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【金版学案】2013-2014学年度高中数学 1.1.1 集合的含义与表示同步辅导与检测课件 新人教A版必修1


集合与函数概念

1.1 1.1.1





集合的含义与表示

1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的 “属于”关系. 2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或 描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作 用.

基础梳理

1.集合的含义:把研究对象统称为________,把一些 元素组成的总体叫做________(简称为________).

2.元素与集合的关系:如果x是集合A中的元素,则说x 属于集合A,记作________;若x不是集合A中的元素,就说x 不属于集合A,记作________.
3.集合中元素的三个特征: (1)确定性:给定集合A,对于某个对象x,“x∈A”或 “x?A”这两者必居其一且仅居其一. (2)互异性:集合中的元素________. (3)无序性:在一个给定的集合中,元素之间 ________. 1.元素 集合 集 2.x∈A x?A 3.(2)互不相同, 不允许重复 (3)无先后次序之分

4.集合的表示 (1)把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示 集合的方法称为:________. (2)把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号 内表示集合的方法称为:________.常用形式是:{x|p},竖 线前面的x叫做集合的代表元素,p表示元素x所具有的公共 属性. (3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合,这种图 形称为:________.用Venn图、数轴上的区间及直角坐标平 面中的图形等表示集合的方法称为:________. 4.(1)列举法 (2)描述法 (3)Venn图 图示法

5.常用集合的符号表示

实数集 正实数集 有理数集 整数集 自然数集 正整数集 6.最小的自然数是0.
例如:小于5的自然数分别为______________. 7.含有有限个元素的集合叫有限集,含有无限个元素 的集合叫无限集. 例如:大于0小于1的实数构成的集合是有限集还是无限 集?________ 例如:小于3的自然数集用列举法表示为________; 用描述法表示为__________________________. 5.R;R+;Q;Z;N;N+或N* 6.0、1、2、3、4 7.无 限集 例如:{0,1,2};{x|x<3且x∈N} 或{小于3的自然数}.

思考应用 1.{a}与a有何不同?

解析:符号{a}与a所表达的含意是不同的.{a}是用列
举法表示的一个集合,这个集合只有一个元素a,而后者可 看成是集合{a}的一个元素. 2.{实数集}与{实数}是一样的含义吗? 解析:{实数集}与{实数}是用语言描述的两个集合.集 合 { 实数 } 的元素是实数,表示所有实数构成的集合,它所 表示的就是实数集;而 { 实数集 } 的元素是实数集,是以集 合为元素的一个集合,并且只有实数集这个元素.

3.已知x∈R,集合{(x,y)|y=x2+1}与集合{y|y=x2+ 1}的含义有何不同?

解析:这是用描述法表示的两个集合,这两个集合元素 不同,含义不同.
集合{(x,y)|y=x2+1}中的元素是坐标平面上的点(x,y), 这些点的坐标满足等式:y=x2+1,这些点都在二次函数y= x2+1的图象上,并且凡是二次函数y=x2+1图象上的点都是 这个集合的元素.故集合{(x,y)|y=x2+1}表示二次函数y= x2+1的图象的所有点构成的集合.集合{y|y=x2+1}中的元 素是实数y,这些实数可以表示成某个实数的平方再加上1, 即这些实数y可写成x2+1的形式,并且凡是可写成x2+1这种 形式的实数都是这个集合的元素.因此集合{y|y=x2+1}表示 的是所有不小于1的实数构成的集合.

自测自评 1.下列各组对象:(1)高中数学中所有难题;(2)所有偶 数;(3)平面上到定点O距离等于5的点的全体;(4)全体著名 的数学家.其中能构成集合的个数为( B ) A.1 B.2 C.3 D.4

2.给出三个命题:①集合{a,b}可以写成{b,a};② 方程4x2-4x+1=0的解集可以表示为;③“很小的数”构 成一个集合.其中正确命题的个数是 ) B(
A.0
2

B.1

C.2

D.3

3.实数2 2 与集合{x|1<x<3}的关系为 2∈{x|1<x<3}. __________

集合中元素的特性 关于集合元素的特征: (1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象, 则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且 只有一种成立. (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的 互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一 元素. (3)无序性:用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.

由此可判断下列命题的正误:
①高个子同学可组成集合( );②{1,2}={2,1}( ) ;③ {1,2}={(1,2)}( );④0∈N( );⑤2∈{1,2} ( );⑥方程x(x -1)2=0的解集为{0,1,1}( ).

