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2014年广西高考数学考前静悟篇

时间:2014-04-10


2014 年广西高考数学考前静悟篇
云帆高考命题研究中心 编制

专题三

高考易错点分类例析——最后的查缺补漏
集合、逻辑用语、函数与导数

易错点 1 遗忘空集致误 例 1 已知 A={x∈R|x<-1 或 x>4},B={x∈R|2a≤x≤a+3},若 A∪B=A,则实数 a 的取值范围是________. ?2a≤a+3 ? 错解 由 A∪B=A 知,B?A,∴? ,解得 a<-4 或 2<a≤3.∴实数 a 的取值范围是 a<-4 或 ? ?2a>4或a+3<-1 2<a≤3. 错因分析 由并集定义容易知道,对于任何一个集合 A,都有 A∪?=A,所以错解忽视了 B=?时的情况. ?2a≤a+3 ? 正解 由 A∪B=A 知,B?A.①当 B≠?时,有? ,解得 a<-4 或 2<a≤3; ? ?2a>4或a+3<-1 ②当 B=?时,由 2a>a+3,解得 a>3.综上可知,实数 a 的取值范围是 a<-4 或 a>2. 易错突破 造成本题错误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质. 当题目中出现 A?B, A∩B =A,A∪B=B 时,注意对 A 进行分类讨论,即分为 A=?和 A≠?两种情况讨论. 1? ? 补偿练习 1 (1)已知集合 A=?-1,2?,B={x|mx-1=0},若 A∩B=B,则所有实数 m 组成的集合是( ) ? ? 1? ? 1 ? ? A.{0,-1,2} B.?-2,0,1? C.{-1,2} D.?-1,0,2? ? ? ? ? 答案 A 1? ?1? 1 ? 解析 当 m=0 时,B=?,符合题意;当 m≠0 时,B=?m?,若 B?A,则 ∈?-1,2?, m ? ? ? ? ∴m=-1 或 m=2.故 m=0,或 m=-1,或 m=2. (2)已知集合 A={x|x2+(p+2)x+1=0,p∈R},若 A∩R*=?,则实数 p 的取值范围为____________. 答案 (-4,+∞) Δ=?p+2? -4≥0, ? ? ? ?p≥0或p≤-4, * * 解析 由于 A∩R =?,先求 A∩R ≠?的情况有? p+2 即? 解得 p≤-4. ?p<-2, ? ?- 2 >0, ? 故当 A∩R*=?时,p 的取值范围是(-4,+∞). 易错点 2 忽视元素互异性致误 例 2 已知集合 A={1,x,2},B={1,x2},若 A∪B=A,则 x 的不同取值有________种情况. ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 错解 由 x2=2,解得 x1= 2,x2=- 2.由 x2=x,解得 x3=0,x4=1. ∴选 D. 错因分析 当 x=1 时,集合 A、B 中元素不满足互异性,错解中忽视了集合中元素的互异性,导致错误. 正解 ∵A∪B=A,∴B?A. ∴x2=2 或 x2=x.由 x2=2,解得 x=± 2,由 x2=x,解得 x=0 或 x=1.当 x=1 时,x2=1,集合 A、B 中元素 不满足互异性,所以符合题意的 x 为 2或- 2或 0,共 3 种情况,选 C. 易错突破 由集合的关系求参数的值应注意元素性质的具体情况,对求出的参数值要进行验证. 补偿练习 2 若 A={1,3,x},B={x2,1},且 A∪B={1,3,x},则这样的 x 为________. 答案 ± 3或 0 解析 由已知得 B?A,∴x2∈A 且 x2≠1.①x2=3,得 x=± 3,都符合.②x2=x,得 x=0 或 x=1,而 x≠1, ∴x=0.综合①②,共有 3 个值. 易错点 3 忽视区间的端点致误 x+3 例 3 记 f(x)= 2- 的定义域为 A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)] (a<1)的定义域为 B.若 B?A,则实数 a 的 x+1 取值范围是________. x+3 错解 由 2- ≥0,得 x<-1 或 x≥1.∴A=(-∞,-1)∪[1,+∞).由(x-a-1)(2a-x)>0 得(x-a-1)(x- x+1 1 ? 1 2a)<0.且 a<1,∴2a<x<a+1.∴B=(2a,a+1),∵B?A,∴2a>1 或 a+1<-1,∴a> 或 a<-2.∴a∈? ?2,1?∪(- 2 ∞,-2).
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错因分析 从 B?A 求字母 a 的范围时,没有注意临界点,区间的端点搞错. x+3 x-1 正解 ∵2- ≥0,得 ≥0,∴x<-1 或 x≥1,即 A=(-∞,-1)∪[1,+∞).∵(x-a-1)(2a-x)>0,得 x+1 x+1 (x-a-1)(x-2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1).∵B?A,∴2a≥1 或 a+1≤-1, 1 ? 1 1 即 a≥ 或 a≤-2,而 a<1,∴ ≤a<1 或 a≤-2.故所求实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪? ?2,1?. 2 2 补偿练习 3 设 A={x|1<x<2},B={x|x>a},若 A?B,则 a 的取值范围是__________. 答案 (-∞,1] 解析 因为 A?B 且 A≠B,利用数轴可知:a≤1. 易错点 4 对命题否定不当致误 例 4 命题“若 x,y 都是奇数,则 x+y 是偶数”的逆否命题是 ( ) A.若 x,y 都是偶数,则 x+y 是奇数 B.若 x,y 都不是奇数,则 x+y 不是偶数 C.若 x+y 不是偶数,则 x,y 都不是奇数 D.若 x+y 不是偶数,则 x,y 不都是奇数 错解 C 错因分析 “x,y 都是奇数”的否定中包含三种情况:“x 是奇数,y 不是奇数”,“x 不是奇数,y 是奇数”,“x, y 都不是奇数”,误把“x,y 都不是奇数”作为“x,y 都是奇数”的否定而错选 C. 正解 “都是”的否定是“不都是”,答案选 D. 易错突破 对条件进行否定时,要搞清条件包含的各种情况,全面考虑;对于和参数范围有关的问题,可以 先化简再否定. a2x+2x-3 补偿练习 4 已知集合 M={x| <0},若 2∈M,则实数 a 的取值范围是________. ax-1 1 答案 a≥ 2 2a2+1 1 1 解析 若 2∈M,则 <0,即(2a-1)(2a2+1)<0,∴a< ,∴当 2∈M 时,a 的取值范围为 a≥ . 2 2 2a-1 易错点 5 充分条件、必要条件颠倒致误 例 5 若 p:a∈R,|a|<1,q:关于 x 的二次方程 x2+(a+1)x+a-2=0 的一个根大于零,另一个根小于零,则 p是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 错解 B 错因分析 由 p?q 应得 p 是 q 的充分条件,错解颠倒了充分条件、必要条件. 正解 将两条件化简可得 p:-1<a<1,q:a<2, 易知 p?q,且 q?p, 故 p 是 q 的充分不必要条件,选 A. 易错突破 在解题时熟练运用以下几种方法即可减少失误: (1)定义法:直接利用定义进行判断; (2)逆否法(等价法):“p?q”表示 p 等价于 q.要证 p?q,只需证它的逆否命题綈 q?綈 p 即可,同理要证 p?q, 只需证綈 q?綈 p 即可,所以 p?q,只需綈 q?綈 p. (3)利用集合间的包含关系进行判断:如果条件 p 和结论 q 都是集合,那么若 p?q,则 p 是 q 的充分不必要 条件;若 p?q,则 p 是 q 的必要不充分条件;若 p=q,则 p 是 q 的充要条件,尤其对于数的集合,可以利 用小范围的数一定在大范围中,即小?大,会给我们的解答带来意想不到的惊喜. (4)举反例:要说明 p 是 q 的不充分条件,只要找到 x0∈{x|p},但 x0?{x|q}即可. 补偿练习 5 已知条件 p:|x+1|>4,条件 q:x>a,且綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是 ( A.(-3,+∞) B.[3,+∞) C.(-∞,3) D.(-∞,-3] 答案 B )

解析 由题意知,条件 p:x<-5 或 x>3,条件 q:x>a,所以綈 p:-5≤x≤3,綈 q:x≤a.因为綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,所以 a≥3. 易错点 6 忽视函数定义域致误 例 6 函数 y=log (x2-5x+6)的单调递增区间为____________. 51 ? -∞, 2 错解 ? 2? ? 错解分析 忽视了函数定义域,应加上条件 x2-5x+6>0. 正解 由 x2-5x+6>0 知{x|x>3 或 x<2}.令 u=x2-5x+6,则 u=x2-5x+6 在(-∞,2)上是减函数, ∴y=log (x2-5x+6)的单调递增区间为(-∞,2).
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易错突破 在研究函数问题时,不论什么情况,首先要考虑函数的定义域,这是研究函数的最基本原则. 补偿练习 6 若函数 f(x)=2x2-ln x 在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函 数,则实数 k 的取值范围是 ( ) 1 3 3 1 3 3 A.( , ) B.(1, ) C.( , ] D.[1, ) 2 2 2 2 2 2 答案 D 1 1 解析 由题意,知函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=4x- ,由 f′(x)=0,解得 x= . x 2 1 0≤k-1< , 2 1 1 3 所以函数 f(x)在(0, ]上单调递减,在[ ,+∞)上单调递增.故有 解得 1≤k< . 2 2 2 1 k+1> , 2

? ? ?

