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2015年宁夏固原一中高考数学冲刺试卷(文科)


2015 年宁夏固原一中高考数学冲刺试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={﹣1,0,1,2,3},B={x|x ﹣2x>0},则 A∩B=( A. {3} B. {2,3} C. {﹣1,3} D. {0,1,2} 2.设 z= A. ,则|z|=( B.

1 C. 2 D. )
2



3.下列命题正确的个数是( ) A.“在三角形 ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B”的逆命题是真命题; B.命题 p:x≠2 或 y≠3,命题 q:x+y≠5 则 p 是 q 的必要不充分条件; C.“?x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是“?x∈R,x ﹣x +1>0”; a b a b D.“若 a>b,则 2 >2 ﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 2 ≤2 ﹣1”. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.若直线 2ax﹣by+2=0(a>0,b>0)被圆 x +y +2x﹣4y+1=0 截得的弦长为 4,则 最小值是( A. ) C. ﹣2 D. 4
2 2 3 2 3 2



B. ﹣

5.执行如图所示的程序框图,则输出的 k 的值为(



A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

6.若 sin(π+α)= ,α 是第三象限的角,则

=(



A.

B.

C. 2 D. ﹣2

7.已知不等式组

构成平面区域 Ω(其中 x,y 是变量) ,若目标函数 z=ax+6y

(a>0)的最小值为﹣6,则实数 a 的值为( A. B. 6 C. 3 D.



8.已知函数

,若

,则 f(﹣a)=(



A.

B.

C.

D.

9.已知向量 =(λ,1) , =(λ+2,1) ,若| + |=| ﹣ |,则实数 λ 的值为( A. 1 B. 2 C. ﹣1 D. ﹣2



10.已知双曲线 ( ) A. B.

的离心率为

,则双曲线的渐近线方程为

C. y=±2x D.

11.已知函数

,则函数 y=f(x)的大致图象为(



A.

B.

C.

D.

12.已知函数 f(x)=

,若存在 x1,x2,当 0≤x1<4≤x2≤6 时,

f(x1)=f(x2) ,则 x1?f(x2)的取值范围是( ) A. [0.1) B. [1,4] C. [1,6] D. [0,1]∪[3,8]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.某小区共有 1000 户居民,现对他们的用电情况进行调查,得到频率分布直方图如图所 示,则该小区居民用电量的中位数为 ,平均数为 .

14.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成的角 的余弦值为 . 15.一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为 a,b,c,当且仅当有两个数字的和 等于第三个数字时称为“有缘数”(如 213,134 等) ,若 a、b、c∈{1,2,3,4},且 a,b,c 互不相同,则这个三位数为”有缘数”的概率是 . 16.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an﹣2 ,若不等式 2n ﹣n﹣3<(5﹣λ)an 对?n∈N 恒成 立,则整数 λ 的最大值为 .
n+1 2 +

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2009?辽宁)如图,A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°,30°, 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°,AC=0.1 km.试探究图中 B,D 间距离与另外 哪两点间距离相等, 然后求 B, D 的距离 (计算结果精确到 0.01 km, ≈1.414, ≈2.449) .

18. (12 分) (2015?固原校级模拟)为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学 习提供指导性建议.现对他前 7 次考试的数学成绩 x、物理成绩 y 进行分析.下面是该生 7 次考试的成绩. 数学 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 (1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的理由; (2)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的,若该生的物理成绩达到 115 分, 请你估计他的数学成绩大约是多少? (已知 88×94+83×91+117×108+92×96+108×104+100×101+112×106=70497, 2 2 2 2 2 2 2 88 +83 +117 +92 +108 +100 +112 =70994)

(参考公式:

=

=

, = ﹣



19. (12 分) (2015?广州模拟)如图,四边形 ABCD 为梯形,AB∥CD,PD⊥平面 ABCD, ∠BAD=∠ADC=90°,DC=2AB=2a,DA= ,E 为 BC 中点. (1)求证:平面 PBC⊥平面 PDE; (2)线段 PC 上是否存在一点 F,使 PA∥平面 BDF?若有,请找出具体位置,并进行证明; 若无,请分析说明理由.

20. (12 分) (2015?固原校级模拟)曲线 C 上任一点到定点(0, )的距离等于它到定直 线 的距离.

