nbhkdz.com冰点文库

高中物理奥赛辅导参考资料之四角动量


本章题头

内容提要
角动量与角动量守恒

Contents

chapter 4

angular momentum and law of conservation of angular momentum

刚体的定轴转动
rotation of rigid

-body with a fixed axis

刚体作定轴转动时的功能关系
relation of work with energy in rotation of rigid-body

刚体的角动量守恒
law of conservation of angular momentum of rigid-body

第一节
大量天文观测表明

r m v sin
定义:

4-1

速度

v
r

v

常量
位矢

m
质量

m angular momentum and O 对 O 点的 角动量 为 law of conservation of angular momentum L r p r mv L 大小: L r m v sin v 方向: r ( mv )
运动质点

r

问题的提出
问题的提出
地 球 上 的 单 摆 质点 对
的角动量

大小
太 阳 系 中 的 行 星



变变



大小会变

大小未必会变。靠什么判断?

质点角动量定理
导致角动量 随时间变化的根本原因是什么? 思路: 分析 由 则

与什么有关?

两平行矢量的叉乘积为零


质点 对参考点 的

角动量的时间变化率

位臵 等于 矢量

所受的 叉乘 合外力



微分形式 是力矩的矢量表达:
即 力矩

大小
方向

垂直于 所决定 的平面,由右螺旋法 则定指向。




质点

对给定参考点

角动量的时间变化率 称为质点的

所受的合外力矩

角动量定理

的微分形式

如果各分力与O点共面,力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正 向,用代数法求合力矩。

质点的角动量定理也可用积分形式表达

积分形式



称为 冲量矩 这就是质点的

角动量的增量

角动量定理

的积分形式

例如,
单摆的角动量大小为 L = mv r, v为变量。 在 t = 0 时从水 平位臵静止释放,初角动量大小为 L0= m v0 r =0; 时刻 t 下 摆至铅垂位臵, 角动量大小为 L⊥ = m v⊥ r 。则此过程单摆 所受的冲量矩大小等于 L-L0= m v⊥ r = m r 2gr 。

归纳

质点的

角动量定理 归纳
所受的合外力矩

角动量的时间变化率

冲量矩
当 即

角动量的增量

0

时, 有

0

物理意义:当质点不受外力矩或合外力矩为零 (如有心力作用)时,质点的角动量 前后不改变。
(后面再以定律的形式表述这一重要结论)

质点角动量守恒
根据质点的 角动量定理

若 即



常矢量 当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩 为 守恒。

为零时,质点对该点的角动量的时间变化率 零,即质点对该点的角动量
称为

若质点所受的合外力的方向始终通过参考点,其角动量守恒。如行星绕 太阳运动,以及微观粒子中与此类似的运动模型,服从角动量守恒定律。

应用质点的角动量守恒定律可以证明 开普勒第二定律

开普勒第二定律

行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积

时刻 m 对 O 的角动量大小为

定律证明

瞬间 位矢扫过的微面积



(称为掠面速率)
守恒。

因行星受的合外力总指向是太阳,角动量



常量

故,位矢在相同时间内扫过的面积相等

质点系角动量

惯性系中某给定参考点

质点系角动量定理
将 对时间求导

某给定 参考点



外 外 外 内




质点系的角动量 的时间变化率





质点受外力 矩的矢量和
微分形式

外 外

称为

内力矩在求矢 量和时成对相消

微、积分形式



对时间求导 的微分形式

质点系的角动量 的时间变化率

质点受外力 某给定 参考点 矩的矢量和
的积分形式



外 外 外 质点系的 内





内 质点系所受的

冲量矩 质点系的角动量

矩的矢量和 的时间变化率 若各质点的速度或所受外力与参考点共面,则其角动量或力矩只含正反 内力矩在求矢 两种方向,可设顺时针为正向,用代数和代替矢量和。 量和时成对相消 微分形式 称为



角动量增量 质点受外力

外 外

质点系角动量守恒









恒矢量

当质点系所受的合外力矩为零时,其角动量守恒。

两人质量相等
既忽略 滑轮质量 终点线

随堂小议

两人同时到达; (1)

又忽略 轮绳摩擦
终点线

一 人 用 力 上 爬

一 人 握 绳 不 动

用力上爬者先到; (2)

握绳不动者先到; (3)

可能出现的情况是
(请点击你要选择的项目)

(4)以上结果都不对。

两人质量相等 小议链接1
既忽略 滑轮质量 终点线

又忽略 轮绳摩擦
终点线

两人同时到达; (1)