易错点 7 忽视二次项系数为 0 致误 例 7 函数 f(x)=(k-1)x2+2(k+1)x-1 的图象与 x 轴只有一个交点,则实数 k 的取值集合是__________. 错解 由题意知 Δ=4(k+1)2+4(k-1)=0.即 k2+3k=0,解得 k=0 或 k=-3.∴k 的取值集合是{-3,0}. 错因分析 未考虑 k-1=0 的情况而直接令 Δ=0 求解导致失解. 1 ? 正解 当 k=1 时,f(x)=4x-1,其图象与 x 轴只有一个交点? ?4,0?. 当 k≠1 时, 由题意得 Δ=4(k+1)2+4(k-1)=0, 即 k2+3k=0, 解得 k=0 或 k=-3.∴k 的取值集合是{-3,0,1}. 易错突破 对多项式函数或方程、不等式,如果含有参数,一定首先考虑最高次项系数为 0 的情况. 补偿练习 7 函数 f(x)=mx2-2x+1 有且仅有一个正实数零点,则实数 m 的取值范围是( ) A.(-∞,1] B.(-∞,0]∪{1} C.(-∞,0)∪{1} D.(-∞,1) 答案 B 1 解析 当 m=0 时,x= 为函数的零点;当 m≠0 时,若 Δ=0,即 m=1 时,x=1 是函数唯一的零点,若 Δ≠0, 2 显然 x=0 不是函数的零点,这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程 f(x)=mx2-2x+1=0 有一个正根 一个负根,即 mf(0)<0,即 m<0.故选 B. 易错点 8 分段函数意义不明致误 ? ?x≥6? ?x-5 例 8 已知:x∈N*,f(x)=? ,则 f(3)= . ?f?x+2? ?x<6? ?
?x-5 ?x-5 ?x≥6? ?x≥6? ? ? 错解 ∵f(x)=? ,∴f(x+2)=(x+2)-5=x-3,故 f(x)=? ,∴f(3)=3-3=0. ? ? ?f?x+2? ?x<6? ?x-3 ?x<6? 错因分析 没有理解分段函数的意义,f(x)=x-5 在 x≥6 的前提下才成立,f(3)应代入 x<6 化为 f(5),进而化 成 f(7). ? ?x≥6? ?x-5 正解 ∵f(x)=? ,∴f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2. ?f?x+2? ?x<6? ? ?log2?1-x?,x≤0 ? 补偿练习 8 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? ,则 f(2 013)的值为( ) ? ?f?x-1?-f?x-2?,x>0 A.-1 B.0 C.1 D.2 答案 B 解析 f(2 013)=f(2 012)-f(2 011)=f(2 011)-f(2 010)-f(2 011)=-f(2 010)=f(2 007)=f(3)=-f(0)=0. 易错点 9 函数单调性考虑不周致误 ?ax2+1,x≥0, ? 例 9 函数 f(x)=? 2 在(-∞,+∞)上单调,则 a 的取值范围是________. ax ? ??a -1?e ,x<0 错解 (-∞,1)∪(1,+∞) 错因分析 忽视了函数在定义域分界点上函数值的大小.

a<0, ? ? 2 正解 若函数在 R 上单调递减,则有?a -1>0, 解之得 a≤- 2; 2 0 ? ??a -1?e ≥1, a>0, ? ? 2 若函数在 R 上单调递增,则有?a -1>0, ? ??a2-1?e0≤1, 解得 1<a≤ 2,故 a 的取值范围是(-∞,- 2]∪(1, 2].

易错突破 分段函数的单调性不仅要使函数在各个段上具有单调性,还要考虑分界点上函数值大小.
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1? 补偿练习 9 已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x-1)<f? ?3?的 x 的取值范围是 1 2? A.? ?3,3? 答案 A 解析 1 2? B.? ?3,3? 1 2? C.? ?2,3? 1 2? D.? ?2,3?

(

)

1? 1 1 2 f(x)是偶函数,其图象关于 y 轴对称,又 f(x)在[0,+∞)上递增,∴f(2x-1)<f? ?3??|2x-1|<3?3<x<3. 易错点 10 混淆“过点”与“切点”致误 例 10 求过曲线 y=x3-2x 上的点(1,-1)的切线方程. 错解 ∵y′=3x2-2,∴k=y′|x=1=3× 12-2=1,∴切线方程为:y+1=x-1,即 x-y-2=0. 错因分析 混淆“过某一点”的切线和“在某一点处”的切线,错把(1,-1)当做切点. 正解 设 P(x0,y0)为切点,则切线的斜率为 y′|x=x0=3x2 0-2. 2 3 ∴切线方程为 y-y0=(3x0-2)(x-x0),即 y-(x0-2x0)=(3x2 0-2)(x-x0). 2 又知切线过点(1,-1),把它代入上述方程,得-1-(x3 0-2x0)=(3x0-2)(1-x0), 1 整理,得(x0-1)2(2x0+1)=0,解得 x0=1,或 x0=- . 2 1 3 1 故所求切线方程为 y-(1-2)=(3-2)(x-1),或 y-(- +1)=( -2)(x+ ),即 x-y-2=0 或 5x+4y-1= 8 4 2 0. 易错突破 过曲线上的点(1,-1)的切线与曲线的切点可能是(1,-1),也可能不是(1,-1).本题错误的根 本原因就是把(1,-1)当成了切点.解决这类题目时,一定要注意区分“过点 A 的切线方程”与“在点 A 处的 切线方程”的不同.虽只有一字之差,意义完全不同,“在”说明这点就是切点,“过”只说明切线过这个点, 这个点不一定是切点. 2 补偿练习 10 已知曲线 S:y=- x3+x2+4x 及点 P(0,0),则过点 P 的曲线 S 的切线方程为____________. 3 35 答案 y=4x 或 y= x 8 解析 设过点 P 的切线与曲线 S 切于点 Q(x0,y0),则过点 P 的曲线 S 的切线斜率 y′|x=x0=-2x2 0+2x0+4, y0 y 0 又 kPQ= ,所以-2x2 ① 0+2x0+4= , x0 x0 2 点 Q 在曲线 S 上,y0=- x3 +x2+4x0, ② 3 0 0 2 2 4 2 3 将②代入①得-2x2 0+2x0+4=- x0+x0+4,化简得 x0-x0=0,所以 x0=0 或 x0= , 3 3 4 3 105 35 若 x0=0,则 y0=0,k=4,过点 P 的切线方程为 y=4x;若 x0= ,则 y0= ,k= , 4 32 8 35 35 过点 P 的切线方程为 y= x.所以过点 P 的曲线 S 的切线方程为 y=4x 或 y= x. 8 8 易错点 11 函数极值点概念不清致误 例 11 已知 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值为 10,则 a+b=________. 错解 -7 或 0 错因分析 忽视了条件的等价性,“f′(1)=0”是“x=1 为 f(x)的极值点”的必要不充分条件. 正解 f′(x)=3x2+2ax+b,由 x=1 时,函数取得极值 10,得 ? ① ?f′?1?=3+2a+b=0,
? 2 ?f?1?=1+a+b+a =10, ?