(1)求曲线 C 的方程; (2)经过 P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线 l1、l2 分别交曲线 C 于 A、B 两点,且 l1⊥l2,设 M 是 AB 中点,问是否存在一定点和一定直线,使得 M 到这个定点的距离与它到 定直线的距离相等. 若存在, 求出这个定点坐标和这条定直线的方程. 若不存在, 说明理由.

21. (12 分) (2015?固原校级模拟)已知函数 f(x)=x +ax ﹣x+c,且 a=f′( ) . (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; 3 x (3)设函数 g(x)=[f(x)﹣x ]?e ,若函数 g(x)在 x∈[﹣3,2]上单调递增,求实数 c 的取值范围.

3

2

四、选考题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 记分.【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分) (2012?焦作一模)在△ ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆交于点 P, 交 BC 延长线于点 D. (1)求证: ;

(2)若 AC=3,求 AP?AD 的值.

【选修 4-4 坐标系与参数方程】 23. (2015?固原校级模拟) 【坐标系与参数方程】 设直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,

若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点,Ox 轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得 曲线 C 的极坐标方程为 ρ= .

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求|AB|.

【选修 4-5:不等式选讲】 24. (2015?海南模拟)已知函数 f(x)=|x﹣1|. (1)解不等式 f(x)+f(x+4)≥8; (2)若|a|<1,|b|<1,且 a≠0,求证:f(ab)>|a|f( ) .

2015 年宁夏固原一中高考数学冲刺试卷(文科)

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 2 1.设集合 A={﹣1,0,1,2,3},B={x|x ﹣2x>0},则 A∩B=( ) A. {3} B. {2,3} C. {﹣1,3} D. {0,1,2} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可. 解答: 解:由 B 中不等式变形得:x(x﹣2)>0, 解得:x<0 或 x>2,即 B={x|x<0 或 x>2}, ∵A={﹣1,0,1,2,3}, ∴A∩B={﹣1,3}, 故选:C. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.设 z= A.

,则|z|=( B. 1 C. 2 D.



考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出. 解答: 解:z= = +2i=1﹣i+2i=1+i,

则|z|= . 故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,属于基础题. 3.下列命题正确的个数是( ) A.“在三角形 ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B”的逆命题是真命题; B.命题 p:x≠2 或 y≠3,命题 q:x+y≠5 则 p 是 q 的必要不充分条件; 3 2 3 2 C.“?x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是“?x∈R,x ﹣x +1>0”; a b a b D.“若 a>b,则 2 >2 ﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 2 ≤2 ﹣1”. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: A 项根据正弦定理以及四种命题之间的关系即可判断; B 项根据必要不充分条件的概念即可判断该命题是否正确; C 项根据全称命题和存在性命题的否定的判断; D 项写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论.

解答: 解:对于 A 项“在△ ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B”的逆命题为“在△ ABC 中, 若 A>B,则 sinA>sinB”, 若 A>B,则 a>b,根据正弦定理可知 sinA>sinB,∴逆命题是真命题,∴A 正确; 对于 B 项,由 x≠2,或 y≠3,得不到 x+y≠5,比如 x=1,y=4,x+y=5,∴p 不是 q 的充分条 件; 若 x+y≠5,则一定有 x≠2 且 y≠3,即能得到 x≠2,或 y≠3,∴p 是 q 的必要条件; ∴p 是 q 的必要不充分条件,所以 B 正确; 对于 C 项,“?x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是“?x∈R,x ﹣x +1>0”;所以 C 不对. a b a b 对于 D 项,“若 a>b,则 2 >2 ﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 2 ≤2 ﹣1”.所以 D 正确. 故选:C. 点评: 本题主要考查各种命题的真假判断,涉及的知识点较多,综合性较强.
2 2 3 2 3 2

4.若直线 2ax﹣by+2=0(a>0,b>0)被圆 x +y +2x﹣4y+1=0 截得的弦长为 4,则 最小值是( A. ) C. ﹣2 D. 4



B. ﹣

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可得 2ax﹣by+2=0(a>0,b>0)经过圆心,可得 a+b=1,则 = + =2+ + ,再利用基本不等式求得它的最小值.
2 2 2 2

解答: 解:圆 x +y +2x﹣4y+1=0,即(x+1) +(y﹣2) =4,表示以(﹣1,2)为圆心、 半径等于 2 的圆. 再根据弦长为 4,可得 2ax﹣by+2=0(a>0,b>0)经过圆心,故有﹣2a﹣2b+2=0, 求得 a+b=1,则 故则 = + =2+ + ≥4,当且仅当 a=b= 时,取等号,

