若 p ? f ( ab ) , q ? f ( 中正确的是 A. q ? r ? p B. q ? r ? p C. p ? r ? q

a?b 1 ) , r ? ( f (a ) ? f (b)) ,则下列关系式 2 2
D. p ? r ? q

10.某企业生产甲乙两种产品均需用 A,B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用 限额如表所示,如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大 利润为

A(吨) B(吨)
A.12 万元

甲 3 1
B.16 万元

乙 2 2

原料限额 12 8
D.18 万元

C.17 万元

11.设复数 z ? ( x ? 1) ? yi ( x, y ? R) ,若 | z |? 1 ,则 y ? x 的概率 A.

3 1 ? 4 2?

B.

1 1 ? 4 2?
2

C.

1 1 ? 2 ?

D.

1 1 ? 2 ?

12.对二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a 为非零整 数 ) ,四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个 . . 结论是错误的,则错误的结论是 A. -1 是 f ( x ) 的零点 B. 1 是 f ( x ) 的极值点 C. 3 是 f ( x ) 的极值 二、填空(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.中位数 1010 的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数列的首项为 14.若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x ? y ? 1的一个焦点,则 p=
2 2 2

D.点 (2,8) 在曲线 y ? f ( x) 上

15.设曲线 y ? e 在点(0,1)处的切线与曲线 y ?
x

1 ( x ? 0) 上点 p 处的切线垂直,则 P 的坐标为 x

16.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示) , 则原始的最大流量与当前最大流量的比值为

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. )
??? C 的内角 ? , C 所对的边分别为 a , b, 17、 (本小题满分 12 分) 向量 m ? a, 3b c. ?,

?

?

与 n ? ? cos ?,sin ?? 平行.

??? 求 ? ; ? ?? ? 若 a ?
7 , b ? 2 求 ??? C 的面积.

?D//?C , ???D ? 18、 (本小题满分 12 分) 如图 1 , 在直角梯形 ?? CD 中,

?
2

?? ? ?C ? 1 , ,

?D ? 2 , ? 是 ?D 的中点, ? 是 ? C 与 ?? 的交点.将 ???? 沿 ?? 折起到 ??1?? 的位置,

如图 2 .

? ? ? 证明: CD ? 平面 ?1?C ;
? ?? ? 若平面 ?1?? ? 平面 ?CD? ,求平面 ?1?C 与平面 ?1CD 夹角的余弦值.
19、 (本小题满分 12 分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 ? , ? 只与道路畅通 状况有关,对其容量为 100 的样本进行统计,结果如下:

? (分钟)
频数(次)

25 20

30 30

35 40

40 10

? ? ? 求 ? 的分布列与数学期望 ?? ;

? ?? ? 刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个 50 分钟的讲座,结束后立即返回老校
区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率. 20、 (本小题满分 12 分)已知椭圆 ? :
x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的半焦距为 c ,原点 ? 到经 a 2 b2

1 过两点 ? c,0 ? , ? 0, b ? 的直线的距离为 c . 2

? ? ? 求椭圆 ? 的离心率;
2 2 ? ?? ? 如图, ?? 是圆 ? : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 2 的一条直径,若椭圆 ? 经过 ? ,? 两点,求椭

5

圆 ? 的方程.

21、 (本小题满分 12 分)设 fn ? x ? 是等比数列 1 , x , x 2 , ??? , x n 的各项和,其中 x ? 0 ,
n?? ,n ? 2 .

? 函数 Fn ? x ? ? fn ? x ? ? 2 在 ? ? ? ? 证明:

1 1 n ?1 1 ? (记为 xn ) , 且 xn ? ? xn ; ,1? 内有且仅有一个零点 2 2 ?2 ?

末项、 项数分别相同的等差数列, 其各项和为 gn ? x ? , ? ?? ? 设有一个与上述等比数列的首项、 比较 fn ? x ? 与 gn ? x ? 的大小,并加以证明. 请在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?? 切 ? 于点 ? ,直线 AO 交 ? 于 D , ? 两点, ?C ? D? ,垂足为 C .

