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上海市各地区2010年高考数学最新联考试题分类大汇编(3)数列

时间:2010-05-28


上海市各地区 2010 年高考数学最新联考试题分类大汇编 第 3 部分:数列
一、选择题: 17.上海市嘉定黄浦 2010 年 4 月高考模拟文科) ( 已知无穷等比数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? 且 a 是常数,则此无穷等比数列各项的和是( D ) A.

1 ? a(n ? N * ) , 3n

1 . 3

r />
B. ?

1 . 3

C. 1 .

D. ?1 .
1 1 1 ? ? ? ? ? ? (n n ?1 n ? 2 2n

17. (2010 年 4 月上海杨浦、 静安、 青浦、 宝山四区联合高考模拟) [文科]若 an ? 是正整数) ,则 an ?1 (A)
1 2(n ? 1)

? an ? ( C ).
(C)
1 1 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1

(B)

1 1 ? 2n ? 2 n ? 1

(D)

1 1 ? 2n ? 1 2n ? 2 [来源:学科网]

二、填空题: 13. (上海市卢湾区 2010 年 4 月高考模拟考试理科)在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标均为整数的点 称为整点,对任意自然数 n ,联结原点 O 与点 An ( n, n ? 3) ,若用 f (n) 表示线段 OAn 上除端点外的整点个 数,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2010) ? ______. 1340 12.上海市嘉定黄浦 2010 年 4 月高考模拟理科) ( 已知无穷等比数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ?

1 ? a(n ? N * ) , n 3

且 a 是常数,则此无穷等比数列各项的和等于 (用数值作答). - 1 9、 (上海市长宁区 2010 年高三第二次模拟理科)在等差数列{an}中,满足 3a4=7a7,且 a1>0,Sn 是数列{an} 前 n 项的和,若 Sn 取得最大值,则 n= .9 13. (上海市普陀区 2010 年高三第二次模拟考试文科)某企业投资 72 万元兴建一座环保建材厂. 第 1 年各 种经营成本为 12 万元,以后每年的经营成本增 加 4 万元,每年销售环保建材的收入为 50 万元. 则该厂获 取的纯利润达到最大值时是在第 年. 10 14 . ( 上 海 市 松 江 区 2010 年 4 月 高 考 模 拟 理 科 ) 已 知 数 列 ?an ? 满 足 : a1 ? m ( m 为 正 整 数 ) ,

? an ? , 当an为偶数时, an ?1 ? ? 2 若 a4 ? 7 ,则 m 所有可能的取值为 ▲ .56、9 ?3an ? 1, 当an为奇数时。 ?
11.(上海市松江区 2010 年 4 月高考模拟理科)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称 这个正整数为“神秘数” .介于 1 到 200 之间的所有“神秘数”之和为 ▲ .2500 3. (上海市徐汇区 2010 年 4 月高三第二次模拟理科) 若数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ?1 ? 2an (n ? N ) ,则 前 6 项的和 S 6 ? .(用数字作答)63
2
?

5.(上海市闸北区 2010 年 4 月高三第二次模拟理科)若无穷等比数列 {an } 的各项和等于 a1 ,则 a1 的取 值范围是 . ( ,1) ? (1,??)

1 2

9. (上海市浦东新区 2010 年 4 月高考预测理科) 在等比数列 ? an ?中,a n ? 0 , a1 ? a 2 ? ? ? a7 ? a8 ? 16 , 且 则 a 4 ? a5 的最小 值为

2 2

.

14. (上海市浦东新区 2010 年 4 月高考预测理科)我们知道,如果定义在某区间上的函数 f ( x) 满足对该 区间上的任意两个数 x1 、 x2 ,总有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) 成立,则称函数 f ( x) 为该区间上的向上凸函数(简 2 2 称上凸). 类比上述定义,对于数列 ? an ? ,如果对任意正整数 n ,总有不等式: an ? an ? 2 ? an ?1 成立,则称数列 ?an ? 为向上凸数列(简称上凸数列). 现有数列 ?an ? 满足如下两个 2
不等式 条件: (1)数列 ? an ? 为上凸数列,且 a1 ? 1, a10 ? 28 ;
2 * (2)对正整数 n ( 1 ? n ? 10, n ? N ) ,都有 an ? bn ? 20 ,其中 bn ? n ? 6n ? 10 .

则数列 ? an ? 中的第五项 a5 的取值范围为

?13, 25?

.

三、解答题 23. (上海市卢湾区 2010 年 4 月高考模拟考试理科) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 8 分. 从数列 {an } 中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列 {an } 的一个子数列. 设数列 {an } 是一个首项为 a1 、公差为 d (d ? 0) 的无穷等差数列. (1)若 a1 , a2 , a5 成等 比数列,求其公比 q . (2)若 a1 ? 7d ,从数列 {an } 中取出第 2 项、第 6 项作为一个等比数列的第 1 项、第 2 项,试问该数 列是否为 {an } 的无穷等比子数列,请说明理由. (3)若 a1 ? 1 ,从数列 {an } 中取出第 1 项、第 m (m≥ 2) 项(设 am ? t )作为一个等比数列的第 1 项、 第 2 项,试问当且仅当 t 为何值时,该数列为 {an } 的无穷等比子数列,请说明理由. 23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.
2 解: (1)由题设,得 a2 ? a1a5 ,即 (a1 ? d ) 2 ? a1 (a1 ? 4d ) ,得 d 2 ? 2a1d ,又 d ? 0 ,于是 d ? 2a1 ,故其公 a 比 q ? 2 ? 3 . 分) (4 a1

(2)设等比数列为 {bm } ,其公比 q ? 由题设 an ? a1 ? (n ? 1)d ? (n ? 6)d .

a6 3 3 (6 ? , bm ? a2 q m?1 ? 8d ? ( )m?1 , 分) a2 2 2

假设数列 {bm } 为 {an } 的无穷等比子数列,则对任意自然数 m (m≥ 3) ,都存在 n?N* ,使 an ? bm ,

3 3 即 (n ? 6)d ? 8d ? ( )m?1 ,得 n ? 8( ) m ?1 ? 6 , 分) (8 2 2 3 69 当 m ? 5 时, n ? 8( )5?1 ? 6 ? ? N* ,与假设矛盾, 2 2