的最小值为 4,

故选:D. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,基本不等式的应用,属于基础题. 5.执行如图所示的程序框图,则输出的 k 的值为( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 考点: 程序框图. 专题: 计算题;规律型;算法和程序框图. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是输出输出不满足条件 S=0+1+2+8+…<100 时,k+1 的值. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序, 可知:该程序的作用是: 输出不满足条件 S=0+1+2+8+…<100 时,k+1 的值. 第一次运行:满足条件,s=1,k=1; 第二次运行:满足条件,s=3,k=2; 第三次运行:满足条件,s=11<100,k=3;满足判断框的条件,继续运行, 第四次运行:s=1+2+8+2 >100,k=4,不满足判断框的条件,退出循环. 故最后输出 k 的值为 4. 故选:A. 点评: 本题考查根据流程图(或伪代码)输出程序的运行结果.这是算法这一模块最重要 的题型,其处理方法是: :①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析 出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对 数据进行分析管理)?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③ 解模.
11

6.若 sin(π+α)= ,α 是第三象限的角,则

=(



A.

B.

C. 2 D. ﹣2

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值.

分析: 已知等式利用诱导公式化简求出 sinα 的值,根据 α 为第三象限角,利用同角三角函 数间基本关系求出 cosα 的值,原式利用诱导公式化简,整理后将各自的值代入计算即可求 出值. 解答: 解:∵sin(π+α)=﹣sinα= ,即 sinα=﹣ ,α 是第三象限的角, ∴cosα=﹣ ,

则原式=

=

=

=﹣ ,

故选:B. 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

7.已知不等式组

构成平面区域 Ω(其中 x,y 是变量) ,若目标函数 z=ax+6y

(a>0)的最小值为﹣6,则实数 a 的值为( A. B. 6 C. 3 D.



考点: 专题: 分析: 解答:

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义确定最优解,解方程即可. 解:作出不等式组对应的平面区域如图:

由 z=ax+6y(a>0)得 y=﹣ x+ , 则直线斜率﹣ <0, 平移直线 y=﹣ x+ , 由图象知当直线 y=﹣ x+ 经过点 A 时,直线的截距最小,此时 z 最小,为﹣6,







即 A(﹣2,0) , 此时﹣2a+0=﹣6, 解得 a=3, 故选:C

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法.

8.已知函数

,若

,则 f(﹣a)=(



A.

B.

C.

D.

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 利用 f(x)=1+ ,f(x)+f(﹣x)=2 即可求得答案.

解答: 解:∵f(x)= ∴f(﹣x)=1﹣ ,

=1+



∴f(x)+f(﹣x)=2; ∵f(a)= , ∴f(﹣a)=2﹣f(a)=2﹣ = . 故选 C. 点评: 本题考查函数的值,求得 f(x)+f(﹣x)=2 是关键,属于中档题.

9.已知向量 =(λ,1) , =(λ+2,1) ,若| + |=| ﹣ |,则实数 λ 的值为( A. 1 B. 2 C. ﹣1 D. ﹣2 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先根据已知条件得到 坐标求其长度并带入即可.



,带入向量的坐标,然后根据向量

解答: 解:由 ; 带入向量
2

得:

的坐标便得到:
2

|(2λ+2,2)| =|(﹣2,0)| ; 2 ∴(2λ+2) +4=4; ∴解得 λ=﹣1. 故选 C. 点评: 考查向量坐标的加法与减法运算,根据向量的坐标能求其长度.

10.已知双曲线 ( ) A. B.

的离心率为

,则双曲线的渐近线方程为

C. y=±2x D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 双曲线离心率为 ,根据双曲线的离心率公式算出 b= 公式即可得到该双曲线的渐近线方程. 解答: 解:∵双曲线的方程为 ,

a,结合双曲线的渐近线

∴c=



结合离心率为

,得 e= =

= ,即

,化简得 b=

a

∴该双曲线的渐近线方程为 y=±

故选:B 点评: 本题给出双曲线的离心率,求它的渐近线方程,着重考查了双曲线的标准方程与简 单几何性质等知识,属于基础题.

11.已知函数

,则函数 y=f(x)的大致图象为(



A.

B.

C.

D.

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 写出分段函数,分段求导后利用导函数的符号或导函数的零点判断函数 f(x)的图 象的形状.

