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三角函数


第一讲
一、知识梳理
1.与角 ? 终边相同的角的集合为

任意角与弧度制
. .

2.与角 ? 终边互为反向延长线的角的集合为 3.轴线角(终边在坐标轴上的角) 终边在 x 轴上的角的集合为 终边在 y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 4.象限角是指: 5.区间角是指: 。 。 . . .

r />
6.弧度制的意义:圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为 1 弧度的角,它将任 意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系. 7.弧度与角度互化:180?= 1 弧度= 8.弧长公式:l = 9.特殊角的角度与弧度对应关系: 0° 30° 45° 60° 角 度 弧 度 弧度,1?=
?

弧度 ?. . 150° 180° 270° 360°

;扇形面积公式:S= 90° 120° 135°

二、同步练习
1.若 α 是第一象限角,则下列各角中一定为第四象限角的是 ( ) )

(A) 90° -α (B) 90° +α (C)360° -α (D)180° +α 2.终边与坐标轴重合的角 α 的集合是 ( (A){α|α=k· 360° ,k∈Z} (B){α|α=k· 180° +90° ,k∈Z} (C){α|α=k· 180° ,k∈Z} (D){α|α=k· 90° ,k∈Z} 3.若角 α、β 的终边关于 y 轴对称,则 α、β 的关系一定是(其中 k∈Z) ( (A) α+β=π
? (A) 3
? (B) α-β= 2
2? (B) 3

) ( )

(C) α-β=(2k+1)π (C) 3

(D) α+β=(2k+1)π (D)2 ( )
? 6

4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为

5.将分针拨快 10 分钟,则分针转过的弧度数是 (A)
? 3

(B)-

? 3

(C)

? 6

(D)-

6.已知集合 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 90° 的角},下列四个命题: ①A=B=C ②A ? C ③C ? A ④A∩C=B,其中正确的命题个数为 ( ) (A)0 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 7.终边落在 x 轴负半轴的角 α 的集合为 平分线上的角 β 的集合是 . ,终边在一、三象限的角

8. -

23 12

πrad 化为角度应为

.

9.圆的半径变为原来的 3 倍, 而所对弧长不变, 则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍. 10.若角 α 是第三象限角,则
? 角的终边在 2

,2α 角的终边在

.

11.试写出所有终边在直线 y ? ? 3x 上的角的集合,并指出上述集合中介于-1800 和 1800 之 间的角.

12.已知 0° <θ<360° ,且 θ 角的 7 倍角的终边和 θ 角终边重合,求 θ.

13.已知扇形的周长为 20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大? 最大面积是多少?

14.如下图,圆周上点 A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知 A 点 1 分钟转过 θ(0<θ<π)角, y 2 分钟到达第三象限,14 分钟后回到原来的位置,求 θ.

A O x

第二讲
一、知识梳理

三角函数的定义

1、三角函数的定义:设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P?x, y ? ,那么:

sin ? ? y, cos? ? x, tan? ?

y . x
2 2 x0 ? y0 )

设点 A?x0 , y 0 ? 为角 ? 终边上任意一点,那么: (设 r ?

y y0 x , cos? ? 0 , tan ? ? 0 . x0 r r 2、 sin ? , cos? , tan? 在四个象限的符号(一全正二正弦,三正切四余弦)

sin ? ?

y + O + x O

y + + x + O

y + x -

cos ? tan? sin? 3、三角函数线(单位圆中) 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.

三角函数

定义域 R R
? ? ? ? x x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y P T

y ? sin x

y ? cos x
y ? tan x

O

M

Ax

4、三角函数的定义域: 5、 特殊角的三角函数值

? 角度 ? 弧度
sin ?

0?

30? 45?

60?

90? 120 ?

135 ?

150 ?
5? 6

180 ?

270 ? 360 ?

0
0

? 6
1 2
3 2

? 4
2 2
2 2

? 3
3 2
1 2

? 2
1
0


2? 3

3? 4
2 2
? 2 2

?
0

3? 2

2?
0

3 2
? 1 2

1 2
? 3 2

?1
0


cos?
tan?

1
0

?1
0

1
0

3 3

1

3

? 3

?1

? 3 3

二、同步练习
1.函数 y=
| sin x | cos x | tan x | + + 的值域是 sin x | cos x | tan x

( (C) {-1,3} (D){1,3} ( (D) 不确定 ( (C) 第三象限角

)

(A){-1,1}

(B){-1,1,3}

2.已知角 θ 的终边上有一点 P(-4a,3a)(a≠0),则 2sinθ+cosθ 的值是 (A)
2 5

)

(B) -

2 5

(C)

2 2 或 5 5

3.设 A 是第三象限角,且|sin (A) 第一象限角 4. sin2cos3tan4 的值

A A A |= -sin ,则 是 2 2 2

)

(B) 第二象限角

(D) 第四象限角 ( )

(A)大于 0

(B)小于 0

(C)等于 0

(D)不确定 ( )

5.在△ ABC 中,若 cosAcosBcosC<0,则△ ABC 是 (A)锐角三角形 (B)直角三角形
? 的终边在 2

(C)钝角三角形

(D)锐角或钝角三角形 ( )

6.已知|cosθ|=cosθ, |tanθ|= -tanθ,则 (A)第二、四象限 (C)第一、三象限或 x 轴上 7、若 sinθ· cosθ>0, 则 θ 是第 8、求值:sin(-

(B)第一、三象限 (D)第二、四象限或 x 轴上 象限的角; ; ;

23 13 13 π)+cos π· tan4π -cos π= 6 7 3

9、角 θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同,则 θ 的值为 10、设 M=sinθ+cosθ, -1<M<1,则角 θ 是第 11、已知角 ? 的终边经过点 P(2 sin 象限角.

?

,?2 cos ) ,则 sin ? 的值是_________。 3 3

?

12、若角 ? 的终边与直线 y ? 3x 重合,且 sin ? ? 0 ,又 P(m, n) 是角 ? 终边上一点,且

OP ? 10 ,求 m ? n 。

π 3π 13、已知角 θ 的终边经过点 P(-4cos α,3cos α)( <α< ),求 sin θ+cos θ。 2 2

14、求函数 y=lg(2cosx+1)+ sin x 的定义域

第三讲
一、知识梳理
同角三角函数的基本关系:

同角三角函数的基本关系

1、平方关系: ?1? sin ? ? cos ? ? 1
2 2

变形: sin ? ? 1 ? cos ? , cos ? ? 1 ? sin ? ;
2 2 2 2

?

?

2、商的关系: ? 2 ?

sin ? ? tan ? cos ?
sin ? ? ?. tan ? ?

变形: ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ?

? ?

二、同步练习
4 1.已知 sinα= ,且 α 为第二象限角,那么 tanα 的值等于 5

( (D) ?



(A)

4 3

(B) ?

4 3

(C)

3 4

3 4
( )

2.已知 sinαcosα= (A)
3 2

1 ? ? ,且 <α< ,则 cosα-sinα 的值为 4 2 8
(B)
3 4

(C) ?

3 2

(D)±

3 2

3.设是第二象限角,则 (A) 1 4.若 tanθ=
3 (A)± 10

sin ? 1 ? ?1 = cos ? sin 2 ?
(B)tan2α (C) - tan2α (D) ? 1 ( (C)
3 10

(

)

1 3 ,π<θ< π,则 sinθ· cosθ 的值为 2 3
(B)
3 10



(D)±

3 10

5.已知

1 sin ? ? cos ? = ,则 tanα 的值是 2sin ? ? 3cos ? 5
(B)
8 3

( (C) ?
8 3



8 (A)± 3

(D)无法确定 ( )

6.若 α 是三角形的一个内角,且 sinα+cosα= (A)钝角三角形 (B)锐角三角形

2 ,则三角形为 3
(C)直角三角形 ; ; ;

(D)等腰三角形

1 7.已知 sinθ-cosθ= ,则 sin3θ-cos3θ= 2

8.已知 tanα=2,则 2sin2α-3sinαcosα-2cos2α= 9.化简
1 ? cos ? 1 ? cos ? (α 为第四象限角)= ? 1 ? cos ? 1 ? cos ?

10.已知 cos (α+ 11.若 sinx=

? ? ? 1 )= ,0<α< ,则 sin(α+ )= 4 2 4 3

.

? m?3 4 ? 2m ,cosx= ,x∈( ,π),求 tanx 2 m?5 m?5

sin 2 x sin x ? cos x ? 12.化简: . sin x ? cos x tan 2 x ? 1

13.求证:tan2θ-sin2θ=tan2θ· sin2θ.

14.已知:sinα=m(|m|≤1),求 cosα 和 tanα 的值.

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第四讲
一、知识梳理
三角函数的诱导公式:

三角函数的诱导公式

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos ? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ? ? ? . ? 2 ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ? 3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos ? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4 ? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? 6 ? sin ? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.

二、同步练习
4 1.已知 sin(π+α)= ,且 α 是第四象限角, 则 cos(α-2π)的值是 5

( (D)



3 3 (B) 5 5 2.若 cos100° = k,则 tan ( -80° )的值为
(A)- (A)-
1? k k
2

(C)±

3 5
1? k k
2

4 5
( )
1? k k
2

(B)

1? k k

2

(C)

(D)-

3.在△ ABC 中,若最大角的正弦值是

2 ,则△ ABC 必是 2

( (D)锐角三角形 ( (D)±
4 5



(A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 4.已知角 α 终边上有一点 P(3a,4a) (a≠0) , 则 sin(450° -α)的值是 (A)-
4 5



(B)-

3 5

3 (C)± 5

5.设 A,B,C 是三角形的三个内角,下列关系恒等成立的是 (A)cos(A+B)=cosC (B)sin(A+B)=sinC (C)tan(A+B)=tanC (D)sin





C A? B =sin 2 2

? ? ? 4 6.下列三角函数:①sin(nπ+ π) ②cos(2nπ+ ) ③sin(2nπ+ ) ④cos[(2n+1)π- ] 6 3 6 3

⑤sin[(2n+1)π(A)①② 7.

? ? ](n∈Z)其中函数值与 sin 的值相同的是 3 3
(B)①③④ (C)②③⑤ . . (D)①③⑤





tan(?150?) ? cos(?570?) ? cos(?1140?) = tan(?210?) ? sin(?690?)

8.sin2(

? ? -x)+sin2( +x)= 3 6
1 ? 2sin10? cos10? cos10? ? 1 ? cos 2 170?

9.化简

=

.

10.已知 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中 α、β、a、b 均为非零常数,且列命题: f(2006) = ?
15 ,则 f(2007) = 16

.

tan(? ? ? ) ? sin 2(? ? ) ?cos(2 ? ? ?) 2 11.化简 . 3 cos ( ?? ? ? ) ? tan(? ? 2? )

?

12. 设 f(θ)=

2cos3 ? ? sin 2 (2? ? ? ) ? cos(?? ) ? 3 ? , 求 f( )的值. 2 ? 2cos 2 (? ? ? ) ? cos(2? ? ? ) 3

1 13.已知 cosα= ,cos(α+β)=1 求 cos(2α+β)的值. 3

14.是否存在角 α、β,α∈(-

? ? ? , ),β∈(0,π),使等式 sin(3π-α)= 2 cos( -β), 2 2 2

3 cos (-α)=

- 2 cos(π+β)同时成立?若存在,求出 α、β 的值;若不存在,请说明理由.

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第五讲
一、知识梳理

三角函数的图象与性质

正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义域 值 域 当
x ? 2k? ?

R

R

? ? ? , k ? ?? ? x x ? k? ? 2 ? ?

? ?1,1?
?
2

? ?1,1?


R

x ? 2 k? ? k ? ? ?

?k ? ?? 时,

?
2

时,

最 值

ymax ? 1
x ? 2 k? ?



ymax ? 1





?k ? ??

x ? 2k? ? ?

既无最大值也无最小 值

时, ymin ? ?1 . 周 期 奇 偶
? ?? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? 2 2? ? ?

?k ? ??
ymin ? ?1 .





2?
奇函数

2?
偶函数

?
奇函数



?k ? ??
单 数; 调性 ?

上是增函

? 2k? ? ? , 2k? ? ? k ? ? ? 上
是 增 函 数 ; 在



? 3? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? 2 2 ? ? ?

? 2 k? , 2 k? ? ? ?
? k ? ? ? 上是减函数.

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? k ? ? ? 上是增函数.

?k ? ?? 上 是 减 函
数. 对 对 称性 称 中 心







心 对 轴 称 中 心
? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

? k? , 0 ?? k ? ? ?

x ? k? ?

? ? ? , 0 ? ? k ? ?? ? k? ? 2 ? ?


?
2







? k ? ??

x ? k? ? k ? ? ?