解析:①错(不符合元素的确定性); ②对(集合元素是无序的);

③错(第一个集合有两个元素,都是数,一个是1, 另一个是2;第二个集合是一个元素点(1,2),即两集合不 相等.) ④对(元素与集合间关系);
⑤对(元素与集合间关系); ⑥错(不符合元素的互异性,应写为{0,1}). 答案:错;对;错;对;对;错

跟踪训练 1.(1)选用适当的符号填空: A={x|2x-3<3x}, 则有:-4______A,-2______A. (2)说出下列三个集合的含义: ①{x|y=x2};

②{y|y=x2};
③{(x,y)|y=x2}. (1)? ∈ (2)解析:①{x|y=x2}表示满足y=x2的x的取值范围;

②{y|y=x2}表示满足y=x2的y的取值范围;
③{(x,y)|y=x2}表示抛物线y=x2的图象.

元素与集合的关系 所给下列关系正确的个数是( ①- 1 ∈R;②
2

)

2 ?Q;③0∈N+;④|-3|?N+.
C.3 D.4

A.1 解析: -

B.2
1 是实数, 2

2 是无理数,∴①②正确.N+

表示正整数,∴③和④不正确. 答案:B

跟踪训练 2.下列说法正确的是( B ) A.若a∈N,b∈N,则a-b∈N B.若x∈N+,则x∈Q C.若x≥0,则x∈N D.若x?Z,则x?Q

集合的表示法 分别用列举法和描述法表示方程x2-3x+2=0

的解.
解析:∵x2-3x+2=0的两解为x1=1,x2=2.

∴列举法表示为:{1,2};
描述法表示为:{x|x2-3x+2=0}.

跟踪训练

3.用列举法表示下列集合. (1)A={x|x=|x|,x∈Z 且 x<8}; ? ? ? ? ? |a| |b| (2)B=?x x= a + b , a,b为非零实数?; ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 ? (3)C=?x 3-x ∈Z,x∈N+?. ? ? ? ? ?
分析:(1)根据x的范围解方程;(2)根据绝对值的意义化
6 简;(3)所求x满足两个条件:①x是正整数,②x使 3-x 为整

数.

解析:(1)∵x=|x|,∴x≥0.又x∈Z且x<8, ∴{x|x=|x|,x∈Z且x<8}用列举法表示为

{0,1,2,3,4,5,6,7}.
(2)当a>0,b>0时,x=2,当a<0,b<0时,x=-2,

当a、b异号时,x=0.∴B={-2,0,2}.
(3)由题意知3-x=±1,±2,±3,±6, ∴x=0,-3,1,2,4,5,6,9 又x∈N+,∴C={1,2,4,5,6,9}.

注意集合中元素的互异性 已知集合A={1,3,a2},若3a-2∈A,求实数 a的取值集合. 解析:由3a-2=1得:a=1,此时a2=1,集合A中有 两个相同的元素,故a≠1;

5 ,满足条件; 3 由3a-2=a2解得:a=1(舍去)或a=2,满足条件. ? 5? 故所求实数a的取值集合为 ?2, ? . 3? ? 点评:因集合A={1,3,a2}有三个元素,故所求a值应 满足a2≠1且a2≠3,即保证集合元素的互异性.
由3a-2=3解得:a=

跟踪训练 4.(1)若2∈{1,x,x2+x},则实数x的值是_____.
(2)已知集合A={2,x2-2x-1},求实数x的取值范

围. 解析:(1)∵2∈{1,x,x2+x},
∴x=2或x2+x=2得x=±2或x=1. 当x=2时,{1,x,x2+x}={1,2,6},

当x=-2时,{1,x,x2+x}={1,-2,2}.
当x=1时,{1,x2,x2+x}={1,1,2}不满足互异性. ∴x的值是±2

(2)由集合元素互异性可知,x2-2x-1≠2,
即x2-2x-3≠0,得x≠-1且x≠3. ∴x的取值范围是{x∈R|x≠-1且x≠3}.

一、选择填空题 1.集合{x∈N+|x<5}的另一种表示法是( B )

A.{0,1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5}

B.{1,2,3,4}
D.{1,2,3,4,5}

2.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是( D ) A.{x|-3<x<11,x∈Q} B.{x|-3<x<11} C.{x|-3<x<11,x=2k,k∈N} D.{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z}

1.理解集合的含义需把握三个关键词:(1)指定;(2) 对象;(3)集在一起.把“指定的对象” 集在一起就构成 了一个集合,所有被“指定的对象”都是这个集合的元素, 没有被“指定的对象”都不是这个集合的元素. 2.要理解和认识给定的集合需抓住“元素”,明确 其元素是什么?有何性质?集合中的元素必须是确定的, 不能含混不清、模棱两可;集合中的元素必须是互不相同 的,相同的元素在集合中只能算一个. 3.用列举法表示集合时要注意集合中的元素不重不 漏; 用描述法表示集合时应注意集合与它的代表元素所 采用的字母名称无关,而与代表元素的形式以及所具有的 性质相关.有时要把用描述法表示的集合用列举法、图示 法来表示,使抽象问题具体化、形象化.


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