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2014年(第55届IMO)国际数学奥林匹克试题-第一天

时间:2014-11-12


2014 年(第 55 届 IMO)国际数学奥林匹克试题 第一天
2014 年 7 月 8 日,星期二 第 1 题 设 a0 < a1 <鬃 为一个无穷正整数列,证明:存在唯一的整数使得: n ? 1 使得:

a + a +鬃 ? an an # 0 1 n

an +1

2 第 2 题 设 n

? 2 为一个正整数, 考虑由 n 个单位正方格构成的 n? n 的正方形棋盘, 一种放

置 n 个棋子“车”的方案被称为和平的,如果每一行每一列上正好有一个“车” 。求最大的 正整数 k 使得对于任何一种和平放置 n 个棋子“车”的方案,都存在一个 k ? k 的棋盘使得 它的 k 个单位正方格中都没有“车” 。 第 3 题 在凸四边形 ABCD 中 ? ABC ? CDA 90 ,点 H 是 A 向 BD 引的垂线的垂足, 点 S 和点 T 分别在边 AB 和 AD 上,使得 H 在三角形 SCT 内部,且
2

? CHS ? CSB 90靶 , THC -? DTC 90
证明:直线 BD 和三角形 TSH 外接圆相切。