解答: 解:

=



当 x<0 时, 令 g(x)=2x ﹣1+ln(﹣x) , 由 当 x∈(﹣∞,
′ 3

=



,得

, ,0)时,g (x)<0. = .


)时,g (x)>0,当 x∈(

所以 g(x)有极大值为 又 x >0,所以 f (x)的极大值小于 0. 所以函数 f(x)在(﹣∞,0)上为减函数. 当 x>0 时,
3 2 ′

=



令 h(x)=2x ﹣1+lnx,

. .

所以 h(x)在(0,+∞)上为增函数,而 h(1)=1>0,h( )=﹣
2 ′

又 x >0,所以函数 f (x)在(0,+∞)上有一个零点,则原函数有一个极值点. 综上函数 f(x)的图象为 B 中的形状. 故选 B. 点评: 本题考查了对数函数的图象和性质, 考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性, 考查了分类讨论的数学思想方法,是中档题.

12.已知函数 f(x)=

,若存在 x1,x2,当 0≤x1<4≤x2≤6 时,

f(x1)=f(x2) ,则 x1?f(x2)的取值范围是( ) A. [0.1) B. [1,4] C. [1,6] D. [0,1]∪[3,8] 考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 由已知中函数 f(x)=

,可得当 0≤x1<4≤x2≤6 时,若

f(x1)=f(x2) ,则 x1∈[1,3],进而得到 x1?f(x2)的表达式,数形结合,可得 x1?f(x2) 的取值范围. 解答: 解:函数 f(x)= 的图象如下图所示:

当 0≤x1<4≤x2≤6 时,若 f(x1)=f(x2) , 则 x1∈[1,3], ∴x1?f(x2)=x1?f(x1)=x1?(2﹣|x1﹣2|)= 其图象如下图所示: ,

即 x1?f(x2)的范围是[1,4]. 故选:B 点评: 本题考查的知识点是分段函数的图象和性质,分段函数的应用,数形结合思想,难 度中档. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

13.某小区共有 1000 户居民,现对他们的用电情况进行调查,得到频率分布直方图如图所 示,则该小区居民用电量的中位数为 155 ,平均数为 156.8 .

考点: 众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 根据频率分布直方图中的数据,求出该组数据的中位数与平均数即可. 解答: 解:根据频率分布直方图,得; (0.005+0.015)×20=0.4<0.5, 0.4+0.020×20=0.8>0.5, ∴中位数落在[150,170) , 设中位数为 x,则 0.4+(x﹣150)×0.020=0.5, 解得 x=155; 该组数据的平均数为 =0.005×20×120+0.015×20×140+0.020×20×160 +0.005×20×180+0.003×20×200+0.002×20×220=156.8. 故答案为:155、156.8. 点评: 本题考查了利用频率分布直方图,求中位数和平均数的应用问题,是基础题目. 14.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成的角 的余弦值为 .

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题;压轴题;数形结合;转化思想. 分析: 根据题意知 AD∥BC,∴∠DAE 就是异面直线 AE 与 BC 所成角,解三角形即可求 得结果. 解答: 解:连接 DE,设 AD=2 易知 AD∥BC, ∴∠DAE 就是异面直线 AE 与 BC 所成角, 在△ RtADE 中,由于 DE= ,AD=2,可得 AE=3 ∴cos∠DAE= = ,

故答案为: .

点评: 此题是个基础题.考查异面直线所成角问题,求解方法一般是平移法,转化为平面 角问题来解决,体现了数形结合和转化的思想. 15.一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为 a,b,c,当且仅当有两个数字的和 等于第三个数字时称为“有缘数”(如 213,134 等) ,若 a、b、c∈{1,2,3,4},且 a,b,c 互不相同,则这个三位数为”有缘数”的概率是 .

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;排列、组合及简单计数问题. 专题: 概率与统计. 分析: 利用“有缘数”的定义,求出所有的三位数,求出“有缘数”的个数,再利用古典概型 概率计算公式即可得到所求概率. 解答: 解:由 1,2,3 组成的三位自然数为 123,132,213,231,312,321,共 6 个; 同理由 1,2,4 组成的三位自然数共 6 个; 由 1,3,4 组成的三位自然数也是 6 个; 由 2,3,4 组成的三位自然数也是 6 个. 所以共有 6+6+6+6=24 个. 由 1,2,3 组成的三位自然数,共 6 个”有缘数”. 由 1,3,4 组成的三位自然数,共 6 个”有缘数”. 所以三位数为”有缘数”的概率: 故答案为: . 点评: 本题考查组合数公式的运用,关键在于根据题干中所给的“有缘数”的定义,再利用 古典概型概率计算公式即得答案. 16.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an﹣2 立,则整数 λ 的最大值为 4 .
n+1

= .

