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巧用函数单调性妙解数学题


巧用函数单调性妙解数学题
范运灵

函数是高中数学的重要内容,函数的单调性又是函数的重要性质。在求解某些数学问题 时,若能根据题目的结构特征,构造出一个适当的单调函数,往往能化难为易,化繁为简, 获得巧解和妙解。下面举例说明。 一. 巧求代数式的值 例 1. 已知 ( x ? 2 y)5 ? x5 ? 2x ? 2 y ? 0 ,求 ( x ? y

) 2007 的值。 解:已知条件可化为 ( x ? 2 y) ? ( x ? 2 y) ? ( ? x) ? (? x)
5 5 5 设 f ( x) ? x ? x ,则 f ( x ? 2 y ) ? f ( ? x )

而 f ( x) ? x ? x 在 R 上是增函数
5

则有 x ? 2 y ? ? x ,即 x ? y ? 0 所以 ( x ? y )
2007

?0
5 5

点评:本题关键是将条件转化为 ( x ? 2 y) ? ( x ? 2 y) ? ( ? x) ? (? x) ,再构造相应函 数 f ( x) ? x ? x ,利用单调性求解。
5

(答案: ? ? ? ? 3 )

拓展练习:已知方程 x ? 3 ? 3 的根为α ,方程 x ? log3 x ? 3 的根为β ,求α +β 的值。
x

二. 妙解方程 例 2. 解方程 4x ? 7x ?

65x
x

解:易见 x=2 是方程的一个解 原方程可化为 ?

? 4 ? ? 7 ? ? ?? ? ?1 ? 65 ? ? 65 ?
x x

x

而 f ( x) ? ?

? 4 ? ? 4 ? ? (因为 ? ? ? (0,1) ) ? 65 ? ? 65 ?
x

? 7 ? 在 R 上是减函数, g ( x ) ? ? ? 同样在 R 上是减函数 ? 65 ?

? 4 ? ? 7 ? 因此 f ( x ) ? g ( x ) ? ? ? ?? ? 在 R 上是减函数 ? 65 ? ? 65 ?
由此知:当 x ? 2 时, ?

x

x

? 4 ? ? 7 ? ? 4 ? ? 7 ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?1 ? 65 ? ? 65 ? ? 65 ? ? 65 ?

x

x

2

2

? 4 ? ? 7 ? ? 4 ? ? 7 ? 当 x ? 2 时, ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?1 ? 65 ? ? 65 ? ? 65 ? ? 65 ?
这说明 x ? 2 与 x ? 2 的数都不是方程的解,从而原方程仅有唯一解 x ? 2 。 拓展训练:解方程 5x ? 1 ? 2x (2 ? 2x ) 。 (答: x ? 2 ) 点 评 :解 该类 型题 有 两大 步 骤: 首先 通过 观 察找 出 其特 解 x0 , 然后 等 价转 化 为

x

x

2

2

f ( x) ? a(a为常数) 的形式,最后根据 f ( x ) 的单调性得出原方程的解的结论。
三. 妙求函数的值域 例 3. 求函数 y ?

cos2 x ? 6 cos x ? 10 (0 ? x ? ? ) 的值域。 3 ? cos x
1 t?3

解:令 cos x ? t ,则

y ? f (t ) ? t ? 3 ?

因为 0 ? x ? ? ,所以 ?1 ? t ? 1 而 f ( t ) 在 t ? ?1,1 内递增 所以 f ( ?1) ? f (t ) ? f (1) 又 f ( ?1) ? 而

?

?

5 17 ,f (1) ? 2 4

5 17 ? f ( x) ? 2 4

所以 ? ,

?5 ?2

17 ? 为所求原函数的值域。 4? ?

四. 巧解不等式 例 4. 解不等式 log5 (1 ?

x ) ? log16 x

解:设 t ? log16 x,则x ? 165 , x ? 4t 原不等式可化为 log5 (1 ? 4t ) ? t

? 1? ? 4 ? 则 1 ? 4 ? 5 ,即 ? ? ? ? ? ? 1 ? 5? ? 5 ?
t t

t

t

设 f (t ) ? ? ? ? ? ? 显然 f ( t ) 是 R 上的减函数,且 1 ? f (1) ,那么不等式

? 1? ? 5?

t

? 4? ? 5?

t

即 f (t ) ? f (1) ? t ? 1 因此有 log16 x ? 1 ,解得 0 ? x ? 16 点评:解不等式其实质是研究相应函数的零点,正负值问题。用函数观点来处理此类问 题,不仅可优化解题过程,且能让我们迅速获得解题途径。 拓展训练:解不等式 (5x ? 3) 3 ? x 3 ? 6x ? 3 ? 0 。 (答: x ? ?