?a=4, ?a=-3, ? ? 联立①②得? 或? 当 a=4,b=-11 时,f′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1)在 x=1 两 ? ? b =- 11 , b = 3. ? ? 侧的符号相反,符合题意. 当 a=-3,b=3 时,f′(x)=3(x-1)2 在 x=1 两侧的符号相同,所以 a=-3,b=3 不符合题意,舍去. 综上可知 a=4,b=-11,∴a+b=-7. 易错突破 对于可导函数 f(x):x0 是极值点的充要条件是在 x0 点两侧导数异号,即 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根 x0 的左右的符号:“左正右负”?f(x)在 x0 处取极大值;“左负右正”?f(x)在 x0 处取极小值,而不仅是 f′(x0)= 0.f′(x0)=0 是 x0 为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑 f′(x0)=0,又 考虑检验“左正右负”或“左负右正”,防止产生增根. 2+a 2 a-1 2 x4 b x4 b 补偿练习 11 已知函数 f(x)= + x3- x +2ax 在点 x=1 处取极值,且函数 g(x)= + x3- x -ax 在区 4 3 2 4 3 2 间(a-6,2a-3)上是减函数,求实数 a 的取值范围. 解 f′(x)=x3+bx2-(2+a)x+2a,由 f′(1)=0,得 b=1-a, 4

当 b=1-a 时,f′(x)=x3+(1-a)x2-(2+a)x+2a=(x-1)(x+2)(x-a), 如果 a=1,那么 x=1 就只是导函数值为 0 的点而非极值点,故 b=1-a 且 a≠1. g′(x)=x3+bx2-(a-1)x-a=x3+(1-a)x2-(a-1)x-a=(x-a)(x2+x+1). 当 x<a 时,g′(x)<0,g(x)在(-∞,a)上单调递减,∴(a-6,2a-3)?(-∞,a),∴a-6<2a-3≤a, 故所求 a 的范围为-3<a≤3.综上可知 a 的取值范围应为-3<a≤3 且 a≠1. 易错点 12 导数与函数单调性关系不准致误 例 12 函数 f(x)=x3-ax2-3x 在[2,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是________. 9 错解 (-∞, ) 4 错因分析 求函数的单调递增区间就是解导数大于零的不等式,受此影响,容易认为函数 f(x)的导数在区间 [2,+∞)上大于零,忽视了函数的导数在[2,+∞)上个别的点处可以等于零,这样的点不影响函数的单调性. 3 1 正解 由题意,知 f′(x)=3x2-2ax-3,令 f′(x)≥0(x≥2),得 a≤ (x- ). 2 x 3 1 3 1 9 9 记 t(x)= (x- ),当 x≥2 时,t(x)是增函数,所以 t(x)min= × (2- )= ,所以 a∈(-∞, ]. 2 x 2 2 4 4 9 经检验,当 a= 时,函数 f(x)在[2,+∞)上是增函数. 4

2 3 x ? 2ax 2 ? 3x( x ? R) 3 (Ⅰ)若 a ? 1 ,点 P 为曲线 y ? f ( x) 上的一个动点,求以点 P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 在 (0, ??) 上为单调增函数,试求 a 的最大整数值. 解: (Ⅰ)设切线的斜率为 k ,则 k ? f '( x) ? 2 x 2 ? 4 x ? 3 ? 2( x ? 1) 2 ? 1 , 5 5 ∵ x ? R ,∴当 x ? 1 时, k 取得最小值 1 , 又∵ f (1) ? ,则 P(1, ) 3 3 . 5 故所求切线方程为: y ? ? x ? 1 即 3x ? 3 y ? 2 ? 0 3 2 (Ⅱ) f '( x) ? 2 x ? 4ax ? 3 要使函数 y ? f ( x) 在 (0, ??) 上为单调增函数, 则对任意 x ? (0, ??) 都有 f '( x) ? 0 恒成立, x 3 2 即对任意 x ? (0, ??) 都有 2 x ? 4ax ? 3 ? 0 ? a ? ? 对 x ? (0, ??) 恒成立, 2 4x x 3 x 3 6 6 6 ?2 ? ? 由于 ? ,当且仅当 x ? 时取“=”,所以 a ? ,则 a 的最大整数值为1. 2 4x 2 4x 2 2 2
补偿练习 12 已知函数 f ( x) ?

三角函数与平面向量
易错点 13 忽视角的范围致误 5 10 例 13 已知 sin α= ,sin β= ,且 α,β 为锐角,则 α+β=________. 5 10 2 5 3 10 错解 ∵α、 β 为锐角, ∴cos α= 1-sin2α= , cos β= 1-sin2β= .∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin 5 10 5 3 10 2 5 10 2 π 3 β= × + × = .又 0<α+β<π.∴α+β= 或 α+β= π. 5 10 5 10 2 4 4 5 10 错因分析 错解中没有注意到 sin α= ,sin β= 本身对角的范围的限制,造成错解. 5 10 2 5 3 10 正解 因为 α,β 为锐角,所以 cos α= 1-sin2α= ,cos β= 1-sin2β= . 5 10 2 5 3 10 5 10 2 π 所以 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= × - × = ,又因为 0<α+β<π,所以 α+β= . 5 10 5 10 2 4 易错突破 对三角函数的求值问题,不仅要看已知条件中角的范围,还要挖掘隐含条件,根据三角函数值缩 小角的范围;本题中(0,π)中的角和余弦值一一对应,最好在求角时选择计算 cos(α+β)来避免增解. π π α+β - , ?,则 tan 补偿练习 13 已知方程 x2+4ax+3a+1=0 (a>1)的两根分别为 tan α,tan β,且 α,β∈? 的 ? 2 2? 2 值是________. 答案 -2 π π? 解析 因为 a>1,tan α+tan β=-4a<0,tan α· tan β=3a+1>0,所以 tan α<0,tan β<0.又 α,β∈? ?-2,2?,
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α+β 2tan 2 α+β ? π ? tan α+tan β - 4a 4 所以 α+β∈(-π, 0), 则 ∈?-2,0?.又 tan(α+β)= = = , 又 tan(α+β)= = 2 1-tan αtan β 1-?3a+1? 3 2α+β 1-tan 2 α+β α+β α+β α+β 1 4 ,整理,得 2tan2 +3tan -2=0,解得 tan =-2 或 tan = (舍去). 3 2 2 2 2 2 易错点 14 图象变换混乱致误 2 例 14 要得到 y=sin(-3x)的图象, 需将 y= (cos 3x-sin 3x)的图象向______平移______个单位(写出其中的一 2 种特例即可). π π 错解 右 或右 4 12 π π π 2 -3x?=sin?-3?x- ??.题目要求是由 y=sin?-3x+ ?→y=sin(- 错因分析 y= (cos 3x-sin 3x)=sin? 4? ?4 ? ? ? 12?? ? 2 π π 3x).右移 平移方向和平移量都错了;右移 平移方向错了. 4 12 π π π 2 -3x?=sin?-3?x- ??,要由 y=sin?-3?x- ??到 y=sin(-3x)只需对 正解 y= (cos 3x-sin 3x)=sin? ?4 ? ? ? 12?? ? ? 12?? 2 π 2 π x 加上 即可,因而是对 y= (cos 3x-sin 3x)向左平移 个单位. 12 2 12 φ 易错突破 函数图象的左右平移是自变量 x 发生变化,如 ωx→ωx± φ(φ>0)这个变化的实质是 x→x± ,所以 ω 平移的距离并不是 φ. π 补偿练习 14 将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平移 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 10 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是 ( ) π π 1 π? 1 π? ? ? A.y=sin? B.y=sin? C.y=sin? D.y=sin? ?2x-10? ?2x-5? ?2x-10? ?2x-20? 答案 C π? π 解析 将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平移 个单位长度,所得函数图象的解析式为 y=sin? ?x-10?; 10 1 π? 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是 y=sin? ?2x-10?.故选 C. 易错点 15 解三角形多解、漏解致误 例 15 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c 且 a=1,c= 3. π π (1)若 C= ,求 A;(2)若 A= ,求 b,c. 3 6 a c asin C 1 π 5π 错解 (1)在△ABC 中, = ,∴sin A= = ,∴A= 或 . sin A sin C c 2 6 6 a c csin A 3 π π π (2)由 = 得 sin C= = ,∴C= ,由 C= 知 B= ,∴b= a2+c2=2. sin A sin C a 2 3 3 2 错因分析 在用正弦定理解三角形时,易出现漏解或多解的错误,如第(1)问中没有考虑 c 边比 a 边大,在 asin C 1 π 5π csin A 3 求得 sin A= = 后, 得出角 A= 或 ; 在第(2)问中又因为没有考虑角 C 有两解, 由 sin C= = , c 2 6 6 a 2 π π 只得出角 C= ,所以角 B= ,解得 b=2.这样就出现漏解的错误. 3 2 a c asin C 1 正解 (1)由正弦定理得 = ,即 sin A= = . sin A sin C c 2 π 3· sin 6 π π a c csin A 3 π 2π π 又 a<c,∴A<C,∴0<A< ,∴A= .(2)由 = ,得 sin C= = = ,∴C= 或 .当 C= 3 6 sin A sin C a 1 2 3 3 3 π 2π π 时,B= ,∴b=2;当 C= 时,B= ,∴b=1.综上所述,b=2 或 b=1. 2 3 6 易错突破 已知两边及其中一边的对角解三角形时, 注意要对解的情况进行讨论, 讨论的根据一是所求的正 弦值是否合理,当正弦值小于等于 1 时,还应判断各角之和与 180° 的关系;二是两边的大小关系. 补偿练习 15 在△ABC 中,B=30° ,AB=2 3,AC=2,求△ABC 的面积. AB· sin B 3 解 由正弦定理得 sin C= = .又因为 AB>AC,所以 C=60° 或 C=120° .当 C=60° 时,A=90° , AC 2