,若不等式 2n ﹣n﹣3<(5﹣λ)an 对?n∈N 恒成

2

+

考点: 数列递推式;数列的函数特性;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: 由数列递推式求得首项,然后构造出等差数列{

},求出通项后代入不等式 2n ﹣n

2

﹣3<(5﹣λ)an,整理后得到 5﹣λ 得答案. 解答: 解:当 n=1 时, 当 n≥2 时,

.然后根据数列

的单调性求得最值

,得 a1=4; ,两式相减得 ,得 ,







, ∴数列{

}是以 2 为首项, 1 为公差的等差数列,

, 即



∵an>0,∴不等式 2n ﹣n﹣3<(5﹣λ)an,等价于 5﹣λ

2





,n≥2 时,



∴n≥3 时,





∴5﹣λ

,即



∴整数 λ 的最大值为 4. 点评: 本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,考查了数列的函数特性,考查了 恒成立问题,是中档题. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2009?辽宁)如图,A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°,30°, 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°,AC=0.1 km.试探究图中 B,D 间距离与另外 哪两点间距离相等, 然后求 B, D 的距离 (计算结果精确到 0.01 km, ≈1.414, ≈2.449) .

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: 在△ ACD 中,∠DAC=30°推断出 CD=AC,同时根据 CB 是△ CAD 底边 AD 的中垂 线,判断出 BD=BA,进而在△ ABC 中利用余弦定理求得 AB 答案可得. 解答: 解:在△ ACD 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°﹣∠DAC=30°, 所以 CD=AC=0.1. 又∠BCD=180﹣60°﹣60°=60°, 故 CB 是△ CAD 底边 AD 的中垂线, 所以 BD=BA、 在△ ABC 中, sin 15°= 即 AB= 因此,BD= =
2

= ,可得 sin15°= , ≈0.33km.

, ,

故 B、D 的距离约为 0.33km. 点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用.考查学生分析问题解决问题的能力.综合运 用基础知识的能力. 18. (12 分) (2015?固原校级模拟)为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学 习提供指导性建议.现对他前 7 次考试的数学成绩 x、物理成绩 y 进行分析.下面是该生 7 次考试的成绩. 数学 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 (1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的理由; (2)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的,若该生的物理成绩达到 115 分, 请你估计他的数学成绩大约是多少? (已知 88×94+83×91+117×108+92×96+108×104+100×101+112×106=70497, 2 2 2 2 2 2 2 88 +83 +117 +92 +108 +100 +112 =70994)

(参考公式:

=

=

, = ﹣



考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据公式分别求出其平均数和方差,从而判断出结果; (2)分别求出 和 的 值,代入从而求出线性回归方程,将 y=115 代入,从而求出 x 的值. 解答: 解: (1) =100+ =100+ ∴ 从而 = > =142, =100; = , =100;

,所以物理成绩更稳定.

(2)由于 x 与 y 之间具有线性相关关系, 根据回归系数公式得到: = =0.5, =100﹣0.5×100=50,

∴线性回归方程为:y=0.5x+50, 当 y=115 时,x=130. 点评: 本题考查了平均数及方差的公式,考查线性回归方程,是一道基础题. 19. (12 分) (2015?广州模拟)如图,四边形 ABCD 为梯形,AB∥CD,PD⊥平面 ABCD, ∠BAD=∠ADC=90°,DC=2AB=2a,DA= ,E 为 BC 中点. (1)求证:平面 PBC⊥平面 PDE; (2)线段 PC 上是否存在一点 F,使 PA∥平面 BDF?若有,请找出具体位置,并进行证明; 若无,请分析说明理由.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)连接 BD,便可得到 BD=DC,而 E 又是 BC 中点,从而得到 BC⊥DE,而由 PD⊥平面 ABCD 便可得到 BC⊥PD,从而得出 BC⊥平面 PDE,根据面面垂直的判定定理 即可得出平面 PBC⊥平面 PDE; (2)连接 AC,交 BD 于 O,根据相似三角形的比例关系即可得到 AO= 找 F, 使得 PF= ,从而在 PC 上

