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广东省深圳高级中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学理试题


广东省深圳高级中学 2012-2013 学年高一下学期期中考试数 学理试题 第Ⅰ卷(本卷共计 40 分)
一. 选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.每小题只有一个正确选项)
1. sin 2100 的值是 ( )

A.

?

1 2

B.


1 2

C.

?

3 2

D.

3 2
( )

2.下列各式中,值为 A. sin15 cos15
0 0

1 的是 2
B. cos
2

?
12

? sin 2

?
12

C. cos 42 sin12 ? sin 42 cos12
0 0 0

0

tan 22.50 D. 1 ? tan 2 22.50
? ? ?

3.如图 e1 , e2 为互相垂直的单位向量,向量 a ? b ? c 可表示为 A. 3e1 ? 2 e2 C. 3e1 ? 2 e2 4.要得到 y ? 3sin(2 x ? B. ? 3e1 ? 3 e2 D. 2e1 ? 3 e2

(

)

? a

? b ?
c

? e2

? e1
( )

?
4

) 的图象只需将 y ? 3sin 2 x 的图象

A.向左平移

? 个单位 4 ? 个单位 8

B.向右平移

? 个单位 4 ? 个单位 8
??? ?
( )

C.向左平移

D.向右平移

5.如图所示, D 是 ? ABC 的边 AB 上的中点,则 CD =

? 1 ??? BA 2 ??? 1 ??? ? ? C. BC ? BA 2
A. ? BC ?

??? ?

? 1 ??? BA 2 ??? 1 ??? ? ? D. BC ? BA 2
B. ? BC ?

??? ?

6.已知 tan ? ?

1 2 , tan( ? ? ? ) ? ,那么 tan(? ? 2? ) 的值为 2 5





A. ?

3 4

B. ?

1 12

C. ?

9 8

D.

7 9

7. 已知 AB ? ( k ,1), AC ? (2, 3), 则下列 k 值中能使 ?ABC 是直角三角形的一个值是 ( A. )

??? ?

????

3 2

B.

1? 2

C. 1 ? 3

D. ? 5

8. 已知关于 x 的方程 3 sin x ? 2cos 数 a 的取值范围是 A. [?1, 3]

2

x ? a 在区间 (0, 2? ) 内有两个不同的实数根,则常 2
( ) C. ( ?1, 3) D. [?1, 2) ? (2, 3]

B. ( ?1, 2) ? (2, 3)

第Ⅱ卷(本卷共计 110 分)
二. 填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) ??? ? ??? ? 9.已知 A(2,3) , B(3, 0) ,且 AC ? ?2CB ,则点 C 的坐标为
10.已知 sin(20 ? ? ) ?
0

.

1 ,则 cos(1100 ? ? ) ? . 3 ? ? ? ? ? ? 11.已知 | a |? 1,| b |? 3, a ? b ? ( 3,1) ,则 a 与 b 的夹角为_________.
12. 函数 y ? sin( x ?

?
6

)

(0 ? x ?

?
2

) 的值域是_______.

13. 如 图 是 函 数 y ? A sin(?x ? ? ) 在 一 个 周 期 内 的 图 象 , 如 果

A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ,则此函数的解析式为

.

14. 向量 OA 与 OB 的夹角为 ? ,| OA |? 2, | OB |? 1, OP ? tOA, OQ ? (1 ? t )OB,| PQ | 在

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

1 t 0 时取得最小值,当 0 ? t0 ? 时,夹角 ? 的取值范围是__________. 5

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 80 分.须写出文字说明、证明过程和演算步骤)
15.(本小题 12 分) 设 e1 , e2 是两个不共线的向量,

(1)已知 AB ? 2e1 ? k e 2 , CB ? e1 ? 3e 2 , CD ? 2e1 ? e 2 ,若三点 A, B, D 共线,求 k 的 值. (2)如图,ABCD 是一个梯形, AB // CD, AB ? 2 CD ,M、N 分别是 DC , AB 的中点,已知
AB ?