6

1 1 1 1 1 于是 S△ABC= AB· AC· sin A= × 2 3× 2× 1=2 3.当 C=120° 时, A=30° , 于是 S△ABC= AB· AC· sin A= × 2 3× 2× 2 2 2 2 2 = 3.故△ABC 的面积是 2 3或 3. 易错点 16 向量夹角定义不明致误 → → → → → → 例 16 已知等边△ABC 的边长为 1,则BC· CA+CA· AB+AB· BC=________. → → → → → → 错解 ∵△ABC 为等边三角形,∴|BC|=|CA|=|AB|=1,向量AB、BC、CA间的夹角均为 60° . → → → → → → 1 → → → → → → 3 ∴BC· CA=CA· AB=AB· BC= .∴BC· CA+CA· AB+AB· BC= . 2 2 → → 错因分析 数量积的定义 a· b=|a|· |b|· cos θ,这里 θ 是 a 与 b 的夹角,本题中BC与CA夹角不是∠C.两向量的 → → 夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角,如图BC与CA的夹角应是∠ACD. → → 正解 如图BC与CA的夹角应是∠ACB 的补角∠ACD,即 180° -∠ACB=120° . 1 → → → → → → → 又|BC|=|CA|=|AB|=1,所以BC· CA=|BC||CA|cos 120° =- . 2 1 3 → → → → → → → → → → 同理得CA· AB=AB· BC=- .故BC· CA+CA· AB+AB· BC=- . 2 2 易错突破 在判断两向量的夹角时,要注意把两向量平移到共起点,这样才不至于判断错误.平面向量与三 角函数的结合,主要是指题设条件设臵在向量背景下,一旦脱去向量的“外衣”,实质上就变成纯三角问题. → → 补偿练习 16 在正三角形 ABC 中,D 是边 BC 上的点,AB=3,BD=1,则AB· AD=________. 15 答案 2 解析 方法一 在△ABD 中,由余弦定理得 AD2=32+12-2× 3× 1× cos 60° =7, 32+? 72 ? -12 5 7 → → → → ∴AD= 7,cos∠BAD = = ,∴AB· AD=|AB|· |AD|· cos∠BAD=3× 7 14 2× 3× 7 5 7 15 × = . 14 2 → → → → → → → → →2 → → → 2 → → ?-1?=15. 方法二 ∵AD=AB+BD, ∴AB· AD=AB· (AB+BD)=AB +AB· BD=|AB| +|AB||BD|· cos 120° =9+3× 1× ? 2? 2 易错点 17 忽视向量共线致误 例 17 已知 a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,a 与 b 的夹角为 θ.若 θ 为锐角,则 λ 的取值范围是__________. 2λ+1 2λ+1 a· b 错解 ∵cos θ= = .因 θ 为锐角,有 cos θ>0,∴ >0?2λ+1>0, 2 |a|· |b| 5· λ +1 5· λ2+1 1 1 ? 得 λ>- ,λ 的取值范围是? ?-2,+∞?. 2 错因分析 当向量 a, b 同向时, θ=0, cos θ=1 满足 cos θ>0, 但不是锐角. 正解

∵θ 为锐角, ∴0<cos θ<1. 1 ? ?λ>-2, ?2λ+1>0, 2λ+1 2λ+1 2λ+1 a· b 又∵cos θ= = ,∴0< 且 ≠1,∴? ,解得? ∴ |a|· |b| 5· λ2+1 5· λ2+1 5· λ2+1 ?2λ+1≠ 5· λ2+1 ?λ≠2. ? 1 ? ? λ 的取值范围是?λ|λ>-2且λ≠2?.
? ?

易错突破 在解决两向量夹角问题时,一般地,向量 a,b 为非零向量,a 与 b 的夹角为 θ,则①θ 为锐角 ?a· b>0 且 a,b 不同向;②θ 为直角?a· b=0;③θ 为钝角?a· b<0 且 a,b 不反向. π 补偿练习 17 设两个向量 e1,e2,满足|e1|=2,|e2|=1,e1 与 e2 的夹角为 .若向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝 3 角,求实数 t 的范围. 解 ∵2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角,∴(2te1+7e2)· (e1+te2)<0 且 2te1+7e2≠λ(e1+te2)(λ<0).由(2te1+ 1 7e2)· (e1+te2)<0 得 2t2+15t+7<0,∴-7<t<- .若 2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0),∴(2t-λ)e1+(7-tλ)e2=0. 2 ? ?2t-λ=0 14 1 14 ∴? ,即 t=- ,∴t 的取值范围为-7<t<- 且 t≠- . 2 2 2 ?7-tλ=0 ?

数列与不等式
易错点 18 运用公式“an=Sn-Sn-1”不当致误 - 例 18 已知数列 {an} 对任意的 n ∈N* 都满足 a1 + 2a2 + 22a3 + … + 2n 1an = 8- 5n ,则数列 {an} 的通项公式为 ________. - - 错解 ∵a1+2a2+22a3+…+2n 1an=8-5n,∴a1+2a2+22a3+…+2n 2an-1=8-5(n-1),
7

5 - 两式相减,得 2n 1an=-5,∴an=- n-1. 2 错因分析 当 n=1 时, 由题中条件可得 a1=3, 而代入错解中所得的通项公式可得 a1=-5, 显然是错误的. 其 原因是:两式相减时,所适用的条件是 n≥2,并不包含 n=1 的情况.只有所求的通项公式对 n=1 时也成立, 才可以这样写,否则要分开写. - - 正解 当 n≥2 时,由于 a1+2a2+22a3+…+2n 1an=8-5n,那么 a1+2a2+22a3+…+2n 2an-1=8-5(n-1), 5 5 - 两式对应相减可得 2n 1an=8-5n-[8-5(n-1)]=-5,所以 an=- n-1.而当 n=1 时,a1=3≠- 1-1=-5, 2 2 3, ? ? 所以数列{an}的通项公式为 an=? 5 - n-1, ? 2 ? n=1, n≥2.

易错突破 本题实质上已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求通项 an 与 Sn 的关系中,an=Sn-Sn-1,成立的条件是 n≥2,求出的 an 中不一定包括 a1,而 a1 应由 a1=S1 求出,然后再检验 a1 是否在 an 中,这是一个典型的易错 点. 补偿练习 18 已知数列{an}的前 n 项之和为 Sn=n2+n+1,则数列{an}的通项公式为__________. ? ?3,n=1, 答案 an=? 解析 当 n=1 时,a1=S1=3;当 n≥2 时,an=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n, ?2n,n≥2 ?
? ?3,n=1, ∴an=? ? ?2n,n≥2. 易错点 19 忽视等比数列公比的条件致误 例 19 各项均为实数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40 等于( ) A.150 B.-200 C.150 或-200 D.400 或-50 错解 C 错因分析 数列 S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30 的公比 q10>0.忽略了此隐含条件,就产生了增解-200. 正解 记 b1=S10,b2=S20-S10,b3=S30-S20,b4=S40-S30, b1,b2,b3,b4 是以公比为 r=q10>0 的等比数列.∴b1+b2+b3=10+10r+10r2=S30=70, 10?1-24? ∴r2+r-6=0,∴r=2,r=-3(舍去),∴S40=b1+b2+b3+b4= =150. 1-2 易错突破 在等比数列中,公比的条件在使用中要注意隐含条件,Sn 中 q≠1;构造新数列要注意新数列的公 比和原公比的关系,如等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30 的公比为 q10>0. 补偿练习 19 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=S9,则数列的公比 q=________. 答案 1 或-1 解析 ①当 q=1 时,S3+S6=9a1,S9=9a1,∴S3+S6=S9 成立.②当 q≠1 时,由 S3+S6=S9, a1?1-q3? a1?1-q6? a1?1-q9? 得 + = ∴q9-q6-q3+1=0,即(q3-1)(q6-1)=0.∵q≠1,∴q3-1≠0,∴q6=1,∴q= 1-q 1-q 1-q -1. 易错点 20 数列最值意义不清致误 an 例 20 已知数列{an}满足 a1=33,an+1-an=2n,则 的最小值为________. n 错解 2 33-1 错因分析 忽视了 n 为正整数,直接利用基本不等式求最值,要注意和函数最值的区别. an 33 33 正解 an=n2-n+33,∴ =n+ -1.又 f(x)=x+ -1(x>0)在[ 33,+∞)上为增函数,在(0, 33]上为减 n n x a 53 21 21 n? 函数.又 n∈N*,f(5)= ,f(6)= ,∴? ? n ?min=f(6)= 2 . 5 2 易错突破 研究数列的最值问题时,往往借助函数的思想利用导数研究数列的单调性来解决.关于正整数 n 的对勾函数,使其取最值的点就是在离单调区间分界点距离最近的那两个点中取得,代入检验,便可确定最 值. 补偿练习 20 若数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-10n(n=1,2,3,…),则数列{nan}中数值最小的项是第________项. 答案 3 解析 当 n=1 时,a1=S1=-9;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-10n-(n-1)2+10(n-1)=2n-11. 11 可以统一为 an=2n-11(n∈N*)故 nan=2n2-11n,该关于 n 的二次函数的对称轴是 n= , 4 考虑到 n 为正整数,且对称轴离 n=3 较近,故数列{nan}中数值最小的项是第 3 项. 易错点 21 数列递推关系转化不当致误