故该数列不为 {an } 的无穷等比子数列. (10 分)[来源:Zxxk.Com] (3)①设 {an } 的无穷等比子数列为 {br } ,其公比 由题设,在等差数列 {an } 中, d ?

am b2 ,得 br ? t r ?1 , ? ? t ( t ?1 ) a1 b1

am ? a1 t ? 1 t ?1 , an ? 1 ? (n ? 1) , ? m ?1 m ?1 m ?1

因为数列 {br } 为 {an } 的无穷等比子数列,所以对任意自然数 r (r ≥ 3) ,都存在 n?N* ,使 an ? br , 即 1 ? (n ? 1)

t ?1 t r ?1 ? 1 (m ? 1) ? 1 ? (t r ? 2 ? t r ?3 ? ?t ? 1)(m ? 1) ? 1, ? t r ?1 ,得 n ? t ?1 m ?1

由于上式对任意大于等于 3 的正整数 r 都成立,且 n , m ? 1均为正整数, 可知 t r ?2 ? t r ?3 ? ?t ? 1 必为正整数,又 d ? 0 ,故 t 是大于 1 的正整数. (14 分)[来源:学科网] ②再证明:若 t 是大于 1 的正整数,则数列 {an } 存在无穷等比子数列. 即证明无穷等比数列 {br } 中的每一项均为数列 {an } 中的项. 在等比数列 {br } 中, br ? t r ?1 , 在等差数列 {an } 中, d ?

am ? a1 t ? 1 t ?1 , an ? 1 ? (n ? 1) , ? m ?1 m ?1 m ?1

若 br 为数列 {an } 中的第 k 项,则由 br ? ak ,得 t r ?1 ? 1 ? (k ? 1) 整理得 k ?

t ?1 , m ?1

t r ?1 ? 1 (m ? 1) ? 1 ? (t r ? 2 ? t r ?3 ? ?t ? 1)(m ? 1) ? 1 , t ?1

由 t , m ? 1均为正整数,得 k 也为正整数, 故无穷等比数列 {br } 中的每一项均为数列 {an } 中的项,得证. 综上,当且仅当 t 是大于 1 的正整数时,数列 {an } 存在无穷等比子数列. (18 分) 23、 (上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研理科) (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)
小题 8 分)

已知数列 {an } 满足: a1 ? 6 , a n?1 ? (1)若 d n ?

n?2 an ? (n ? 1)( n ? 2) 。 n

an ,求数列 {d n } 的通项公式; n(n ? 1)
3

(2) 若 an ? kC (3)若 bn ? 23.解:

(其中 n?2 ,

m C n 表示组合数) ,求数列 {an } 的前 n 项和 S n ;

1 ? 2 n?1 ,记数列 { } 的前 n 项和为 Tn ,求 lim Tn ; n ??? bn (n ? 2)
2

an

(1) a n?1 ? 变为:

n?2 an ? (n ? 1)( n ? 2) n

an ?1 an ? ? 1 ?? d n ?1 ? d n ? 1 (2 分) (n ? 2)(n ? 1) n(n ? 1)

所以 {d n } 是等差数列, d1 ?

a1 ? 3 ,所以 dn ? 3 ? (n ? 1) ? n ? 2 1? 2
(1 分)

(2 分)

(2)由( 1)得 an ? n(n ? 1)(n ? 2)

an ? kC 3n ? 2 ? k ?

k ?6

n(n ? 1)(n ? 2) , 6
3

(1 分)

即: an ? n(n ? 1)(n ? 2) = 6C n ? 2 (1 分) 所以, Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an = 6(C 3 ? C 4 ? C 5 ? ? ? C n ? 2 ) (1 分)[来源:学+科+网]
3 3 3 3

= 6Cn ? 3

4

(1 分)

?
(3) bn ?

n(n ? 1) n?1 ?2 n?2

n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) (1 分) 4

(2 分)

1 n?2 1 1 ? ? ? n ?1 n bn n(n ? 1) ? 2 n?2 (n ? 1) ? 2 n?1
利用裂项法得: Tn ?

(2 分)

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? = ? b1 b2 b3 bn 2 (n ? 1) ? 2 n ?1
(2 分)

(2 分)

? lim Tn ?
n ???

1 2

23、 (上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研文科) (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分 ,第
(3)小题 8 分)

已知数列 {an } 满足: a1 ? 6 , a n?1 ? (1)求 a 2 , a 3 ; (2)若 d n ?

n?2 an ? (n ? 1)( n ? 2) , n

an ,求数列 {d n } 的通项公式; n(n ? 1)
3

(3)若 an ? kC

(其中 n?2 ,

m C n 表示组合数) ,求数列 {an } 的前 n 项和 S n ;

23.解: (1) a2 ? 24 , a ? 60 (4 分) ; 3

(2) a n?1 ? 变为:

n?2 an ? (n ? 1)( n ? 2) n

an ?1 an ? ? 1 ?? d n ?1 ? d n ? 1 (3 分) (n ? 2)(n ? 1) n(n ? 1)

所以 {d n } 是等差数列, d1 ?

a1 ? 3 ,所以 dn ? 3 ? (n ? 1) ? n ? 2 1? 2
(1 分)

(3 分)

(3)由(1)得 an ? n(n ? 1)(n ? 2)

an ? kC 3n ? 2 ? k ?

n(n ? 1)(n ? 2) , 6
3

k ?6

(2 分)

即: an ? n(n ? 1)(n ? 2) = 6C n ? 2 (1 分) 所以, Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an = 6(C 3 ? C 4 ? C 5 ? ? ? C n ? 2 ) (1 分)
3 3 3 3

= 6Cn ? 3

4

(2 分)

?

n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) (1 分) 4

22. (上海市嘉定黄浦 2010 年 4 月高考模拟理科)(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 6 分. 已知数列 ?a n ?满足 a1 ? a , a 2 ? 2 , S n 是数列的前 n 项和,且 S n ? (1)求实数 a 的值; (2)求数 列 ?an ? 的通项公式; (3)对于数列 {bn },若存在常数 M,使 bn ? M ( n ? N * ) ,且 lim bn ? M ,则 M 叫做数列 {bn }的
n??

n(a n ? 3a1 ) ( n ? N *) . 2

“上渐近值” . 设 tn ?

