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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(附答案)(15)


加试模拟训练题(15) 1、已知圆 O 外一点 X ,由 X 向圆 O 引两条切线,切点分别为 A, B ,过点 X 作直线, 与圆 O 交于两点 C , D ,且满足 CA ? BD ,若 CA, BD 交于点 F ,CD, AB 交于点 G ,BD 与 GX 的中垂线交于点 H ,证明 X , F , G , H 四点共圆。 (05 年日本) 1 ?? 1 ?? 1? ?

2.设 a, b, c 是正实数,且满足 abc ? 1 ,证明: ? a ? 1 ? ?? b ? 1 ? ?? c ? 1 ? ? ? 1 b ?? c ?? a? ? 3、设 A 是一个有 n 个元素的集合,A 的 m 个子集 A1 , A2 , ? , Am 两两互不包含, 试证: (1) m 1 | Ai | ? 1 ; ( 2 ) Cn ? m2. ? ? | Ai | C i ?1 i ?1 n |A | m 其中 | Ai | 表示 Ai 所含元素的个数, C n i 表示 n 个不同元素取 | Ai | 个的组合数. 4.设 a, b, c 是直角三角形的三边长。如果 a, b, c 是整数,求证: abc 可以被 30 整除。 证明:不妨设 c 是直角三角形的斜边长,则 c 2 ? a 2 ? b 2 。 加试模拟训练题(15) 1、已知圆 O 外一点 X ,由 X 向圆 O 引两条切线,切点分别为 A, B ,过点 X 作直线, 与圆 O 交于两点 C , D ,且满足 CA ? BD ,若 CA, BD 交于点 F ,CD, AB 交于点 G ,BD 与 GX 的中垂线交于点 H ,证明 X , F , G , H 四点共圆。 (05 年日本) 证明 因为 X , D, G , C 是调和点列,且 ?CFD ? 90? ,所以 F 在关于点 X , G 的阿波 罗尼斯圆上。连 FG, FX ,有 ?GFD ? ?DFX 。设 ?GFX 的外接圆与 BF 交于点 H ? ,则 有 GH ? ? XH ? ,即 H ? 在 GX 的中垂线上,从而有 H ? ? H ,因此 X , F , G , H 四点共圆。 2.设 a, b, c 是正实数,且满足 abc ? 1 ,证明: 1 ?? 1 ?? ? ? a ? 1 ? ?? b ? 1 ? ?? c ? 1 ? b ?? c ?? ? 1? ? ?1 a? (第 41 届国际数学奥林匹克试题) 分析与证明: 令 x ? 3 a , y ? 3 b , z ? 3 c .易知 xyz ? 1 .则 a ?1? ( xyz ) 2 x 2 1 1 ? ( x y ? y 2 z ? z 2 x) ? x 3 ? 1 ? 3 = x 3 ? xyz ? 3 b y y y 同理有其它两式,再令 u ? x 2 y, v ? y 2 z , w ? z 2 x . 则原不等式等价于齐次不等式: (u ? v ? w)(v ? w ? u )( w ? u ? v) ? uvw . ?u ?v?w?v? w?u? 2 (u ? v ? w)(v ? w ? u ) ? ? ? ?v 2 ? ? 2 因为 同理有 (v ? w ? u )( w ? u ? v) ? w 2 ; ( w ? u ? v)(v ? u ? w) ? u 2 . 故 [(u ? v ? w)(v ? w ? u )( w ? u ? v)]2 ? (uvw) 2 . 从而原不等式成立. 3、设

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