8

2x 2 an 已知函数 f(x)= ,数列{an}满足 a1= ,an+1=f(an),bn= ,n∈N*,求数列{bn}的通项公式. 3 x+1 1-an 2x 2an 错解 ∵f(x)= ,∴an+1=f(an)= ,∴an+1an+an+1-2an=0,an(an+1-2)+an+1=0. x+1 an+1 错因分析 递推关系转化不当,无法求出 bn. 2x 2an 1 1 1 1 1 1 an 正解 ∵f(x)= ,∴an+1=f(an)= ,∴ = + .∴ -1= ( -1),又 bn= , 2 an x+1 an+1 an+1 2 2an an+1 1- an 1 1 1 1 1 a1 ∴ = -1,∴ = · ,∴bn+1=2bn,又 b1= =2,∴{bn}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列, bn an bn+1 2 bn 1-a1 ∴bn=2n. 易错突破 解决递推数列问题的基本原则是根据递推数列的特征进行转化.掌握以下几类递推关系的转化, 可极大地提高解题效率. ①an+1=qan+k 形式可用待定系数法:an+1+λ=q(an+λ); man ②an+1= 形式可用取倒数法; an+n an+1 1 an ③观察法,如 an+1=2(1+ )2an? =2·2. n n ?n+1?2 例 21 补偿练习 21 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ? 2 .
n

(Ⅰ)设 bn ?

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n . 2n ?1

易错点 22 忽视基本不等式的应用条件致误 2 例 22 函数 y=x+ 的值域是________. x-1 错解 [2 2+1,+∞) 错因分析 错解中直接使用基本不等式,而忽视了应用条件 x-1>0 时的情况被忽视. 2 2 2 正解 当 x>1 时,y=x+ =x-1+ +1≥2 ?x-1?· +1=2 2+1,当且仅 x-1 x-1 x-1 2 2 2 当 x-1= ,即 x=1+ 2时等号成立;当 x<1 时,-y=-x+ =1-x+ -1 x-1 1- x 1-x 2 2 ≥2 ?1-x?· -1=2 2-1,∴y≤1-2 2;当且仅当 1-x= ,即 x=1- 2时等号成立. 1-x 1-x ∴原函数的值域为(-∞,1-2 2]∪[1+2 2,+∞). 易错突破 利用基本不等式求最值时,无论怎样变形,均需满足“一正,二定,三相等”的条件.本例由于忽 a+b 视了 x-1 的正、负问题,导致结果错误.在应用基本不等式 ≥ ab时,首先应考虑 a,b 是否为正值. 2 补偿练习 22 函数 f(x)=1+loga x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-2=0 上,其中 mn>0,
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1 1 则 + 的最小值为________. m n 答案 2 解析 因为 loga 1=0,所以 f(1)=1,故函数 f(x)的图象恒过定点 A(1,1),由题意,知点 A 在直线 mx+ny-2 1 1 1 1 1 1 n m n m =0 上,所以,m+n-2=0,即 m+n=2.而 + = ( + )× (m+n)= (2+ + ),因为 mn>0,所以 >0, > m n 2m n 2 m n m n n m n m 1 1 1 n m 1 0.由基本不等式, 可得 + ≥2 × =2(当且仅当 m=n 时等号成立), 所以 + = × (2+ + )≥ × (2+2)=2, m n m n m n 2 m n 2 1 1 即 + 的最小值为 2. m n 易错点 23 解含参数不等式讨论不当致误 例 23 解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0. 1 ? 1? 1 错解 原不等式化为 a(x- )(x-1)<0.∴当 a>1 时, 不等式的解集为? 不等式的解集为? ?a,1?.当 a<1 时, ?1,a?. a 错因分析 解本题容易出现的错误是:(1)认定这个不等式就是一元二次不等式,忽视了对 a=0 时的讨论; (2)在不等式两端约掉系数 a 时,若 a<0,忘记改变不等号的方向;(3)忽视了对根的大小的讨论,特别是等 根的讨论;(4)分类讨论后,最后对结论不进行整合. 正解 当 a=0 时,不等式的解集为{x|x>1}. 1? ? 1? 当 a≠0 时,不等式化为 a? ?x-a?(x-1)<0.当 a<0 时,原不等式等价于?x-a?(x-1)>0,不等式的解集为{x|x>1 1 1 1 1 1 或 x< };当 0<a<1 时,1< ,不等式的解集为{x|1<x< };当 a>1 时, <1,不等式的解集为{x| <x<1}; a a a a a 1 ? 当 a=1 时,不等式的解集为?.综上所述,当 a<0 时,不等式的解集为? ?-∞,a?∪(1,+∞);当 a=0 时,不 1? 等式的解集为(1,+∞);当 0<a<1 时,不等式的解集为? ?1,a?;当 a=1 时,不等式的解集为?;当 a>1 时,不等 1 ? 式的解集为? ?a,1?. 易错突破 解形如 ax2+bx+c>0 的不等式,应对系数 a 分 a>0,a=0,a<0 进行讨论,还要讨论各根的大小, 最后根据不同情况分别写出不等式的解集. 补偿练习 23 设不等式 x2-2ax+a+2≤0 的解集为 M,如果 M?[1,4],求实数 a 的取值范围. 解 设 f(x)=x2-2ax+a+2, 有 Δ=(-2a)2-4(a+2)=4(a2-a-2). ①当 Δ<0, 即-1<a<2 时, M=?, ??[1,4]; ②当 Δ=0,即 a=-1 或 2 时,若 a=-1,则 M={-1}?[1,4],若 a=2,则 M={2}?[1,4];③当 Δ>0,即 a<-1 或 a>2 时,设方程 f(x)=0 的两根为 x1,x2,且 x1<x2, f?1?≥0, ? ?f?4?≥0, 那么 M=[x ,x ],则 M?[1,4]?1≤x <x ≤4?? 1<a<4, ? ?Δ>0,
1 2 1 2

18 解得 2<a≤ .综上,可得 M?[1,4]时,a 的取值范 7

18 -1, ?. 围是? 7? ? 易错点 24 线性规划问题最值意义不明致误 2 围成的三角形区域(包含边界)为 D,点 P(x,y)为 D 内的 2 一个动点,则目标函数 z=x-2y 的最小值为________. 3 错解 2 2 错因分析 没有理解线性规划中目标函数的几何意义, 认为目标函数一定在最高点处取到最大值, 最低点时 取到最小值. 2 正解 - 2 a z 易错突破 对于线性规划问题中的目标函数 z=ax+by,可以化成 y=- x+ 的形 b b z 式, 是直线的纵截距,当 b<0 时,z 的最小值在直线最高时取得. b 补偿练习 25 已知-1<x+y<4 且 2<x-y<3,则 z=2x-3y 的取值范围是______. 答案 (3,8) 例 24 设双曲线 x2-y2=1 的两条渐近线与直线 x=

10

解析 画出不等式组?

? ?-1<x+y<4 ?2<x-y<3 ?

表示的可行域(如图),在可行域内平移直线 z=2x-3y,当直线经过 x-y

=2 与 x+y=4 的交点 A(3,1)时,有 zmin=2× 3-3× 1=3;当直线经过 x+y=-1 与 x-y=3 的交点 B(1,- 2)时,有 zmax=2× 1+3× 2=8, 故 z 的取值范围为(3,8).