? ? ? 证明: ?C?D ? ?D?? ;
? ?? ? 若 ?D ? 3DC ,
?C ? 2 ,求 ? 的直径.

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 3? t ? 2 ? 在直角坐标系 x?y 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) .以原点为极点, x 轴 3 ?y ? t ? ? 2
正半轴为极轴建立极坐标系, C 的极坐标方程为 ? ? 2 3 sin ? .

? ? ? 写出

C 的直角坐标方程;

? ?? ? ? 为直线 l 上一动点,当 ? 到圆心 C 的距离最小时,求 ? 的直角坐标.
24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 ? x 2 ? x ? 4? .

? ? ? 求实数 a , b 的值; ? ?? ? 求
at ? 12 ? bt 的最大值.

参考答案: 一、选择题 1.A 11.D 2.C 12.A 3.C 4.B 5.D 6.A 7. B 8.C 9. B 10.D

二、填空题 13. 5 14. 2 2 15.(1,1) 16. 1.2

三.解答题 17. (满分 12 分) (I)因为 m //n ,所以 a sin B - 3b cos A = 0 , 由正弦定理,得 sinAsinB- 3 sinBcos A = 0 又 sin ? ? 0 ,从而 tan A = 3 , ? 由于 0 ? A ? ? ,所以 A ? 3 2 2 2 (II)解法一:由余弦定理,得 a = b + c - 2bc cos A ? 而 a = 7 b = 2, ? ? 3 2 2 得 7 = 4 + c - 2c ,即 c - 2c - 3 = 0 因为 c > 0 ,所以 c = 3 . 1 3 3 故 ? ABC 的面积为 bcsinA = . 2 2 7 2 ? 解法二:又正弦定理,得 , ? sin ? sin 3 21 从而 sin B = , 7 2 7 又由 a > b ,知 A > B ,所以 cos B = . 7

? ? 3 21 ? ? sin B cos ? cos B sin ? 3? 3 3 14 1 3 3 所以 ? ABC 的面积为 bcsinA = . 2 2
故 sinC ? sin ? A? B? ? sin ? ? ?

? ?

??

18.(本小题满分 12 分) (I)在图 1 中, 因为 AB=BC=1,AD=2,E 是 AD 的中点, ? BAD= 即在图 2 中,BE ? OA1 ,BE ? OC 从而 BE ? 平面 AOC 1 又 CD BE,所以 CD ? 平面 AOC . 1

? ,所以 BE ? AC 2

? OA1 ,BE ? OC (II)由已知,平面 A 1BE ? 平面 BCDE,又由(1)知,BE
所以 ?AOC 为二面角 A1 -BE -C 的平面角,所以 ?A1OC ? 1 如图,以 O 为原点,建立空间直角坐标系, ED 因为 A 1B=A 1E=BC=ED=1 , BC

?

2

.

2 2 2 2 ,0,0), E(,0,0), A1 (0,0, ),C(0, ,0), 2 2 2 2 2 2 2 2 得 BC(, , 0), A1C(0, ,) , CD = BE = (- 2,0,0) . 2 2 2 2 设平面 A 1BC 的法向量 n 1BC 与平面 1CD 的法向量 n2 = ( x2 , y2 , z2 ) ,平面 A 1 = ( x1 , y1 , z1 ) ,平面 A A1CD 夹角为 ? ,
所以 B( 则?

? ? n1 ? BC ? 0 ? ?n1 ? A1C ? 0

,得 ?

?? x1 ? y1 ? 0 ,取 n1 = (1,1,1) , ? y1 ? z1 ? 0

? ? x2 ? 0 ? n2 ? CD ? 0 ,得 ? ,取 n2 ? (0,1,1) , ? ? y2 ? z 2 ? 0 ? ? n2 ? A1C ? 0
从而 cos ? ?| cos? n1 , n2 ? |?