S n ? 2 S n ?1 ? ? 2 ( n ? N * ) Tn 为数列 {t n } 的前 n 项和,求数列 {Tn } 的上渐近值. , S n ?1 S n ? 2

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题
满 分 6 分. 解 (1) Q a1 = a, a2 = 2, Sn =
\ S1 = n(an + 3a1 ) (n 2 N * ) ,[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

a1 + 3a1 ,a1 = 2a1,即a1 = 0 . 2 \ a = 0. na (2)由(1)可知, Sn = n , 2Sn = nan (n N * ) . 2

?????????2 分 ?????????3 分

\ 2Sn- 1 = (n - 1)an- 1(n 砛2). 2( Sn - Sn- 1 ) = nan - (n - 1)an- 1 , 2an = nan - (n - 1)an- 1 , (n - 2)an = (n - 1)an- 1 .
an a = n- 1 (n 澄3, n N * ) . n- 1 n- 2 a a a 因此, n = n- 1 = L = 2 , an = 2(n - 1)(n n- 1 n- 2 1 \

????5 分 ??????????6 分
2) .

????8 分

又 a1 = 0 ,
\ 数列{an }的通项公式an = 2(n - 1)(n N*) .

??????10 分

(3)由(2)有, Sn =
tn =

nan = n(n - 1)(n 2

N * ) .于是,

S n+ 2 S n+ 1 + - 2 S n+ 1 S n+ 2



(n + 2)(n + 1) (n + 1)n + - 2 (n + 1)n (n + 2)(n + 1)

2 2 = (n n n+ 2

N*) .

??????????????12 分

\ Tn = t1 + t2 + L + tn

2 2 2 2 2 2 2 2 =( - )+ ( - )+ ( - )+ L + ( ) 1 3 2 4 3 5 n n+ 2

= 3-

2 2 < 3(n n+ 1 n+ 2

N*) .

?????14 分

又 lim Tn = lim(3 n? n?

2 2 ) = 3, n+ 1 n+ 2

\ 数列{Tn }的上渐近值是 3.

??16 分

20、 (上海市长宁 区 2010 年高三第二次模拟理科) (本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(2)小题 6 分) (1)设数列 ?a n ?为“凸数列” ,若 a1 ? 1, a 2 ? ?2 ,试写出该数列的前 6 项,并求出该 6 项之和; (2)在“凸数列” ?a n ?中,求证: a n ? 6 ? a n , n ? N ;
?

设数列 ?a n ?中,若 a n ?1 ? a n ? a n ? 2 , (n ? N ) ,则称数列 ?a n ?为“凸数列” 。
?

(3)设 a1 ? a, a 2 ? b ,若数列 ?a n ?为“凸数列” ,求数列前 n 项和 S n 。 20、解: (1) a1 ? 1, a 2 ? ?2 , a3 ? ?3, a 4 ? ?1 , a5 ? 2, a 6 ? 3 ,

? S6 ? 0 。
(2)由条件得 ?

??????????????????????4 分

? a n ?1 ? a n ? a n ? 2 ,? a n ?3 ? ?a n ,?????????6 分 ?a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ?3

? an?6 ? ?an?3 ? an ,即 a n ?6 ? a n 。???????????????8 分
(3) a1 ? a, a 2 ? b, a3 ? b ? a, a4 ? ?a, a5 ? ?b, a6 ? a ? b 。

? S6 ? 0 。

??????????????????????10 分
?

由(2)得 S 6 n ? k ? S k , n ? N , k ? 1,?,6 。????????????12 分

?0 ?a ? ?a ? b ? ? Sn ? ? ?2b ?2b ? a ? ?b ? a ?

n ? 6k n ? 6k ? 1 n ? 6k ? 2 n ? 6k ? 3 n ? 6k ? 4 n ? 6k ? 5 , k ? N ? ???????????????14 分

21、 (上海市长宁区 2010 年高三第二次模拟文科) (本题满分 16 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分, 第(2)小题 6 分) (1)设数列 ?a n ?为“凸数列” ,若 a1 ? 1, a 2 ? ?2 ,试写出该数列的前 6 项,并求出该 6 项之和; (2)在“凸数列” ?a n ?中,求证: a n ?3 ? ?a n , n ? N ;
?

设数列 ?a n ?中,若 a n ?1 ? a n ? a n ? 2 , (n ? N ) ,则称数列 ?a n ?为“凸数列” 。
?

(3)设 a1 ? a, a 2 ? b ,若数列 ?a n ?为“凸数列” ,求数列前 2010 项和 S 2010 。 21、解: (1) a1 ? 1, a 2 ? ?2 , a3 ? ?3, a 4 ? ?1 , a5 ? 2, a 6 ? 3 ,

? S6 ? 0 。
(2)由条件得 ?

??????????????????????4 分

? a n ?1 ? a n ? a n ? 2 ,??????????????? ??7 分 ?a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ?3
??????????????????????10 分

? a n?3 ? ?a n 。

(3)由(2)的结论,? a n ?6 ? ?a n ?3 ? a n ,即 a n ?6 ? a n 。??????12 分

a1 ? a, a2 ? b, a3 ? b ? a, a4 ? ?a, a5 ? ?b, a6 ? a ? b 。 ? S6 ? 0 。
??????????????????????14 分
?

