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集合1 - 副本


必 修 1 总 复 习
1

A1、集合基本概念 1、全体非负整数组成的集合叫非负整数集(或自然数集) ,用 N 表示。 * 全体正整数组成的集合叫正整数集,用 N 或 N+表示。 全体整数组成的集合叫整数集,用 Z 表示。 全体有理数组成的集合叫有理数集,用 Q 表示。 全体实数组成的集合叫实数集,用 R 表示。

a?M a

奇数集={x Z|x=2k+1, k? M Z}

a?M a 偶数集={x Z|x=2k, k? M Z}

2、集合中的元素具有的特性: (1)确定性。给出一集合后,某元素是否在此集合是可以确定下来的。 (2)互异性。集合中的元素互不相同,不能重复出现。 (3)无序性。集合中的各元素的位置可随意调换。

1、下列命题正确的有 (1)很小的实数可以构成集合; (2)集合 y | y ? x 2 ? 1 与集合 ?x, y ? | y ? x 2 ? 1 是同一个集合; (3) 1, 3 , 6 , ? 1 , 0.5 这些数组成的集合有 5 个元素; 2 4 2 (4)集合 ??x, y ? | xy ? 0, x, y ? R? 是指第二和第四象限内的点集。 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

?

?

?

?

2、用符号“ ? ”或“ ? ”填空 (1) 0 ______ N , (2) ?

5 ______ N ,

16 ______ N

1 ______ Q, ? _______ Q, e ______ CRQ 2

(3) 2 ? 3 ? 2 ? 3 ________ x | x ? a ? 6b, a ? Q, b ? Q

?

?
2

3、如果集合 A={ x | ax 2 + 2 x + 1=0} 中只有一个元素,则 a 的值是 A.0 B.0 或 1 C.1 D.不能确定 4、若集合 M ? ?a, b, c? 中的元素是△ ABC 的三边长, 则△ ABC 一定不是 A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.等腰三角形

5、用列举法表示集合: M ? {m|

10 ? Z , m ? Z} = m ?1



?、 =、 茌 、) 6、用适当的符号 (?、 )填空:
①π ___ Q ; ②{3.14}____ Q ; ③{x|x=2k+1, k∈Z}___{x|x=2k-1, k∈Z}。 7、已知全集 M ? ?a | A、{2,3}



? ?

6 ? ? N且a ? Z ? ,则 M= 5?a ?
C、{1,2,3,6} D、{-1,2,3,4} .

B、{1,2,3,4}

8、已知 x | x 2 ? 2004 ? (a ? 2) x ? a 2 ? 4 ? 0 ? ?0? ,则 a ? 9、含两个元素的数集 a, a 2 ? a 中,实数 a 满足的条件是 10、下列关系中表述正确的是 A. 0 ? x ? 0
2

?

?

?

?

?

?

B. 0 ?( 0,0) ?

?

C. 0 ? ?

D. 0 ? N

11、设 a、b、c 为非 0 实数,则 M ? 组成的集合为 A.{4} B.{-4}

a b c abc ? ? + a b c abc
D.{0,4,-4}

的所有值

C.{0}

12、已知 x | x ? mx ? n ? 0, ?m, n ? R? ? ?? 1,?2?,求 m , n 的值.
2

?

?

3

1、已知集合 A= x | ax 2 -3x -4=0,x ? R

?

?

(1)若 A 中有两个元素,求实数 a 的取值范围; (2) 若 A 中至多只有一个元素,求实数 a 的取值范围。

2、下列表示同一集合的是 A. M =( ? 2,1),(3,2) ? B. M = ?1,2?
N =( ? 1,2),(2,3) ?

N ? ?2,1?
N = ? y | y ? x 2 ? 1,x ? N ?

C. M = ? y | y ? x 2 ? 1,x ? R? D. M =(x,y) | y ? x 2 ? 1,x ? R

?

?

N = ? y | y ? x 2 ? 1,x ? N ?