一 人 用 力 上 爬

一 人 握 绳 不 动

用力上爬者先到; (2)

握绳不动者先到; (3)

可能出现的情况是
(请点击你要选择的项目)

(4)以上结果都不对。

两人质量相等 小议链接2
既忽略 滑轮质量 终点线

又忽略 轮绳摩擦
终点线

两人同时到达; (1)

一 人 用 力 上 爬

一 人 握 绳 不 动

用力上爬者先到; (2)

握绳不动者先到; (3)

可能出现的情况是
(请点击你要选择的项目)

(4)以上结果都不对。

两人质量相等 小议链接3
既忽略 滑轮质量 终点线

又忽略 轮绳摩擦
终点线

两人同时到达; (1)

一 人 用 力 上 爬

一 人 握 绳 不 动

用力上爬者先到; (2)

握绳不动者先到; (3)

可能出现的情况是
(请点击你要选择的项目)

(4)以上结果都不对。

两人质量相等 小议链接4
既忽略 滑轮质量 终点线

又忽略 轮绳摩擦
终点线

两人同时到达; (1)

一 人 用 力 上 爬

一 人 握 绳 不 动

用力上爬者先到; (2)

握绳不动者先到; (3)

可能出现的情况是
(请点击你要选择的项目)

(4)以上结果都不对。

小议分析
质点系 若
系统的末 态角动量 忽略轮、绳质量及轴摩擦 系统受合外力矩为零,角动量守恒。 系统的初 态角动量 不论体力强弱,两人等速上升。



若 同高从静态开始 往上爬

系统受合外力矩不为零,角动量不守恒。 可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。

第二节
刚体:形状固定的质点系(含无数质点、不形变、理想固体。)
平 动

定轴转动

平面运动

4-2

定点运动 一般运动

刚体任意 刚体质心 刚体上 rotation of rigid-body with a fixed axis 刚体每点 限制在一平 两点的连线 复杂 绕同一轴线 面内,转轴 各质点都 保持方向不 以某一定 的运动 变。各点的 作圆周运动,可平动,但 点为球心 与平动 且转轴空间 始终垂直于 的各个球 的混合。 位臵及方向 该平面且通 相同,可当 不变。 面上运动。 过质心 作质点处理。

定轴转动参量
1. 角位臵
刚体定轴转动 的运动方程

刚体

刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向

2. 角位移
3. 角速度
静止 常量 变角速

转动平面(包含p并与转轴垂直)

匀角速

转轴 用矢量表 示 或 时,它们 与 刚体的 转动方向 采用右螺 旋定则

4. 角加速度
匀角速 常量 匀角加速 变角加速

单位:

转动方程求导例题
rad rad s -1

rad s -2 rad

rad s -1 rad s -2

匀变角速定轴转动
rad
150p 100p 50p p 53p 52p 51p 50p

rad s

1

rad s

2

p
t
s

t
s

t
s

积分求转动方程
恒量
且t=0 时




任意时刻的 匀变角速定轴转动的角位移方程


匀变角速定轴转动的运动方程

定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为 ,瞬 时角加速度为 , 刚体中一质点P至转轴的距离为r 瞬时线速度 的大小 质点P 瞬时切向加速度 瞬时法向加速度

线量与角量的关系

这是定轴转动中线量与角量的基本关系

质点直线运动或刚体平动

刚 公式对比体 角位移

的 定 轴 转 动

位移 速度
加速度 匀速直线运动 匀变速直线运动

角速度
角加速度 匀角速定轴转动 匀变角速定轴转动

刚体转动定律引言
质点


刚体平动 的运动定律

F = ma
合外力
惯性质量

合加速度

若刚体作定轴转动,服从怎样的运动定律?
主要概念 使刚体产生转动效果的合外力矩 刚体的转动定律 刚体的转动惯量

合外力矩
M1
外力在转动平面上对转 轴的力矩使刚体发生转动

F2

Ft 2
j2

F1 t
O

r2
P2

r1
P1

F1
j1

力矩 M1 = r1 × F1 大小 M1 = r1 F1 sin j1 方向

d2 d1

M2
合外力矩 大小

大小

= F1 d 1 = Ft 1 r1 M M 2 = r 2 × F2 M 2 = r 2F 2 sin j 2 F = F2 d 2 = Ft 2 r2

M = M1 + M 2

M = F1 d 1

r Ft F2 d 2 = Ft 叉乘右螺旋2 r2 1 r1

转动定律
瞬时 角加速度 瞬时 角速度

某质元

Fi
t

qi

n

fi

∑ Fi ri sin j i + ∑ f i ri sin q i = ∑
合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0