由(2)得 S 6 n ? k ? S k , n ? N , k ? 1,?,6 。

? S 2010 ? S 335?6 ? 0 。 ??????????????????????16 分

20. (上海市普陀区 2010 年高三第二次模拟考试理科)(本题满分 14 分,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 已知数列 ? an ? 的首项为 1,前 n 项和为 S n ,且满足 an ?1 ? 3Sn , n ? N .数列 ?bn ? 满足 bn ? log 4 an .
*

(1) 求数列 ? an ? 的通项公式; (2) 当 n ? N 时,试比较 b1 ? b2 ? ? ? bn 与
*

1 2 ? n ? 1? 的大小,并说明理由. 2

解: (1) 由 a n?1 ? 3S n ? (1) , 得 a n ? 2 ? 3S n ?1 ? (2),由 (2)-(1) 得

a n ? 2 ? a n ?1 ? 3a n?1 , 整理得

an?2 ? 4 , n ? N* . a n ?1
[来源:Z+xx+k.Com]

所以,数列 a2 , a3 , a4 ,?, an ,?是以 4 为公比的等比数列. 其中, a2 ? 3S1 ? 3a1 ? 3 , 所以, an ? ?

n ? 1, ? 1, . n?2 * ?3 ? 4 , n ? 2, n ? N
? 0, n ? 1,
* ?log 4 3 ? ( n ? 2), n ? 2, n ? N

(2)由题意, bn ? ? 当 n ? 2 时,

.

b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 0 ? ? log 4 3 ? 0 ? ? ? log 4 3 ? 1? ? ? ? ? log 4 3 ? n ? 2 ?

? ? n ? 1? log 4 3 ? ?
?

n ?1 ? 2log 4 3 ? 1 ? (n ? 1)? 2

1 ? n ? 2 ?? n ? 1? 2

n ?1 ? 9 ? ? n ? 1? log 4 ? ? n ? 1? ? ? 2 ? 4 2 ? ?

2

开始 输入 b, n

所以, b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 又当 n ? 1 时, b1 ? 0 ,

? n ? 1?
2

2

.

1 2 ? n ? 1? ? 0 . 2

i ? 0, S ? b

故综上,当 n ? 1 时, b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

? n ? 1? ?
2
.

2

i ? i ?1

? 0;
S ?S? b 2i

当 n ? 2 时, b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

? n ? 1? ?
2

2

i?n

输出 S 结束



21. (上海市普陀区 2010 年高三第二次模拟考试理科)(本题满分 14 分,

其中第 1

第 21 题图

小题 8 分,第 2 小题 6 分) 一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下,每天销售量为 b 件. 经市场调查后得到如下规律:若 对产品进行电视广告的宣传,每天的销售量 S (件)与电视广告每天的播放量 n (次)的关系可用如图所 示的程序框图来体现. (1)试写出该产品每天的销 售量 S (件)关于电视广告每天的播放量 n (次)的函数关系式; (2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加 90% ,则每天电视广告的播放量至少 需多少次? 21. 解: 设电视广告播放量为每天 i 次时, (1) 该产品的销售量为 S i( 0 ? i ? n ,i ? N ) .[来源:Zxxk.Com]
*

i ? 0, ?b, ? 由题意, Si ? ? , b * ? Si ?1 ? 2i ,1 ? i ? n, i ? N ?
于是当 i ? n 时, Sn ? b ? ?

b ? 1 ? ?b b ? ( ? 2 ? ? ? n ? ? b ? 2 ? n ? , n ? N* ). 2 ? 2 ? ?2 2 ?

所以,该产品每天销售量 S (件)与电视广告播放量 n (次/天)的函数关系式为

1 ? ? S ? b ? 2 ? n ? , n ? N* . 2 ? ?
(2)由题意,有 b ? 2 ?

? ?

1 2n

? n * ? ? 1.9b ? 2 ? 10 ? n ? 4 .( n ? N ) ?

所以,要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量增加 90% ,则每天广告的播放量至少需 4 次.

22. (上海市普陀区 2010 年高三第二次模拟考试文科)(本题满分 18 分,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 已知数列 ? an ? 的首项为 1,前 n 项和为 S n ,且满足 an ?1 ? 3Sn , n ? N* .数列 ?bn ? 满足 bn ? log 4 an . (1) 求数列 ? an ? 的通项公式;

1 2 ? n ? 1? 的大小,并说明理由; 2 ? 1 * (3) 试判断:当 n ? N 时,向量 a ? ? an , bn ? 是否可能恰为直线 l : y ? x ? 1 的方向向量?请说明你的 2
(2) 当 n ? 2 时,试比较 b1 ? b2 ? ? ? bn 与 理由. 22.(文)解: (1) 由 a n?1 ? 3S n ? (1) , 得 a n ? 2 ? 3S n ?1 ? (2),由 (2)-(1) 得

a n ? 2 ? a n ?1 ? 3a n?1 , 整理得

an?2 ? 4 , n ? N* . a n ?1

所以,数列 a2 , a3 , a4 ,?, an ,?是以 4 为公比的等比数列. 其中, a2 ? 3S1 ? 3a1 ? 3 , 所以, an ? ?
[来源:Zxxk.Com]

n ? 1, ? 1, . n?2 * ?3 ? 4 , n ? 2, n ? N
? 0, n ? 1,
* ?log 4 3 ? ( n ? 2), n ? 2, n ? N

(2)由题意, bn ? ? 当 n ? 2 时,
[来源:Z_xx_k.Com]

.

b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 0 ? ? log 4 3 ? 0 ? ? ? log 4 3 ? 1? ? ? ? ? log 4 3 ? n ? 2 ?

? ? n ? 1? log 4 3 ? ?

n ?1 ? 2log 4 3 ? 1 ? (n ? 1)? 2

1 ? n ? 2 ?? n ? 1? 2

n ?1 ? 9 ? ? n ? 1? ? ?log 4 4 ? ? n ? 1? ? ? 2 ? 2 ?
所以, b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

2

2 ? ? (3)由题意,直线 l 的方向向量为 d ? (2,1) ,假设向量 a ? ? an , bn ? 恰为该直线的方向向量,则有

? n ? 1? ?

2

.

2bn ? an ,
当 n ? 1 时, a1 ? 1 , b1 ? 0 ,向量 a ? ?1, 0 ? 不符合条件; 当 n ? 2 时,由 2bn ? an ? 2 ? log 4 3 ? (n ? 2) ? ? 3 ? 4
n?2

?

? log 4 9 ? 3 ? 4n ?2 ? 2n ? 4 ,
而此时等式左边的 log 4 9 不是一个整数,而等式右边的 3 ? 4
* n?2

? 2n ? 4 是一个整数,故等式不可能成

立. 所以,对任意的 n ? N , a ? ? an , bn ? 不可能是直线 l 的方向向量 .

?

故等式不可能成立. 所以,对任意的 n ? N , a ? ? an , bn ? 不可能是直线 l 的方向向量.
*

?

