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导数与函数的单调性、极值、最值(竞赛02)


导数与函数的单调性、极值、最值、应用
班级 __________ 姓名 __________

复习:

C ' ? _________ ;

( x n ) ? _________ ; (sin x)' ? _________ ; (cos x)' ? _________ ; '

;

(ln x)' ? _________ ; (loga x)' ? _________ ; (e x ) ' ? _________ ;
知识点一:导数与函数的单调性

( a x ) ? _________ . '

一般地,设函数 y ? f (x) 在某个区间内有导数,若在该区间内 y? ? 0 ,则函数 y ? f (x) 在该区 间内是增函数;若在该区间内 y? ? 0 ,则函数 y ? f (x) 在该区间内是减函数.

例 1.判断下列函数的的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x) ? x3 ? 3x ; (3) f (x) ? sin x ? x, x ?(0, ? ) ; (2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ; (4) f ( x) ? 2 x3 ? 3x 2 ? 24 x ? 1 .

要点:用导数求函数单调区间的三个步骤: ① 求函数 f (x) 的定义域与导数 f ?( x) ; ② f ?(x) ? 0 ,解不等式得 x 的范围即为增区间; 令 ③ f ?(x) ? 0 ,解不等式得 x 的范围即为减区间. 令

问题 1:若在某个区间内恒有 f ?(x) ? 0 ,则函数 f (x) 有什么特性?

例 2.已知导函数有下列信息: ①当 1 ? x ? 4 时, f ?(x) ? 0 ; ②当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ?(x) ? 0 ; ③当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ?(x) ? 0 ; 试画出函数 f (x) 图像的大致形状.

1

例 3.如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像.

练习 1.判断下列函数的的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 4 ; (3) f ( x) ? 3x ? x3 ; (5) f ( x) ? x ? cos x, x ? (0, (2) f ( x) ? e x ? x ; (4) f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ;

?
2

).

练习 2.求证:函数 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x 2 ? 7 在 (0, 2) 内是减函数.

知识拓展一 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函 数在这个范围内变化得快,这时,函数的图像就比较“陡峭”(向上或 向下) ;反之,函数的图像就“平缓”一些.如图,函数 y ? f (x) 在 (0, b) 或 (a,0) 内的图像“陡峭”,在 (b, ??) 或 (??, a) 内的图像“平缓”.
2

知识点二:导数与函数的极值 问题 2: 如图, 函数 y ? f (x) 在 a, b, c, d, e, f , g, h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?

y ? f (x) 在这些点的导数值是多少?在这些点附近, y ? f (x) 的导数的符号有什么规律?

观察:函数 y ? f (x) 在点 x ? a 的函数值 f (a) 比它在点 x ? a 附近其它点的函数值都 _____ ,

f ?(a) ? _____ ;且在点 x ? a 附近的左侧 f ?( x) _____ 0,右侧 f ?( x) _____ 0;
类似地, 函数 y ? f (x) 在点 x ? b 的函数值 f (b) 比它在点 x ? b 附近其它点的函数值都 _____ ,

f ?(b) ? _____ ;而且在点 x ? b 附近的左侧 f ?( x) _____ 0,右侧 f ?( x) _____ 0.
定义:我们把点 a 叫做函数 y ? f (x) 的极小值点, f (a) 叫做函数 y ? f (x) 的极小值;点 b 叫做函数

y ? f (x) 的极大值点, f (b) 叫做函数 y ? f (x) 的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点,
极大值、极小值统称为极值.极值反映函数在某一点附近的 _____ ,刻画的是函数的 _____

注意:①函数的极值 _____ (填:是,不是)唯一的; ②一个函数的极大值是否一定大于极小值 _____ ; ③极值点一定出现在区间的 ___ (内,外)部,区间的端点 ___ (能,不能)成为极值点. ④极值点与导数为 0 的点的关系:导数为 0 的点是否一定是极值点? _____ 比如:函数 f ( x ) ? x 3 在 x = 0 处的导数为 _____ ,但它 _____ (是或不是)极值点. 即:导数为 0 是点为极值点的 _______________ 条件.