O

ji

ri

等式两边乘以 i 并对所有质元及其所受力矩求和

Fi sin j i + f i sin q i = a it = ri b

受外力 Fi 受内力 fi ai Fi + f i = 其法向n 分量均通过转轴, 不产生转动力矩。 其切向 t 投影式为

r

ri
b

b

M

=



ri

转动惯量
瞬时 角加速度 瞬时 角速度

某质元 M

Fi
t

qi

n

fi

刚体所获得的角加速度i sin的大小与刚体受到的 ∑ Fi ri sin j i + ∑ f i r qi = ∑ ri b 合外力矩 合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0 的大小成正比, 得 与刚体的转动惯量 成反比。 M= ∑ ri b

O

ji

ri

等式两边乘以 i 即 并对所有质元及其所受力矩求和

sin j i + f i sin q Fi刚体的转动定律i = a it = ri b

受外力 Fii 受内力 fi b ∑ ai Fi + f i = 与刚体性质及质量分布有 其法向n 分量均通过转轴, 关的物理量,用 I 表示 不产生转动力矩。 称为 转动惯量 其切向 t 投影式为

=

r

r

转动惯量的计算
将刚体转动定律 M

=I b

与质点运动定律 F

= m a 对比

转动惯量

I

是刚体转动惯性的量度
与刚体的质量、形状、大小 及质量对转轴的分布情况有关

I



质量连续分布的刚体用积分求 I

I I
的单位为

为体积元

处的密度

分立质点的算例
可视为分立质点结构的刚体
转轴
若连接两小球(视为质点) 的轻细硬杆的质量可以忽略, 则



转轴



0.75

质量连续分布的刚体 直棒算例
匀直细杆对中垂轴的 匀直细杆对端垂轴的

平行移轴定理
对质心轴的转动惯量 对新轴的转动惯量 新轴对心轴的平移量 质心 例如: 代入可得 端



新轴

质心轴

匀质薄圆盘对心垂轴的 圆盘算例
取半径为 微宽为 的窄环带的质量为质元

可看成是许多半径不同的共轴 匀质实心球对心轴的 球体算例 薄圆盘的转动惯量 的迭加 距 为 、半径为 、微厚为

的薄圆盘的转动惯量为

其中

常用结果 匀质薄圆盘
转轴通过中心垂直盘面

匀质细直棒

转轴通过端点与棒垂直

R

m
m
L

1 mR2 I= 2

1 mL2 I= 3

匀质矩形薄板
转轴通过中 心垂直板面

其它典型

匀质厚圆筒
转轴沿几何轴

m I= (a 2 + b 2 ) 12 匀质细圆环
转轴通过中 心垂直环面

m I = 2 (R12 + R22 ) 匀质圆柱体
转轴通过中心 垂直于几何轴

I=mR2 匀质细圆环
转轴沿着 环的直径

I=

m 2 m 2 L R + 4 12 匀质薄球壳
转轴通过球心

I=

mR 2

2

2 m R2 I= 3

转动定律例题一
合外力矩 应由各分力矩进行合成 。 在定轴转动中,可先设一个正轴向(或绕向),若分力 矩与此向相同则为正,反之为复。 合外力矩 与合角加速度 方向一致。



时刻对应,何时 何时

则何时 恒定 则何时

, 恒定。

匀直 细杆一 端为轴 水平静 止释放

转动定律例题二 2 – T1 ) R = Ib 转动 ( T
R

T2

m T1

a
m2 m1
轮轴无摩擦 轻绳不伸长 轮绳不打滑 (以后各例同)

I=mR2 2 b 平动 m2 g – T2 = m2a T1 – m1 g = m1a T1 T2 a = Rb 线-角 T1 T2 联立解得 a a m2 m1 g g a= 1 G1 m1+ m2+ 2 m G2 T1 = m1 ( g + a ) m1 g T2 = m2 ( g – a ) m2 g
如果考虑有转动摩擦力矩 Mr ,则 转动式为 ( T2 – T1 ) R – Mr= Ib 再联立求解。

细绳缠绕轮缘 (A) (B)

转动定律例题三
(A)

R

R

m

m

(B)

