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2014年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(二)数学文科


2014 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考(二) 数 学(文)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 祝各位考生考试顺利! 第 I 卷(选择题,共 40 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的题目的答

案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再填涂其它答案,不能答在试卷上。 参考公式:
? 柱体的体积公式 V
? 锥体的体积公式 V

? Sh . 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高.
1 ? Sh . 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3

一、选择题(本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 个是正确的) 1. 在复平面内,复数

i?2 的对应点位于( i



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 4,则判断框内 m 的取值范围是( A.(2,6] B.(6,12] C.(12,20] D.(2,20)



? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 3.已知实数 x, y 满足 ? ,则 z ? 3x ? 4 y ? 2 的最大 x ? 2, ? y ? 1, ?
值为( A. 8 ) B. 6
2 2

C. 5

D. 1 )

4. 设 x, y ? R , 则 “x ? y ?9”是 “ x ? 3 且 y ? 3” 的 ( A.充分不必要条件 C.充分必要条件
2 2

B.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件

5. 已知双曲线 直线 x ?

x y - 2 =1 ( a ? 0,b ? 0 ) 的右焦点为 F ? c,0 ? , 2 a b

4a a2 a2 2 x 与一条渐近线交于点 A, △ OAF 的面积为 ( O 为原点) , 则抛物线 y ? b c 2
)
数学(文科)试卷 第 1 页 共 10 页

的焦点坐标为(

A. ? 0,0 ?

B. ?

?1 ? ,0 ? ?2 ?
? ?

C. ? 1,0 ?

D. ? 2,0 ?

6.函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ?

??

? ? 的最小正周期是 ? ,若其图像向右平移 3 个单位 2?


后得到的函数为奇函数,则函数 f ? x ? 的图像( A.关于点 ?

?? ? ,0 ? 对称 ? 12 ?

B.关于直线 x ?

?
12

对称

C.关于点 ?

? 5? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?

D.关于直线 x ?

5? 对称 12


7.若 a 是 1 ? 2b 与 1 ? 2b 的等比中项,则

2ab 的最大值为( | a | ?2 | b |
C.

A. 1

B.

2 2

2 4

D.

1 4

?2 x 2 ? 3x ? 1 x ? 1 8.已知函数 f ( x) ? ? ,关于 x 的方程 f ( x) ? m(m ? R) 恰有三个互不相等 2 x ?1 ? ?x ? x
的实数根 x1 , x 2 , x3 ,则 x1 + x 2 + x3 的取值范围是( A. ( , )

3 8? 6 ) 4 4

( , B.

5 8? 6 ) 2 4

( 1, C.

2? 6 ) 4

D. ( ,

5 11 ? 6 ) 2 4

第Ⅱ卷 (非选择题,共 110 分) 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上.
2 9.若集合 A ? x x ? 2 ? 3, x ? R , B ? y | y ? 1 ? x , y ? R ,则 A∩B =___________.

?

?

?

?

10.一几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为_____. 11 .在 圆 C : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 7 ? 0 上总 有四个 点到 直线
2 2

l : 3x ? 4 y ? m ? 0 的 距 离 是 1 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是
____________. 12.在边长为 1的正方形 ABCD 中, M 为 BC 的中点,点 E 在 线段 AB 上运动,则 EC ? EM 的最大值为___________.
数学(文科)试卷 第 2 页 共 10 页

13.如图, ?ABC 内接于⊙ O , AB ? AC ,直线 MN 切⊙ O 于点 C ,弦 BD / / MN , AC与BD 相交 于点 E .若 AB ? 6, BC ? 4,则DE ? _____. 14.已知 f ( x) 是定义域在实数集 R 上的偶函数,

?x1 ? 0, x2 ? 0 ,若 x1 ? x2 ,则
1 3

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0, x2 ? x1

如果 f ( ) ?

3 , 4 f (log1 x) ? 3 ,那么 x 的取值范围为 4 8

_____________. 三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分)某公司销售 A 、 B 、 C 三款手机,每款手机都有经济型和豪华型两种 型号,据统计 12 月份共销售 1000 部手机(具体销售情况见下表) C 款手机 A 款手机 B 款手机 y x 200 经济型 z 150 160 豪华型 0 . 21 1000 已知在销售 部手机中,经济型 B 款手机销售的频率是 . (Ⅰ)现用分层抽样的方法在 A 、 B 、 C 三款手机中抽取 50 部,求在 C 款手机中抽取多少部? (Ⅱ)若 y ? 136, z ? 133,求 C 款手机中经济型比豪华型多的概率.

16.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, a , b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 3 cos A cosC (tan A tanC ? 1) ? 1 . (Ⅰ)求 sin( 2 B ?