1 例 4.求函数 y ? x3 ? 4x ? 4 的极值. 3

3

要点:求可导函数 f (x) 的极值的步骤:
( ( ①确定函数的定义域;②求导数 f ? x) ;③求方程 f ? x) = 0 的根;

④用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格;
( 检查 f ? x) 在方程根左右的值的符号,若左正右负,则 f (x) 在这个根处取得极大值;

若左负右正,则 f (x) 取得极小值;若左右不改变符号,则 f (x) 在这个根处无极值.
例 5.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 9 x ? 11 ; (1)写出函数的递减区间; (2)讨论函数的极大值和极小值,如有,试写出极值; (3)画出它的大致图像.

练习 3.求下列函数的极值: ① f ( x) ? 6 x 2 ? x ? 2 ; ② f ( x) ? x3 ? 27 x ;

③ f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3 ;

④ f ( x) ? 3 x ? x 3 .

知识拓展二

4

函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点;由些可见:“有极值但不一定可导”. 知识点三:导数与函数的最值 一般地,在闭区间 [a, b] 上连续的函数 f (x) 在 [a, b] 上必有最大值与最小值. 观察:

上图的极大值点 _____ ,为极小值点为 _____ ;最大值为 _____ ,最小值为 _____ . 注意: 1.最值是比较整个定义域内的函数值得出的;极值是比较极值点附近函数值得出的. 2.函数 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续,是 f (x) 在闭区间 [a, b] 上有最大值与最小值的 _____ 条件. 3. 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而极值可能不止一个,可能一个没有.

例 6.求函数 f ( x) ?

1 3 x ? 4 x ? 4 在 [0, 3] 上的最大值与最小值. 3

例 7.已知 f ( x) ? log 3

x 2 ? ax ? b , x ? (0, x

) ,是否存在实数 a 、 b ,使 f (x) 同时满足下列两个

条件:① f (x) 在 (0, 1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数;② f (x) 的最小值是 1; 若存在,求出 a 、 b ,若不存在,说明理由.

5

例 8.设

6 3 2 , ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? b 在区间 [?1, 1] 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 2 3

求函数的解析式.

要点:设函数 f (x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,则求 f (x) 在 [a, b] 上的最值的步骤如下: ① f (x) 在 (a, b) 内的极值; 求 ② f (x) 的各极值与 f (a) 、 f (b) 比较得出函数 f (x) 在 [a, b] 上的最值. 将

练习 4.设 a 为常数,求函数 f ( x) ? ? x3 ? 3ax (0 ? x ? 1) 的最大值.

练习 5.已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x 2 ? 9 x ? a , (1)求 f (x) 的单调区间; (2)若 f (x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.

知识拓展三 利用导数法求最值, 实质是在比较某些函数值来得到最值, 因此我们可以在导数法求极值的思 路的基础上进行变通.令 f ?(x) ? 0 得到方程的根 x1 , x2 , L ,直接求得函数值,然后去与端点的
6

函数值比较就可以了,省略了判断极值的过程.故导数法与函数的单调性结合,也可以求最值. 知识点四:生活中优化问题举例

例 9. 在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去边长都为 x 的小正方形, 再把它的边沿虚线折起 (如 图) ,做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多少?
x x 60 x x

60

例 10.班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报, 要求版心面积为 128 dm2 ,上、下两边各空 2 dm ,左、右两边各空 1 dm ;如何设计海报的 尺寸,才能使四周空白面积最小?

练习 6.如图用铁丝弯成一个上面是半圆,下面是矩形的图形,其面积为 a m 2 ,为使所用材料最 省,底宽应为多少?

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要点: ①解有关函数最大值、最小值的实际问题,需要分析问题中各个变量之间的关系,找出适当的 函数关系式,并确定函数的定义域;所得结果要符合问题的实际意义. ②根据问题的实际意义来判断函数最值时, 如果函数在此区间上只有一个极值点, 那么这个极 值就是所求最值,不必再与端点值比较. ③相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单.

练习 7.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 0.8? r 2 分,其中 r 是瓶子的 半径,单位是厘米.已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶 子的最大半径为 6 cm .问: ①瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? ②瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?

练习 8.已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C ? 100 ? 4q ,价格 p 与产量 q 的函数关 系式为: p = 25 -

1 q ;求产量 q 为何值时,利润 L 最大? 8

8


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