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2014高中数学 第二章《2. 2 .1 直接证明--综合法与分析法》教案 新人教A版选修2-2 - 副本


§2. 2 .1 直接证明 --综合法与分析法
1.教学目标: 知识与技能:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合 法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。 过程与方法: 多让学生举命题的例子, 培养他们的辨析能力; 以及培养他们的分析问题 和解决问题的能力; 情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 2.教学重点:了解分析

法和综合法的思考过程、特点 3.教学难点:分析法和综合法的思考过程、特点 4.教具准备:与教材内容相关的资料。 5.教学设想:分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键,是最重一 步。因式分解、配方、 凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。 6.教学过程: 学生探究过程:

1. 综合法 综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式 的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法 用综合法证明不等式的逻辑关系是:
王新敞
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? P ? Q1 ? ? (Q1 ? Q2 ) ? ?Q2 ? Q3 ? ? ..... ? ?Qn ? Q?
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综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和 公 式,推出结 论的一种证明方法 例 1、 在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c , 且 A,B,C 成等差数列, a, b, c 成 等比数列,求证△ABC 为等边三角形. 分析:将 A , B , C 成等差数列,转化为符号语言就是 2B =A + C; A , B , C 为△ABC 的 内角,这是一个隐含条件,明确表示出来是 A + B + C = ? ; a , b,c 成等比数列,转化为 符号语言就是 b ? ac .此时,如果能把角和边统一起来,那么就可以进一步寻找角和边之 间的关系,进而判断三角形的形状,余弦定理正好满足要求.于是,可以用余弦定理为工具 进行证明. 解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语 言转换成图 形语言等.还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.
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例 2、已知 a, b ? R ? , 求证 a b ? a b . 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明:1) 差 值比较法:注意到要证的不等式关于 a , b 对称,不妨设 a ? b ? 0.
a b b a

?a ? b ? 0 ? a a b b ? a b b a ? a b b b ( a a ?b ? b a ?b ) ? 0 2)商值比较法:设 a ? b ? 0,

,从而原不等式得证。

a a abb a ? ? 1, a ? b ? 0, ? b a ? ( ) a ?b ? 1. 故原不等式得证 。 b b a b
注: 比较法是证明不等式的一种最基本、 最重要的方法。 用比较法 证明不等式的步骤是: 作差(或作商) 、变形、判断符号。 讨论:若题设中去掉 x ? 1 这一限制条件,要求证的结论如何变换? 2. 分析法 证明数学命题时,还经常从要证的结论 Q 出发,反推回去,寻求保证 Q 成立的条件, 明尸 2 成立,再去寻求尸 2 成立的充分条件尸 3 件、定理、定义、公理等)为止.乞, 再去寻求尸 1 成立的充分条件尸 2 ;为了证 ? ? 直到找到一个明显成立的条件(已知 条即使 Q 成立的充分条件尸 1 .为了证明尸 1 成立, 分析法: 证明不等式时, 有时可以从求证的不等式出发, 分析使这个不等式成立的条件, 把证明不等式转化 为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那 么就可以断定原不等式成立,这种方法叫做分 析法 用分析法证明不等式的 逻辑关系是:
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?Q ? P 1 ? ? (P 1 ?P 2 )..... ? ( P n?1 ? P n) ??P n ? P?
分析法的思维特点是:执果索因 分析法的书写格式: 要证明命题 B 为真,
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只需要证明命题 B1 为真,从而有?? 这只需要证明命题 B2 为真,从而又有?? ?? 这只需要证明命题 A 为真 而已知 A 为真,故命题 B 必为真
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例 3、求证 3 ? 7 ? 2 5 证明:因为 3 ? 7和2 5 都是正数,所以为了证明 3 ? 7 ? 2 5 只需证明 ( 3 ? 7 ) 2 ? (2 5 ) 2

10 ? 2 21 ? 20 即 2 21 ? 10,21 ? 25 因为 21 ? 25 成立,所以 ( 3 ? 7 ) 2 ? (2 5 ) 2 成立
展开得 即证明了 3 ? 7 ? 2 5 说明:①分析法是“执果索因” ,步步寻求上一步成立的充分条件,它与综合法是对立 统一的两种方法 ②分析法论证“若 A 则 B”这个命题的模式是:为了证明命题 B 为真, 这只需要证明命题 B1 为真,从而有??
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这只需要证明命题 B2 为真,从而又有?? 这只需要证明命题 A 为真 而已知 A 为真,故 B 必真

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