无对称轴

二、同步练习
1.下列说法只不正确的是 (A) 正弦函数、余弦函数的定义域是 R,值域是[-1,1]; (B) 余弦函数当且仅当 x=2kπ( k∈Z) 时,取得最大值 1; (C) 余弦函数在[2kπ+ ( )

? 3? ,2kπ+ ]( k∈Z)上都是减函数; 2 2

(D) 余弦函数在[2kπ-π,2kπ]( k∈Z)上都是减函数 2.函数 f(x)=sinx-|sinx|的值域为 (A) {0} (B) [-1,1] (C) [0,1] 0 0 0 3.若 a=sin46 ,b=cos46 ,c=cos36 ,则 a、b、c 的大小关系是 (A) c> a > b (B) a > b> c (C) a >c> b 4. 对于函数 y=sin(
13 π-x) ,下面说法中正确的是 2

( (D) [-2,0] ( (D) b> c> a ( (B) 函数是周期为 π 的偶函数 (D) 函数是周期为 2π 的偶函数

) )

)

(A) 函数是周期为 π 的奇函数 (C) 函数是周期为 2π 的奇函数

5.函数 y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形, 则这个封闭图形的面积 是 (A) 4 (B)8
197 π 2

( (C)2π
199 π 2

)

(D)4π )

6.为了使函数 y= sinωx(ω>0)在区间[0,1]是至少出现 50 次最大值,则的最小值是 ( (A)98π 7.函数 y=tan (2x+ (A) π (B) (C) (D) 100π ( (C) (D) )

? )的周期是 6

? 2 8.已知 a=tan1,b=tan2,c=tan3,则 a、b、c 的大小关系是 (A) a<b<c (B) c<b<a (C) b<c<a
(B)2π 9.在下列函数中,同时满足(1)在(0, (A) y=|tanx| 10.函数 y=lgtan

? 4
( )

(D) b<a<c )

? )上递增;(2)以 2π 为周期;(3)是奇函数的是 ( 2
(C) y=tan

(B) y=cosx
x 的定义域是 2

1 x 2

(D) y=-tanx ( )

? ,k∈Z} 4 (C) {x|2kπ<x<2kπ+π,k∈Z}
(A){x|kπ<x<kπ+ 11.已知函数 y=tanωx 在((A)0<ω≤ 1 12.如果 α、β∈( (A) α<β

(B) {x|4kπ<x<4kπ+ (D)第一、三象限

? ,k∈Z} 2

? ? , )内是单调减函数,则 ω 的取值范围是 2 2 (B) -1≤ω<0 (C) ω ≥1

( (D) ω≤ -1 ( )
3? 2

)

? ,π)且 tanα<tanβ,那么必有 2
(B) α>β (C) α+β>
3? 2

(D) α+β< .

13.函数值 sin1,sin2,sin3,sin4 的大小顺序是 14.函数 y=cos(sinx)的奇偶性是 15.函数 f(x)=lg(2sinx+1)+
2

. ; .

2cos x ?1 的定义域是

16.关于 x 的方程 cos x+sinx-a=0 有实数解,则实数 a 的最小值是

17.函数 y=2tan(

? x - )的定义域是 3 2

,周期是 ; ;

;

18.函数 y=tan2x-2tanx+3 的最小值是 19.函数 y=tan(
x ? + )的递增区间是 2 3

20.下列关于函数 y=tan2x 的叙述:①直线 y=a(a∈R)与曲线相邻两支交于 A、B 两点,则线段 AB 长为 π;②直线 x=kπ+ 正确的命题序号为

k? ? ,(k∈Z)都是曲线的对称轴;③曲线的对称中心是( ,0),(k∈Z), 4 2
.

1 21.用“五点法”画出函数 y= sinx+2, x∈[0,2π]的简图. 2

22.已知函数 y= f(x)的定义域是[0,

1 ],求函数 y=f(sin2x) 的定义域. 4

23. 已知函数 f(x) =sin(2x+φ)为奇函数,求 φ 的值.

1 3 24.已知 y=a-bcos3x 的最大值为 ,最小值为 ? ,求实数 a 与 b 的值. 2 2

25.不通过求值,比较下列各式的大小 (1)tan(? 3? )与 tan() 5 7

(2)tan(

7? ? )与 tan ( ) 8 16

26.求函数 y=

tan x ? 1 的值域. tan x ? 1

x ? 27.求下列函数 y ? tan( ? ) 的周期和单调区间 2 3

28.已知 α、β∈(

5? 3? ? ,π),且 tan(π+α)<tan( -β),求证: α+β< . 2 2 2

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函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象

一、知识梳理
函数 y=Asin(ωx+ ? )的图象与函数 y=sinx 的图象关系. 1)振幅变换:y=Asinx(A>0,A≠1)的图象,可以看做是 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标 都 ,(A>1)或 (0<A<1)到原来的 倍(横坐标不变)而得到的. 2)周期变换:y=sinωx(ω>0,ω≠1)的图象,可以看做是把 y=sinx 的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的.由于 y=sinx 周期 为 2π,故 y=sinωx(ω>0)的周期为 . 3) 相位变换: y=sin(x+ ? )( ? ≠0)的图象, 可以看做是把 y=sinx 的图象上各点向 ( ? >0) 或向 ( ? <0)平移 个单位而得到的. 由 y=sinx 的图象得到 y=Asin(ωx+ ? )的图象主要有下列两种方法: y=sinx 或 y=sinx
周期 变换 相位 变换 振幅 变换 相位 变换 周期 变换 振幅 变换

说明:前一种方法第一步相位变换是向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 第二步相位变换是向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 个单位.

个单位.后一种方法

二、同步练习
? ), x∈R 的图象, 只需把余弦曲线 y=cosx 上的所有的点 ( 3 ? ? (A) 向左平移 个单位长度 (B) 向右平移 个单位长度 3 3 1 1 (C) 向左平移 个单位长度 (D) 向右平移 个单位长度 3 3 2.函数 y=5sin(2x+θ)的图象关于 y 轴对称,则 θ= ( ? ? (A) 2kπ+ (k∈Z) (B) 2kπ+ π(k∈Z) (C) kπ+ (k∈Z) (D) kπ+ π(k∈Z) 6 2 ? 3. 函数 y=2sin(ωx+φ),|φ|< 的图象如图所示,则 ( y 2 10 10 ? ? 2 (A) ω= ,φ= (B) ω= ,φ= 11? 1 11 11 6 6 12 o ? ? x (C) ω=2,φ= (D) ω=2,φ= -2 x 6 6

1.为了得到函数 y=cos(x+

)

)

)

1 ? 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 3 2 倍,所得的函数图象解析式为 ( ) 1 1 ? ? ? 2? 1 (A) y=3cos( x+ ) (B) y=3cos(2x+ ) (C) y=3cos(2x+ ) (D) y= cos( x+ ) 3 3 6 3 3 2 2 ? 7? 5.已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在同一周期内 ,当 x= 时,ymax=2;当 x= 时,,ymin=-2. 12 12 那么函数的解析式为 ( ) x ? ? ? ? (A) y=2sin(2x+ ) (B) y=2sin( - ) (C) y=2sin(2x+ ) (D) y=2sin(2x- ) 2 6 3 6 3 6.把函数 f(x)的图象沿着直线 x+y=0 的方向向右下方平移 2 2 个单位,得到函数 y=sin3x 的图 象,则 ( )

4.函数 y=cosx 的图象向左平移

(A) f(x)=sin(3x+6)+2

(B) f(x)=sin(3x-6)-2

(C) f(x)=sin(3x+2)+2 (D) f(x)=sin(3x-2)-2 ; ; ;
? 对称,则 φ 6

7.函数 y=3sin(2x-5)的对称中心的坐标为 8.函数 y=cos(

? 2? x+ )的最小正周期是 3 4

9.函数 y=2sin(2x+

? )(x∈[-π,0])的单调递减区间是 6

10.函数 y=sin2x 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,得到的图象恰好关于直线 x=

的最小值是 . 11.写出函数 y=4sin2x (x∈R)的图像可以由函数 y=cosx 通过怎样的变换而得到.(至少写出两 个顺序不同的变换)

12.已知函数 y=log0.5(2sinx-1), (1)写出它的值域.(2)写出函数的单调区间. (3)判断它是否为周期函数?如果它是一个周期函数,写出它的最小正周期.

13.已知函数 y=2sin(

k x+5)周期不大于 1,求正整数 k 的最小值. 3

14. 已知 N(2, 2 )是函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的最高点, N 到相邻最低点的图象曲 线与 x 轴交于 A、B,其中 B 点的坐标(6,0),求此函数的解析表达式 .

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第七讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、知识梳理
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式: sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? . tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?
2.常见的角的变换:
2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ; ? ?

? ??
2

?

? ??
2

; ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ?

? ??
2

? (? ?

?
2

)?(

?
2

? ?) ; (

?
4

? x) ? (

?
4

? x) ?
?

?
2


? cos x ? ? a ?b ? b
2 2

3.辅助角公式: a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 ?
? a 2 ? b 2 (sin x ? cos? ? cos x ? sin ? ) ?

a sin x ? ? 2 2 ? a ?b

a 2 ? b 2 ? sin(x ? ? ) ( 其 中 , 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点

(a, b) 所在的象限决定, tan ? ?

b ). a
( C、
6? 2 4

二、同步练习
1、sin750= 3 1 A、 B、 4 4 2、tan170+tan280+tan170tan280= A、-1 B、1 ) D、
6? 2 4


2 C、 2 2 D、2



3 1 3、若 sinx+ cosx=cos(x+φ),则 φ 的一个可能值为 2 2 ? ? ? A、 ? B、 ? C、

( D、
? 3



6

3

6

4、设 α、β 为钝角,且 sinα=
3? 4 1 ? tan 75? 5、 = 1 ? tan 75?

A、

5 3 10 ,cosβ=,则 α+β 的值为 5 10 5? 7? B、 C、 4 4

( D、 (



5? 7? 或 4 4



A、

3 3

B、 3

C、-

3 3

D、- 3 ( ) D、等腰三角形

6、在△ ABC 中,若 0<tanAtanB<1,则此三角形是 A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 0 0 0 0 7、cos42 sin78 +cos48 sin12 ____________;

? ? 1 8、已知 cosα= ,α∈(0, ),则 cos(α+ )=_____________; 2 3 7

? )= ; 12 10、一元二次方程 mx2+(2m-3)x+m-2=0 的两根为 tanα,tanβ,则 tan(α+β)的最小值为______.
9、已知函数 f(x)=sin x +cos x,则 f ( 11、已知 tan(

? 1 +x)= ,求 tanx 4 2

12、化简

2cos10? ? sin 20? cos 20?

13、已知

? 3? ? ? 3? 3 5 <α < ,0<β< ,且 cos( -α)= ,sin( +β)= ,求 sin(α+β)的值。 4 4 4 4 4 13 5

*

14、已知 α、β 为锐角,sinα=

8 21 , cos(α-β)= ,求 cosβ. 17 29

第八讲
一、知识梳理

二倍角的正弦、余弦和正切公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵ cos 2? ? cos ( cos ? ?
2

2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? ) . 2 2

⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
? 3 ? 4 = ,cos = - ,则角 α 终边所在的象限是 2 5 2 5
(B)第二象限 (C)第三象限

二、同步练习
1、已知 sin ( )

(A)第一象限

(D)第四象限 ( ) (D)- 2 sinx ( ) (D) ? (
5 2

2、已知 sinxtanx<0 ,则 1 ? cos 2 x 等于 (A) 2 cosx (B)- 2 cosx (C) 2 sinx 1 sin 2? ? 2cos 2? 3、若 tanα= ? ,则 的值是 4cos 2? ? 4sin 2? 2 (A)
1 14

(B)-

1 14

(C)

5 2

4、log2sin150+log2cos150 的值是 (A)1 5、若 θ∈( (A)2sinθ 6、已知 sin( (A)
7 25 1 = tan 22.50



(B)-1

(C)2

(D)-2 ( )

5? 3? , ) ,化简: 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? 的结果为 4 2

(B)2cosθ

(C)- 2sinθ ( (C) ;
16 25

(D)-2cosθ ) (D)
19 25

? 3 -x)= ,sin2x 的值为 4 5
(B)
14 25

7、tan22.50-

8、已知 sinx=

5 ?1 ? ,则 sin2(x- )= 2 4

; 。 。

9、计算:sin60 sin 420 sin 660 sin 780= 10、已知 f(cos
x ? )=3cosx+2,则 f(sin )= 2 8

11、求证:cos4θ-4cos2θ+3=8sin4θ.

3 12、在△ ABC 中,cosA= ,tanB=2,求 tan(2A+2B)的值。 5

13、已知 cos(

? 7? sin 2 x ? 2sin 2 x 3 17? +x)= , <x< ,求 的值. 1 ? tan x 4 12 4 5

14、已知 3sin2α+2sin2β=1, 3sin2α-2sin2β=0,且 α、β 都是锐角,求证:α+2β=

? . 2

第九讲
一、知识梳理
1.基本公式

三角恒等变换

sin 2

?
2

?

1 ? cos? ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? cos2 ? tan 2 ? 2 2 2 2 1 ? cos?

2.二倍角切化弦公式

tan

?
2

?

sin ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? sin ?

3.降幂公式

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 cos2 ? ? sin ? cos? ? sin 2? 2 2 2 二、同步练习 sin 2 ? ?
1.(cos A、 ?
?
12

-sin

?
12

) (cos

?
12

+sin

?
12

)= C、
1 2
3 2

( D、
3 2



3 2

B、 ?

1 2

2.cos240cos360-cos660cos540 的值为 A、0 B、
1 2

( C、 D、1 2



3.函数 f (x) = | sin x +cos x | 的最小正周期是 A、 4.
? 4

( C、π D、2π ( )
1 2



B、

? 2

2sin 2? cos 2 ? ? ? 1 ? cos 2? cos 2?

A、tanα 5.已知 tan A、
4 5

B、tan2α
? =3,则 cosα= 2

C、1

D、


4 5


3 5

B、 ?

C、

4 15

D、 ? (

6.若 sin( A、 ?
7 9

? 1 2? -α)= ,则 cos( +2α)= 6 3 3


7 9

B、 ?