5? 3 3 ) 的值;(Ⅱ)若 a ? c ? , b ? 3 ,求 ?ABC 的面积. 6 2
A

17.(本小题满分 13 分) 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 点 D 是 BC 的中点, BC ? BB1 . (Ⅰ)求证: A1C ∥平面 AB1 D ;
B D A1

C

(Ⅱ)求异面直线 A1C 与 B1 D 所成角的余弦值; (Ⅲ)若 M 为棱 CC1 的中点,求证: MB ? AB1 .
B1 C1

数学(文科)试卷

第 3 页 共 10 页

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点与抛物线 C : x 2 ? 4 3 y 2 a b 1 的焦点重合, F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点,且离心率 e ? , 过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 2 C 交于 M、N 两点.
18. (本小题满分 13 分)设椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 OM ? ON ? ?2 .求直线 l 的方程; (Ⅲ)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦, MN // AB ,求证:

| AB |2 为定值. | MN |

19. (本小题满分 14 分)设数列 ?an ?满足

a n ?1 ? q, 且q ? 0 ,数列 ?bn ?满足 an
3m ,其中 m ? 0 . 2

bn ? na1 ?(n ? 1)a 2 ?(n ? 2)a 3 ? ? ? 2an ?1 ? an (n ? N * ) ,已知 b1 ? m, b2 ?
(I)当 m ? 1 时,求 bn ;

(II)设 sn 为数列 ?an ?的前 n 项和,若对于任意的正整数 n,都有 sn ? 4 s n ?3 ? 0 恒成立,求
2

实数 m 的取值范围.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x( x ? a) ,g ( x) ? ? x ? (a ?1) x ? a(其中 a 为常数) .
2

2

(Ⅰ)如果函数 y ? f ( x ) 和 y ? g ( x) 有相同的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? (a ? a ? 3) x 恒成立,求 a 的取值范围;
2

(Ⅲ)记函数 H ( x) ? [ f ( x) ? 1] ? [ g ( x) ? 1] ,若函数 y ? H ( x) 有 5 个不同的零点,求实数 a 的 取值范围.

数学(文科)试卷

第 4 页 共 10 页

2014 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考(二) 数学试卷(文科) 评分标准 一、选择题:本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 C 6 D 7 C 8 B D B A B 答案 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.[-1,1]; 10. 200 ? 9? ; 11. ( ?17,3) ; 12. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.

3 20 ?1 ? ; 13. ; 14. ? , 2 ? 2 9 ?2 ?

x ? 0.21 ,所以 x ? 210 ???2 分 1000 所以手机 C 的总数为: y ? z ? 1000? ?150? 200? 160? 210? ? 280 ???3 分 , 现用分层抽样的方法在在 A 、 B 、C 三款手机中抽取 50 部手机,应在 C 款手机中抽取手机数为: 50 ? 280 ? 14 (部). ???5 分 1000 (II)设“ C 款手机中经济型比豪华型多”为事件 A , C 款手机中经济型、豪华型手机数记为 ( y , z ) ,因为 y ? z ? 280 , y, z ? N* ,满足事件 y ? 136, z ? 133的基本事件有: (136,144) , (137,143) , (138,142) , (139,141) , (140,140) , (141,139) , (142,138) , (143,137) , (144,136) , (145,135) , (146,134) , (147,133) 共 12 个 ???9 分 事 件 A 包含的 基本事件 为 (141,139) , (142,138) , (143,137) , (144,136) , (145,135) , (146,134) , (147,133) 共 7 个 ???12 分 7 所以 P ( A) ? 12 7 即 C 款手机中经济型比豪华型多的概率为 ???13 分 12
15.(I) 因为 16. (I)解:由 3 cos A cosC (tan A tanC ? 1) ? 1 得:

sin A sin C ? 1) ? 1 cos A cos C ?( 3 sin A sin C ? cos A cosC ) ? 1 1 ? cos( A ? C ) ? ? , 3 1 ? cos B ? ,又 0 ? B ? ? 3 2 2 ? sin B ? 3 3 cos A cos C (
数学(文科)试卷

???2 分

???3 分

第 5 页 共 10 页

7 4 2 cos 2 B ? 1 ? 2 sin 2 B ? ? ??? 5 分 9 9 5? 5? 5? 4 2 3 7 1 ? sin(2 B ? ) ? sin 2 B cos ? cos 2 B sin ? ? (? ) ? (? ) ? 6 6 6 9 2 9 2 ??7 分 7?4 6 ? 18

?sin 2B ? 2 sin B cos B ?

(II)由余弦定理得: cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 1 ? 2ac 3
??? 9 分 ???11 分 ??? 13 分

(a ? c) 2 ? 2ac ? b 2 1 ? , 2ac 3 45 3 3 又a?c ? , b ? 3 , ac ? 32 2 1 15 2 ? S ?ABC ? ac sin B ? 2 32 ?