立体几何
易错点 25 线面夹角求的是余弦值或线面距离转化错误 例 25 (10 年全国卷Ⅰ理 7/文 9)正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中,B B1 与平面 AC D1 所成角的余弦值为 ( A. )

6 3 补偿练习 25(12 年全国卷文 8/理 4)已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB=2, CC1 ? 2 2 ,E 为 CC1 的中
B. C.

2 3

3 3

2 3

D.

点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为(



A.2 B. 3 C. 2 D.1 易错点 26 线面关系定理条件把握不准致误 例 26 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC1D1;(2)求证:EF⊥B1C. 错解 (1)连接 BD1,∵E、F 分别为 DD1、DB 的中点.∴EF∥D1B, ∴EF∥平面 ABC1D1.(2)AC⊥BD,又 AC⊥D1D,∴AC⊥平面 BDD1,∴EF⊥AC. 错因分析 推理论证不严谨,思路不清晰. 正解 (1)连接 BD1,如图所示,在△DD1B 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点,则 EF∥D1B. EF∥D1B

? ? D1B?平面ABC1D1??EF∥平面 ABC1D1. EF?平面ABC1D1 ? ?
?B1C⊥AB

(2)ABCD-A1B1C1D1 为正方体?AB⊥面 BCC1B1

? ? ? AB,BC ?平面ABC D ? ? AB∩BC =B
B1C⊥BC1
1 1 1 1

?B1C⊥平面ABC1D1? ?
? BD1?平面ABC1D1 ? ?

? ?B1C⊥BD1? ??EF⊥B1C. EF∥BD1 ? ? 易错突破 证明空间线面位臵关系的基本思想是转化与化归,根据线面平行、垂直关系的判定和性质,进行 相互之间的转化,如本题第(2)问是证明线线垂直,但分析问题时不能只局限在线上,要把相关的线归结到 某个平面上(或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上 ),通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目 的,但证明线面垂直又要借助于线线垂直,在不断的相互转化中达到最终目的.解这类问题时要注意推理严 谨,使用定理时找足条件,书写规范等. 补偿练习 26 如图,在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,D1D⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60° . (1)证明:AA1⊥BD;(2)证明:CC1∥平面 A1BD. 证明 (1)方法一 因为 D1D⊥平面 ABCD,且 BD?平面 ABCD,所以 D1D⊥BD. 在△ABD 中,由余弦定理,得 BD2=AD2+AB2-2AD· ABcos∠BAD. 又因为 AB=2AD,∠BAD=60° ,所以 BD2=3AD2.所以 AD2+BD2=AB2,所以 AD⊥BD. 又 AD∩D1D=D,所以 BD⊥平面 ADD1A1.又 AA1?平面 ADD1A1,所以 AA1⊥BD. 方法二 因为 DD1⊥平面 ABCD,且 BD?平面 ABCD,所以 BD⊥D1D. 如图,取 AB 的中点 G,连接 DG.在△ABD 中,由 AB=2AD, 得 AG=AD.又∠BAD=60° ,所以△ADG 为等边三角形, 所以 GD=GB,故∠DBG=∠GDB.又∠AGD=60° ,所以∠GDB=30° , 所以∠ADB=∠ADG+∠GDB=60° +30° =90° , 所以 BD⊥AD.又 AD∩D1D=D,所以 BD⊥平面 ADD1A1. 又 AA1?平面 ADD1A1,所以 AA1⊥BD.(2)如图,连接 AC、A1C1. 1 设 AC∩BD=E,连接 EA1.因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以 EC= AC. 2 由棱台的定义及 AB=2AD=2A1B1 知,A1C1∥EC 且 A1C1=EC, 11

所以四边形 A1ECC1 为平行四边形,因此 CC1∥EA1.又因为 EA1?平面 A1BD,CC1?平面 A1BD,所以 CC1∥ 平面 A1BD.

解析几何
易错点 27 忽视倾斜角的范围致误 例 27 经过点(-2,3),倾斜角是直线 3x+4y-5=0 倾斜角一半的直线的方程是________. 3 1 错解 设所求直线的倾斜角为 α,则 tan 2α=- ,∴tan α=- 或 tan α=3. 4 3 故所求直线的方程为 x+3y-7=0 或 3x-y+9=0. 错因分析 错解中只注意了直线倾斜角的关系,而忽视了直线倾斜角的范围,导致增解. 3 π π π 1 正解 由 tan 2α=- ,可得 <2α<π,∴ <α< ,故 tan α=- (舍去)或 tan α=3,因此所求直线的方程为 3x 4 2 4 2 3 -y+9=0. 易错突破 在求直线倾斜角的过程中,如果遇到一些不确定的变量(如斜率、字母、角度等)时,要根据倾斜 角的范围进行合理的分类,确定出相应的倾斜角. 4 补偿练习 27 已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是__________. e +1 3π 答案 ≤α<π 4 -4ex -4 解析 设曲线在点 P 处的切线斜率为 k,则 k=y′= ,因为 ex>0,所以由基本不等式得 x2= 1 ?1+e ? x e + x+2 e -4 3π k≥ =-1.又 k<0,所以-1≤k<0,即-1≤tan α<0,所以 ≤α<π. 4 1 2 ex·x+2 e 易错点 28 忽视直线斜率的特殊情况致误 例 28 a 为何值时,(1)直线 l1:x+2ay-1=0 与直线 l2:(3a-1)x-ay-1=0 平行? (2)直线 l3:2x+ay=2 与直线 l4:ax+2y=1 垂直? 3a-1 1 1 1 错解 (1)直线 x+2ay-1=0 与直线(3a-1)x-ay-1=0 的方程可变形为 y=- x+ 与 y= x- , 2a 2a a a 1 3a-1 1 1 1 ∴当- = 且 ≠- ,即 a= 时,两直线平行. 2a a 2a a 6 2? a? (2)当- ?-2?=-1 时,两直线垂直,此方程无解,故无论 a 为何值时,两直线都不垂直. a 错因分析 (1)没考虑斜率不存在即 a=0 的情况; (2)没有考虑 l3 的斜率不存在且 l4 的斜率为 0 也符合要求这 种情况. 正解 (1)①当 a=0 时,两直线的斜率不存在,直线 l1:x-1=0,直线 l2:x+1=0,此时,l1∥l2. 3a-1 1 1 1 1 ②当 a≠0 时,l1:y=- x+ ,l2:y= x- ,直线 l1 的斜率为 k1=- , 2a 2a a a 2a 1 3a-1 - = , ? 2a a 3a-1 直线 l 的斜率为 k = ,要使两直线平行,必须? a 1 1 ?2a≠-a,
2 2

1 解得 a= . 6

1 综合①②可得当 a=0 或 a= 时,两直线平行. 6 1 (2)方法一 ①当 a=0 时,直线 l3 的斜率不存在,直线 l3:x-1=0,直线 l4:y- =0,此时,l3⊥l4. 2 2 2 a 1 2 ②当 a≠0 时,直线 l3:y=- x+ 与直线 l4:y=- x+ ,直线 l3 的斜率为 k3=- ,直线 l4 的斜率为 k4= a a 2 2 a a 2 ? a? - =-1,不存在实数 a 使得方程成立. - ,要使两直线垂直,必须 k3· k4=-1,即- · 2 a ? 2? 综合①②可得当 a=0 时,两直线垂直. 方法二 要使直线 l3:2x+ay=2 和直线 l4:ax+2y=1 垂直,根据两直线垂直的充要条件,必须 A1A2+B1B2 =0,即 2a+2a=0,解得 a=0,所以,当 a=0 时,两直线垂直. 易错突破 求直线方程,特别是研究含参数的直线方程问题时,一定要对直线斜率的存在性进行讨论,这是 避免出错的重要方法. 补偿练习 28 已知直线 l1:x+ysin θ-1=0 和直线 l2:2xsin θ+y+1=0,试求 θ 的值,使得:(1)l1∥l2;(2)l1⊥ l2.
12