1 3

C、

1 3

D、

4 ? 7.已知 tanα = ? ,则 tan 的值为 _______ 2 3

8. sin150 + sin750 = 9.若?是锐角,且 sin(?? 1 )= ,则 cos? 的值是 6 3

10. 若 f (tanx)=sin2x,则 f (-1)=

1 11.已知 a=(λcos?,3),b=(2sin?, ),若 a· b 的最大值为 5,求 λ 的值。 3

12.已知函数 f (x)=- 3 sin x+sinxcosx. (Ⅰ) 求 f (
3 ? 1 25? )的值; (Ⅱ) 设 α∈(0,π),f ( )= ,求 sinα 的值. 2 2 6 4

2

13.已知 cos(α+

3? ? 3 ? ? )= , ≤α< ,求 cos(2α+ )的值. 2 2 4 5 4

14.已知函数 f (x)=a(2cos

2

x +sinx)+b. 2

(1)当 a=1 时,求 f (x)的单调递增区间 (2)当 x∈[0,π]时,f (x)的值域是[3,4],求 a、b 的值.

正、余弦定理及应用
一.课标要求:
(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决 一些简单的三角形度量问题; (2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实

际问题。

二.命题走向
对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、 三角形形状的判断、 三角形内三角函数 的求值以及三角恒等式的证明问题,立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。 今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架,以三角形为主要依托,结合实际应用 问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题,也可能是中、难度的解 答题。

三.要点精讲
1.直角三角形中各元素间的关系: 如图,在△ ABC 中,C=90° ,AB=c,AC=b, BC=a。 (1)三边之间的关系:a2+b2=c2。 (勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90° ; (3)边角之间的关系: (锐角三角函数定义) sinA=cosB=

a b a ,cosA=sinB= ,tanA= 。 c c b

2.斜三角形中各元素间的关系: 如图 6-29,在△ ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 (1)三角形内角和:A+B+C=π。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。

a b c ? ? ? 2R 。 sin A sin B sin C
(R 为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍。 a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC。 3.三角形的面积公式:

1 1 1 aha= bhb= chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高) ; 2 2 2 1 1 1 (2)△ = absinC= bcsinA= acsinB; 2 2 2
(1)△ =

(3)△ =

a 2 sin B sin C b 2 sin C sin A c 2 sin A sin B = = ; 2 sin(B ? C ) 2 sin(C ? A) 2 sin( A ? B )

(4)△ =2R2sinAsinBsinC。 (R 为外接圆半径) (5)△ =

abc ; 4R
? ? 1 ? (a ? b ? c) ? ; 2 ?

(6)△ = s( s ? a)( s ? b)( s ? c) ; ? s ? (7)△ =r· s。

4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少 有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三 角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般 可分为下面两种情形:若给出的三角形是直角三角形,则称为解直角三角形;若给出的三角 形是斜三角形,则称为解斜三角形。 解斜三角形的主要依据是: 设△ ABC 的三边为 a、b、c,对应的三个角为 A、B、C。 (1)角与角关系:A+B+C = π; (2)边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c,b-c < a,c-a > b; (3)边与角关系: 正弦定理

a b c ; ? ? ? 2R (R 为外接圆半径) sin A sin B sin C
b2 ? c2 ? a2 sin A a 。 ? , cos A ? 2bc sin B b

余弦定理 c2 = a2+b2-2bccosC,b2 = a2+c2-2accosB,a2 = b2+c2-2bccosA; 它们的变形形式有:a = 2R sinA, 5.三角形中的三角变换 三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的 特点。 (1)角的变换 因为在△ ABC 中, A+B+C=π, 所以 sin(A+B)=sinC; cos(A+B)=-cosC; tan(A+B)=-tanC。

sin

A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; 2 2 2 2
(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。

r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半。 (3)在△ ABC 中,熟记并会证明:∠A,∠B,∠C 成等差数列的充分必要条件是 ∠B=60° ;△ ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C 成等差数列且 a,b,c 成 等比数列。

四.典例解析
题型 1:正、余弦定理 例 1. (1)在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ?81.80 , a ? 42.9 cm,解三角形; (2)在 ?ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ? 28 cm, A? 400 ,解三角形(角度精确到 10 ,边 长精确到 1cm) 。 解析: (1)根据三角形内角和定理,

C ?1800 ? ( A ? B) ?1800 ? (32.00 ? 81.80 ) ? 66.20 ;
根据正弦定理,

b?

asin B 42.9sin81.80 ? ?80.1(cm) ; sin A sin32.00 asin C 42.9sin66.20 ? ? 74.1(cm). sin A sin32.00

根据正弦定理,

c?

(2)根据正弦定理,

sin B ?

bsin A 28sin400 ? ? 0.8999. a 20

因为 00 < B < 1800 ,所以 B ? 640 ,或 B ?1160. ①当 B ? 640 时,

C ?1800 ? ( A ? B) ?1800 ? (400 ? 640 ) ? 760 ,

c?

asin C 20sin760 ? ? 30(cm). sin A sin400 asin C 20sin240 0 1 1?6, )c ?2 4 ? ?13(cm). sin A sin400

②当 B ?1160 时,
0 C ?1 8 0 ? A ( ? B )? 1 08 0 ? 0

( 4? 0

0

点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两 解的情形; (2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例 2. (1)在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 600 ,求 b 及 A;

(2)在 ? ABC 中,已知 a ?134.6cm , b ?87.8cm , c ?161.7cm ,解三角形 解析: (1)∵ b2 ? a2 ? c2 ? 2accos B = (2 3)2 ? ( 6 ? 2)2 ? 2? 2 3 ?( 6 ? 2) cos 450 = 12 ? ( 6 ? 2)2 ? 4 3( 3 ?1) =8 ∴ b ? 2 2. 求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: 解法一:∵cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 (2 2)2 ? ( 6 ? 2 ) 2 ? (2 3) 2 1 ? ? , ∴ A? 600. 2bc 2 2? 2 2 ? ( 6 ? 2)

a 2 3 解法二:∵sin A ? sin B ? ?sin450 , b 2 2
又∵ 6 ? 2 > 2.4 ?1.4 ?3.8, 2 3 < 2?1.8?3.6, ∴ a < c ,即 00 < A < 900, ∴ A? 600. (2)由余弦定理的推论得: cos A ?

b2 ? c2 ? a2 87.82 ?161.72 ?134.62 ? 0.5543, ? 2bc 2?87.8?161.7

A?56020? ;
cos B ?

c2 ? a 2 ?b2 134.62 ?161.72 ?87.82 ? 0.8398, ? 2ca 2?134.6?161.7

B ?32053? ;
C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (56020? ? 32053?) ? 90047?.
点评:应用余弦定理时解法二应注意确定 A 的取值范围。 题型 2:三角形面积 例 3.在 ?ABC 中,sin A ? cos A ? 的面积。 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。

2 , AC ? 2 , AB ? 3 ,求 tan A 的值和 ?ABC 2

? sin A ? cos A ? 2 cos(A ? 45 ? ) ? 1 ? cos(A ? 45 ? ) ? . 2

2 , 2

又 0 ? A ? 180 , ? A ? 45 ? 60 , A ? 105 .
? ?
? ? ?

? tan A ? tan(45? ? 60? ) ?

1? 3 ? ?2 ? 3 , 1? 3
2? 6 . 4

sin A ? sin105 ? ? sin(45 ? ? 60 ? ) ? sin 45 ? cos 60 ? ? cos 45 ? sin 60 ? ?

S ?ABC ?

1 1 2? 6 3 AC ? AB sin A ? ? 2 ? 3 ? ? ( 2 ? 6) 。 2 2 4 4

解法二:由 sin A ? cos A 计算它的对偶关系式 sin A ? cos A 的值。

? sin A ? cos A ?

2 2



?( s i n A?c o s A) 2 ? ?2s i n Ac o s A??

1 2

1 2 ? ? ? 0 ? A ? 1 8 0 ,? s i n A ? 0, c o s A ? 0.

?( s i n A?c o s A) 2 ? 1 ? 2 s i n Ac o s A?
? sin A ? cos A ? 6 2 sin A ?


3 , 2

① + ② 得

2? 6 。 4 2? 6 。 4

① - ② 得

cos A ?

从而

tan A ?

sin A 2? 6 4 ? ? ? ?2 ? 3 。 cos A 4 2? 6

以下解法略去。 点评:本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,着重数学考查运算 能力,是一道三角的基础试题。两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简单呢? 例4.已知ΔABC的三个内角A、B.C成等差数列,其外接圆半径为1,且有

sin A ? sin C ?

2 2 。 (1)求A、B.C的大小; (2)求ΔABC的的面积。 cos( A ? C ) ? 2 2

解析:∵A+B+C=180° 且2B=A+C,∴B=60° ,A+C=120° ,C=120° -A。

∵ sin A ? sin C ?

2 2 , cos( A ? C ) ? 2 2



1 3 2 2 , sin A ? cos A ? [1 ? 2 sin 2 ( A ? 60 0 )] = 2 2 2 2 2 . 2

? sin(A ? 60 0 )[1 ? 2 sin(A ? 60 0 )] ? 0,? sin(A ? 60 0 ) ? 0或 sin(A ? 60 0 ) ?
又∵0° <A<180° ,∴A=60° 或A=105° , 当A=60° 时,B=60° ,C=60° ,

此时 S ? ?

1 1 3 3 ac sin B ? ? 4 R 2 sin 3 600 ? ; 2 2 4 1 1 3 ac sin B ? ? 4 R 2 sin1050 sin150 sin 600 ? . 2 2 4

当A=105° 时,B=60° ,C=15° ,

此时 S ? ?

点评:要善于借助三角形内的部分变形条件,同时兼顾三角形的面积公式求得结果。 题型 3:与三角形边角相关的问题 例 5. (1)△ ABC 中, A ? A. 4 3 sin( B ? C. 6sin( B ?

?
3

, BC ? 3, 则△ ABC 的周长为(
B. 4 3 sin( B ? D. 6sin( B ?



?
3

)?3

?
6

)?3

?
3

)?3

?
6

)?3
2 5 ,求( 1 ) BC ? ? ( 2 )若点 5

( 2 )在 ?ABC中,?B ? 45?, AC ? 10, cos C ?

D是AB的中点,求中线CD的长度。
解析: (1)答案:D 解析:在 ?ABC 中,由正弦定理得:

AC 3 ? , 化简得 AC= 2 3 sin B, sin B 3 2

AB sin[? ? ( B ?

?
3

? )

3 3 2

,化简得 AB= 2 3 sin(

2? ? B) , 3 2? ? B) 3

所以三角形的周长为:3+AC+AB=3+ 2 3 sin B + 2 3 sin( =3+ 3 3 sin B ? 3 cos B ? 6 sin(B ?

?
6

) ? 3. 。故选 D。

(2)解: (1)由 cos C ?

2 5 5 , 得sin C ? 5 5 2 3 10 , sin A ? sin(180? ? 45? ? C ) ? (cos C ? sin C ) ? 2 10
BC ? AC 10 3 10 ? sin A ? ? ?3 2 , sin B 2 10 2

由正弦定理知

(2)

AB ?

AC 10 5 ? sin C ? ? ?2 1 , BD ? AB ? 1 。 sin B 2 5 2 2

由余弦定理知:

CD ? BD 2 ? BC 2 ? 2 BD ? BC cos B ? 1 ? 18 ? 2 ? 1 ? 3 2 ? 2 ? 13 2

点评:本题考查了在三角形正弦定理的的运用,以及三角公式恒等变形、化简等知识的 运用。 例 6.在锐角 △ABC 中,角 A ,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 sin A ? (1)求 tan
2

2 2 , 3

B?C A (2)若 a ? 2 , S△ ABC ? 2 ,求 b 的值。 ? sin 2 的值; 2 2
2 2 1 ,所以 cosA= , 3 3

解析: (1)因为锐角△ ABC 中,A+B+C=?, sin A ? 则

B+C sin 2 B + C A 2 +sin 2 A tan 2 +sin 2 = 2 2 cos 2 B+C 2 2 1-cos (B+C) 1 1+cos A 1 7 = +( 1-cos A)= + = 1+cos(B+C) 2 1-cosA 3 3
(2) 因为S? ABC= 2,又S? ABC= bcsin A= bc ? 将 a=2,cosA=

1 2

1 2

2 2 ,则 bc=3。 3

1 3 2 2 2 ,c= 代入余弦定理: a =b +c -2bccos A 中, 3 b

4 2 得 b -6b +9=0 解得 b= 3 。

点评: 知道三角形边外的元素如中线长、 面积、 周长等时, 灵活逆用公式求得结果即可。

题型 4:三角形中求值问题 例 7. ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时,cos A ? 2cos 大值,并求出这个最大值。 B+C π A B+C A 解析:由 A+B+C=π,得 = - ,所以有 cos =sin 。 2 2 2 2 2 B+C A A A A 1 3 cosA+2cos =cosA+2sin =1-2sin2 + 2sin =-2(sin - )2+ ; 2 2 2 2 2 2 2 当 sin A 1 π B+C 3 = ,即 A= 时, cosA+2cos 取得最大值为 。 2 2 3 2 2

B?C 取得最 2

点评: 运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式, 通过三 角函数的性质求得结果。 例 8. 已知 A、 B、 C 是 ?ABC 三内角, 向量 m ? (?1, 3 ) n ? (cos A, sin A) , 且 m.n ? 1 , (Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)若
1 ? sin 2 B ? ?3, 求tanC。 cos 2 B ? sin 2 B

解析: (Ⅰ)∵ m ? n ? 1 ∴ ?1, 3 ? ? cos A,sin A ? ? 1 ,即 3 sin A ? cos A ? 1 ,

?? ?