1 ) 2

五. 巧证不等式 例 5. 设 a ? 0,b ? 0,m ? 0,n ? 0 ,求证

a m? n ? bm? n a m ? bm a n ? bn ? · 。 2 2 2

证明:当 m,n 中至少有一个为 0 时,则有 立。 设 m ? 0,n ? 0

a m? n ? bm? n a m ? bm a n ? bn ? · ,结论成 2 2 2

因为 y ? x? (? ? 0) 在 (0, ? ?) 上单调递增
m m n n 所以 a ? b 与 a ? b 必同号,或同为 0(当且仅当 a ? b 时)

从而 (a ? b )(a ? b ) ? 0
m m n n

? a m? n ? bm? n ? a mbn ? a nbm ? a m? n ? bm? n a m ? bm a n ? bn ? · 2 2 2
m? n

因此,原不等式成立(当且仅当 a ? b 或 m ? 0 ,或 n ? 0 时取“=”号) 。

? bm? n ? a mbn ? a nbm ? (a m ? bm )(a n ? bn ) ? 0 ,这可由 ? 幂函数 y ? x (? ? 0) 在 (0, ? ?) 上递增而得到。
点评:原不等式等价于 a 本题可拓展:令 m ? sin
2

?,n ? cos2 ? ,则 a ? b ? a sin ?bcos
2

2

?

? a cos ? bsin ? 。
2 2

六. 巧解恒成立问题 例 6. 已知函数 f ( x ) ? lg 取值范围。 解:依题意,

1 ? 2 x ? 3x a 对区间 ? ??,1 上的一切 x 值恒有意义,求 a 的 3

?

1 ? 2 x ? 3x a ?0 3

对 ??,1 上任意 x 的值恒成立

?

?

整理为 a ? ?? ? ? ? ? 对 ??,1 上任意 x 的值恒成立。

? 1? ? 3?

x

? 2? ? 3?

x

?

?

? 1? ? 2 ? 设 g ( x ) ? ?? ? ? ? ? ,只需 a ? g ( x ) max ? 3? ? 3?
而 g ( x ) 在 ??,1 上是增函数 则 g ( x ) max ? g (1) ? ?1 所以 a ? ?1 七. 巧建不等关系

x

x

?

?

设 FB ? ? AF 。若 ? ? 4 , 9 ,求 l 在 y 轴上的截距的变化范围。 解:设 A( x1,y1 ) ,B( x2 ,y2 ) 由 FB ? ? AF ,得

?

例 7. 给定抛物线 C:y 2 ? 4 x , F 是 C 的焦点, 过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点,

?

?

?

?

?

? x2 ? 1 ? ? (1 ? x1 ) ? ? y2 ? ??y1 ? y12 ? 4 x1 ? 又? 2 ? ? y2 ? 4 x2
所以 B(?,2

(1) ( 2) (3) ( 4)

联立(1) (2) (3) (4) ,解得 x2 ? ?

? ) 或 (?, ? 2 ? )
? ( x ? 1) 或 (? ? 1) y ? ?2 ? ( x ? 1)
2 ? ?2 ? 或 ? ?1 ? ?1

所以 l 的方程为 (? ? 1) y ? 2

当 y ? 4 , 9 时, l 在 y 轴的截距为 令 f (? ) ?

?

?

2 ? ,则 ? ?1

? ?1 ?1 ? ? ?2 ? ? ?0 f '( ? ) ? ? ? 2 ( ? ? 1) ( ? ? 1) 2
所以 f ( ? ) 在[4,9]上是减函数 故

3 2 ? 4 4 ?2 ? 3 ? ? 或? ? ?? 4 ? ?1 3 3 ? ?1 4

所以直线 l 在 y 轴上截距的取值范围是:

3? ? 3 4 ? ? 4 ? , ? ? ?? , ? ? 4 ? ? 4 3? ? 3
八. 巧解数列问题 例 8. 已知数列 ?bn ? 是等差数列, b1 ? 1,b1 ? b2 ? ? ? b10 ? 145 。 (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)设数列 ?an ? 的通项 an ? loga (1 ?