17. (Ⅰ)(1)证明:连接 A1 B ,交 AB1 于点 O , 连 接 OD . ∵ O 、 D 分别是 A1 B 、 BC 的中点, ∴ A1C ∥ OD . ???2 分
B D A1

A

O C M

∵ AC ? 平面 AB1 D , OD ? 平面 AB1 D , 1 ∴ A1C ∥平面 AB1 D . (Ⅱ)? A1C ∥ OD ???4 分
B1 C1

A1C与BD所成角, ???5 分 ∴ ?ODB 1为异面直线
5 2 1 2 令正三棱柱的棱长为 1,则 B1D ? , B1O ? , OD ? AC ? . ???6 分 2 2 2 2

OB ? DB1 ? OD2 10 在?ODB1中, cos?ODB1 ? 1 ? 2OB1 ? DB1 4
? 异面直线A1C与BD所成角的余弦值为 10 . 4
???8 分

2

2

数学(文科)试卷

第 6 页 共 10 页

(Ⅲ)证明:∵在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BC ? BB1 ,∴四边形 BCC1B1 是正方形. ∵ M 为 CC1 的中点, D 是 BC 的中点,∴ ?B1BD ? ?BCM , ∴ ?BB1D ? ?CBM , ?BDB1 ? ?CMB . 又∵ ?BB1 D ? ?BDB1 ? ???9 分

?
2

, ???10 分

?CBM ? ?BDB1 ?

?
2

,∴ BM ? B1D .

∵ ?ABC 是正三角形, D 是 BC 的中点, ∴ AD ? BC . ∵平面 ABC ? 平面 BB1C1C , 平面 ABC ∴ AD ? 平面 BB1C1C . ∵ BM ? 平面 BB1C1C , ∴ AD ? BM . ∵ AD ???12 分 平面 BB1C1C ? BC , AD ? 平面 ABC ,

B1D ? D ,∴ BM ? 平面 AB1 D .
?13 分

∵ AB1 ? 平面 AB1 D ,∴ MB ? AB1 . 18.解: (Ⅰ)解:椭圆的顶点为 (0, 3 ) ,即 b ?

3 ,e ?

c 1 ? ,所以 a ? 2 , a 2

? 椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

???3 分

(Ⅱ)由题可知,直线 l 与椭圆必相交. (i)当直线斜率不存在时,经检验不合题意。 (ii)设存在直线 l 为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,且 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 由? 4 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ?12 ? 0 , 3 ? y ? k ( x ? 1) ?
x1 ? x2 ? 8k 2 4k 2 ? 12 x ? x ? , , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
???5 分

OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1]
数学(文科)试卷 第 7 页 共 10 页

2 4k 2 ? 12 8k 2 ? 5k 2 ? 12 2 4k ? 12 ? k ( ? ? 1 ) ? ? ?2 c???7 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 所以 k ? ? 2 ,故直线 l 的方程为 y ? 2 ( x ? 1) 或 y ? ? 2 ( x ? 1) ???8 分 (Ⅲ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) , A( x3 , y3 ), B( x4 , y 4 )

=

2 由(2)可得: |MN|= 1 ? k | x1 ? x 2 |?

(1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ]
???10 分

= (1 ? k 2 )[(

8k 2 2 4k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) ) ? 4 ( )] ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? x2 y2 12 ?1 ? ? 2 由? 4 消去 y,并整理得: x ? , 3 2 3 ? 4 k ? y ? kx ?

3(1 ? k 2 ) |AB|= 1 ? k | x3 ? x4 |? 4 , 3 ? 4k 2
2

???12 分

48(1 ? k 2 ) | AB | 2 4k 2 ? 4 ? 3?2 ∴ | MN | 12(k ? 1) 3 ? 4k 2

为定值.

???13 分

19.(Ⅰ)解:由已知 b1 ? a1 ,所以 a1 ? m ; 又b2 ? 2a1 ? a2 ,
1 3m m ,解得 a2 ? ? ;所以数列{an}的公比 q ? ? ; 2 2 2 1 当 m=1 时, an ? ( ? ) n ?1 ,??????3 分 2

所以 2a1 ? a2 ?

bn ? na1 ? (n ?1)a2 ? ? ? ? ? 2an?1 ? an ,?????????①,
1 - bn ? na 2 ? (n ? 1)a3 ? ? ? ? ? 2an ? an ?1 ,????????②, 2 3 ②-①得 - bn ? ?n ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an ? an ?1 , 2 1 1 ? [1 ? (? ) n ] 3 2 ? n ? 1 [1 ? (? 1 ) n ] , 所以 - bn ? ?n ? 2 1 2 3 2 1 ? (? ) 2

2n 2 2 1 n 6n ? 2 ? (?2)1?n bn ? ? ? (? ) ? ;??????6 分 3 9 9 2 9
数学(文科)试卷 第 8 页 共 10 页