1 2 (1)A1B2-A2B1=0,即 1-2sin2θ=0,∴sin2θ= ,∴sin θ=± .由 B1C2-B2C1≠0,即 1+sin θ≠0, 2 2 π π 即 sin θ≠-1,∴θ=kπ± ,k∈Z,∴θ=kπ± ,k∈Z 时,l1∥l2.(2)由 A1A2+B1B2=0,即 2sin θ+sin θ=0,得 4 4 sin θ=0. ∴θ=kπ,k∈Z,∴θ=kπ,k∈Z 时,l1⊥l2. 易错点 29 忽视曲线中的隐含条件致误 例 29 已知圆 C 的方程为 x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点为 A(1,2),且过定点 A(1,2)作圆的切线有两条,求 a 的取值范围. 4-3a2 4-3a2 a2 a 2 错解 将圆 C 的方程配方有(x+ ) +(y+1) = .∴圆心 C 的坐标为(- ,-1),半径 r= . 2 4 2 2 4-3a2 a 当点 A 在圆外时,过点 A 可以作圆的两条切线,∴|AC|>r,即 ?1+ 2 ? +?2+1?2> , 2 2 2 化简得 a +a+9>0,Δ=1-4× 9=-35<0,∴a∈R. 错因分析 错解中只考虑了点 A 在圆 C 外部,而忽视了圆 C 的方程是圆的一般式方程,x2+y2+ax+2y+a2 =0 表示圆的条件没有考虑. 4-3a2 4-3a2 a2 2 正解 将圆 C 的方程配方有(x+ ) +(y+1) = ,∴ >0,① 2 4 4 4-3a2 a ∴圆心 C 的坐标为(- ,-1),半径 r= . 2 2 4-3a2 a 当点 A 在圆外时,过点 A 可作圆的两条切线,∴|AC|>r,即 ?1+ 2 ? +?2+1?2> , 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 化简得 a2+a+9>0.②由①②得- <a< ,∴a 的取值范围是- <a< . 3 3 3 3 2 2 易错突破 二元二次方程表示圆是有条件的,必须有 D +E -4F>0.本题的失分原因是忽视了这个条件.在 解决此类问题时,可以直接判断 D2+E2-4F>0,也可以配方后,判断方程右侧大于 0,因为右侧相当于 r2. 对于曲线方程中含有参数的,都要考虑参数的条件. 3? 3 补偿练习 29 设椭圆的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 e= ,已知点 P? ?0,2?到这个椭圆上的最远距 2 离是 7,求这个椭圆的方程. 2 2 x2 y2 c2 a -b b2 3 b2 1 解 依题意可设椭圆方程为 2+ 2=1 (a>b>0),则 e2= 2= 2 =1- 2= ,∴ 2= ,即 a=2b. a b a a a 4 a 4 2 3?2 y? 2 9 2? 2 ? 1?2 设椭圆上的点(x,y)到点 P 的距离为 d,则 d2=x2+? ?y-2? =a ?1-b2?+y -3y+4=-3?y+2? +4b +3. 1 若 b< ,则当 y=-b 时,d2 有最大值,从而 d 有最大值. 2 3?2 3 1 1 于是( 7)2=? ?b+2? ,从而解得 b= 7-2>2,与 b<2矛盾. 1 1 所以必有 b≥ ,此时当 y=- 时,d2 有最大值,从而 d 有最大值.所以 4b2+3=( 7)2,解得 b2=1,a2=4. 2 2 x2 2 于是所求椭圆的方程为 +y =1. 4 易错点 30 忽视圆锥曲线定义中的条件致误 例 30 已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为________. y2 错解 x2- =1 8 错因分析 错误运用双曲线定义出错. 本题中, |MC2|-|MC1|=2, 与双曲线定义相比, 左边少了外层绝对值, y2 因此只能是双曲线的一支.如果不注意,就会得出错误的结果,即点 M 的轨迹方程为 x2- =1. 8 正解 如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B. 根据两圆外切的条件,得 |MC1|- |AC1|= |MA|, |MC2|-|BC2|= |MB|.因为|MA|= |MB|,所以|MC1|- |AC1|= |MC2| -|BC2|,即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2. 所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数. 又根据双曲线的定义,得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大,与 y2 C1 的距离小),其中 a=1,c=3,则 b2=8.故点 M 的轨迹方程为 x2- =1(x<0). 8 解
13

易错突破 应注意平面内到两个定点 F1,F2 的距离之差等于定长 2a(a>0)的点的轨迹不是双曲线;当定长 2a<|F1F2|时,表示的只是双曲线的一支;当 2a=|F1F2|时,表示的是一条射线;当 2a>|F1F2|时,点的轨迹不 存在. x2 y2 补偿练习 30 “-3<m<5”是“方程 + =1 表示椭圆”的 ( ) 5-m m+3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 5-m>0 ? ? x2 y2 解析 要使方程 + =1 表示椭圆,应满足?m+3>0 ,解得-3<m<5 且 m≠1,因此“-3<m<5” 5-m m+3 ? ?5-m≠m+3 2 2 x y 是“方程 + =1 表示椭圆”的必要不充分条件. 5-m m+3 易错点 31 离心率范围考虑不周致误 x2 y2 例 31 双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为双曲线上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离 a b 心率的取值范围为________. 错解 如图,设|PF2|=m,∠F1PF2=θ (0<θ<π),由条件得|PF1|=2m, |F1F2|2=m2+(2m)2-4m2cos θ,且||PF1|-|PF2||=m=2a. m2+?2m2 ? -4m2cos θ 2c 所以 e= = = 5-4cos θ.又-1<cos θ<1,所以 e∈(1,3). 2a m 错因分析 漏掉了 P 在 x 轴上的情况,即∠F1PF2=π 时的情况. c 2c 3m 正解 设|PF2|=m,∠F1PF2=θ (0<θ≤π),当点 P 在右顶点处时,θ=π.e= = = =3. a 2a m 当 θ≠π,由条件,得|PF1|=2m,|F1F2|2=m2+(2m)2-4m2cos θ,且||PF1|-|PF2||=m=2a. m2+?2m2 ? -4m2cos θ 2c 所以 e= = = 5-4cos θ.又-1<cos θ<1,所以 e∈(1,3).综上,e∈(1,3]. 2a m 易错突破 对圆锥曲线上点的特殊位臵(如顶点)不能忽略,综合考虑所有可能情况求离心率范围. x2 y2 3 补偿练习 31 已知双曲线 2- 2=1 (b>a>0),直线 l 过点 A(a,0)和 B(0,b),且原点到直线 l 的距离为 c (c 为半 a b 4 焦距),则双曲线的离心率为________. 答案 2 x y 解析 因为直线 l 过点 A(a,0)和 B(0,b),所以其方程为 + =1,即 bx+ay-ab=0. a b 3 ab 3 又原点到直线 l 的距离为 c,所以 2 2= c.又 a2+b2=c2,所以 4ab= 3c2,即 16a2(c2-a2)=3c4. 4 4 a +b 2 2 2 2 c2 a +b a +a 4 2 2 2 4 2 所以 3e -16e +16=0,解得 e =4 或 e = .又 b>a>0,e = 2= 2 > 2 =2.所以 e2=4,故 e=2. 3 a a a 易错点 32 忽视 Δ>0 致误 y2 例 32 已知双曲线 x2- =1, 过点 B(1,1)能否作直线 m, 使 m 与已知双曲线交于 Q1, Q2 两点, 且 B 是线段 Q1Q2 2 的中点?这样的直线 m 如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由. 2 y1 x2 ① 1- =1, 2 错解 设 Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),代入双曲线方程得 2 y2 x2 - =1. ② 2 2

? ? ?

y1-y2 2?x1+x2? ①-②化简得 k= = .∵中点 B(1,1),∴x1+x2=2,y1+y2=2,∴k=2.∴满足题设的直线存在, x1-x2 y1+y2 且方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. 2 2 y 错因分析 错解中没有判断直线 2x-y-1=0 和双曲线 x - =1 是否相交. 2 2 y1 x2 ① 1- =1, 2 正解 设 Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),代入双曲线方程得 2 y2 x2 ② 2- =1. 2

? ? ?

14

y1-y2 1 ①-②得(x1+x2)(x1-x2)= (y1+y2)(y1-y2).∵B(1,1)为 Q1Q2 的中点,∴k= =2.∴直线方程为 y-1= 2 x1-x2 y=2x-1, ? ? 2(x-1),即 2x-y-1=0.联立? 2 y2 消去 y 得 2x2-4x+3=0.Δ=(-4)2-4× 2× 3=-8<0,∴所求直线不 ?x - 2 =1 ? 存在. 易错突破 用点差法求直线方程时,只是承认了直线与曲线相交,而事实上,存在不相交的可能,所以在求 出直线方程后,应利用判别式判断直线与曲线是否相交.当然,就本题来讲,也可以不用点差法求解.直接 设直线的方程,利用待定系数法求解.遇见直接用直线与曲线方程联立解方程组的问题,就比较容易联想用 判别式求解. 补偿练习 32 21. 设椭圆的对称中心为坐标原点, 其中一个顶点为 A(0, 2) ,右焦点 F 与点 B ( 2, 2) 的距离为 2. (1)求椭圆的方程; (2)是否存在经过点(0,-3)的直线 l ,使直线 l 与椭圆相交于不同两点 M,N 满足 | AM |? AN | ?若存在, 求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由。 解:(1) 依题意,设椭圆方程为
2

???? ?