, 连接 OF, 从而可说明 PA∥平面 BDF, 这样即找到了满足条件的 F 点. ;

解答: 解: (1)证明:连结 BD,∠BAD=90°,

∴BD=DC=2a,E 为 BC 中点,∴BC⊥DE; 又 PD⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD; ∴BC⊥PD,DE∩PD=D; ∴BC⊥平面 PDE; ∵BC?平面 PBC; ∴平面 PBC⊥平面 PDE; (2)如上图,连结 AC,交 BD 于 O 点,则:△ AOB∽△COD; ∵DC=2AB; ∴ ∴ ; ; ;

∴在 PC 上取 F,使

连接 OF,则 OF∥PA,而 OF?平面 BDF,PA?平面 BDF; ∴PA∥平面 BDF. 点评: 考查直角三角形边的关系,等腰三角形中线也是高线,以及线面垂直的性质,线面 垂直的判定定理,相似三角形边的比例关系,线面平行的判定定理.

20. (12 分) (2015?固原校级模拟)曲线 C 上任一点到定点(0, )的距离等于它到定直 线 的距离.

(1)求曲线 C 的方程; (2)经过 P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线 l1、l2 分别交曲线 C 于 A、B 两点,且 l1⊥l2,设 M 是 AB 中点,问是否存在一定点和一定直线,使得 M 到这个定点的距离与它到 定直线的距离相等. 若存在, 求出这个定点坐标和这条定直线的方程. 若不存在, 说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由抛物线的定义可知:该曲线 C 是抛物线: .

(2)把(1,2)代入抛物线方程满足方程,因此点 P 在抛物线上.设直线 l1:y﹣2=k(x ﹣1) (k≠0) ,l2: ,分别与抛物线的方程联立可得点 A,B 的坐标.设 .可知此

线段 AB 的中点 M(x,y) ,利用中点坐标公式可得点 M 的轨迹为

方程是抛物线, 故存在一定点和一定直线, 使得 M 到定点的距离等于它到定直线的距离. 将 抛物线方程化为 ,此抛物线可看成是由抛物线 左移 个单

位,上移 个单位得到的,即可得出定点和定直线. 解答: 解: (1)由抛物线的定义可知:该曲线 C 是抛物线: (2)把(1,2)代入抛物线方程满足方程,因此点 P 在抛物线上. 设直线 l1:y﹣2=k(x﹣1) (k≠0) ,l2: ﹣kx﹣2+k=0, ∴xA= ,∴yA= ,即 A . ,由 ,化为 2x
2



同理可得



设线段 AB 的中点 M(x,y) .则



化为

,消去 k 化为



∴点 M 的轨迹是抛物线,故存在一定点和一定直线,使得 M 到定点的距离等于它到定直线 的距离.

将抛物线方程化为 单位,上移 个单位得到的, 而抛物线 故所求的定点为 的焦点为(0,

,此抛物线可看成是由抛物线

左移 个

) ,准线为 y=﹣ ,定直线方程为 y=

. .

点评: 本题考查了相互垂直的直线与抛物线相交问题转化为方程联立、抛物线的定义、平 移变换等基础知识与基本技能方法,属于难题.
3 2

21. (12 分) (2015?固原校级模拟)已知函数 f(x)=x +ax ﹣x+c,且 a=f′( ) . (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; 3 x (3)设函数 g(x)=[f(x)﹣x ]?e ,若函数 g(x)在 x∈[﹣3,2]上单调递增,求实数 c 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先求出函数的导数,得到 f′( )=3× +2f′( )× ﹣1,解出即可; (2)先求出函数的导数,解关于导函数的方程,从而得到函数的单调区间; 2 (3)问题等价于 h(x)=﹣x ﹣3x+c﹣1≥0 在 x∈[﹣3,2]上恒成立,只要 h(2)≥0,解出 即可. 解答: 解: (1)f′(x)=3x +2ax﹣1, 当 x= 时,得 a=f′( )=3× +2f′( )× ﹣1, 解之,得 a=﹣1. 3 2 (2)∵f(x)=x ﹣x ﹣x+c, ∴f′(x)=3(x+ ) (x﹣1) ,列表如下: x (﹣∞,﹣ ) ﹣ (﹣ ,1) 1 (1,+∞)
2

f′(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) ↗ 有极大值 ↘ 有极小值 ↗ 所以 f(x)的单调递增区间是(﹣∞,﹣ )和(1,+∞) ; f(x)的单调递减区间是(﹣ ,1) . (3)函数 g(x)=(﹣x ﹣x+c)e , 2 x 有 g′(x)=(﹣x ﹣3x+c﹣1)e , 因为函数在区间 x∈[﹣3,2]上单调递增, 2 等价于 h(x)=﹣x ﹣3x+c﹣1≥0 在 x∈[﹣3,2]上恒成立,
2 x