恒力

F

m1

滑轮角加速度 b 细绳线加速度 a

R = 0.1m m = 5kg m 1 = 3kg m 2 = 1kg

物体从静止开始运动时,滑轮的 转动定律例题四 转动方程

质点运动和刚体转动定律

m 1 m 2 和 m 分别应用


b
R

T2 T2

m

T1 T1 m1

m1 g – T1 = m1a T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Ib
得 故

a = Rb I = 2 mR2
常量

1

b

(m1-m2)g = R(m1+ m2+ m 2)


m2

a
G2 G1

(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2) (m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)

a

gt 2

(rad)

两匀直细杆

两者瞬时角加速度之比 转动定律例题五

q

q

根据

1 2 1 2

q

q

1 3 1 3

地面 从等倾角 处静止释放

短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关

第三节
刚体中任一质元 的速率 该质元的动能

4-3

对所有质元的动能求和

relation of work with ∑ energy in rotation of rigid-body ∑ 转动惯量 I



I

力矩的功



的元功

力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算
若在某变力矩 的作用下,刚体由 转到 ,

作的总功为

力矩的瞬时功率

拨动圆盘转一周,摩擦阻力矩的功的大小 力矩的功算例
转轴

平放一圆盘

总摩擦力矩



各微环带摩擦元力矩
粗糙水平面

的积分

环带面积 环带质量 环带受摩擦力 环带受摩擦力矩

圆盘受总摩擦力矩
转一周摩擦力矩的总功 得

刚体的动能定理
回忆质点的动能定理
刚体转动的动能定理

由 力矩的元功 转动定律 则

合外力矩的功
称为

转动动能的增量

匀质圆盘

圆盘下摆 动能定理例题一 时质点 的 、切向、法向加速度
盘缘另固 连一质点 水平静 止释放

角速度

的大小


外力矩的功
其中

系统

系统转动动能增量

通过盘心垂直 盘面的水平轴



由转动定律




一端为轴 匀直细杆 水平位臵静止释放

动能定理例题二从水平摆至垂直
外力矩作的总功




本题 代入得 利用 的关系

摆至垂直位臵时杆的

还可算出此时杆上各点的线速度

动能定理例题三从水平摆至垂直
水平位臵静止释放 段,外力矩作正功 段,外力矩作负功

合外力矩的功 ∑
由 得 转轴对质心轴的位移 摆至垂直位臵时杆的 代入得

含平动的转动问题
力 外 力矩 动

力 非保守内力矩
势 转动 动 平动

机械


势 转动

平动

左例 系统(轮、绳、重物、地球)
力 外 力矩

忽略 摩擦
转动 势

力 非保守内力矩 平动 转动 势

平动

此外 可求



第四节
定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加 任一质元(视为质点)的质量 其角动量大小

4-4

全部质元的总角动量

∑ ∑ law of conservation of angular momentum of rigid-body
对质量连续分布的刚体


所有质点都以其垂轴 距离为半径作圆周运动

刚体的角动量定理
回忆质点的角动量定理 (微分形式)

(积分形式)

(微分形式)

合外力矩

角动量的时间变化率
(积分形式)

冲量矩

角动量的增量

刚体系统的角动量定理
若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体 系统的总合外力矩 ∑ ∑ 系统的总角动量的变化率 系统的总角动量增量 轻绳 (忽略质量) 同向 ∑ 而 解得

系统的总冲量矩 例如 求角加速度


系统:

静 止 释 放

∑ 总合外力矩 对O的角动量 对O的角动量 ∑ 由 得

主要公式归纳
(微分形式) (积分形式)

∑ ∑



是矢量式 与质点平动对比

刚体的角动量守恒定律
由 若 则 刚体所受合外力矩 即

当刚体所受的合外力矩 刚体的角动量

等于零时, 保持不变。

回转仪定向原理 回转仪定向原理
(转动惯量 ) 回转体

回转体质量呈轴对称分布; 轴摩擦及空气阻力很小。

受合外力矩为零 角动量守恒 恒矢量
其中转动惯量 基 座 万 向 支 架 使其以角速度 为常量

若将回转体转轴指向任一方向 高速旋转

则转轴将保持该方向不变 而不会受基座改向的影响

乘积

角动量守恒的另一类现象 角动量守恒的另一类现象 保持不变, 变小则 变大, 变大则

变小。

张臂

用外力矩 启动转盘后 撤除外力矩

收臂
小 大



乘积

角动量守恒的另一类现象 花样滑冰中常见的例子 保持不变, 变小则
花样滑冰 张臂
张臂 大大 收臂 收臂 小 小 大 大

变大, 变大则

变小。

先使自己 转动起来

用外力矩 启动转盘后 撤除外力矩

小小

外 共轴系统 若 则 共轴系统的角动量守恒 恒矢量

初态 全静

轮、转台与人系统

末态


轮 初 轮
人沿某一转 向拨动轮子

轮 人台

轮 人台 人台




人台 人台

人台 轮



导致人台 反向转动

直升飞机防止机身旋动的措施

直升飞机防旋措施

用 尾 浆
(美洲豹 SA300)
( 海豚 Ⅱ )