2 6 , ? 3 3? 2
6 . 3

即平面 A 1BC 与平面 A 1CD 夹角的余弦值为

19.(本小题满分 12 分) 解: (I)由统计结果可得 T 的频率分步为

? (分钟) 频率 ?
25

25 0.2 30

30 0.3 35

35 0.4 40

40 0.1

以频率估计概率得 T 的分布列为 0.2 0.3 0.4 0.1 ? 从而 ET ? 25 ? 0.2 ? 30 ? 0.3 ? 35 ? 0.4 ? 40 ? 0.1 ? 32 (分钟) (II)设 T1 , T2 分别表示往、返所需时间,T1 , T2 的取值相互独立,且与 T 的分布列相同.设事 件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟” ,由于讲座时间为 50 分钟,所以事件 A 对应 于“刘教授在途中的时间不超过 70 分钟”. 解法一: P(A) ? P(T1 ? T2 ? 70) ? P(T1 ? 25, T2 ? 45) ? P(T1 ? 30, T2 ? 40)

? P(T1 ? 35, T2 ? 35) ? P(T1 ? 40, T2 ? 30) ? 1? 0.2 ? 1? 0.3 ? 0.9 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.1 ? 0.91 .
解法二: P(A) = P(T1 +T2 > 70) = P(T1 = 35, T2 = 40) + P(T1 = 40, T2 = 35) +P(T1 = 40, T2 = 40) ? 0.4 ? 0.1 ? 0.1? 0.4 ? 0.1? 0.1 ? 0.09 故 P(A) =1 - P(A) = 0.91. 20.(本小题满分 12 分) 解: (I)过点(c,0),(0,b)的直线方程为 bx + cy - bc = 0 , bc bc 则原点 O 到直线的距离 d ? ? , 2 2 a b ?c
1 c 3 由 d = c ,得 a = 2b = 2 a2 - c2 ,解得离心率 = . 2 a 2 (II)解法一:由(I)知,椭圆 E 的方程为 x2 + 4 y 2 = 4b2 .

(1)

依题意,圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点,且 | AB|= 10 . 易知,AB 不与 x 轴垂直,设其直线方程为 y = k ( x + 2) +1 ,代入(1)得

(1 + 4k 2 ) x2 +8k (2k +1) x + 4(2k +1)2 - 4b2 = 0
8k (2k +1) 4(2k +1) 2 - 4b 2 , x x = . 1 2 1 + 4k 2 1 + 4k 2 8k (2k +1) 1 = - 4, 解得 k = . 由 x1 + x2 = - 4 ,得 2 1 + 4k 2 2 从而 x1x2 = 8 - 2b .

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 + x2 = -

5 ?1? 于是 | AB |? 1 ? ? ? | x1 ? x2 |? 2 ?2?

2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 10(b 2 ? 2) .

由 | AB|= 10 ,得 10(b 2 - 2) = 10 ,解得 b2 = 3 .
x2 y 2 + =1 . 12 3 解法二:由(I)知,椭圆 E 的方程为 x2 + 4 y 2 = 4b2 .

故椭圆 E 的方程为

(2)

依题意,点 A,B 关于圆心 M(-2,1)对称,且 | AB|= 10 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x12 + 4 y12 = 4b2 , x22 + 4 y22 = 4b2 , 两式相减并结合 x1 + x2 = - 4, y1 + y2 = 2, 得 -4( x1 - x2 ) +8( y1 - y2 ) = 0 . 易知,AB 不与 x 轴垂直,则 x1 ? x2 ,所以 AB 的斜率 k AB =
y1 - y2 1 = . x1 - x2 2

1 因此 AB 直线方程为 y = ( x + 2) +1 ,代入(2)得 x2 + 4 x +8 - 2b2 = 0. 2 所以 x1 + x2 = - 4 , x1x2 = 8 - 2b2 .

5 ?1? 于是 | AB |? 1 ? ? ? | x1 ? x2 |? 2 ?2?