?? ?? ? ?? ?? ? ???? ? ???? e1 , AD ? e2 ,试用 e1 、 e2 表示 AC 和 MN .

D

M

C

A

N

B

16.(本小题 14 分) 设函数 f ( x) ? sin(? x ? (1)求 ? ; (2)若 f (

?
2

?

3? 24 ? ? )? ,且 ? ? (? , ) ,求 tan ? 的值; 8 25 2 2

3? )(? ? 0)的最小正周期为? , 4

(3)画出函数 y ? f (x) 在区间 [0, ? ] 上的图像(完成列表并作图). (3)列表 x y 描点,连线 y 0 -1

3? 8
1

7? 8

?

1
1 2

0
1 ? 2

3? 8

7? 8

?
x

x

?1

17.(本小题 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,点 A(?1, ?2) 、 B(2,3) 、 C (?2, ?1) . (1) 求以线段 AB , AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → → (2)求AB和AC夹角的余弦值; (3)是否存在实数 t 满足 ( AB ? tOC) ? OC ? OA ? OC ,若存在,求 t 的值;若不存在,说 明理由.

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

18.(本小题 12 分) 已知 sin ? ?

3 12 ? 3? , cos( ? ? ? ) ? , ? ? (0, ), ? ? ? ? ( , 2? ) ,求 5 13 2 2

cos 2? 和 sin ? 的值.

19.(本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x ? 3a cos x ?
2

3 a ? b , a 是不为零的 2

实数. (1)写出函数 f ( x ) 的单调递减区间; (2)设 x ?[0, ] , f ( x ) 的最小值是 ?2 ,最大值是 3 ,求实数 a , b 的值.

?

2

20. (本小题 14 分)

如图,已知扇形 AOB 的面积为

? , 弧 AB 12

B D C

的长为

? ,在扇形 AOB 的弧 AB 上任取一点 C , CD / / OA , 作 交 6

O

A

OB 于点 D ,求 ?OCD 的最大面积.

高级中学 2012-2013 学年第二学期期中测试

高一数学(理科)答题卷
一.选择题: (每题 5 分,共 40 分)

题号 二、 填 答案

1

2

3

4

5

6

7

8 空题:

(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

9. _____________________ 11. _____________________ 13.________________________

10. __________________________ 12.__________________________.
14. ______________________________.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题 12 分) D M C

A

N

B

16.(本小题 14 分) (1)

(2)

(3)列表 x y 描点,连线 y 0 -1

3? 8
1

7? 8

?

1
1 2

0
1 ? 2

3? 8

7? 8

?
x

x

?1
(17) (本小题 14 分)

18.(本小题 12 分)

19.(本小题 14 分)

20.(本小题 14 分)

B D C

O

A

高级中学 2012-2013 学年第二学期期中测试

高一数学(理科)参考答案
一.选择题: (每题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 C 5 A 6 B 7 C 8 B

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. ________ (4, ?3) ________
1 10. __________ ? ____________ 3

11. ________

? ___________ 2
2? ) ___ 3

1 12.____ [ ,1] _______________. 2
14. _______ (

13.________ y ? 2 sin( 2 x ?

? 2

, ? ) ____________. 2 3

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 80 分.须写出文字说明、证明过程和演算步骤)
15.(本小题 12 分)设 e1 , e2 是两个不共线的向量, (1)已知 AB ? 2e1 ? k e 2 , CB ? e1 ? 3e 2 , CD ? 2e1 ? e 2 ,若三点 A, B, D 共线,求 k 的 值. (2)如图,ABCD 是一个梯形, AB // CD, AB ? 2 CD ,M、N 分 别是 DC , AB 的中点,已知 AB ? e1 , AD ? e2 ,试用 e1 、 e2 表 示 AC 和 MN .
????
???? ?

D

M

C

??

?? ?

??

?? ?