22.(上海市松江区 2010 年 4 月高考模拟理科)(本题满分 16 分,其中第(1)小题 4 分,第(2)小题 8 分,第(3)小题 4 分)
n ?1 2 * , ) 为直角坐标平面上的点.对 n ? N , 若三点 n n

{ 设 {a n }, bn } 是两个数列,点 M (1,2), An (2, a n ) Bn (
M , An , Bn 共线,
(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若数列{ b n }满足: log 2 c n ?

a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn ,其中 {cn } 是第三项为 8,公比为 4 的等比数列. a1 ? a 2 ? ? ? a n

求证:点列 P1 (1, b1 ), P2 (2, b2 ),? Pn (n, bn ) 在同一条直线上; (3) 记数列 {a n } 、 b n }的前 m 项和分别为 Am 和 Bm , { 对任意自然数 n , 是否总存在与 n 相关的自然数 m , 使得 a n Bm ? bn Am ?若存在,求出 m 与 n 的关 系,若不存在,请说明理由.

2 ?2 a ?2 ? n 解: (1)因三点 M , An , Bn 共线,? n n ?1 2 ?1 ?1 n

????2 分

得 a n ? 2 ? 2(n ? 1) 故数列 {a n } 的通项公式为 an ? 2n ????4 分 (2)由题意 c n ? 8 ? 4 n ?3 ? 2 2 n ?3 , a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 由题意得 cn ? 2
a1b1 ? a2b2 ??? anbn a1 ? a2 ??? an

n(2 ? 2n) ? n(n ? 1) 2
????6 分

,? 2

2 n ?3

?2

a1b1 ? a2b2 ??? anbn a1 ? a2 ??? an

? 2n ? 3 ?

a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn , ? a1b1 ? a2 b2 ? ?an bn ? n(n ? 1)(2n ? 3) a1 ? a 2 ? ? ? a n

当 n ? 2 时, an bn ? n(n ? 1)(2n ? 3) ? (n ? 1)n(2n ? 5) ? n(6n ? 8) ????8 分[来源:学科网]

? an ? 2n ?bn ? 3n ? 4 .当 n=1 时, b1 ? ?1 ,也适合上式,
?bn ? 3n ? 4 (n ? N * )
因为两点 P、Pn 的斜率 K ? 1 ????10 分

bn ? b1 (n ? 1) ? 3 ? ? 3 (n ? N * ) 为常数 [来源:学科网 ZXX K] n ?1 n ?1

所以点列 P1 (1, b1 ), P2 (2, b2 ),? Pn (n, bn ) 在同一条直线上. ????12 分 (3)由 an ? 2n 得 Am ? 2m ?

m(m ? 1) ? 2 ? m2 ? m ; 2

bn ? 3n ? 4 得 Bm ? ?m ?
若 a n Bm ? bn Am ,则

m(m ? 1) 3 5 ? 3 ? m 2 ? m ???? 1 4 分 2 2 2

3 5 an Bm ? bn Am ? 2n( m 2 ? m) ? (3n ? 4)( m 2 ? m) ? 4m(m ? 1 ? 2n) 2 2

[来源:Z|xx|k.Com]

?m ?1

∴ m ? 2n ? 1

∴对任意自然数 n ,当 m ? 2n ? 1 时,总有 a n Bm ? bn Am 成立。????16 分 22.(上海市松江区 2010 年 4 月高考模拟文科)(本题满分 16 分,其中第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分) 已知在数列 ? an ? 中 a1 ? 1, a2 ? 2 ,数列 ? an ? 的奇数项依次组成公差为 1 的等差数列,偶数项依次组 成公比为 2 的等比数列,数列 ?bn ? 满足 bn ? (1)写出数列 ? an ? 的通项公式; (2)求 S n ; (3)证明:当 n ? 6 时, 2 ? Sn ?

a2 n ?1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n , a2 n

1 . n

? n ?1 ? n ?1 ? , n为奇数 ? 2 ? 2 , n ? 2k ? 1(k ? N ) 解: (1) an ? ? ;即 an ? ? ;???4 分 ? n ? n 2 2 n ? 2k ( k ? N ? ) ? 2 , n为偶数 ? 2 , a n (2) bn ? 2 n ?1 ? n ,???????????????????????? 5 分 a2 n 2 1 2 3 n Sn ? ? ? ? ? ? n , 2 4 8 2 1 1 2 3 n ?1 n Sn ?? ? ? ? ? ? n ? n?1 ,??????????????7 分 2 4 8 16 2 2 1 1 1 1 1 1 n 1 n 两式相减,得 Sn ? ?? ? ? ? ? ? n ? n?1 ? [1 ? ( )n ] ? n?1 , 2 2 4 8 16 2 2 2 2 1 n 所以, Sn ? 2 ? (n ? 2)( ) ;????????????????????10 分 2 1 n 1 2 n (3) 2 ? Sn ? (n ? 2)( ) ? ? n ? 2n ? 2 ,????????????? 12 分 2 n n n 0 1 2 n?2 n ?1 n 当 n ? 6 时, 2 ? (1 ? 1) ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn n(n ? 1)( n ? 2) ? 2 ? 2n ? n(n ? 1) ? ? 2 ? 2n ? n2 ? n ? n ? n2 ? 2n ,[来源:Zxxk.Com] 6
???????15 分

1 所以,当 n ? 6 时, 2 ? Sn ? .?????????????????16 分 n
(用数学归纳法证明,同样给分) 23. (上海市徐汇区 2010 年 4 月高三第二次模拟理科) (本题满分 18 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 设数列 ?an ?? n ? 1, 2,?? 是等差数列,且公差为 d ,若数列 ? an ? 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的 一项,则 称该数列是“封闭数列”.
[来源:学科网]

(1)若 a1 ? 4, d ? 2 ,判断该数列是否为“封闭数列” ,并说明理由?