?

?

? 3 1? 1 , ? A? ? ? 2? ?? ; ? sin A ? 2 ? cos A ? 2 ? ? ? 1 sin ? 6? 2 ? ? ?

5? ? ? ? ,∴ A ? ? ,∴ A ? 。 3 6 6 6 6 6 1 ? 2sin B cos B (Ⅱ)由题知 ? ?3 , cos 2 B ? sin 2 B
∵0 ? A ? ?,?

?

? A?

?

?

整理得 sin B ? sin B cos B ? 2cos B ? 0 ,∴ cos B ? 0 ∴ tan B ? tan B ? 2 ? 0 ;
2 2 2

∴ tan B ? 2 或 tan B ? ?1 ,而 tan B ? ?1 使 cos B ? sin B ? 0 ,舍去;
2 2

∴ tan B ? 2 。 点评:本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的 公式以及倍角公式,考察应用、分析和计算能力。 题型 5:三角形中的三角恒等变换问题 例 9.在△ ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数 列,且 a2-c2=ac-bc,求∠A 的大小及
b sin B 的值。 c

分析:因给出的是 a、b、c 之间的等量关系,要求∠A,需找∠A 与三边的关系,故可

用余弦定理。由 b2=ac 可变形为

b2 b sin B =a,再用正弦定理可求 的值。 c c

解法一:∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac。 又 a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc。
b2 ? c2 ? a2 bc 1 = = ,∴∠A=60° 。 2bc 2bc 2 b sin A 在△ ABC 中,由正弦定理得 sinB= ,∵b2=ac,∠A=60° , a

在△ ABC 中,由余弦定理得:cosA=



3 b sin B b 2 sin 60? =sin60° = 。 ? 2 c ac

解法二:在△ ABC 中, 由面积公式得
1 1 bcsinA= acsinB。 2 2

∵b2=ac,∠A=60° ,∴bcsinA=b2sinB。 ∴
3 b sin B =sinA= 。 2 c

评述:解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用 正弦定理。 例 10.在△ ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,求 tan 的值。 解析:因为 A、B、C 成等差数列,又 A+B+C=180° ,所以 A+C=120° , 从而

A C A C ? tan ? 3 tan tan 2 2 2 2

A?C A?C =60° ,故 tan ? 3 .由两角和的正切公式, 2 2

A C ? tan 2 2 ? 3。 得 A C 1 ? tan tan 2 2 tan
所以 tan

A C A C ? tan ? 3 ? 3 tan tan , 2 2 2 2

tan

A C A C ? tan ? 3 tan tan ? 3 。 2 2 2 2

点评:在三角函数求值问题中的解题思路,一般是运用基本公式,将未知角变换为已知 角求解,同时结合三角变换公式的逆用。 题型 6:正、余弦定理判断三角形形状

例 11.在△ ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 答案:C 解析:2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB=sinC, ∴sin(A-B)=0,∴A=B B.直角三角形 D.等边三角形



点评:本题考查了三角形的基本性质,要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形 方向,通畅解题途径。 例 12.如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则 ( )

A. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 解析: ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则 ?A1 B1C1 是锐角三角形,

? ? ? ? sin A ? cos A ? sin( ? A ) A ? ? A1 2 1 1 2 ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? 若 ?A2 B2C2 是锐角三角形,由 ? sin B2 ? cos B1 ? sin( ? B1 ) ,得 ? B2 ? ? B1 , 2 2 ? ? ? ? ? ? ?C2 ? 2 ? C1 ?sin C2 ? cos C1 ? sin( 2 ? C1 ) ? ?
那么, A2 ? B2 ? C2 ?

?
2

,所以 ?A2 B2C2 是钝角三角形。故选 D。

点评: 解决此类问题时要结合三角形内角和的取值问题, 同时注意实施关于三角形内角 的一些变形公式。 题型 7:正余弦定理的实际应用 例 13.如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援, 同时把消息告知在甲船的南偏西 30 , 相距 10 海里 C 处的乙船, 10 ?C
?



A

20

B ?

试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1 ? )? 解析:连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102-2× 20× 10COS120° =700. 于是,BC=10 7 。 ∵

3 sin ACB sin120 ? ,∴sin∠ACB= , ? 7 20 10 7

∵∠ACB<90° ,∴∠ACB=41° 。 ∴乙船应朝北偏东 71° 方向沿直线前往 B 处救援。 点评:解三角形等内容提到高中来学习,又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换 要求的降低, 对三角的综合考查将向三角形中问题伸展, 但也不可太难, 只要掌握基本知识、 概念,深刻理解其中基本的数量关系即可过关。 例 14.如图,已知△ ABC 是边长为 1 的正三角形,M、 N 分别是 边 AB、AC 上的点,线段 MN 经过△ ABC 的中心 G, 设?MGA=?(
A

?
3

?? ?

2? ) 3
B

?
M D

N

(1) 试将△ AGM、 △ AGN 的面积 (分别记为 S1 与 S2) ; (2)表示为?的函数,求 y= 小值。

C

1 1 + 2 的最大值与最 2 S1 S2

解析: (1)因为 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心,所以

AG=

2 3 3 ? = , 3 2 3

?MAG =

3 ? GM GA ,由正弦定理 得 GM= , 则 S1 = = ? ? ? 6 6sin (?+ ) sin sin (?-?- ) 6 6 6

1 sin ? sin ? GM?GA?sin?= 。同理可求得 S2= 。 ? ? 2 12sin (?+ ) 12sin (?- ) 6 6
( 2 ) y=

1 1 144 ? ? 2 2 + 2 = 2 〔sin( =72(3+cot2?)因为 ?+ )+sin( ?- )〕 2 y1 y 2 sin ? 6 6

?
3

?? ?

2? , 3

所以当?= =216。

? 2? ? 或?= 时,y 取得最大值 ymax=240,当?= 时,y 取得最小值 ymin 3 3 2

点评:三角函数有着广泛的应用,本题就是一个典型的范例。通过引入角度,将图形的 语 言转 化为三 角的 符号语 言, 再通过 局部的 换元 ,又 将问题 转化为 我们 熟知 的函数
f (t ) ? t ? 4 ,这些解题思维的拐点,你能否很快的想到呢? t

五.思维总结
1.解斜三角形的常规思维方法是: (1)已知两角和一边(如 A、B、C) ,由 A+B+C = π 求 C,由正弦定理求 a、b; (2)已知两边和夹角(如 a、b、c) ,应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先求较短 边所对的角,然后利用 A+B+C = π,求另一角; (3)已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A) ,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况; (4)已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π,求角 C。 2.三角形内切圆的半径: r ?

a ? b ? c斜 2S? ,特别地, r直 ? ; 2 a?b?c

3.三角学中的射影定理:在△ ABC 中, b ? a ? cosC ? c ? cos A ,… 4.两内角与其正弦值:在△ ABC 中, A ? B ? sin A ? sin B ,… 5.解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角 定理及几何作图来帮助理解”。 .

二、同步练习
1.在△ABC 中,若 C ? 90 , a ? 6, B ? 30 ,则 c ? b 等于(
0 0



A. 1

B. ? 1

C. 2 3

D. ? 2 3 )

2.若 A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( A. sin A B. cos A C. tan A D.

1 tan A


3.在△ABC 中,角 A, B 均为锐角,且 cos A ? sin B, 则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

0 4.等腰三角形一腰上的高是 3 ,这条高与底边的夹角为 60 ,则底边长为(



A. 2

B.

3 2

C. 3

D. 2 3 )
0

5.在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( A. 30 或60
0 0

B. 45 或60

0

0

C. 120 或60

0

D. 30 或150

0

0

6.在△ABC 中,若角 B 为钝角,则 sin B ? sin A 的值( ) A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不能确定 7.在△ABC 中,若 A ? 2B ,则 a 等于( ) A. 2b sin A B. 2b cos A C. 2b sin B D. 2b cos B 8.在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 ,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.等边三角形
0



C.不能确定

D.等腰三角形

9.在 Rt △ABC 中, C ? 90 ,则 sin A sin B 的最大值是_______________。 10.在△ABC 中,若 a ? b ? bc ? c , 则A ? ___
2 2 2 0 0

______。 ___。 。

11.在△ABC 中,若 b ? 2, B ? 30 , C ? 135 , 则a ? ______

12、在△ABC 中,若 b ? 5, B ? , sin A ? ,则 a ?
4

?

1 3

13、设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 2b sin A .求 B 的大小;

14、已知 ?ABC 中, a ? 10, A ? 30? , C ? 45? ,求角 B,边 b, c 。

15、已知 ?ABC 中, a ? 1, b ? 3 , A ? 30? ,解此三角形。

16、在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且

sin A ?

5 10 ,sin B ? c (I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ? 2 ? 1 ,求 a、b、 的值。 5 10

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二、同步练习
1. 在⊿ABC 中,已知 a ? b ? c ? 2ab ,则 C=(
2 2 2

)

A .30

0

B. 150

0

C. 45

0

D. 135

0

2. 在△ABC 中, AB ? 3, BC ? 13, AC ? 4 ,则边 AC 上的高为 A.





3 2 2

B.

3 3 2

C.

3 2

D. 3 3 )

3. 已知 a, b, c 是 ?ABC 三边之长,若满足等式 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则 ?C 等于( A. 120
?

B. 150

?

C. 60

?

D. 90 )

?

4. 在△ABC 中, a ? 2, b ? 2 2 , c ? A .30
0

6 ? 2 , 则 A =(
C. 45
0

B. 60

0

D. 75 )

0

a b c 5、在△ABC 中,有 A= B= C,则△ABC 的形状是( cos 2 cos2 cos2 A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形

D.等腰直角三角形. ( )

6、在△ABC 中,已知 a=5 2 , c=10, A=30°, 则∠B= (A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或 15°

7、在△ABC 中,若 a=2, b=2 2 , c= 6 + 2 ,则∠A 的度数是 (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°

(

)

8、边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为 (A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150° (

(

)

9、在平行四边形 ABCD 中,AC= 3 BD, 那么锐角 A 的最大值为 (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° )

)

10、在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则其面积等于( A. 12 B.

21 2

C. 28

D. 6 3 。 。

11、已知 a=3 3 ,c=2,B=150°,则 b= 12、在△ABC 中,a2-c2+b2=ab,则∠C=_____

13、从地平面上共线的三点 A、B、C 测得某建筑物的仰角分别为 300,450,600,且 AB=BC =60m,则此建筑物的高为_ . 14、在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则 C ? _____________。 15、在△ABC 中,若 a ? 9, b ? 10, c ? 12, 则△ABC 的形状是_________。 16、若在△ABC 中, ?A ? 60 , b ? 1, S?ABC ? 3, 则
0

a?b?c =_______。 sin A ? sin B ? sin C

17、在△ABC 中,已知 a= 3,b= 2,B=450,求角 A,C 及边 C.

18、在△ABC 中,已知 a = 4,b = 6,C = 120°,求 sinA.

19、在△ABC 中,如果 lga-lgc=lgsinB=-lg 2,且 B 为锐角,判断△ABC 的形状.

20、在△ABC 中, A ? 120 , c ? b, a ?
0

21, S? ABC ? 3 ,求 b, c 。

第十二讲

解三角形


一、选择题: ? ? 1、在△ ABC 中, A ? 30 , C ? 105 , b ? 10 ,则 a 等于 ( A.4 B. 4 2 C. 5 2 D. 4 5 a b c 2、在△ ABC 中,已知 ,则△ ABC 的形状为 ( ? ? cos A cos B cos C



A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形 3、若三条线段的长为5、6、7,则用这三条线段 ( ) A、能组成直角三角形B、能组成锐角三角形C、能组成钝角三形D、不能组成三角形 4、在△ ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3: 4 ,那么 cos C 等于 ( ) A.

2 3
?

B. ?

2 3
?

C. ?

1 3
?

D. ?

1 4
) )
?

5、已知三角形的三边长分别是 a, b, a 2 ? b 2 ? ab ,则此三角形中的最大角是( A. 30 B. 60
?

C. 120

D. 150

6、在△ ABC 中,若 B ? 30 , AB ? 2 3, AC ? 2 ,则△ ABC 的面积为 A. 3 或 2 3 B. 3 C. 2 3 D.



3 或 3 2
( )
?

7、在△ ABC 中,若 b ? 2 2, a ? 2 ,且三角形有解,则A的取值范围是 C. 0 ,30 ? ? 8、已知锐角三角形的边长分别是3,5, x ,则 x 的取值范围是 A. 0 , 90
? ? ? ? ? ?

?

?

B. 0 , 45 ? ?

?

?

D. 30 , 60 ( )

?

?

?

A.1< x < 5

B.4< x < 30
2 2

C.1< x <4 D4< x < 34

9、在△ABC 中, tan A ? sin B ? tan B ? sin A ,那么△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 10、若

sin A cos B cosC 则△ABC 为 ? ? a b c



) )

A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 11、在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 ( A.b = 10,A = 45°,B = 70° B.a = 60,c = 48,B = 100°

C.a = 7,b = 5,A = 80°
?

D.a = 14,b = 16,A = 45°
a?b?c 为( sin A ? sin B ? sin c

12、在三角形 ABC 中,已知 A ? 60 ,b=1,其面积为 3 ,则 A. 3 3 B.
2 39 3

)

C. 26 3
3

D.