A

N

B

15.解: (1) BD ? CD ? CB ? 2e1 ? e 2 ? e1 ? 3e 2 ? e1 ? 4e 2 ……2 分

?

??

?

? A, B, D 三点共线,? AB, BD 共线, ? 存在 ? 使 AB ? ? BD ,即 2e1 ? k e 2 ? ?(e1 ? 4e 2 )
?? ? 2 ,解得 k ? ?8 ?? k ? ?4? ?
(2) AB // CD, AB ? 2 CD | ∴ AB ? 2DC ……4 分 ……6 分

???? ???? ???? 1 ?? ?? ? AC ? AD ? DC ? e1 ? e2 ………………8 分 2

???? 1 ?? ?? ? ? MN ? e1 ? e2 ………………12 分 4
16.(本小题 14 分)设函数 f ( x) ? sin(? x ? (1)求 ? ; (2)若 f (

?
2

?

3? 24 ? ? )? ,且 ? ? (? , ) ,求 tan ? 的值. 8 25 2 2

3? )(? ? 0)的最小正周期为? 4

(3)画出函数 y ? f (x) 在区间 [0, ? ] 上的图像(完成列表并作图) 。 (3)列表 x y 描点,连线 y 0 -1

3? 8
1

7? 8

?

1
1 2

0
1 ? 2

3? 8

7? 8

?
x

x

?1 3? )(? ? 0)的最小正周期为? , 16.解: (1)?函数 f ( x) ? sin(? x ?
? 2?
4

3? ) 4 ? 3? 24 24 )? 由 f( ? 得: sin ? ? , ………………4 分 2 8 25 25 7 ? ? 7 ∴ cos ? ? ? 由于 ? ? ? ? ,从而 cos ? ? 25 2 2 25 24 因此 tan ? ? . …… 8 分 7 3? )知 (3)由 y ? sin( 2 x ? 4 ? 3? 5? x 0 8 8 8
(2)由(1)知 f ( x) ? sin(2 x ? y

?

??

?? ? 2.

………………2 分

……………6 分

7? 8
0

?
?
…………11 分

?

2 2

-1

0

1

2 2

故函数 y ? f ( x)在区间 0, ? ]上图像是 [

……………14 分

17.(本小题 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,点 A (-1,-2)、 B (2,3)、 C (?2, ?1) . (1) 求以线段 AB , AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → → (2)求AB和AC夹角的余弦值. (3)是否存在实数 t 满足 ( AB ? tOC) ? OC ? OA ? OC ,若存在,求 t 的值;若不存在,说 明理由. → → 17.(1) 由题意知AB=(3,5),AC=(-1,1), → → → → 则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 所以 AB ? AC ? 2 10 , AB ? AC =4 2.
故所求的两条对角线的长分别为 2 10、4 2

………… 4 分

??? ???? ? AB ? AC (2) cos ?BAC ? ??? ???? ? ? AB AC

………… 6 分

2 34 ? 2

?

17 17
…………10 分

17 → → 所以AB和AC夹角的余弦值为 17

??? ? → → → 3)由题设知: OA ? (?1, ?2) , OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t).
从而 5t=-15,所以 t=-3.

??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? 假设存在实数 t 满足 ( AB ? tOC) ? OC ? OA ? OC ,则(3+2t,5+t)· (-2,-1)=4,

……12 分

…………………………………………………………14 分

18.(本小题 12 分)已知 sin ? ?

3 12 ? 3? , cos( ? ? ? ) ? , ? ? (0, ), ? ? ? ? ( , 2? ) ,求 5 13 2 2

cos 2? 和 sin ? 的值。
18.解: (1) cos 2? ? 1 ? 2sin ? …………………………………...………2 分
2

3 7 ? 1 ? 2 ? ( )2 ? ……………………………...………4 分 5 25 3 ? 4 (2)由 sin ? ? , ? ? (0, ) ,得 cos ? ? 5 2 5 12 3? 5 , ? ? ? ? ( , 2? ) ,得 sin( ? ? ? ) ? ? ………...…8 分 由 cos( ? ? ? ) ? 13 2 13

∴ sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ……………………..……...………10 分

? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ?
?? 5 4 12 3 16 ? ? ? ? ………………………...………12 分 13 5 13 5 65

(其他方法参照给分) 19. (本小题 14 分)已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x ? 3a cos x ?
2

3 a ? b , a 是不为零的实 2

数. (1)写出函数 f ( x ) 的单调递减区间; (2)设 x ?[0, ] , f ( x ) 的最小值是 ?2 ,最大值是 3 ,求实数 a , b 的值.