用两个对 转的顶浆
(支奴干 CH47)

A、B两轮共轴 A以wA作惯性转动

守恒例题一

两轮啮合后 一起作惯性转动的角速度

wAB

以A、B为系统,忽略轴摩擦,脱离驱动力矩后,系 统受合外力矩为零,角动量守恒。
初态角动量 末态角动量



守恒例题二
木棒 弹

以弹、棒为系统 击入阶段 子弹击入木棒瞬间,系统在

铅直位臵,受合外力矩为零,角动量守恒。 该瞬间之始 该瞬间之末 棒 弹



上摆阶段 弹嵌定于棒内与棒一起上摆,
非保守内力的功为零,由系统动能定理 子弹
外力(重 力)的功

上摆末动能

上摆初动能

外 其中

联立解得

匀质直棒与单摆 小球的质量相等 两者共面共转轴
水 平 静 止 释 放 静 悬 弹碰 忽略摩擦

守恒例题三

满足什么条件时,小球(视为 质点)摆至铅垂位臵与棒弹碰而小 球恰好静止。直棒起摆角速度 对摆球、直棒系统

小球下摆阶段 从水平摆到弹碰即将开始,
由动能定理得

球、棒相碰瞬间在铅垂位臵, 系统受合外力矩为零,角动量守恒。
刚要碰时系统角动量 球 棒 刚碰过后系统角动量 球

弹碰阶段



弹碰过程能量守恒

其中

联立解得

0.577

1.861

作业
HOME WORK

4 - 14
4- 18

4- 15

4- 22


奥赛辅导动量与角动量

高中物理奥赛辅导课件四:... 65页 2财富值 高中物理奥赛辅导参考资料... 65...J? 刚体对某定轴的角动量等于刚体对此定轴的转动惯量与角速度的乘积, 其方 ...

物理奥赛辅导:第5讲 动量与角动量

高中物理奥赛辅导参考资料... 65页 1财富值 高中物理奥赛辅导课件四:... 65...动量定理 动量与角动量 r r ur r r ur r υ t υ 0 ,即 F 合t = ...

物理奥赛辅导:第5讲 动量与角动量

高中物理奥赛辅导参考资料... 65页 1财富值 高中物理奥赛辅导课件四:... 65...2 i i 刚体对某定轴的角动量等于刚体对此定轴的转动惯量与角速度的乘积,其...

高中物理竞赛辅导 动量 角动量和能量

高中物理竞赛辅导参考资料... 65页 免费 动量、能量、角动量 31页 2财富值 ...§4,2 角动量 角动量守恒定律 , 动量对空间某点或某轴线的矩,叫动量矩,也...

高中物理竞赛辅导-动量、角动量和能量

高中物理竞赛辅导 4动量角... 18页 8财富值 高中物理竞赛辅导讲义:动... 21页 免费 高中物理竞赛辅导参考资料... 65页 免费 动量、能量、角动量 31页 2财...

5高中物理奥赛必看讲义——静电场

高中物理奥赛辅导参考资料... 82页 免费 高中物理奥赛...锥角,ΣΔΩ只能是 2π ,所以—— Σ U = 4...而且由动量守恒知,三球不可能有沿绳子方向的速度。...

工科物理大作业04-刚体定轴转动

高中物理奥赛辅导参考资料... 65页 1财富值 大学物理-第04章 角动量守... ...(在下列各题中,均给出了 4 个~5 个答案,其中有的只有 1 个是正确答案,...

高中物理竞赛角动量

2,求摆锤的速度v2为多少 O 4.在光滑的水平面上,有一根原长 Lo=0.6m、...高中物理竞赛辅导__动量... 21页 免费 高中物理竞赛 动量 角动... 暂无评价...

高中物理竞赛角动量守恒定律

高中物理竞赛角动量守恒定律_高三理化生_理化生_高中...此时它相对于 A、B、C 三参考点的距 离分别为 ...4 — 4.如本题图,圆锥摆的中 央支柱是一个中...