????

x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,则其右焦点坐标为 F (c , 0 ) , c ? a 2 ? b 2 , 2 a b
2

2 由 | FB |? 2 ,得 (c ? 2) ? (0 ? 2) ? 2 ,即 (c ? 2) ? 2 ? 4 ,故 c ? 2 2 .又∵ b ? 2 ,

x2 y2 ? ? 1. ∴ a ? 12 , 从而可得椭圆方程为 12 4
2

(2) 由题意可设直线 l 的方程为

y ? kx ? 3 (k ? 0) , 由 | AM | ? | AN | 知点 A 在线段 MN 的垂直平分线上 , 由

?y ? kx? 3 ? 2 2 2 2 2 消去 y 得 x ? 3(kx ? 3) ? 12 , 即可得方程 (1 ? 3k ) x ? 18kx ? 15 ? 0 …(*) ?x y2 ? ? 1 ? ?12 4
当方程(*)的 ? ? (?18k ) ? 4(1 ? 3k ) ? 15 ? 144 k ? 60 ? 0 ,即 k ?
2 2 2

2

5 时方程(*)有两个不相等的实数根. 12

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,线段 MN 的中点 P ( x0 , y 0 ) ,则 x1 , x2 是方程(*)的两个不等的实根,故有

9k 2 ? 3 (1 ? 3k 2 ) ?3 18k x1 ? x2 9k y ? kx ? 3 ? ? . 从而有 , . x ? ? 0 0 0 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 9k ?3 于 是 , 可 得 线 段 MN 的 中 点 P 的 坐 标 为 P ( , ) , 又 由 于 k ? 0 , 因 此 直 线 AP 的 斜 率 为 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ?3 ?2 2 ? 5 ? 6k 2 ? 5 ? 6k 2 ? k ? ?1 ,即 5 ? 6k 2 ? 9 , ,由 AP ? MN ,得 k1 ? 1 ? 3k ? 9k 9k 9k 1 ? 3k 2

x1 ? x2 ?

6 6 2 5 x ? 3 满足题意. ,∴综上可知存在直线 l : y ? ? ? ,∴ k ? ? 3 3 3 12 ? x 2 ? 3 y 2 ? 12 2 2 (2)方法二:设存在直线 l ,斜率为 k ,则联立方程 ? 得: (1 ? 3k ) x ? 18kx ? 15 ? 0 ,由△=12 ? y ? kx ? 3
解得 k ?
2

18k ? x1 ? x2 ? ? ? 1 ? 3k 2 (12k2-5)>0,设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) 由韦达定理得 ? ? x x ? 15 ? 1 2 1 ? 3k 2 ?
2 2 2 2 又 | AM | ? | AN | , 则 x1 ? ( y1 ? 2) ? x2 ? ( y 2 ? 2) , 移 项 得 : k =
2 2



y 2 ? y1 x2 ? x1 =- =- x 2 ? x1 y2 ? y1 ? 4

x2 ? x1 =- k ( x2 ? x1 ) ? 10

1 6 6 ,解得 k =± , 此时△>0 适合题意,故存在直线 y =± x -3 满足 2 10(1 ? 3k ) 3 3 k? 18k
15

题意.

概率与统计
易错点 33 抽样方法理解不清致误 例 33 某校高三年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取 25 人, 从女生中任意抽取 20 人进行调查.这种抽样方法是 ( ) A.简单随机抽样法 B.抽签法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 错解 A 错因分析 没有理解三种随机抽样的概念,本质特点没有抓住. 正解 显然总体差异明显,并且按比例进行抽样,是分层抽样,选 D. 易错突破 简单随机抽样常常用于总体个数较少时, 它的主要特征是从总体中逐个抽取; 系统抽样法常常用 于总体个数较多时;分层抽样常常用于总体由差异明显的几部分组成,主要特征是分层并按比例抽样.分层 抽样是高考考查的一个热点,因为在实际生活中有差异的抽样比其他两类抽样应用空间大. 补偿练习 33 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人,并根据所得数据画了样本的频率分布直 方图(如图所示).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这 10 000 人中再用分层抽样 方法抽出 100 人作进一步调查,则在[2 500,3 500)月收入段应抽出________人.

答案 40 解析 根据图可以看出月收入在[2 500,3 500)的人数的频率是(0.000 5+0.000 3)× 500= 0.4 ,故月收入在 [2 500,3 500)的应抽出 100× 0.4=40(人). 易错点 34 基本事件概念不清致误 例 34 先后抛掷三枚硬币,则出现“两个正面,一个反面”的概率为________. 1 错解 所有基本事件有:三正,两正一反,两反一正,三反;∴出现“两正一反”的概率为 . 4 错因分析 没有理解基本事件的概念,所列举出的事件不是等可能的. 正解 所有的基本事件有:(正,正,正)(正,正,反)(正,反,正)(反,正,正)(正,反,反)(反,正,反)(反, 3 反,正)(反,反,反)八种,而“两正一反”事件含三个基本事件,∴P= . 8 m 易错突破 对于公式 P(A)= (n 和 m 分别表示基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数),仅当所述的试验 n 结果是等可能出现时才成立.解题时要充分理解古典概型的定义,验证基本事件的有限性及等可能性. 补偿练习 34 掷两枚骰子,求事件 A 为出现的点数之和等于 3 的概率. 解 掷两枚骰子可能出现的情况:(1,1),(1,2),…,(1,6),(2,1),(2,2),…,(2,6),…,(6,1),(6,2),…, (6,6),基本事件总数为 6× 6=36. 2 1 在这些结果中,事件 A 只有两种可能的结果(1,2),(2,1),∴P(A)= = . 36 18 易错点 35 互斥事件概念不清致误 例 35 经统计,某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下: 0~5 6~10 11~15 16~20 21~25 排队人数 25 以上 概率 0.1 0.15 0.25 0.25 0.2 0.05 求: (Ⅰ)每天不超过 20 人排队结算的概率是多少? (Ⅱ)一周 7 天中,若有 3 天以上(含 3 天)出现超过 15 人排队结算的概率大于 0.75 ,商场就需要增加结算窗 口,请问该商场是否需要增加结算窗口? 20.解: (Ⅰ)设 A ? “每天不超过 20 人排队结算”, 则 p ? A? ? 0.1 ? 0.15 ? 0.25 ? 0.25 ? 0.75

1 , 2 0 7 1? 0?1? ? 一周 7 天中,没有出现超过 15 人排队结算的概率为 C7 ? ? ? 1 ? ? ?2? ? 2?
(Ⅱ)每天超过 15 人排队结算的概率为, 0.25 ? 0.2 ? 0.05 ?

? 1 ?? 1 ? 一周 7 天中,有一天出现超过 15 人排队结算的概率为 C ? ? ? 1 ? ? ? 2 ?? 2 ?
1 7

6

16

一周 7 天中,有两天出现超过 15 人排队结算的概率为 C7 ?

2

?1? ? ?2?

2

? 1? ?1 ? ? ? 2?

5

一周 7 天中,有 3 天以上(含 3 天)出现超过 15 人排队结算的概率为;
1 6 2 5 ? 0 ? 1 ?0 ? 1 ?7 1? 1 ? ? 99 1?1? ? 2?1? ? p ? 1 ? ? C7 ? ? ? 1 ? ? ? C 7 ? ? ? 1 ? ? ? C 7 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 0.75 ?2? ? 2? ?2? ? 2? ? ? ?2? ? 2? ? 128 ?

所以,该商场需要增加结算窗口.补偿练习 35 在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种 不同的搭配方式作比较.在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂.现有芳香度分别为 0,1,2,3,4,5 的六种添加剂可供选用.根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试 验. (1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4 的概率; (2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于 3 的概率. 解 设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4”的事件为 A, “所选用的两种不同的添加剂的芳香度 之和不小于 3”的事件为 B,随机选取两种的情况为(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),…,(4,5),共 15 种. 2 (1)芳香度之和等于 4 的取法有 2 种:(0,4),(1,3).故 P(A)= . 15 1 1? (2)芳香度之和等于 1 的取法有 1 种: (0,1); 芳香度之和等于 2 的取法有 1 种: (0,2). 故 P(B)=1-? ?15+15?= 13 . 15 2 答 所选用的两种不同添加剂的芳香度之和等于 4 的概率为 , 所选用的两种不同添加剂的芳香度之和不小 15 13 于 3 的概率为 . 15

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