(2)设 S n 是数列 ? an ? 的前 n 项和,若公差 d ? 1, a1 ? 0 ,试问:是否存在这样的“封闭数列” ,使

?1 1 1 ? 11 lim ? ? ? ? ? ? ? ;若存 在,求 ?an ? 的通项公式,若不存在,说明理由; n ?? S Sn ? 9 ? 1 S2
(3)试问:数列 ? an ? 为“封闭数列”的充要条件是什么?给出你的结论并加以证明. 23. (1)数列 ? an ? 是“封闭数列” ,因为: an ? 4 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 2 ,---------------1 分[来源:学科网] 对任意的 m, n ? N ,有
?

am ? an ? ? 2m ? 2 ? ? ? 2n ? 2 ? ? 2 ? m ? n ? 1? ? 2 ,---------------------------------------------3 分

[来源:学§科§网]

? m ? n ? 1? N ? 于是,令 p ? m ? n ? 1 ,则有 a p ? 2 p ? 2 ? ?an ? -------------------------4 分
? ?

[来源:学科网 ZXXK]

(2)解:由 ? an ? 是“封闭数列” ,得:对任意 m, n ? N ,必存在 p ? N 使[来源:Zxxk.Com]

a1 ? ? n ? 1? ? a1 ? ? m ? 1? ? a1 ? ? p ? 1? 成立,----------------------------------------------------5 分
于是有 a1 ? p ? m ? n ? 1 为整数,又? a1 ? 0 ? a1 是正整数。-------------------------------6 分 若 a1 ? 1 则 Sn ?

?1 1 1 n(n ? 1) ?? ? ,所以 lim ? ? n ?? S Sn 2 ? 1 S2

? 11 ? ? 2 ? ,-----------------------7 分 9 ?

若 a1 ? 2 ,则 Sn ?

?1 1 1 ? 11 n(n ? 3) ? ? ? ? ? ,------------------------8 分 ,所以 lim ? ? n ?? S Sn ? 9 2 ? 1 S2

若 a1 ? 3 ,则 S n ?

n(2a1 ? n ? 1) n ? n ? 3? ? ,于是 2 2
? 11 ? ? ,------------------------------------------9 分 ? 9

?1 1 1 1 2 ?? ? ? ,所以 lim ? ? n ?? S Sn S n n(n ? 3) ? 1 S2
综上所述, a1 ? 2,? an ? n ? 1 n ? N

?

?

。---------------- 10 分 ? ,显然,该数列是“封闭数列”

(3)结论:数列 ? an ? 为“封闭数列”的充要条件是存在整数 m ? ?1 ,使 a1 ? md .----12 分 证明: (必要性)任取等差数列的两项 as , at ? s ? t ? ,若存在 ak 使 as ? at ? ak ,则

2a1 ? ? s ? t ? 2 ? d ? a1 ? ? k ? 1? d ? a1 ? ? k ? s ? t ? 1? d
故存在 m ? k ? s ? t ? 1? Z ,使 a1 ? md ,---------------------------------------------------------14 分 下面证明 m ? ?1 。当 d ? 0 时,显然成立。

对 d ? 0 ,若 m ? ?1 ,则取 p ? ?m ? 2 ,对不同的两项 a1 , a p ,存在 aq 使 a1 ? a p ? aq , 即 2md ? ? ?m ? 1? d ? md ? ? q ? 1? d ? qd ? 0 ,这与 q ? 0, d ? 0 矛盾, 故存在整数 m ? ?1 ,使 a1 ? md 。--------------------------------------------------------------------16 分 (充分性)若存在整数 m ? ?1 使 a1 ? md ,则任取等差数列的 两项 as , at ? s ? t ? ,于是

as ? at ? a1 ? ? s ? 1? d ? md ? ? t ? 1? d ? a1 ? ? s ? m ? t ? 2 ? d ? as ? m?t ?1
由于 s ? t ? 3, m ? ?1? s ? t ? m ? 1 为正整数,? as ? m?t ?1 ? ?an ? 证毕.-- --------------------18 分 23. (上海市徐汇区 2010 年 4 月高三第二次模拟文科) (本题满分 18 分;第(1)小题 5 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 8 分) 设数列 ?an ?? n ? 1, 2,?? 是等差数列,且公差为 d ,若数列 ? an ? 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的 一项,则称该数列是“封闭数列”. (1)若 a1 ? 4, d ? 2 ,求证:该数列是“封闭数列” ; (2)试判断数列 an ? 2n ? 7 n ? N

?

?

,为什么? ? 是否是“封闭数列”

(3)设 S n 是数列 ? an ? 的前 n 项和,若公差 d ? 1, a1 ? 0 ,试问:是否存在这样的“封闭数列” ,使

?1 1 1 ? 11 lim ? ? ? ? ? ? ? ;若存在,求 ?an ? 的通项公式,若不存在,说明理由. n ?? S Sn ? 9 ? 1 S2
23. (1)证明: an ? 4 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 2 ,---------------------- ---------------------------1 分 对任意的 m, n ? N ,有[来源:学#科#网]
?

am ? an ? ? 2m ? 2 ? ? ? 2n ? 2 ? ? 2 ? m ? n ? 1? ? 2 ,---------------------------------------------3 分

? m ? n ? 1? N ? 于是 ,令 p ? m ? n ?1 ,则有 a p ? 2 p ? 2 ? ?an ? -------------------------5 分[来源:学科网
ZXXK] (2)? a1 ? ?5, a2 ? ?3,? a1 ? a2 ? ?8 ,---------------------------------------------------------7 分 令 an ? a1 ? a2 ? ?8 ? 2n ? 7 ? ?8 ? n ? ? 所以数列 an ? 2n ? 7 n ? N

1 ? N ? ,-----------------------------------------9 分 2

?

?

? 不是封闭数列;---------------------------------------------------10 分
? ?

(3)解:由 ? an ? 是“封闭数列” ,得:对任意 m, n ? N ,必存在 p ? N 使

a1 ? ? n ? 1? ? a1 ? ? m ? 1? ? a1 ? ? p ? 1? 成立,----------------------------------------------------11 分

[来源:学§科§网]

于是有 a1 ? p ? m ? n ? 1 为 整数,又? a1 ? 0 ? a1 是正整数。-------------------------------13 分 若 a1 ? 1 则 Sn ? 网 Z*X*X*K] 若 a1 ? 2 ,则 Sn ?