39 2

二、填空题:
13、在△ABC 中,若 c ? 10 2 , C ? 60? , a ?

20 3 ,则 A ? 3


. .

14、在△ABC 中,B=1350,C=150,a=5,则此三角形的最大边长为

a 15、在锐角△ABC 中,已知 A ? 2B ,则的 取值范围是 b
16、在△ABC 中,已知 AB=4,AC=7,BC 边上的中线 AD= 17、在△ ABC 中,已知 a ? b ? ab ? c ,则 ?C =
2 2 2

7 ,那么 BC=________. 2

?

1 B4 5 ?, 18、 已知△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 若 a ?,
那么△ ABC 的外接圆的直径等于 19、在 ?ABC 中,若 sin B sin C ? cos
2

△ ABC 的面积 S ? 2 , 。



A ,试判断 ?ABC 的形状为 2

三、解答题:
21、在△ ABC 中,已知 a、b、c 分别是三内角 A 、 B 、C 所对应的边长,且 b2 ? c2 ? a 2 ? bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求角 B 的大小。

22、在 ?ABC 中,若 tan A ?

1 1 , tan B ? ,最长边的长度为 1.求: 2 3 (1)角 C 的大小. (2) ?ABC 最短边的长.

23、 在△ABC 中, 三边长为连续的自然数, 且最大角是最小角的 2 倍, 求此三角形的三边长.

24、在△ ABC 中, sin A ? cos A ? ?

2 , AC ? 4, AB ? 6 ,求△ ABC 的面积. 2

第十三讲
一、知识梳理
1、向量:既有大小,又有方向的量. 2、数量:只有大小,没有方向的量.

平面向量的基本概念

3、有向线段的三要素:起点、方向、长度. 4、零向量:长度为 0 的向量. 5、单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 6、平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 7、相等向量:长度相等且方向相同的向量.

二、同步练习
1.下列物理量中,不能称为向量的是 ( ) A.质量 B.速度 C.位移 D.力 ???? ??? ? ??? ? ???? 2.设 O 是正方形 ABCD 的中心,向量 AO、 ( ) OB、 CO、 OD 是 A.平行向量 B.有相同终点的向量 C.相等向量 D.模相等的向量 3.下列命题中,正确的是 ( ) A.|a| = |b| ? a = b B.|a|> |b| ? a > b C.a = b ? a 与 b 共线 D.|a| = 0 ? a = 0 4.在下列说法中,正确的是 ( ) A.两个有公共起点且共线的向量,其终点必相同; B.模为 0 的向量与任一非零向量平行; C.向量就是有向线段; D.若|a|=|b|,则 a=b 5.下列各说法中,其中错误的个数为 ( ) ??? ? ??? ? (1)向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等;(2)两个非零向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方 向相同或相反;(3)两个有公共终点的向量一定是共线向量;(4)共线向量是可以移动到同 一条直线上的向量;(5)平行向量就是向量所在直线平行 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 6.△ ABC 中,D、E、F 分别为 BC、CA、AB 的中点,在以 A、B、C、D、E、F 为端点的有向 ??? ? 线段所表示的向量中,与 EF 共线的向量有 ( ) A.2 个 B.3 个 C.6 个 D.7 个 7.在(1)平行向量一定相等;(2)不相等的向量一定不平行;(3)共线向量一定相等;(4)相等向 量一定共线;(5)长度相等的向量是相等向量;(6)平行于同一个向量的两个向量是共线向 量中,说法错误的是_______________________. 8.如图,O 是正方形 ABCD 的对角线的交点,四边形 OAED、OCFB 是正方形,在图中所示 的向量中, B A ???? (1)与 AO 相等的向量有_________________________; ???? (2)与 AO 共线的向量有_________________________; E F ???? O (3)与 AO 模相等的向量有_______________________; ???? ??? ? D C (4)向量 AO 与 CO 是否相等?答:_______________.
???? ??? ?

9.O 是正六边形 ABCDEF 的中心,且 AO ? a, OB ? b, AB ? c,在以 A、B、C、D、E、F、O 为端点的向量中: E D
F A C B

??? ?

O

(1)与 a 相等的向量有 ; (2)与 b 相等的向量有 ; (3)与 c 相等的向量有 . 10.下列说法中正确是_______________(写序号) (1)若 a 与 b 是平行向量,则 a 与 b 方向相同或相反; ? ??? ? ??? (2)若 AB 与 CD 共线,则点 A、B、C、D 共线; ? ??? ? ??? (3)四边形 ABCD 为平行四边形,则 AB = CD ; (4)若 a = b,b = c,则 a = c ; ??? ? ???? ??? ? ???? (5)四边形 ABCD 中, AB ? DC 且 | AB |?| AD | ,则四边形 ABCD 为正方形; (6)a 与 b 方向相同且|a| = |b|与 a = b 是一致的; 11.如图,以 1×3 方格纸中两个不同的格点为起点和终点的所有向量中,有多少种大小不同 的模?有多少种不同的方向?

12.在如图所示的向量 a、b、c、d、e 中(小正方形边长为 1)是否存在共线向量?相等向 量?模相等的向量?若存在,请一一举出. b d

a

c

e

13.某人从 A 点出发向西走了 200m 达到 B 点,然后改变方向向西偏北 600 走了 450m 到达 C 点,最后又改变方向向东走了 200m 到达 D 点 ? ??? ? ??? ? ??? (1)作出向量 AB 、 BC 、 CD (1cm 表示 200m) ; ??? ? (2)求 DA 的模.

14.如图,中国象棋的半个棋盘上有一只“马”,开始下棋时它位于 A 点,这只“马”第一步有 几种可能的走法?试在图中画出来;若它位于图中的 P 点,则这只“马”第一步有几种可 能的走法?它能否走若干步从 A 点走到与它相邻的 B 点处?

P A B

第十四讲
一、知识梳理
1、向量加法运算:

向量的加减法运算及几何意义

⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷ 运 算 性 质 : ① 交 换 律 : a ? b ? b ? a; ② 结 合 律 :

?

?

?
?

?
?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? b ? c;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ? ? ⑸ 坐 标 运 算 : 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则 ? ? a ? b ?? 1 x ? 2 , x 1 y ?? . 2y ? ? ? ? b? ? c ? a ? ?a ?

?

?

C ? a
? b

?

2、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点: 共起点, 连终点, 方向指向被减向量.

? ? ? ⑵ 坐 标 运 算 : 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则 ? ??? ? ? ? ???? ??? ? ? a ? b ? ? C ? ?? ? ? C a ? b ?? 1 x ? 2 , x 1 y ?? . 2y ??? ? 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
二、同步练习
1.化简 PM ? PN ? MN 所得的结果是
???? ? ???? ???? ? ??? ? ???? A. MP B. NP C.0 ??? ? ??? ? 2.设 OA ? a,OB ? b 且|a|=| b|=6, ∠AOB=120 ? , 则|a-b|等于 ???? ? D. MN

( (

) )

A.36

B.12

C.6 C.a =-b

D. 6 3 ( ) D.a 与 b 方向相反 ( D.以上皆错 ( ) D. 2 )

3. a, b 为非零向量, 且|a+ b|=| a|+| b|, 则 A.a 与 b 方向相同 B.a = b A.ABCD 为菱形 A.0 B.ABCD 为矩形 B.3

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 4.在平行四边形 ABCD 中,若 | BC ? BA |?| BC ? AB | ,则必有

??? ? ???? ??? ? 5.已知正方形 ABCD 边长为 1, AB =a, BC =b, AC =c,则|a+b+c|等于

C.ABCD 为正方形 C. 2 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 6.设 ( AB ?CD ) ? (BC ?DA ) ? a,而 b 是一非零向量,则下列个结论:(1) a 与 b 共线; (2)a

+ b = a;(3) a + b = b;(4)| a + b|<|a |+|b|中正确的是 A.(1) (2) B.(3) (4) C.(2) (4)
??? ? ????

( D.(1) (3)
??? ?



7.在平行四边形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b,则 CA ? __________, BD ? _______. 8.在 a =“向北走 20km”,b =“向西走 20km”,则 a + b 表示______________. 9.若 | AB |? 8, | AC |? 5,则 | BC | 的取值范围为_____________. 10.一艘船从 A 点出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于河岸的方向行驶,而船实际行驶速度的 大小为 4km/h,则河水的流速的大小为___________.
??? ? ??? ? ????
??? ? ???? ??? ?

??? ?

11.如图,O 是平行四边形 ABCD 外一点,用 OA 、 OB、 OC 表示 OD .
O A D

????

B

C

12.如图,在任意四边形 ABCD 中,E、F 分别为 AD、BC 的中点,求证: AB ? DC ? EF ? EF .
A E D

??? ? ????

??? ? ??? ?

B

F

C

13.飞机从甲地按南偏东 100 方向飞行 2000km 到达乙地,再从乙地按北偏西 700 方向飞行 2000km 到达丙地,那么丙地在甲地的什么方向?丙地距离甲地多远?

14.点 D、E、F 分别是△ ABC 三边 AB、BC、CA 上的中点,
??? ? ??? ? ???? ??? ? 求证: (1) AB ; ? BE ? AC ? CE ??? ? ??? ? ???? (2) EA ? FB ? DC ? 0.

C

F

E

第十五讲

A 向量数乘运算及几何意义

D

B

一、知识梳理 ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ? ? ① ?a ? ? a ; ? ? ? ? ②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? ? ? 0 时, ? a ? 0 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑵运算律:① ? ? ? a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a ;③ ? a ? b ? ? a ? ? b .

?

?

⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ? a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? .

?

?

二、同步练习
1. 已知向量 a= e1-2 e2, b=2 e1+e2, 其中 e1、e2 不共线, 则 a+b 与 c=6 e1-2 e2 的关系为 ( A.不共线 A.3
??? ?
??? ?



B.共线 B.-3
????

C.相等 C.0
??? ?

D.无法确定 ) D.2 ( )

2.已知向量 e1、e2 不共线,实数(3x-4y)e1+(2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,则 x-y 的值等于 (

3.若 AB =3a, CD =-5a ,且 | AD |?| BC | ,则四边形 ABCD 是

??? ? ???? ??? ? 4.AD、BE 分别为△ ABC 的边 BC、AC 上的中线,且 AD =a , BE =b ,那么 BC 为(

A.平行四边形
2 3 4 3

B.菱形
2 3

C.等腰梯形
2 3 4 3

D.不等腰梯形
2 3 4 3



A. a+ b

B. a- b

2 3

C. a- b

D. - a+ b )

5.已知向量 a ,b 是两非零向量,在下列四个条件中,能使 a ,b 共线的条件是 ( ①2a -3b=4e 且 a+2b= -3e A.①② ②存在相异实数 λ ,μ,使 λa -μb=0 C.② ③xa+yb=0 (其中实数 x, y 满足 x+y=0) ④已知梯形 ABCD,其中 AB =a , CD =b
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 6.已知△ ABC 三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P,若 PA ? PB ? PC ? AB ,则(
??? ?

??? ?

B.①③

D.③④



A.P 在△ ABC 内部 C.P 在 AB 边所在直线上

B.P 在△ ABC 外部 D.P 在线段 BC 上 b
??? ? ??? ?

7.若|a|=3,b 与 a 方向相反,且|b|=5,则 a=
??? ?

8.已知向量 e1 ,e2 不共线,若 λe1-e2 与 e1-λe2 共线,则实数 λ= 9.a,b 是两个不共线的向量,且 AB =2a+kb , CB =a+3b , CD =2a-b ,若 A、B、D 三点共线,则实数 k 的值可为
??? ?

10.已知四边形 ABCD 中, AB =a-2c, CD =5a+6b-8c 对角线 AC、BD 的中点为 E、F,则 向量 EF ? 11.计算:⑴(-7)×6a ; ⑵4(a+b)-3(a-b)-8a ;
??? ?

??? ?

⑶(5a-4b+c)-2(3a-2b+c) 。

12.如图,设 AM 是△ ABC 的中线, AB =a , AC =b ,求 AM

??? ?

????

???? ?

13.设两个非零向量 a 与 b 不共线, ⑴若 AB =a+b , BC =2a+8b , CD =3(a-b) ,求证:A、B、D 三点共线; ⑵试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?
??? ?

??? ?

??? ?

*

14.设 OA , OB 不共线,P 点在 AB 上,求证: OP =λ OA +μ OB 且 λ+μ=1(λ, μ∈R).

第十七讲
一、知识梳理
平面向量的数量积:

平面向量的数量积

? ? ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .

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a ?b ? a b ; ⑵性质: 设 a 和 b 都是非零向量, 则① a ? b ? a ? b ? 0 . ②当 a 与 b 同向时,
2 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b .

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?2

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⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ? b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .
2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ?

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x2 ? y2 .