?

2

19.解: f ( x) ?

1 3a 3 a sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? a ?b 2 2 2

?

a 3a ? sin 2 x ? cos 2 x ? b ? a sin(2 x ? ) ? b …………...………4 分 2 2 3

(1)当 a ? 0 时, 2k? ?

?

2 3 5? 11? ?[ k ? ? , k? ? ], k ? Z 即为 f ( x) 的单调递减区间..………6 分 12 12 ? ? ? ? 5? ? x ? k? ? 当 a ? 0 时, 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k? ? 2 3 2 12 12 ? 5? ?[k? ? , k? ? ], k ? Z 即为 f ( x) 的单调递减区间..………8 分 12 12

? 2x ?

?

? 2 k? ?

3? 5? 11? , k? ? ? x ? k? ? 2 12 12

(2) 0 ? x ?

?
2

,?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3 ? ,? ? sin(2 x ? ) ? 1 --------10 分 3 2 3

当 a ? 0 时, f ( x)min ? ?

3 a ? b ? ?2, f ( x)max ? a ? b ? 3, 2

? 3 ? a ? b ? ?2 ? a ? 2 ?? ?? ? 2 ?b ? ?2 ? 3 ? ?a ? b ? 3 ?

…………...………12 分

? 3 a ? b ? 3 ?a ? ?2 ?? 当 a ? 0 时, ? 2 ?? ?b ? 0 ?a ? b ? ?2 ?

综上 ?

?a ? 2 ?a ? ?2 ? 或? ?b ? ?2 ? 3 ?b ? 0 ?

…………………………14 分

20. (本小题 14 分)如图, 已知扇形 AOB 的面积为

? , 弧 AB 的 12
D

B C

? 长为 ,在扇形 AOB 的弧 AB 上任取一点 C ,作 CD / / OA ,交 6
OB 于点 D ,求 ?OCD 的最大面积.
O

A

20.设扇形 AOB 的半径为 R ,圆心角为 ? ,弧 AB 的长为 l ,面积为 S

? ? ? l ??R ? 6 ? 则? ? S ? 1 lR ? ? ? ? 2 12

? R ?1 ? ?? ? ?? ? 6 ?

…...………4 分

作 DE ? OA 于点 E , CF ? OA 于点 F ,设 ?AOC ? ? ,则 0 ? ? ? 在 Rt ?OCF 中, CF ? sin ? , OF ? cos ? ……...………6 分 在 Rt ?ODE 中, ∴ OE ? 3DE ? 3CF ? 3 sin ? ∴ EF ? OF ? OE ? cos ? ? 3 sin ? 即 CD ? cos? ? 3 sin ? ……...………8 分 ∴ S?OCD ? O D

?
6
B C

E

A

F

1 1 1 3 2 CD ? CF ? sin ? ? (cos ? ? 3 sin ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? 2 2 2 2

1 3(1 ? cos 2? ) 1 3 3 ? sin 2? ? ? sin 2? ? cos 2? ? 4 4 4 4 4

? 1 ? 3 ? sin(2? ? ) ? ,0 ?? ? . 6 2 3 4
∵0 ?? ? ∴当 2? ?

…...………12 分

?
6
?

,所以

?
3

? 2? ?

?
3

?

2? 3

?
3

?
2

,即 ? ?

?
12

时, S?OCD 有最大值且为

1 3 ? 2 4

…...………14 分


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