只要 h(2)≥0,解得 c≥11, 所以 c 的取值范围是:c≥11. 点评: 本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,函数恒成立问题,是一道中档题. 四、选考题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 记分.【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分) (2012?焦作一模)在△ ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆交于点 P, 交 BC 延长线于点 D. (1)求证: ;

(2)若 AC=3,求 AP?AD 的值.

考点: 相似三角形的性质;相似三角形的判定. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)先由角相等∠CPD=∠ABC,∠D=∠D,证得三角形相似,再结合线段相等即 得所证比例式; (2)由于∠ACD=∠APC,∠CAP=∠CAP,从而得出两个三角形相似:“△ APC~△ ACD” 结合相似三角形的对应边成比例即得 AP?AD 的值. 解答: 解: (1)∵∠CPD=∠ABC,∠D=∠D, ∴△DPC~△ DBA,∴ 又∵AB=AC,∴ (5 分) ,

(2)∵∠ACD=∠APC,∠CAP=∠CAP,∴△APC~△ ACD∴
2

∴AC =AP?AD=9(5 分) 点评: 本小题属于基础题.此题主要考查的是相似三角形的性质、相似三角形的判定,正 确的判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键. 【选修 4-4 坐标系与参数方程】 23. (2015?固原校级模拟) 【坐标系与参数方程】 设直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,

若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点,Ox 轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得 曲线 C 的极坐标方程为 ρ= .

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求|AB|.

考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;两点间的距离公式;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)由 ρ= 焦点在 x 上的抛物线. (2) t2|= 解答: 解: (1)由 ρ= 代入 y =8x 求得 的值. 得 ρsin θ=8cosθ,∴ρ sin θ=8ρcosθ,∴y =8x,
2 2 2 2 2

得 ρ sin θ=8ρcosθ,故有 y =8x,故曲线 C 表示顶点在原点,

2

2

2

,t1?t2=﹣20,由此求得|AB|=|t1﹣

∴曲线 C 表示顶点在原点,焦点在 x 上的抛物线. (2) ∴|AB|=|t1﹣t2|= 代入 y =8x 得 t ﹣2
2 2

t﹣20=0,∴ =10.

,t1?t2=﹣20,

点评: 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程,参数的几何意义,一元二次方程根 与系数的关系,属于中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24. (2015?海南模拟)已知函数 f(x)=|x﹣1|. (1)解不等式 f(x)+f(x+4)≥8; (2)若|a|<1,|b|<1,且 a≠0,求证:f(ab)>|a|f( ) .

考点: 绝对值不等式的解法;不等式的证明. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: (Ⅰ)根据 f(x)+f(x+4)=|x﹣1|+|x+3|=

,分类讨论求得

不等式 f(x)+f(x+4)≥8 的解集. 2 2 (Ⅱ)要证的不等式即|ab﹣1|>|a﹣b|,根据|a|<1,|b|<1,可得|ab﹣1| ﹣|a﹣b| >0,从而 得到所证不等式成立.

解答: 解: (Ⅰ)f(x)+f(x+4)=|x﹣1|+|x+3|=



当 x<﹣3 时,由﹣2x﹣2≥8,解得 x≤﹣5; 当﹣3≤x≤1 时,f(x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. 所以,不等式 f(x)≤4 的解集为{x|x≤﹣5,或 x≥3}.

(Ⅱ)f(ab)>|a|f( ) ,即|ab﹣1|>|a﹣b|. 因为|a|<1,|b|<1, 2 2 2 2 2 2 2 2 所以|ab﹣1| ﹣|a﹣b| =(a b ﹣2ab+1)﹣(a ﹣2ab+b )=(a ﹣1) (b ﹣1)>0, 所以|ab﹣1|>|a﹣b|,故所证不等式成立. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了等价转化和分类讨论的数学思想,属于 中档题.


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