设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

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? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ?? ? ? ? 2 a b x12 ? y 12 x 2 ?y
二、同步练习

2 2

1 ? 1.已知|a|= ,|b|=4,且 a 与 b 的夹角为 ,则 a· b 的值是 3 2

( D.±2 ( )



A.1

B.±1

C.2

??? ? ??? ? 2.△ABC 中, AB ? BC ? 0 ,则△ABC 是

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形 ( )

3.已知|i|=|j|=1,i⊥j,且 a=2i+3j,b=ki-4j,若 a⊥b,则 k 的值是 A.6 A.|a· b|=|a||b| B.-6 B.(a· b)· c=a· (b· c) C.3 C.t a· b=t b· a D.-3

4.已知 a,b,c 为非零向量,t 为实数,则下列命题正确的是





D.a· b= a· c=b· c

5.已知两个力 F1,F2 的夹角为 900,它们的合力的大小为 10N,合力与 F1 的夹角为 600,则 F1 的大小为 A. 5 3 N
0

( B.5N
0



C.10N
0

D. 5 2 N ( D.90
0

6.已知 a2=1,b2=2, (a-b)· a=0,则 a 与b 的夹角为 A.30 B.45 C.60



7.已知下列各式:①|a|2=a2② 等式的序号是___________

a ?b b = ③(a· b)2=a2· b2④(a+b)2=a2+2a· b+b2,其中正确的 2 a a

8.已知|a|=2,|b|=4,a· b=3,则(2a-3b)· (2a+b)=____________ 9.已知向量 OA ? (-1,2), OB ? (8,m),若 OA ? AB ,则 m =____________ 10.若 a=(λ,4),b=(-3,5),且 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是_____________ 11.已知 a,b 都是非零向量,且 a+3b 与 7a-5b 垂直,a-4b 与 7a-2b 垂直,求 a 与 b 的夹 角.
??? ? ??? ?

12.已知向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7,求 a,b 的夹角 θ.

13.以原点和点 A(3,1)为两个顶点作等腰直角三角形△OAB,∠B=90o ,求点 B 的坐标.



3 1 14.已知向量 a=( 3 ,-1),b=( , ),若存在非零实数 k,t 使得 x=a+(t2-3)b, y=-ka+tb, 2 2

且 x⊥y,试求:

k ? t2 的最小值. t

平面向量的概念及运算
一.课标要求:
(1)平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理 解向量的几何表示; (2)向量的线性运算

①通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义; ②通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义; ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义; ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算; ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

二.命题走向
本讲内容属于平面向量的基础性内容, 与平面向量的数量积比较出题量较小。 以选择题、 填空题考察本章的基本概念和性质, 重点考察向量的概念、 向量的几何表示、 向量的加减法、 实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大,分值 5~9 分。 预测 2013 年高考: (1)题型可能为 1 道选择题或 1 道填空题; (2)出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置 或借助向量的坐标形式表达共线等问题。

三.要点精讲
1.向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。 向量一般用 a , b , c ……来表示, 或用有向线段的起点与终点的 大写字母表示,如: AB 几何表示法 AB , a ;坐标表示法 a ? xi ? y j ? ( x, y ) 。向量的大
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小即向量的模(长度) ,记作| AB | 即向量的大小,记作| a |。
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向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。 ②零向量 长度为 0 的向量, 记为 0 , 其方向是任意的,0 与任意向量平行 零向量 a = 0 ? | a |
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=0。由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问 题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。 (注意与 0 的区别) ③单位向量 模为 1 个单位长度的向量,向量 a 0 为单位向量 ? | a 0 |=1。 ④平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量。 任意一组平行向量都可以移到同一直线上, 方向相同或相 反的向量,称为平行向量,记作 a ∥ b 。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行 向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必 须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行” 与几何中的“平行”是不一样的。 ⑤相等向量

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长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合,记为 a ? b 。大小相等,
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方向相同? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? ?

? x1 ? x 2 。 ? y1 ? y 2

2.向量的运算 (1)向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法。 设 AB ? a , BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC 。 规定: (1) 0 ? a ? a ? 0 ? a ; (2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的 始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点 的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法 则。 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 可 推 广 至 多 个 向 量 相 加 :

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? ??? ? ???? ? ? ???

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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC ? CD ? ? ? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾相连”。
(2)向量的减法 ? ? ①相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量。 记作 ? a ,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有:

?

(i) ? (?a ) = a ; (ii)

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a +( ? a )=( ? a )+ a = 0 ;(iii)若 a 、 b 是互为相反向量,则 a = ? b , b = ? a , a + b = 0 。
②向量减法 向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差, 记作: a ? b ? a ? (?b ) 求两个向量差的运算,叫做向量的减法。
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③作图法: a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量( a 、 b 有共同起点) 。 (3)实数与向量的积 ? ? ①实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a ,它的长度与方向规定如下: ? ? (Ⅰ) ?a ? ? ? a ; (Ⅱ) 当 ? ? 0 时, λ a 的方向与 a 的方向相同; 当 ? ? 0 时, λ a 的方向与 a 的方向相反; 当 ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的。

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②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。 3.两个向量共线定理:

? ? ? ? 向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a 。
4.平面向量的基本定理 如果 e1 , e 2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有且只 有一对实数 ?1 , ? 2 使: a ? ?1e1 ? ?2 e2 其中不共线的向量 e1 , e 2 叫做表示这一平面内所有向 量的一组基底。 5.平面向量的坐标表示 (1)平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单 位向量 i , j 作为基底 由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量 a 可表示成
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? ? ? ? ? ? a ? x i ? yj, 由于 a 与数对(x,y)是一一对应的, 因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标, 记作 a =(x,y), ? 其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标。
规定: (1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量; (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对 位置有关系。 (2)平面向量的坐标运算: ①若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ; ②若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? ; ③若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y);

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④若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 。

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四.典例解析
题型 1:平面向量的概念 例 1. (1)给出下列命题: ①若| a |=| b |,则 a = b ; ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要 条件; ③若 a = b , b = c ,则 a = c ; ④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ; ⑤ 若 a // b , b // c ,则 a // c ; 其中正确的序号是 。

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a 0 ;(2)若 a 与 a0 平 (2)设 a 0 为单位向量, (1)若 a 为平面内的某个向量,则 a =| a |· a0 ; 行, 则 a =| a |· (3) 若 a 与 a 0 平行且| a |=1, 则 a = a0 。 上述命题中, 假命题个数是 (
A.0 B.1 C.2 D.3 解析: (1)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同; ②正确;∵ AB ? DC ,∴ | AB |?| DC | 且 AB // DC , 又 A,B,C,D 是不共线的四点,∴ 四边形 ABCD 为平行四边形;反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则, AB // DC 且 | AB |?| DC | , 因此, AB ? DC 。 ③正确;∵ a = b ,∴ a , b 的长度相等且方向相同; 又 b = c ,∴ b , c 的长度相等且方向相同, ∴ a , c 的长度相等且方向相同,故 a = c 。 ④不正确;当 a // b 且方向相反时,即使| a |=| b |,也不能得到 a = b ,故| a |=| b |且 a // b 不是 a = b 的充要条件,而是必要不充分条件; ⑤不正确;考虑 b = 0 这种特殊情况; 综上所述,正确命题的序号是②③。 点评:本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多,因而容易遗忘。为此,复 习时一方面要构建良好的知识结构, 另一方面要善于与物理中、 生活中的模型进行类比和联 想。 (2)向量是既有大小又有方向的量, a 与| a | a 0 模相同,但方向不一定相同,故(1) 是假命题;若 a 与 a 0 平行,则 a 与 a 0 方向有两种情况:一是同向二是反向,反向时 a =- | a | a 0 ,故(2) 、 (3)也是假命题。综上所述,答案选 D。 点评:向量的概念较多,且容易混淆,故在学习中要分清,理解各概念的实质,注意区 分共线向量、平行向量、同向向量等概念。 题型 2:平面向量的运算法则 例 2. (1)如图所示,已知正六边形 ABCDEF,O 是它的中心,若 BA = a , BC = b ,试 用 a , b 将向量 OE , BF , BD , FD 表示出来。 (2) (06 上海理,13)如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是( A. AB = DC
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B. AD + AB = AC

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C. AB - AD = BD

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D. AD + CB = 0

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(3) (06 广东,4)如图 1 所示,D 是△ ABC 的边 AB 上 中点,则向量 CD ? ( A. ? BC ? C. BC ? ) B. ? BC ? D. BC ?



1 BA 2

1 BA 2

1 BA 2

1 BA 2

(1)解析:根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则,用向量 a , b 来表 示其他向量,只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。 因为六边形 ABCDEF 是正六边形,所以它的中心 O 及顶点 A,B,C 四点构成平行四边 形 ABCO, A F 所以 BA ? BC ? BA ? AO ? BO ,BO = a + b ,OE =

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a B b C D O E

??? ? ? ? BO = a + b ,
由于 A,B,O,F 四点也构成平行四边形 ABOF,所以

? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? BF = BO + OF = BO + BA = a + b + a =2 a + b ,
??? ?

同样在平行四边形 BCDO 中,BD = BC ? CD = BC ? BO = b +( a + b )= a +2 b ,

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

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? ??? ? ? ? ??? ? ??? FD = BC ? BA = b - a 。
点评:其实在以 A,B,C,D,E,F 及 O 七点中,任两点为起点和终点,均可用 a ,

?

? ? ? ? ? b 表示,且可用规定其中任两个向量为 a , b ,另外任取两点为起点和终点,也可用 a , b
表示。 (2)C. (3) CD ? CB ? BD ? ? BC ?

1 BA ,故选 A。 2
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?
????

例 3.设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点,试化简: ① AB ? BC ? CD ,② DB ? AC ? BD ,③ ?OA ? OC ? OB ? CO 。 解析:①原式= ( AB ? BC ) ? CD ? AC ? CD ? AD ; ②原式= ( DB ? BD) ? AC ? 0 ? AC ? AC ; ③原式= (OB ? OA) ? (?OC ? CO) ? AB ? (OC ? CO) ? AB ? 0 ? AB 。 例 4.设 x 为未知向量, a 、 b 为已知向量,解方程 2 x ?(5 a +3 x ?4 b )+ 解析:原方程可化为:(2 x ? 3 x ) + (?5 a +

??? ? ??? ? ??? ?

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? ? ? 1 ? a ) + (4 b ?3 b ) = 0, 2

1 ? ? a ?3 b =0 2

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∴ x =?

?

9 ? ? a+ b 。 2

点评: 平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则, 求解时兼顾到向量 的性质。 题型 3:平面向量的坐标及运算 例 5.已知 ?ABC 中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,1),BC 边上的高为 AD,求 AD 。 解析:设 D(x,y),则 AD ? ? x ? 2, y ? 1? , BD ? ? x ? 3, y ? 2 ? , BC ? ? ?b, ?3? ∵ AD ? BC , BD ? BC

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? ? 6? x ? 2 ? ? 3? y ? 1? ? 0 ? x ? 1 ?? 得? ?? 3? x ? 3? ? 6? y ? 2 ? ? 0 ? y ? 1 ???? 所以 AD ? ? ?1, 2 ? 。
例 6.已知点 A(4,0), B(4,4), C (2,6) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB ( O 为坐标原点)交 点 P 的坐标。 解析:设 P( x, y ) ,则 OP ? ( x, y ), AP ? ( x ? 4, y ) 因为 P 是 AC 与 OB 的交点,所以 P 在直线 AC 上,也在直线 OB 上。 即得 OP // OB, AP // AC ,由点 A(4,0), B(4,4), C (2,6) 得, AC ? (?2, 6), OB ? (4, 4) 。 得方程组 ?

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??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ????

????

??? ?

?6( x ? 4) ? 2 y ? 0 ?x ? 3 ,解之得 ? 。 ?4 x ? 4 y ? 0 ?y ? 3

故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3) 。 题型 4:平面向量的性质 例 7.平面内给定三个向量 a ? ? 3, 2 ? , b ? ? ?1, 2 ? , c ? ? 4,1? ,回答下列问题: (1)求满足 a ? mb ? nc 的实数 m,n; (2)若 ? a ? kc ? // 2b ? a ,求实数 k; (3)若 d 满足 d ? c // a ? b ,且 d ? c ?

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? 5 ,求 d 。

5 ? ?m ? 9 ?? m ? 4 n ? 3 解析: (1)由题意得 ?3,2? ? m?? 1,2? ? n?4,1? ,所以 ? ,得 ? 。 8 ? 2m ? n ? 2 ?n ? 9 ? ? ? ? ? (2) a ? kc ? ? 3 ? 4k , 2 ? k ? , 2b ? a ? ? ?5, 2 ? ,
? 2 ? ?3 ? 4k ? ? ?? 5??2 ? k ? ? 0,? k ? ?
? ? ? ?

16 ; 13

(3) d ? c ? ? x ? 4, y ? 1? , a ? b ? ? 2, 4 ?

由题意得 ?

?4?x ? 4? ? 2? y ? 1? ? 0 ? x ? 3 ?x ? 5 ,得 ? 或? 。 2 2 ??x ? 4? ? ? y ? 1? ? 5 ? y ? ?1 ? y ? 3

例 8.已知 a ? (1,0), b ? (2,1). (1)求 | a ? 3b | ; (2)当 k 为何实数时, k a ? b 与 a ? 3b 平行, 平行时它们是同向还是反向? 解析: (1)因为 a ? (1,0), b ? (2,1). 所以 a ? 3b ? (7,3) 则 | a ? 3b |?

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(2) k a ? b ? (k ? 2, ?1) , a ? 3b ? (7,3)

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7 2 ? 32 ? 58

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1 3 ? ? ? ? 7 ? ? ? ? 此时 k a ? b ? (k ? 2, ?1) ? (? , ?1) , a ? 3b ? (7,3) ,则 a ? 3b ? ?3(ka ? b) ,即 3 ? ? ? ? 此时向量 a ? 3b 与 ka ? b 方向相反。
因为 k a ? b 与 a ? 3b 平行,所以 3(k ? 2) ? 7 ? 0 即得 k ? ? 。

?

