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1.2.1-1任意角的三角函数


1.2

任意角的三角函数

1.2.1

任意角的三角函数
第一课时

问题提出

1.角的概念是由几个要素构成的,具体 怎样理解?
(1)角是由平面内一条射线绕其端点从一 个位置旋转到另一个位置所组成的图形. (2)按逆时针方向旋转形成的角为正角, 按顺时

针方向旋转形成的角为负角,没有 作任何旋转形成的角为零角.

(3)角的大小是任意的.

b = a + 2k p (k ? Z )

2.什么叫做1弧度的角?度与弧度是怎 样换算的?
(1)等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角. (2)180°= ? rad.

3. 与角α 终边相同的角的一般表达式 是什么?
β =α +k·360°(k∈Z)或

b = a + 2k p (k ? Z )

4.如图,在直角三角形ABC中,sinα , cosα ,tanα 分别叫做角α 的正弦、余 弦和正切,它们的值分别等于什么?
BC sin a = AB
BC t an a = AC

AC cos a = AB

B α

C

A

5.当角α 不是锐角时,我们必须对 sinα ,cosα ,tanα 的值进行推广, 以适应任意角的需要.

知识探究(一):任意角的三角函数
思考1:为了研究方便,我们把锐角α 放到直角坐标系中,并使角α 的顶点与 原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合. 在角α 的终边上取一点P(a,b),设点 P与原点的距离为r,那么,sinα , cosα ,tanα 的值分别如何表示?

sin cos tan? ?? ?

b A sin ? ? y r P(a,b) a r cos ? ? r α b B o x tan ? ? a 思考2:对于确定的角α ,上述三个比值 是否随点P在角α 的终边上的位置的改变 而改变呢?为什么?
b b a r a r

思考3:为了使sinα ,cosα 的表示式更 简单,你认为点P的位置选在何处最好? 此时,sinα ,cosα 分别等于什么?

sin ? ? b
cos ? ? a
b tan ? ? a
o

y

1
α

P(a,b)

x

思考4:在直角坐标系中,以原点O为圆 心,以单位长度为半径的圆称为单位圆. 对于角α 的终边上一点P,要使|OP|=1, 点P的位置如何确定?
α 的终边

y

P

O

x

思考5:设α 是一个任意角,它的终边 与单位圆交于点P(x,y),为了不与 当α 为锐角时的三角函数值发生矛盾, 你认为sinα ,cosα ,tanα 对应的值 应分别如何定义?

sin ? ? y
cos ? ? x

α 的终边 P(x,y)

y

O

y tan ? ? ( x ? 0) x

x

思考6:对于一个任意给定的角α ,按 照上述定义,对应的sinα ,cosα , tanα 的值是否存在?是否惟一?

sin ? ? y
cos ? ? x

α 的终边
P(x,y)

y

O

y tan ? ? ( x ? 0) x

x

cos ? ? x , 思考7:对应关系 sin ? ? y , y tan ? ? ( x ? 0) 都是以角为自变量,以单位圆
x

上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数, 并统称为三角函数,在弧度制中,这三个三 角函数的定义域分别是什么? 正、余弦函数的定义域为R, 正切函数的定义域是 {a 喂R | a
p + k p, k ? Z } 2

思考8:若点P(x,y)为角α 终边上任 意一点,那么sinα ,cosα ,tanα 对应 的函数值分别等于什么?
sin ? ?
tan ? ? y x

y x ?y
2 2

y

cos ? ?

x x ?y
2 2

O

x
P(x,y)

y tan ? ? x

知识探究(二):三角函数符号与公式 思考1:当角α 在某个象限时,设其终 边与单位圆交于点P(x,y),根据三 角函数定义,sinα ,cosα ,tanα 的 函数值符号是否确定?为什么?

sin ? ? y
cos ? ? x

α 的终边

y

P(x,y)

y tan ? ? ( x ? 0) x

O

x

思考2:设α 是一个任意的象限角,那么 当α 在第一、二、三、四象限时,sinα 的取值符号分别如何?cosα ,tanα 的 取值符号分别如何?

sin ? ? y
cos ? ? x
y tan ? ? ( x ? 0) x

思考3:综上分析,各三角函数在各个象限 的取值符号如下表:
三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 ?
cos

sin ?
cos? ? sin

+
+

+






cos?
tan ?

- +

+ -

+



你有什么办法记住这些信息?

思考4:如果角α 与β 的终边相同,那么 sinα 与sinβ 有什么关系?cosα 与cosβ 有 什么关系?tanα 与tanβ 有什么关系? 思考5:上述结论表明,终边相同的角的同 名三角函数值相等,如何将这个性质用一组 数学公式表达? 公式一: sin(? ? 2k? ) ? sin ?
cos(? ? 2k? ) ? cos ?

k ?Z

( k ? Z) tan(? ? 2k? ) ? tan ?

2p

思考6:若sinα =sinβ ,则角α 与β 的 终边一定相同吗?

思考7:在求任意角的三角函数值时,上 述公式有何功能作用?
2p

可将求任意角的三角函数值,转化为求0~2p (或0°~360°)范围内的三角函数值.
思考8:函数的对应形式有一对一和多对一两 种,三角函数是哪一种对应形式?

理论迁移

例1 求
5? 3

5? 的正弦、余弦和正切值 . 3

y x

y x O
1 3 P( ,) 2 2
P(-3,-4)

O

例2 已知角的终边过点P(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值.

例3 求证:当且仅当不等式组
?sin ? ? 0 成立时,角θ 为第三象限角. ? ? tan ? ? 0

例4 确定下列三角函数值的符号. ? ? ? (1)cos 250 ;(2)sin(? ) ;(3)tan(?672 ) ;
4
(4 ) tan3?

9? ; (5)cos 4

11? tan(? ) ; (6 ) 6

.

小结作业

1.三角函数都是以角为自变量,在弧度 制中,三角函数的自变量与函数值都是 在实数范围内取值.

2.三角函数的定义是三角函数的理论基 础,三角函数的定义域、函数值符号、 公式一等,都是在此基础上推导出来的.

3.若已知角α的一个三角函数符号,则 角α所在的象限有两种可能;若已知角 α的两个三角函数符号,则角α所在的 象限就惟一确定.
4.一个任意角的三角函数只与这个角的 终边位置有关,与点P(x,y)在终边上 的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈 周期性变化,即角的终边绕原点每旋转 一周,函数值重复出现.

作业:

P15 练习:1,2,5,7.
3,4,6 做在书上


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