?1 1 1 ? 11 n(n ? 1) ? ? ? ? ? 2 ? ,-----------------------14 分[来源:学*科* , 所以 lim ? ? n ?? S Sn ? 9 2 ? 1 S2 ?1 1 1 ? 11 n(n ? 3) ? ? ? ? ? ,------------- -----------16 分 ,所以 lim ? ? n ?? S Sn ? 9 2 ? 1 S2

若 a1 ? 3 ,则 S n ?

n(2a1 ? n ? 1) n ? n ? 3? ,于是[来源:学科网 ZXXK] ? 2 2

?1 1 1 ? 11 1 2 ? ? ? ? ? ,------------------------------------------17 分 ,所以 lim ? ? ? n ?? S Sn ? 9 S n n(n ? 3) ? 1 S2
综上所述, a1 ? 2,? an ? n ? 1 n ? N

?

?

。---------------- 18 分 ? ,显然,该数列是“封闭数列”

20. (上海市闸北区 2010 年 4 月高三第二次模拟理科) (满分 19 分)本题有 3 小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 9 分. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 和数列 {an } 满足下列条件:

a1 ? a , a2 ? a1 ,当 n ? N ? 且 n ? 2 时, an ? f (an ?1 ) 且 f (an ) ? f (an ?1 ) ? k (an ? an ?1 ) .
其中 a 、 k 均为非零常数. (1)若数列 {an } 是等差数列,求 k 的值; (2)令 bn ? an ?1 ? an (n ? N ) ,若 b1 ? 1 ,求数列 {bn } 的通项公式; (3)试研究数列 {an } 为等比数列的条件,并证明你的结论. 说明:对于第 3 小题,将根据写出的条件所体现的对问题探究的完整性,给予不同的评分。 20. (1)由已知 an ? f (an ?1 ) , f (an ) ? f (an ?1 ) ? k (an ? an ?1 ) (n ? 2,3,4,? ? ?) ,得
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

[来源:学科网 ZXXK]

?

a n ?1 ? a n ? f (a n ) ? f (an?1 ) ? k (a n ? an?1 ) (n ? 2,3,4,? ? ?)
由数列 {an } 是等差数列,得 a n ?1 ? a n ? a n ? a n ?1 (n ? 2,3,4,? ? ?) 所以, a n ? a n ?1 ? k (a n ? a n ?1 ) , (n ? 2,3,4,? ? ?) ,得 k ? 1 .?????????5 分 (2)由 b1 ? a2 ? a1 ? 0 ,可得

b2 ? a3 ? a2 ? f (a2 ) ? f (a1 ) ? k (a2 ? a1 ) ? 0.

且当 n ? 2 时, bn ? an ?1 ? an ? f (an ) ? f (an ?1 ) ? k (an ? an ?1 ) ? ? ? ? ? k 所以,当 n ? 2 时,

n ?1

(a2 ? a1 ) ? 0

bn a ? an f (an ) ? f (an ?1 ) k (an ? an ?1 ) ? n ?1 ? ? ? k ,?????????4 分 bn ?1 an ? an ?1 an ? an ?1 an ? an ?1
因此,数列 {bn } 是一个公比为 k 的等比数列.????????????????1 分 (3)解答一:写出必要条件,如,由(1)知,当 k ? 1 时,数列 {an } 是等差数列, 所以 k ? 1 是数列 {an } 为等比数列的必要条件. ????????????3 分 解答二:写出充分条件,如 f ( x) ? 2 x 或 f ( x) ? ?2 x 等,并证明 ?????? 5 分 解答三: {an } 是等比数列的充要条件是 f ( x) ? kx (k ? 1) ????????2 分 充分性证明: 若 f ( x) ? kx (k ? 1) ,则由已知 a1 ? a ? 0 , an ? f (an ?1 ) (n ? 2,3,4,? ? ?) 得

an ? kan?1 (n ? 2,3,4,? ? ?)
所以, {an } 是等比数列.???????????????????????2 分 必要性证明:若 {an } 是等比数列,由(2)知, bn ? k
n ?1

(a2 ? a1 ) (n ? N ? )

b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ?1 ? (a2 ? a1 ) ? (a2 ? a1 ) ? ? ? ? ? (an ? an ?1 ) ? an ? a1 (n ? 2) , an ? a1 ? (b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ?1 ) . ????????????????1 分
当 k ? 1 时, an ? a1 ? (a2 ? a1 )( n ? 1) (n ? 2) . 上式对 n ? 1 也成立,所以 ,数列 {an } 的通项公式为:

an ? a ? ( f (a) ? a)(n ? 1) (n ? N ? ) .
所以,当 k ? 1 时,数列 {an } 是以 a 为首项, f (a) ? a 为公差的等差数列. 所以, k ? 1.??????????????????????????1 分

1 ? k n ?1 当 k ? 1时, an ? a1 ? (a2 ? a1 ) (n ? 2) . 1? k
上式对 n ? 1 也成立,所以,

an ? a ? ( f (a) ? a)
所以, a ?

1 ? k n ?1 f (a) ? a ( f (a) ? a)k n ?1 ????????1 分 ?a? ? 1? k 1? k 1? k

f (a) ? a ? 0 ? f (a) ? ka . ????????????????1 分 1? k

即,等式 f (a) ? ka 对于任意实数 a 均成立. 所以, f ( x) ? kx (k ? 1) .???????????????????????1 分 23. (2010 年 4 月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小 题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 定义: 如果数列 ? an ? 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长, 则称 ? an ? 为 “三角形” 数列. 对 于“三角形”数列 ? an ? ,如果函数 y ? f ( x) 使得 bn ? f (an ) 仍为一个“三角形”数列,则称 y ? f ( x) 是 数列 ? an ? 的“保三角形函数” (n ? N*) . , (1)已知 ?an ? 是首项为 2,公差为 1 的等差数列,若 f ( x) ? k , (k ? 1) 是数列 ? an ? 的“保三角形函数” ,
x

求 k 的取值范围; (2)已知数列 ?cn ? 的首项为 2010,Sn 是数列 ?cn ? 的前 n 项和, 且满足 4Sn ?1 ? 3Sn ? 8040 , 证明 ?cn ? 是 “三 角形”数列; (3) [文科] 若 g ( x) ? lg x 是(2)中数列 ?cn ? 的“保三角形函数” ,问数列 ?cn ? 最多有多少项. [理科] 根据 “保三角形函数” 的定义, 对函数 h( x) ? ? x ? 2 x ,x ? [1, A] , 和数列 1,1? d ,1 ? 2d ,
2

( d ? 0 )提出一个正确的命题,并说明理由. 23. (1)显然 an ? n ? 1 , an ? an ?1 ? an ? 2 对任意正整数都成立, 即 ?an ? 是三角形数列. ?? 2 分

因为 k>1,显然有 f (an ) ? f (an ?1 ) ? f (an ? 2 ) ? ??? ,由 f (an ) ? f (an?1 ) ? f (an ? 2 ) 得 k n ? k n?1 ? k n? 2 ,解 得k ?