2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 10(b 2 ? 2) .

由 | AB|= 10 ,得 10(b 2 - 2) = 10 ,解得 b2 = 3 .
x2 y 2 + =1 . 12 3 21.(本小题满分 12 分)

故椭圆 E 的方程为

解: (I) Fn ( x) = f n ( x) - 2 = 1 + x + x2 +
1 1 ?1? Fn ( ) ? 1 ? ? ? ? ? 2 2 ?2?
所以 Fn ( x) 在 ?
2

xn - 2, 则 Fn (1) = n - 1 > 0,
n ?1

?1? 1? ? ? n ?1? ?2? ? ? ?2? 1 ?2? 1? 2

?2? ?

1 ? 0, 2n

?1 ? ,1? 内至少存在一个零点 xn . ?2 ? ?1 ? n ?1 又 Fn? ( x) ? 1 ? 2 x ? nx ? 0 ,故在 ? ,1? 内单调递增, ?2 ? ?1 ? 所以 Fn ( x) 在 ? ,1? 内有且仅有一个零点 xn . ?2 ? 1 1 1 - xn n+1 因为 xn 是 Fn ( x) 的零点,所以 Fn ( xn )=0 ,即 - 2 = 0 ,故 xn = + xn n +1 . 2 2 1 - xn

( n +1) (1 + x ) . (II)解法一:由题设, g ( x) =
n n

2

设 h( x) = f n ( x) - gn ( x) = 1 + x + x + 当 x = 1 时, f n ( x) = gn ( x)

2

x

n

( n +1) (1 + x ) , x > 0. n

2

n ? n ? 1? x n?1 . 2 n ? n ? 1? n ?1 n ( n +1) n- 1 n ( n +1) n- 1 n ?1 n ?1 n ?1 x = x x = 0. 若 0 < x < 1 , h?( x) ? x ? 2 x ? nx ? 2 2 2 n ? n ? 1? n ?1 n ( n +1) n- 1 n ( n +1) n- 1 n ?1 n ?1 n ?1 x = x x = 0. 若 x > 1 , h?( x) ? x ? 2 x ? nx ? 2 2 2 所以 h( x) 在 (0,1) 上递增,在 (1, ??) 上递减, 所以 h( x) < h(1) = 0 ,即 f n ( x) < gn ( x) . 综上所述,当 x = 1 时, f n ( x) = gn ( x) ;当 x ? 1 时 f n ( x) < gn ( x)
当 x ? 1 时, h?( x) ? 1 ? 2 x ?

nx n?1 ?

解法二 由题设, f n ( x) = 1 + x + x + 当 x = 1 时, f n ( x) = gn ( x)

2

( n +1) (1 + x ) , x > 0. x , g ( x) =
n n n

2

当 x ? 1 时, 用数学归纳法可以证明 f n ( x) < gn ( x) .

1 (1 - x) 2 < 0, 所以 f 2 ( x) < g2 ( x) 成立. 2 假设 n ? k (k ? 2) 时,不等式成立,即 f k ( x) < gk ( x) . 那么,当 n = k +1 时, k +1) 1 + xk 2 x k +1 +( k +1) x k + k +1 ( k +1 k +1 . f k+1 ( x) = f k ( x) + x < g k ( x) + x = + x k +1 = 2 2 2 x k +1 +( k +1) x k + k +1 kx k +1 - ( k +1) x k +1 = 又 g k+1 ( x) 2 2 k k ?1 k ?1 k +1 k 令 h ( x) = kx - ( k +1) x +1(x > 0) ,则 hk ? ( x) ? k (k ? 1) x ? k ? k ? 1? x ? k ? k ? 1? x (x ? 1)
当 n = 2 时, f 2 ( x) - g 2 ( x) = -

(

)

k

? ( x) ? 0 , hk ( x) 在 (0,1) 上递减; 所以当 0 < x < 1 , hk
? ( x) ? 0 , hk ( x) 在 (1, ??) 上递增. 当 x > 1 , hk
所以 hk ( x) > hk (1) = 0 ,从而 g k+1 ( x) >