1 )(a ? 0,且a ? 1) ,Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项 bn

和,试比较 Sn 与 log a bn ? 1 的大小,并证明你的结论。 解: (1)由 b1 ? b2 ? ? ? b10 ? 145 , b1 ? 1 有 10b1 ? 得d ? 3 因此 bn ? b1 ? (n ? 1)3 ? 3n ? 2 (2) Sn ? loga (1 ? 1) ? loga ? 1 ? ? ? ? ? loga ? 1 ?

1 3

10 ? 9 d ? 145 2

? ?

1? 4?

? ?

1 ? ? 3n ? 2 ?

1 ?? ? ? 1? ? ? loga ?(1 ? 1)? 1 ? ? ?? 1 ? ? ? 4 ? ? 3n ? 2 ? ? ? ?
1 log a bn ?1 ? log a 3 3n ? 1 3

1? ? 1 ? ? (1 ? 1)? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? 4? ? 3n ? 2 ? 设 f ( n) ? (n 为正整数) 3 3n ? 1

1? ? 1 ?? 1 ?3 ? (1 ? 1)? 1 ? ? ?? 1 ? ? ?1 ? ? 3n ? 1 ? f ( n ? 1) 4? ? 3n ? 2 ? ? 3n ? 1? 则 ? 1? ? 1 ?3 f ( n) ? (1 ? 1)? 1 ? ? ?? 1 ? ? 3n ? 4 ? 4? ? 3n ? 2 ? ?3 27n3 ? 54n2 ? 36n ? 8 ?1 27n3 ? 54n2 ? 27n ? 4

所以 f (n ? 1) ? f (n) 即 f ( n) 在 n ? N 上是递增的
*

从而 f ( n) ? f (1) ?

3

2 ?1 4

即 (1 ? 1)? 1 ? ? ?? 1 ? 所以当 a ? 1 时, Sn ? 当 0 ? a ? 1时, S n ? 一、求值

? ?

1? 4?

? ?

1 ? 3 * ? ? 3n ? 1(n ? N ) ? 3n ? 2

1 loga bn ?1 3 1 log a bn ?1 3

3 ? ?( x ? 1) ? 1997( x ? 1) ? ?1 例 1 设 x,y 为实数,且满足 ? ,则 x ? y ? _______。 3 ? ( y ? 1 ) ? 1997 ( y ? 1 ) ? 1 ?

解:由已知条件,可得:
3 ? ?( x ? 1) ? 1997( x ? 1) ? ?1 ? 3 ? ?(1 ? y) ? 1997(1 ? y) ? ?1

故若设 f (t ) ? t 3 ? 1997t ,则上述条件即为: f ( x ? 1) ? f (1 ? y) ? ?1 。 又易知函数 f (t ) ? t 3 ? 1997t 在 R 上是单调增函数,所以由上式有: x ? 1 ? 1 ? y ,即: x ? y ? 2。

二、解方程 例 2 解方程 (5x ? 3) 3 ? x 3 ? 6x ? 3 ? 0 。 解:原方程变为:

(5x ? 3) 3 ? (5x ? 3) ? ?(x 3 ? x) 。
设 f (x) ? x 3 ? x ,则原方程即为: f (5x ? 3) ? ?f ( x ) ,又 f (? x ) ? ?f ( x ) ,从而原方程即 为: f (5x ? 3) ? f (? x ) 。 又易知函数 f (x) ? x 3 ? x 在 R 上单调递增,所以有 5 x ? 3 ? ? x ,解得原方程的解为:

1 x?? 。 2
三、求最值 例 3 已知点 B(0,6) ,C(0,2) ,试在 x 轴正半轴上求一点 A,使得∠BAC 最大。 解:设 A(a,0) ,则 a>0,∠BAC=α ,易知 ? ? (0, ) 。

? 2

k ? k AB 4a 4 ?6 2 。又因为 a>0 所 ? 2 ? ,k AC ? ? ,所以 tan ? ? AC 12 1 ? k AC k AB a ? 12 a a a? a 12 12 ?2 a? ?4 3。 以a ? a a
因为 k AB ? 所以 tan ? ?

