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高二上学期数学文科讲义第四讲


高二上学期数学讲义 第四讲 授课时间: 2014 年 10 月 6 日 课时:2 课时 授课时段:8:00—10:00 学生: 授课老师: 徐 峰 备注

科目:线面平行、面面平行的性质
线面垂直的判定

教学过程(内容)
回顾:直线与平面平行判定方法 (1)定义法:直线与平面无公共点。

a ??<

br />(2) 判定定理: b ? ?

a / /?

a / /b
(3)其他方法:

? / /? a??

a / /?


1.若直线 a 不平行于平面 ? ,且 a ? ? ,则下列结论成立的是( A. ? 内的所有直线与 a 异面 C. ? 内存在唯一的直线与 a 平行 B. ? 内不存在与 a 平行的直线 D. ? 内的直线与 a 都相交 )

2.平行于同一平面的两条直线的位置关系( A.平行 B.相交 C.异面 )

D.平行、相交或异面

3.下列命题中,错误的个数是(

①一条直线平行于一个平面,这条直线就和这个平面内的任何直线不相交; ②过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行; ③过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行; ④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行; ⑤a 和 b 异面,则经过 b 存在唯一一个平面与 ? 平行 A.4 B.3 C.2 D.1

一、直线与平面平行的性质定理 直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。

a / /? 符号表示: a ? ? ? ?? ?b

a / /b

作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
1

例题讲解 1.已知 E、F、G、H 为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点,且EH∥FG. 求证:EH∥BD.
A E B F H D G C

2.求证:一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个相交平面的交线平行. 已知:如图,a∥α ,a∥β ,α ∩β =b, 求证:a∥b.

3.已知:如图,三棱锥 S—ABC,SC∥截面 EFGH,AB∥截面 EFGH.求证:截面 EFGH 是平行四边形.

2

练习 1.如图,E、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、AD 的中点,平面α 过 EH 分别交 BC、CD 于 F、G. 求证:EH∥FG.

2.如图,平行四边形 EFGH 的四个顶点分别在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上, 求证:BD∥面 EFGH,AC∥面 EFGH.

3.三个平面两两相交有三条交线,如果其中两条交线平行,则第三条交线也和它们分别平行.

α a

β b γ c

3

平面与平面平行的判定方法
(1)定义法:两平面无公共点。

a / /? b / /? (2)判定定理: a ? ? b ?? a ?b ? P
(3)其他方法:

? / /?

a ?? a??

? / /? ;

a / /? ? / /?

? / /?
) B.直线 a // ? , a // ? 且直线 a 不在 ? 内,也不在 ? 内 D. ? 内的任何直线都与 ? 平行

1.平面 ? 与平面 ? 平行的条件可以是( A.? 内有无穷多条直线都与 ? 平行 C.直线 a ? ? ,直线 b ? ? 且 a // ? , b // ? 2.下面四个命题: ①分别在两个平面内的两直线是异面直线;

②若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面; ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行. 其中正确的命题是( A.①② ) B.②④ C.①③ ) D.②③

3.若三个平面两两相交,有三条交线,则下列命题中正确的是( A.三条交线为异面直线 C.三条交线交于一点 B.三条交线两两平行

D.三条交线两两平行或交于一点 )

4. ? ,β 是两个不重合的平面,a,b 是两条不同直线,在下列条件下,可判定 ? ∥β 的是( A. ? ,β 都平行于直线 a,b B. ? 内有三个不共线点到β 的距离相等 C.a,b 是 ? 内两条直线,且 a∥β ,b∥β D.a,b 是两条异面直线且 a∥ ? ,b∥ ? ,a∥β ,b∥β

4

平面与平面平行

两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

? / /? 符号表示: ? ? ? ? a ? ?? ?b

a / /b

2.作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 例题讲解 1.求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 且 。求证:AB=CD。

? ?

A

D

B

C

2.已知:如下图,四棱锥 S-ABCD 底面为平行四边形,E、F 分别为边 AD、SB 中点 求证:EF∥平面 SDC。

5

1.在下列命题中,错误的是(



A. 若平面α 内的任一直线平行于平面β ,则α ∥β B. 若两个平面没有公共点,则两个平面平行 C. 若平面α ∥平面β ,任取直线 a ? α ,则必有 a∥β D. 若两条直线夹在两个平行平面间的线段长相等,则两条直线平行 2.下列命题中,错误的是( )

A.平行于同一条直线的两个平面平行 B.平行于同一个平面的两个平面平行 C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行 D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交

直线与平面垂直的判定
(1)定义:如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直,则这条直线和这个平面垂直。 直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂 足。 P a L 直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 (2)判定方法

a ? b, a ? c ? ? ①判定定理: b ? c ? P ?? a ?? b ? ?,c ? ?? ?
②推论:

a ?? a / /b


b ??

③性质

a ?? b ??

a?b



a ?? b ??
6

a / /b

? “转化思想” 面面平行 面面垂直

线面平行 线面垂直

线线平行 线线垂直

1.如图,ABCD 是菱形,PA⊥平面 ABCD, 求证:BD⊥平面 PAC;

2. 如图,棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)求证:AB⊥平面 CC1 B1B (2)求证:AC⊥平面 B1D1DB; (3)求三棱锥 B-ACB1 体积.
D A B C

D1 C1 A1 B1

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