2 x k +1 +( k +1) x k + k +1 2

故 f k +1 ( x) < gk +1 ( x) .即 n = k +1 ,不等式也成立. 所以,对于一切 n ? 2 的整数,都有 f n ( x) < gn ( x) . 解 法 三 : 由 已 知 , 记 等 差 数 列 为 {ak } , 等 比 数 列 为 {bk } , k = 1, 2,

, n +1. 则 a1 = b1 = 1 ,

an+1 = bn+1 = xn ,
xn ?1 (2 ? k ? n) , bk ? xk ?1 (2 ? k ? n), n ? k ?1? ? xn ?1? k ?1 令 mk (x) ? ak ? bk ? 1 ? ? x , x ? 0(2 ? k ? n). n 当 x = 1 时, ak =bk ,所以 f n ( x) = gn ( x) . k ? 1 n ?1 nx ? (k ? 1) x k ? 2 ? ? k ? 1? x k ? 2 ? x n ? k ?1 ? 1? 当 x ? 1 时, mk ? ( x) ? n 而 2 ? k ? n ,所以 k - 1 > 0 , n ? k ? 1 ? 1 . n - k +1 < 1, mk ? ( x ) ? 0 , 若 0 < x <1 , x
所以 ak ? 1+ ? k ? 1? ? 当 x >1 , x
n - k +1

? ( x) ? 0 , > 1 , mk

从而 mk ( x) 在 (0,1) 上递减, mk ( x) 在 (1, ??) 上递增.所以 mk ( x) > mk (1) = 0 , 所以当 x ? 0且x ? 1 时,ak ? bk (2 ? k ? n), 又 a1 = b1 , an+1 = bn+1 ,故 f n ( x) < gn ( x) 综上所述,当 x = 1 时, f n ( x) = gn ( x) ;当 x ? 1 时 f n ( x) < gn ( x)

请在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 解: (I)因为 DE 为圆 O 的直径,则 ?BED ? ?EDB ? 90 , 又 BC ? DE,所以 ? CBD+ ? EDB=90°,从而 ? CBD= ? BED. 又 AB 切圆 O 于点 B,得 ? DAB= ? BED,所以 ? CBD= ? DBA. BA AD = = 3 ,又 BC = 2 ,从而 AB = 3 2 , (II)由(I)知 BD 平分 ? CBA,则 BC CD 所以 AC = AB2 - BC 2 = 4 ,所以 AD=3 . AB 2 由切割线定理得 AB 2 =AD ×AE ,即 AE = =6, AD 故 DE=AE-AD=3,即圆 O 的直径为 3. 23. (本小题满分 10 分) 解: (I)由 ? ? 2 3sin ? , 得? 2 ? 2 3? sin ? ,
从而有 x +y ? 2 3 y, 所以x + y ? 3
2 2 2

?

?

2

? 3.
2

2 ? 1 3 1 ? ? 3 ? t), 又C(0, 3) ,则 | PC |? ? 3 ? t ? ? ? (II)设 P(3 + t, t ? 3 ? t 2 ? 12 , ? ? ? 2 2 2 ? ? 2 ? ?

故当 t=0 时,|PC|取最小值,此时 P 点的直角坐标为(3,0).

24. (本小题满分 10 分) 解: (I)由 | x + a |< b ,得 - b - a < x < b - a ??b ? a ? 2, 则? 解得 a = - 3 , b = 1 ? b ? a ? 4,
(II) ?3t +12+ t ? 3 4 ? t ? t ?

? ? ?

? 3?

2

? 12 ? ? ? ? ? ? ?

?

4?t

? ?? t ? ? ? ?
2 2

= 2 4 - t +t = 4
当且仅当 故

(

4- t t ,即 t = 1 时等号成立, = 1 3

- 3t +12+ t

)

max

=4.


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