1? 5 . 2 1? 5 ) 时, f ( x) ? k x 是数列 ? an ? 的“保三角形函数”. ?? 5 分 2

所以当 k ? (1,

[来源:学科网]

(2) 由 4Sn ?1 ? 3Sn ? 8040 得 4Sn ? 3Sn ?1 ? 8040 ,两式相减得 4cn ?1 ? 3cn ? 0

?3? 所以, cn ? 2010 ? ? ?4?

n ?1



经检验,此通项公式满足 4Sn ?1 ? 3Sn ? 8040

??7 分

显然 cn ? cn ?1 ? cn ? 2 ,因为 cn ?1 ? cn ? 2 ? 2010 ? ? ? 2010 ? ? 所以 ?cn ? 是“三角形”数列.

?3? ?4?

n

?3? ?4?

n ?1

?

21 ?3? ? 2010 ? ? 16 ?4?

n ?1

? cn ,

?? 10 分

(3) [文科] 因为 g(c n ) 是单调递减函数,所以,由 lg cn ?1 ? lg cn ? lg cn ? 2 得

3 3 3 lg 2010 ? (n ? 2) lg ? lg 2010 ? (n ? 1) lg ? lg 2010 ? (n ? 3) lg ??14 分 4 4 4 4 化简得 lg 2010 ? n lg ,解得 n ? 26.4 , 3
即数列 ?bn ? 最多 有 26 项. (3) [理科]
2

??18 分

探究过程: 函数 h( x) ? ? x ? 2 x , x ? [1, A] 是数列 1,1+d,1+2d (d ? 0) 的“保三角形

函数” ,必须满足三个条件: ①1,1+d,1+2d (d ? 0) 是三角形数列,所以 1 ? 1 ? d ? 1 ? 2d ,即 0 ? d ? 1 . ②数列中的各项必须在定义域内,即 1 ? 2d ? A . ③ h(1), h(1 ? d ), h(1 ? 2d ) 是三角形数列. 由于 h( x) ? ? x ? 2 x , x ? [1, A] 是单调递减函数,所以 h(1 ? d ) ? h(1 ? 2d ) ? h(1) ,解得 0 ? d ?
2
[来源:学科网 ZXXK]

5 . 5

评分建议[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 原则:从考生解答的整体结构上判断考生的思维水平、把握考生的得分层次.对于非完备性的探索包括指 向有误的探索,应坚持完成评卷. 1.没有写出命题,但有比较完整的探究过程,得分最高不超过 4 分. 2.写出“ h( x) ? ? x ? 2 x , x ? [1, A] 是数列 1,1+d,1+2d (d ? 0) 的‘保三角形函数’ 的必要条件之 ”
2

一或者充分条件之一(当??时, h( x) ? ? x ? 2 x , x ? [1, A] 是数列 1,1+d,1+2d (d ? 0) 的‘保三角形
2

函数’,并能适当说明理由,得分最高不超过 6 分. ) 3.能正确指出“当??时, h( x) ? ? x ? 2 x , x ? [1, A] 不是数列 1,1+d,1+2d (d ? 0) 的‘保三角形函
2

数’,并能适当说明理由,得分最高不超过 4 分.[来源:学科网 ZXXK] ” 4.考生解答出现上述 2、3 两条交叉情况的,以较高的得分赋分. 第一层次 ??????命题 4 分,证明 4 分. 示例 1: h( x) ? ? x ? 2 x , x ? [1, A] 是数列 1,1+d,1+2d (d ? 0) 的“保三角形函数”的充要条件是
2

1 ? 2d ? A, 0 ? d ?

5 . 5

证明: 必要性: 因为当 x=1 时, h(x)的最大值为 1, 则由 ?

?1 ? 1 ? d ? 1 ? 2d 5 得d ? ,且 1 ? 2d ? A . 5 ?h(1 ? d ) ? h(1 ? 2d ) ? 1

充分性:当 1 ? 2d ? A, 0 ? d ?

5 2 2 时, h(1) ? 1, h(1 ? d ) ? 1 ? d , h(1 ? 2d ) ? 1 ? 4d , 5
2 2

有 h(1) ? h(1 ? d ) ? h(1 ? 2d ) ? 0 , 且 h(1 ? d ) ? h(1 ? 2d ) ? (1 ? d ) ? (1 ? 4d ) ? 1 ? h(1) , 故 函 数 . h( x) ? ? x 2 ? 2 x , x ?[1, A] 是数列 1,1+d,1+2d (d ? 0) 的“保三角形函数” 综上,充要条件是 1 ? 2d ? A, 0 ? d ? 第二层次
2

5 . 5
????? 命题 3 分,证明 3 分.

示例 2: h( x) ? ? x ? 2 x , x ? [1, A] 是数列 1,1+d,1+2d (d ? 0) 的“保三角形函数”的必要条件是

0?d ?

5 . 5
?1 ? 1 ? d ? 1 ? 2d 5 得d ? . 5 ?h(1 ? d ) ? h(1 ? 2d ) ? 1
????? 命题 2 分,证明 2 分.

解:在 1 ? 2d ? A 条件下, 因为当 x=1 时,h(x)的最大值为 1,则由 ? 第三层次

示例 3:当 1 ? 2d ? A 时,显然 y ? h( x) 不是数列 1,1+d,1+2d (d ? 0) 的“保三角形函数”. 因为,此时 h(1 ? 2d ) 不存在.


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