3 3 ,当且仅当 a ? 2 3 时 tan ? 有最大值为 。 3 3 3 ? ? ? 。即∠ )上是单调递增的,所以α 的最大值为 arctan 3 6 2

又函数 y ? tan ? 在(0, BAC 的最大值为

? ,此时 A( 2 3 ,0) 。 6

四、比较大小 例 4 已知 a>1,且 a x ? loga y ? a y ? loga x ,试比较 x,y 的大小。 解:由条件得: a x ? 1og a x ? a y ? loga y 。 引入函数 f (t ) ? a t ? loga t ,则上式即为:

f ( x ) ? f ( y) 。
易知函数 f (t ) ? a t ? loga t 在(0,+∞)上是增函数,所以 x ? y 。 五、证明不等式 例 5 设 a∈R,求证: a 8 ? a 5 ? a 2 ? a ? 1 ? 0 。 证明:当 a ? 0 或 a=1 时,不等式显然成立。 当 a>1 时,函数 y ? a x 在 R 上是增函数, 所以 a 8 ? a 5,a 2 ? a ,所以 a 8 ? a 5 ? a 2 ? a ? 1 ? 0 ; 当 0 ? a ? 1 时,函数 y ? a x 在 R 上是减函数,

1 ? a ,又 a 8 ? 0 。 所以 a 2 ? a 5,
所以 a 8 ? a 5 ? a 2 ? a ? 1 ? 0 故对一切 a∈R,不等式 a 8 ? a 5 ? a 2 ? a ? 1 ? 0 成立。 六、求参数范围 例 6 已知关于 n 的不等式

1 1 1 1 1 2 ? ? ? ?? ? loga (a ? 1) ? 对一切大 n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 12 3

于 1 的自然数都成立,试求实数 a 的取值范围。

解:设 f (n) ?

1 1 1 1 ? ? ? ?? (n ? N,n ? 2) 。 n ?1 n ? 2 n ? 3 2n
1 1 1 1 ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 (2n ? 1)( 2n ? 2)

因为 f (n ? 1) ? f (n ) ?

1 1 7 ? ? ,故而要使 3 4 12 1 2 7 1 2 f (n) ? loga (a ? 1) ? 对一切 n ? 2 ,n∈N 恒成立,则需且只需 ? loga (a ? 1) ? , 12 3 12 12 3 即 loga (a ? 1) ? ?1成立即可。
所以 f (n ) 是关于 n 的单调增函数且当 n ? 2 时, f (n) ? f (2) ? 所以 0 ? a ? 1 ?

1? 5 1 ,解得: 1 ? a ? 。 2 a

故所求 a 的取值范围为

{a | 1 ? a ?

1? 5 }。 2

例 7 设函数

1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? (n ? 1) x ? n x ? a 1] 时, f (x) (a∈R, n∈N, n≥2) , 若当 x ? (??, n 有意义,求 a 的取值范围。 f ( x ) ? lg
1] 上有意义,应有在 x ? (??, 1] 时 解:要使原函数在 (??,

1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? (n ? 1) x ? n x ? a ? 0 ,即 1 ? 2 x ? 3x ? ? ? (n ? 1) x ? n x ? a ? 0 成立。 n
所以 a ? ?[( ) x ? ( ) x ? ( ) x ? ? ? (

1 n

2 n

3 n

n ?1 x 1] ) ] , x ? (??, n n ?1 x ) ], n

(*)

记 g(x) ? ?[( ) x ? ( ) x ? ( ) x ? ? ? (

1 n

2 n

3 n

1] 上都是增函数, 因为每一个 ? ( ) x (k ? 1 , 2, ?,n ? 1) 在 (??, 1] 上是增函数,从而它在 x=1 时取得最大值 所以 g( x ) 在 (??,

k n

1 2 3 n ?1 g(1) ? ?( ? ? ? ? ? ) n n n n 1 ? ? (n ? 1) 2
所以(*)式等价于 a ? ? (n ? 1) 也就是 a 的取值范围是 {a | a ? ? (n ? 1)} 。

1 2

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