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点评: 上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现, 重点掌握平面向 量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。 题型 5:共线向量定理及平面向量基本定理 例 9.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) ,B(-1,3) ,若点 C 满足 OC

? ? OA ? ? OB ,其中 α、β∈R,且 α+β=1,则点 C 的轨迹方程为(
B. (x-1)2+(y-2)2=5 D.x+2y-5=0



A.3x+2y-11=0 C.2x-y=0

解法一:设 C ?x, y ? ,则 OC ? ? x, y ? , OA ? ? 3,1? , OB ? ? ?1,3? 。 由 OC ? ? OA ? ? OB 得 ?x, y ? ? ?3? , ? ? ? ?? ? ,3? ? ? ?3? ? ? , ? ? 3? ? ,

????

??? ?

??? ?

????

??? ?

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? x ? 3? ? ? ? x ? 4? ? 1 ? 于是 ? y ? ? ? 3? ,先消去 ? ,由 ? ? 1 ? ? 得 ? 。 ? y ? 3 ? 2? ? ? ? ? ?1 ?
再消去 ? 得 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,所以选取 D。 解法二:由平面向量共线定理, 当 OC ? ? OA ? ? OB , ? ? ? ? 1 时,A、B、C 共线。 因此,点 C 的轨迹为直线 AB,由两点式直线方程得 x ? 2 y ? 5 ? 0 即选 D。 点评:熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算;两个向 量平行的坐标表示; 运用向量的坐标表示, 使向量的运算完全代数化, 将数与形有机的结合。

????

??? ?

??? ?

例 10. (1) 已知︱ OA ︱=1, ︱ OB ︱= 3 , OA ? OB =0,点 C 在∠AOB 内, 且∠AOC=30° , 设 OC =m OA +n OB (m、n∈R),则

m 等于( n



A.

1 3

B.3

C.

3 3

D. 3

(2)如图:OM∥AB,点 P 由射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且
OP ? xOA ? yOB ,则实数对(x,y)可以是(

B



M O 图 A

1 3 A. ( , ) 4 4 1 3 C. (? , ) 4 4

B. (? , ) D. (? , )
1 7 5 5

2 2 3 3

解析: (1)B; (2)C。 题型 6:平面向量综合问题 例 11.已知向量 u ? ( x, y) 与 v ? ( y, 2 y ? x) 的对应关系用 v ? f (u ) 表示。 (1)证明:对于任意向量 a , b 及常数 m,n 恒有 f (ma ? nb ) ? mf (a ) ? nf (b ) 成立; (2)设 a ? (1,1), b ? (1,0) ,求向量 f (a ) 及 f (b ) 的坐标; (3)求使 f (c ) ? ( p, q) , (p,q 为常数)的向量 c 的坐标

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新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

解析: (1)设 a ? (a1 , a2 ), b ? (b1, b2 ) ,则 ma ? nb ? (ma1 ? nb1 , ma2 ? nb2 ) , 故

?

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? ? f (ma ? nb ) ? (ma2 ? nb2 , 2ma2 ? 2nb2 ? ma1 ? nb1 )

? m(a2 ,2a2 ? a1 ) ? n(b2 ,2b2 ? b1 ) ,
∴ f (ma ? nb ) ? mf (a ) ? nf (b ) (2)由已知得 f (a ) =(1,1) , f (b ) =(0,-1) (3)设 c =(x,y) ,则 f (c ) ? ( y, 2 y ? x) ? ( p, q) , ∴y=p,x=2p-q,即 c =(2P-q,p) 。 例 12.求证:起点相同的三个非零向量 a , b ,3 a -2 b 的终点在同一条直线上。 证明:设起点为 O, OA = a , OB = b , OC =3 a -2 b , 则 AC ? OC ? OA =2( a - b ), AB ? OB ? OA = b - a , AC ? ?2 AB ,

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∵ AC , AB 共线且有公共点 A,因此,A,B,C 三点共线, 即向量 a , b ,3 a -2 b 的终点在同一直线上. 点评: (1)利用向量平行证明三点共线,需分两步完成:① 证明向量平行;② 说明两 个向量有公共点; ⑵用向量平行证明两线段平行也需分两步完成:①证明向量平行;②说明两向量无公 共点。

???? ??? ?

?

?

?

?

五.思维总结
数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程 中得到培养和发展的。 新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似, 虽然 只是个别小题,但它对学习具有指导意义,教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。因 此, 学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体, 形 成知识体系。 学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几 何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算 向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、 解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点。 (1)向量的加法与减法是互逆运算; (2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件; (3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合) ,而向量平行则包括 共线(重合)的情况; (4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对 位置有关系;

2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第 24 讲 三角恒等变形及应用
一.课标要求:
1. 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程, 进一步体会向量方法的作用; 2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、 余弦、正切公式,了解它们的内在联系; 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公 式,但不要求记忆) 。

二.命题走向
从近几年的高考考察的方向来看,这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多,有 时候也以填空题的形式出现,它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察,主要 题型有三角函数求值,通过三角式的变换研究三角函数的性质。 本讲内容是高考复习的重点之一, 三角函数的化简、 求值及三角恒等式的证明是三角变 换的基本问题。历年高考中,在考察三角公式的掌握和运用的同时,还注重考察思维的灵活 性和发散性,以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。

三.要点精讲

1.两角和与差的三角函数

sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ; cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 。 1 ? tan ? tan ?

2.二倍角公式

sin 2? ? 2 sin? cos? ;
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ;

tan 2? ?

2 tan ? 。 1 ? tan 2 ?

3.三角函数式的化简 常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦,异名化同名,异角化同角; ③ 三角公式的逆用等。 (2)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少; ③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数。 (1)降幂公式

sin ? cos? ?

1 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 ; cos ? ? 。 sin 2? ; sin 2 ? ? 2 2 2

(2)辅助角公式

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ? ,

其中sin ? ?

b a ?b
2 2

, cos ? ?

a a ? b2
2



4.三角函数的求值类型有三类 (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利 用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题; (2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的 关键在于“变角”,如 ? ? (? ? ? ) ? ? , 2 ? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 等,把所求角用含已知角的 式子表示,求解时要注意角的范围的讨论; (3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角 的范围及函数的单调性求得角。 5.三角等式的证明 (1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为 简、左右同一等方法,使等式两端化“异”为“同”; (2)三角条件等式的证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系,采用 代入法、消参法或分析法进行证明。

四.典例解析
题型 1:两角和与差的三角函数

(? ? ?)的值 。 例 1.已知 sin? ? sin ? ? 1 , cos? ? cos ? ? 0 ,求 cos

分析:因为 既可看成是 ?与?的和,也可以看作是 (? ? ?) 到下面的两种解法。 解法一:由已知 sin ? +sin ? =1…………①, cos ? +cos ? =0…………②, ①2+②2 得 2+2cos (? ? ?) ? 1; ∴ cos (? ? ?) ??

???
2

的倍角,因而可得

1 。 2

①2-②2 得 cos2 ? +cos2 ? +2cos( ? ? ? )=-1, 即 2cos( ? ? ? ) 〔c o s (? ? ?) ? 1〕=-1。 ∴ cos?? ? ? ? ? ?1 。 解法二:由①得 2 sin 由②得 2 cos

???
2

cos

???
2

? 1 …………③

? 0 …………④ 2 2 ??? ④÷ ③得 cot ? 0, 2 ??? ??? 1 ? tan 2 cot 2 ?1 2 2 ? cos?? ? ? ? ? ? ? ?1 2 ? ? ? 2 ? ? ? 1 ? tan cot ?1 2 2 cos
点评:此题是给出单角的三角函数方程,求复角的余弦值,易犯错误是利用方程组解 sin ? 、cos ? 、 sin ? 、 cos ? ,但未知数有四个,显然前景并不乐观,其错误的原因在 于没有注意到所求式与已知式的关系本题关键在于化和为积促转化,“整体对应”巧应用。 例 2 . 已 知

???

???

t

? a, n ? 是方程 t x a2 ? nx ? ? 的两个实根根, 5 6 求 0

2sin 2 ?? ? ? ? ? 3sin ?? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos 2 ?? ? ? ?的值 。
分析:由韦达定理可得到 tan ? ? tan ? 及 tan ? ? tan ?的值, 进而可以求出 tan ?? ? ? ? 的值,再将所求值的三角函数式用 tan ?? ? ? ? 表示便可知其值。 解法一:由韦达定理得 tan ? ? tan ? ? 5, tan? ? tan ? ? 6 , 所以 tan ?? ? ? ? ?

tan? ? tan ? 5 ? ? ?1. 1 ? tan? ? tan ? 1 ? 6

原式 ?

2sin 2 ?? ? ? ? ? 3sin ?? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos 2 ?? ? ? ? sin 2 ?? ? ? ? ? cos 2 ?? ? ? ? ? 2 tan 2 ?? ? ? ? ? 3 tan ?? ? ? ? ? 1 tan ?? ? ? ? ? 1
2

?

2 ?1 ? 3 ? ? ?1? ? 1 1?1

?3

解法二:由韦达定理得 tan ? ? tan ? ? 5, tan? ? tan ? ? 6 , 所以 tan ?? ? ? ? ?

tan? ? tan ? 5 ? ? ?1. 1 ? tan? ? tan ? 1 ? 6

3 于是有? ? ? ? k? ? ? ? k ? Z ? , 4
3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 1 ? ? 原式 ? 2sin 2 ? k? ? ? ? ? sin ? 2k? ? ? ? ? cos 2 ? k? ? ? ? ? 1 ? ? ? 3 。 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 2 ? ?
点评: (1)本例解法二比解法一要简捷,好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构, 从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。 (2)运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记 公式,我们不仅要记住公式,更重要的是抓住公式的特征,如角的关系,次数关系,三角函 数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用, 而且抓住了公式的 结构特征,有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特 征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点。 (3) 对公式的逆用公式, 变形式也要熟悉, 如

cos?? ? ? ? cos ? ? sin?? ? ? ?sin ? ? cos?, tan?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ? tan ? ? tan ? , tan?? ? ? ? tan ? tan ? ? tan?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? ,
题型 2:二倍角公式 例 3.化简下列各式: (1)

tan ? ? tan ? ? tan?? ? ? ? tan ? tan ? ? tan?? ? ? ?。

? 1 1 1 1 ? 3? ?? ? ? cos 2? ? ? ?? , 2? ? ? ? ?, 2 2 2 2 ? 2 ?? ?

(2)

cos2 ? ? sin 2 ? 。 ?? ? ? 2?? 2 cot? ? ? ? cos ? ? ? ? ?4 ? ?4 ?

分析: (1)若注意到化简式是开平方根和 2 ?是?的二倍,?是 不难找到解题的突破口; (2)由于分子是一个平方差,分母中的角 注意到这两大特征, ,不难得到解题的切入点。 解析: (1)因为

?
2

以及其范围 的二倍,

?
4

?? ?

?
4

?? ?

?
2

,若

3? 1 1 ? ? ? 2?,所以 ? cos 2? ? cos? ? cos? , 2 2 2

又因

3? ? 1 1 ? ? ? ? ?,所以 ? cos? ? sin ? sin , 4 2 2 2 2 2

所以,原式= sin (2)原式=

?
2



cos 2? cos 2? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 2 tan? ? ? ? cos2 ? ? ? ? 2 sin? ? ? ? cos? ? ? ? ?4 ? ?4 ? ?4 ? ?4 ?

=

cos 2? cos 2? ? ? 1。 ?? ? cos 2? sin? ? 2? ? ?2 ?

点评: (1)在二倍角公式中,两个角的倍数关系,不仅限于 2 ? 是 ? 的二倍,要熟悉多 种形式的两个角的倍数关系,同时还要注意 2?, ? ?, ? ? 三个角的内在联系的作用,

?

?

4

4

?? ? ?? ? ?? ? (2)化简题一定要 cos 2? ? sin? ? 2? ? ? 2 sin? ? ? ? cos? ? ? ? 是常用的三角变换。 ?2 ? ?4 ? ?4 ?
找准解题的突破口或切入点,其中的降次,消元,切割化弦,异名化同名,异角化同角是常 用的化简技巧。 (3)公式变形 cos? ? 例 4.若 cos?

sin 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? 。 , cos2 ? ? 2 sin ? 2 2

7 sin 2 x ? 2 cos2 x ?? ? 3 17 ? x? ? , ? ? x ? ? ,求 的值 。 4 1 ? tan x ?4 ? 5 12
?? ? ? ?? ? ? ? x ? ? ,及2 x ? 2 ? ? x ? ? 的两变换,就有以下的两种解法。 ?4 ? 4 ?4 ? 2

分析: 注意 x ? ? 解法一:由

17 7 5 ? ? ? x ? ?,得 ? ? x ? ? 2? , 12 4 3 4

4 ?? ? 3 ?? ? 又因 cos ? ? x ? ? , sin ? ? x ? ? ? . 5 ?4 ? 5 ?4 ?
?? ? ? 2 ? ?? ?? ? ?? ? ? cos x ? cos ?? ? x ? ? ? ? cos ? ? x ? cos ? sin ? ? x ? sin ? ? , 4 4 10 ? 4? ?4 ? ?4 ? ?? 4

从而 sin x ? ?

7 2 , tan x ? 7. 10
2

? 7 2? ? ? 7 2? 2? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ?? ? 10 ? ? 10 ? 10 ? 2sin x cos x ? 2sin 2 x 28 ? ? 原式 ? ? ?? . 1 ? tan x 1? 7 75

解法二: 原式 ?

2sin x cos x ?1 ? tan x ? 1 ? tan x

?? ? ? sin 2 x ? tan ? ? x ? , ?4 ?

? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? 7 而 sin 2 x ? sin ? 2 ? ? x ? ? ? ? ? cos 2 ? ? x ? ? ? ? 2cos 2 ? ? x ? ? 1? ? ? 2? ?4 ? ?4 ? ? 25 ? ?4 ?

?? ? sin ? ? x ? ?? ? ?4 ? ? ? 4, tan ? ? x ? ? 3 ?4 ? cos ? ? ? ' x ? ? ? ?4 ?
所以,原式 ? 7 ? 4? 28 ?? ? ? ? ? . 25 ? 3 ? 75

点评:此题若将 cos ?

? ? 3 ?? ? 3 ? x ? ? 的左边展开成 cos ? cos x ? sin sin x ? 再求 cosx,sinx 4 4 5 ?4 ? 5

的值,就很繁琐,把

?

?? ? ? 运用二倍角 ? x作为整体 ,并注意角的变换 2· ? ? x ? ? ? 2 x, 4 ?4 ? 2

公式,问题就公难为易,化繁为简所以在解答有条件限制的求值问题时,要善于发现所求的 三角函数的角与已知条件的角的联系,一般方法是拼角与拆角, 如 2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?,

2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?, 2? ? ? ? 2?? ? ? ? ? ?, 2? ? ? ? 2?? ? ? ? ? ? ,

? ? ?? ? ? ? ? ?,? ? ?? ? ? ? ? ?,? ? ?? ? ? ? ? ?,? ? ??? ? ? ? ? ? 等。
题型 3:辅助角公式

a sin
例 5.已知正实数 a,b 满足

5 ? tan 8? ,求 b 的值 。 ? ? 15 a a cos ? b sin 5 5 5

?

? b cos

?

分析:从方程 的观点考虑,如果给等式左边的分子、分母同时除以 a,则已知等式可 化为关于

b b 的方 程 , 从 而 可 求 出 由 , 若 注 意 到 等 式 左 边 的 分 子 、 分 母 都 具 有 a a a sin? ? b cos? 的结构,可考虑引入辅助角求解。 ? b ? 8 sin ? cos sin ? 5 a 5 ? 15 ? 解法一:由题设得 ? b ? 8 cos ? sin cos ? 5 a 5 15

8 ? 8 ? sin? 8 ? ? ? ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin b ? 15 5? ? 15 5 15 5 ? ? ? t a n ? 3. 8 ? 8 ? ?? a 3 ?8 cos ? ? cos ? sin ? ? sin cos? ? ? ? 15 5 15 5 5? ? 15 sin
解法二: 因为a sin

?
5

? b cos

?

?? ? ? a 2 ? b 2 sin ? ? ? ?, 5 ?5 ?

b ?? ? ? a 2 ? b 2 cos ? ? ? ?,其中 tan ? ? , 5 5 a ?5 ? 8? ?? ? 由题设得 tan ? ? ? ? ? tan . 15 ?5 ? ? 8 ? 所以 ? ? ? k? ? ? ,即? ? k? ? , 5 15 3 b ?? ? ? 故 ? tan ? ? tan ? k? ? ? ? tan ? 3. a 3? 3 ? a cos ? b sin

?

?

? b tan ? 8 解法三: 原式可变形为: 5 a ? tan ?, b ? 15 1 ? tan a 5
tan ? tan ? b 8 ?? ? 5 令 tan ? ? ,则有 ? tan ? ? ? ? ? tan ?, ? a 15 ?5 ? 1 ? tan ? ? tan 5 ? 8 ? 由此可? ? ? k? ? ? ? k ? Z ? , 所以? ? k? ? , ?k ? Z ? 5 15 3 ?? ? b ? 故 tan ? ? tan ? k? ? ? ? tan ? 3,即 ? 3 3? 3 a ?
点评:以上解法中,方法一用了集中变量的思想,是一种基本解法;解法二通过模式联 想,引入辅助角,技巧性较强,但辅助角公式 a s in? ? b cos? ?

?

a 2 ? b 2 s in?? ? ? ? ,

b? ? ? 其中 tan ? ? ? ,或 a sin ? ? b cos? a? ?

a? ? ? a 2 ? b 2 cos ?? ? ? ?,其中 tan ? ? ? 在历年高考中使用频率是相当高的,应加以关 ? b? ?
注; 解法三利用了换元法, 但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点, 所以解法三最佳。 例 6.已知函数 y=

3 1 2 cos x+ sinxcosx+1,x∈R. 2 2

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合;

(2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? (理) (1)解析:y=

3 1 2 cos x+ sinxcosx+1 2 2



3 1 1 (2cos2x-1)+ + (2sinxcosx)+1 4 4 4 3 5 1 cos2x+ sin2x+ 4 4 4





1 ? ? 5 (cos2x· sin +sin2x· cos )+ 6 6 4 2 1 ? 5 sin(2x+ )+ 6 4 2



y 取得最大值必须且只需 2x+

? 6



? 2

+2kπ,k∈Z,

即 x=

? 6

+kπ,k∈Z。

所以当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换: ①把函数 y=sinx 的图象向左平移

? 6

+kπ,k∈Z} 。

? 6

,得到函数 y=sin(x+

? 6

)的图象;

②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的

1 倍(纵坐标不变) ,得到函数 2

y=sin(2x+

? 6

)的图象;

③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的

1 倍(横坐标不变) ,得到函数 2

y=

? 1 sin(2x+ )的图象; 6 2 ? 5 1 5 个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图象; 6 4 2 4

④把得到的图象向上平移

综上得到函数 y=

3 1 2 cos x+ sinxcosx+1 的图象。 2 2

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质, 考查利用三角公式进行恒等变形的技能以 及运算能力。 题型 4:三角函数式化简 例 7.求 sin220° +cos250° +sin20° cos50° 的值。 解析:原式=

1 1 1 (1-cos40° )+ (1+cos100° )+ (sin70° -sin30° ) 2 2 2

=1+

1 1 1 (cos100° -cos40° )+ sin70° - 2 2 4



3 1 -sin70° sin30° + sin70° 2 4 3 1 3 1 - sin70° + sin70° = 。 2 4 2 4
?



点评:本题考查三角恒等式和运算能力。

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 . 例 8.已知函数 f ( x) ? cos x
(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)设 ? 的第四象限的角,且 tan ? ? ? 解析: (Ⅰ)由 cos x ? 0 得 x ? k? ? 故 f ( x) 在定义域为 ? x x ? k? ?

?
2

4 ,求 f (? ) 的值。 3

(k ? Z ) ,

? ?

?
2

, k ? Z?,

(Ⅱ)因为 tan ? ? ?

4 ,且 ? 是第四象限的角, 3 4 3 所以 sin ? ? ? , cos ? ? , 5 5

1 ? 2 sin(2? ? ) 4 ? 故 f ( x) ? cos ?
1 ? 2( 2 2 sin 2? ? cos 2? ) 2 2 cos ?

?

?

?
?

1 ? sin 2? ? cos 2? cos ?
2 cos 2 ? ? 2sin ? cos ? cos ?

? 2(cos ? ? sin ? )

?

14 。 5

题型 5:三角函数求值 例 9.设函数 f(x)= 3 cos2cos+sin ? rcos ? x+a(其中 ? >0,a ? R),且 f(x)的图象在 y 轴右 侧的第一个高点的横坐标为 (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)如果 f(x)在区间 ? ?

x 。 6

? ? 5? ? , ? 上的最小值为 3 ,求 a 的值。 ? 3 6 ?

解析: (I) f ( x) ? 依题意得 2? ?

3 1 3 ? 3 cos 2? x ? sin 2? x ? ? ? ? sin(2? x ? ) ? ?a 2 2 2 3 2

?
6

?

?
3

?

?
2

?? ?

1 . 2

(II)由(I)知, f ( x) ? sin( x ? 又当 x ? [?

?
3

)?

3 ?? 。 2

? 5?
3 6 ,

] 时, x ?

?
3

? [0,

7? 1 ? ] ,故 ? ? sin(x ? ) ? 1 ,从而 f ( x) 在区间 6 2 3

1 3 3 ?1 ? π 5π ? ? a ,故 a ? . ? , ? 上的最小值为 3 ? ? ? ? 2 2 2 ? 3 6?
例 10.求函数 y =2 cos(x ?

) cos(x ? ) + 3 sin 2 x 的值域和最小正周期。 4 4 ? ? ? 解析:y=cos(x+ ) cos(x- )+ 3 sin2x=cos2x+ 3 sin2x=2sin(2x+ ), 4 4 6 ? ? ∴函数 y=cos(x+ ) cos(x- )+ 3 sin2x 的值域是[-2,2],最小正周期是 π。 4 4
题型 6:三角函数综合问题 例 11.已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? (I)若 a ? b, 求 ? ;

?

?

?

?

?
2

?? ?

?
2

.

?

?

(II)求 a ? b 的最大值。

?

?

b ? 0 ? sin ? ? cos? ? 0 ? ? ? ? 解析: (1) a ? b, ? a ?

?

?

? ?

?
4;

? ? (2). a ? b ? (sin ? ? 1,cos? ? 1) ? (sin ? ? 1)2 ? (cos? ? 1)2
? sin 2 ? ? 2sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 2 cos ? ? 1 ? 2(sin ? ? cos ? ) ? 3

? 2 2 sin(? ? ) ? 3 4
当 sin(? ?

?

?

? ? ? 最大值为 2 2 ? 3 ? 2 ? 1 。 ) =1 时 a ? b 有最大值,此时 ? ? 4 4,

点评:本题主要考察以下知识点:1、向量垂直转化为数量积为 0;2,特殊角的三角函 数值;3、三角函数的基本关系以及三角函数的有界性;4.已知向量的坐标表示求模,难度 中等,计算量不大。 例 12.设 0<θ<

? 2

,曲线 x2sinθ+y2cosθ=1 和 x2cosθ-y2sinθ=1 有 4 个不同的交点。

(1)求 θ 的取值范围; (2)证明这 4 个交点共圆,并求圆半径的取值范围。

? x 2 sin ? ? y 2 cos? ? 1 ? x 2 ? sin ? ? cos? 解析: (1)解方程组 ? ,得 ? ; 2 2 2 x cos ? ? y sin ? ? 1 y ? cos ? ? sin ? ? ?
故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为 ?

?sin ? ? cos? ? 0 ? , ( 0<θ< ) 2 ?cos? ? sin ? ? 0

? 0<θ<

? 4



(2)设四个交点的坐标为( xi,yi) (i=1,2,3,4) ,则:xi2+yi2=2cosθ∈( (i=1,2,3,4) 。 故四个交点共圆,并且这个圆的半径 r=

2 , 2)

2 cosθ∈( 4 2 , 2 ).

点评: 本题注重考查应用解方程组法处理曲线交点问题, 这也是曲线与方程的基本方法, 同时本题也突出了对三角不等关系的考查。 题型 7:三角函数的应用 例 13.有一块扇形铁板,半径为 R,圆心角为 60°,从这个扇形中切割下一个内接矩 形,即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上,求这个内接矩形的最大面积. 分析:本题入手要解决好两个问题, (1)内接矩形的放置有两种情况,如图 2-19 所示,应该分别予以处理; (2)求最大值问题这里应构造函数,怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量。

解析:如图 2-19(1)设∠FOA=θ ,则 FG=Rsinθ ,



。 又设矩形 EFGH 的面积为 S,那么

又∵0°<θ <60°,故当 cos(2θ -60°)=1,即 θ =30′时,

如图 2-19 (2),设∠FOA=θ ,则 EF=2Rsin(30°-θ ),在△OFG 中,∠OGF=150°

设矩形的面积为 S. 那么 S=EFFG=4R sinθ sin(30°-θ ) =2R [cos(2θ -30°)-cos30°]
2 2

又∵0<θ <30°,故当 cos(2θ -30°)=1



五.思维总结
从近年高考的考查方向来看, 这部分常常以选择题和填空题的形式出现, 有时也以大题 的形式出现,分值约占 5%因此能否掌握好本重点内容,在一定的程度上制约着在高考中成 功与否。 1.两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习 时应注意以下几点: (1)不仅对公式的正用逆用要熟悉,而且对公式的变形应用也要熟悉; (2)善于拆角、拼角 如 ? ? ?? ? ? ? ? ? , 2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? , 2? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 等; (3)注意倍角的相对性 (4)要时时注意角的范围 (5)化简要求 熟悉常用的方法与技巧,如切化弦,异名化同名,异角化同角等。 2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性, 利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 3.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 4.加强三角函数应用意识的训练 由于考生对三角函数的概念认识肤浅, 不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间 建立联系,造成思维障碍,思路受阻.实际上,三角函数是以角为自变量的函数,也是以实 数为自变量的函数, 它产生于生产实践, 是客观实际的抽象, 同时又广泛地应用于客观实际, 故应培养实践第一的观点.总之,三角部分的考查保持了内容稳定,难度稳定,题量稳定, 题型稳定,考查的重点是三角函数的概念、性质和图象,三角函数的求值问题以及三角变换

的方法。 5.变为主线、抓好训练 变是本章的主题,在三角变换考查中,角的变换,三角函数名的变换,三角函数次数的 变换,三角函数式表达形式的变换等比比皆是,在训练中,强化变意识是关键,但题目不可 太难,较特殊技巧的题目不做,立足课本,掌握课本中常见问题的解法,把课本中习题进行 归类,并进行分析比较,寻找解题规律。 针对高考中题目看,还要强化变角训练,经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外 如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要 加强,这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目。


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