1 n m[1 ? (? ) ] 2m 1 2 (Ⅱ) S n ? ? [1 ? (? ) n ] ,??????7 分 1 3 2 1 ? (? ) 2 1 n 1 2m 3 - - ) ? 0 ,所以由 S n ? [1,3] 得 因为 1( , ? ? 1 2 3 1 ? (? 1 ) n 1 - (? ) n 2 2 1 n 3 当 n 为奇数时, 1 - ( ? ) ? (1, ] ; 2 2 1 3 当 n 为偶数时, 1 - ( ? ) n ? [ ,1) ,??????11 分 2 4 3 3 1 所以 1 ? ( ? ) n 最大值为 ,最小值为 , 2 4 2 1 2m 3 对于任意的正整数 n 都有 , ? ? 1 n 1 n 3 1 - (? ) 1 ? (? ) 2 2 4 2m ? 2 ,解得 2 ? m ? 3 , 所以 ? 3 3
即所求实数 m 的取值范围是 [2,3] .??????14 分
20. (Ⅰ) f ( x) ? x( x ? a) ? x ? 2ax ? a x ,则 f ?( x) ? 3x ? 4ax ? a ? (3x ? a)( x ? a) ,
2 3 2 2 2 2

a ?1 a ,而 g ( x) 在 x ? 处有极大值, 2 3 a ?1 a ?1 a ? a ? a ? ?1 ,或 ? ? a ? 3 ;综上: a ? 3 或 a ? ?1 . ∴ 2 2 3 2 2 (Ⅱ)由已知得 x( x ? a) ? (a ? a ? 3) x 在 (0,??) 上恒成立, 等价于 x 2 ? 2ax ? (a ? 3) ? 0在(0,??) 上恒成立. ??4 分
令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a 或 令 h( x) ? x ? 2ax ? (a ? 3)
2
2 因为 ? ? (?2a ) ? 4(a ? 3) ? 4(a ?

??3 分

1 2 ) ? 11 ? 0 2

??5 分

故 x 2 ? 2ax ? (a ? 3) ? 0在(0,??) 上恒成立等价于 ? 解得 a ? ?3

?a ? 0 , ??6 分 ?h(0) ? 0
??7 分

(Ⅲ)据题意有 f ( x) ? 1 ? 0 有 3 个不同的实根, g ( x) ? 1 ? 0 有 2 个不同的实根,且这 5 个实根 两两不相等. (ⅰ) g ( x) ? 1 ? 0 有 2 个不同的实根,只需满足 g (
数学(文科)试卷

a ?1 ) ? 1 ? a ? 1或a ? ?3 ; ?? 8 分 2

第 9 页 共 10 页

(ⅱ) f ( x) ? 1 ? 0 有 3 个不同的实根,

1当

a ? a 即 a ? 0 时, 3

a a f ( x)在 (?? , a)上为增函数,在 (a, )上为减函数,在 ( ,?? )上为增函数, 3 3 f ( x) 在 x ? a 处取得极大值,而 f (a) ? 0 ,不符合题意,舍; ??9 分 a 2 当 ? a 即 a ? 0 时,不符合题意,舍; ??10 分 3 a 3 当 ? a 即 a ? 0 时, 3 a a f ( x)在 (?? , )上为增函数,在 ( , a)上为减函数,在 (a,?? )上为增函数, 3 3 a a 33 2 33 2 f ( x) 在 x ? 处取得极大值, f ( ) ? 1 ? a ? a ? ;所以 ; ??11 分 3 3 2 2 33 2 3 因为(ⅰ) (ⅱ)要同时满足,故 a ? ; (注: a ? 也对) ??12 分 3 2 4 下证:这 5 个实根两两不相等,即证:不存在 x0 使得 f ( x0 ) ?1 ? 0 和 g ( x0 ) ? 1 ? 0 同时成立;
若存在 x0 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 1 , 由 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,即 x ( ) ? ?x0 ? (a ?1) x0 ? a ,得 (x0 ? a) ( x0 ? ax0 ? x0 ? 1) ? 0 , 0 x0 ? a
2 2 2

当 x0 ? a 时, f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 ,不符合,舍去; 当 x0 ? a 时,既有 x0 ? ax0 ? x0 ? 1 ? 0
2

①; ②;
3

又由 g ( x0 ) ? 1 ,即 ? x0 ? (a ?1) x0 ? a ? 1
2

联立①②式,可得 a ? 0 ;
2

而当 a ? 0 时,H ( x) ? [ f ( x) ?1] ?[ g ( x) ?1] ? ( x ?1)(? x ? x ?1) ? 0 没有 5 个不同的零点,故 舍去,所以这 5 个实根两两不相等. 综上,当 a ?

33 2 时,函数 y ? H ( x) 有 5 个不同的零点. 2

??14 分

数学(文科)试卷

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