3、集合 A={x x ? 2k , k ? Z } ,B={ x x ? 2k ? 1, k ? Z } ,C={ x x ? 4k ? 1, k ? Z } 又 a ? A, b ? B, 则有 A、(a+b) ? A C、(a+b) ? C B、(a+b) ? B D、 (a+b) ? A、B、C

4、含有三个实数的集合既可表示成 {a, 则 a 2003 ? b 2004 ? 5、已知方程 x 2 ? ax ? b ? 0 . .

b ,1} ,又可表示成 {a 2 , a ? b,0} , a

(1)若方程的解集只有一个元素,求实数 a,b 满足的关系式; (2)若方程的解集有两个元素分别为 1,3,求实数 a,b 的值。

4

A2、集合间的基本关系
① 任何一个集合是它本身的子集,记为 A?A; ② 空集是任何集合的子集,记为 ? ? A ;空集是任何非空集合的真子集; ③ n 个元素的子集有 2n 个;n 个元素的真子集有 2n -1 个; n 个元素的非空真子集有 2n-2 个。

(2) 若 A B,则 a 的取值范围是____________

1、集合{a,b,c }的真子集共有
2

个 .

2、 若集合 M={y|y=x -2x+1,x ? R},N={x|x≥0}, 则 M 与 N 的关系是 3、设集合 A= ? x 1 ? x ? 2? ,B= x x ? a? ,若 A ? B,则 a 的取值范围是 4、满足条件{1,2,3} ? M ? {1,2,3,4,5,6}的集合 M 的个数是

?

?

?

A、8

B、7

C、6

D、5 ② ? ??0? ? ⑤0 ? ?

5、下列五个写法中:① ③

?0?? ?0,1,2?
④0??

?0,1,2? ? ?1,2,0?
B、2 个

??

错误的写法个数是 A、1 个 C 、3 个 D、4 个

6、若 A ? { a | a ? 3n ? 1, n ? Z } , B ? { b | a ? 3n ? 2, n ? Z } ,

C ? { c | a ? 6n ? 1, n ? Z } ,则 A、B、C 的关系是
C、A=B C 7、已知 A={x|x<3 } ,B={x|x<a } (1) 若 B ? A,则 a 的取值范围是____________Ks5u 5 A、A B C B、A B=C D、A=B=C

A.8 1、若{1,2,3} A ? {1,2,3,4} ,则 A=_______
2 2 2、若 A ? x | x ? x ? 1 ? 0, x ? R , B ? x | x ? x ? 1 ? 0, x ? R ,

B.7

C.6

D.5

?

?

?

?

则集合 A,B 的关系是



3、设数集 A ? ?1, 2, a? , B = 1, a 2 ? a , 若A ? B,求实数a的值。

?

?

4、集合 A= x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , B = x | x 2 ? 2 x ? a ?1=0? , B ? A, 求a的范围。

?

?

?

5、求满足 x | x 2 ? 1 ? 0, x ? R ? M ? x | x 2 ? 1=0, x ? R 的集合M 的个数。
?

?

?

?

?

6、已知集合 A ? ? x |1 ? x <4? , B = ? x | x <a? , 若A ? B ,求实数 a 的取值集合。
?

7、若集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且 B ? A, 求由 m 的可取值组成的集合。

? 8、满足条件{1,2,3} ? ? M ? {1,2,3,4,5,6}的集合 M 的个数是
6

A3、集合的运算
性 运算 类型 交 集 并 集 补 集 质 A ? A=A A ? Φ =Φ A ? B=B ? A A? B?A A? B?B A ? A=A A ? Φ =A A ? B=B ? A A? B ?A A? B ?B

(CuA) ? (CuB) = Cu (A ? B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A ? B) A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ

由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 定 义 的交集. 记作 A ? B

由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合,叫做 A,B 的并集.记作:

设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集, 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集 合, 叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) 记作 C S A ,即 CSA= {x | x ? S , 且x ? A}

(读作 ‘A 并 B’ ) , (读作‘A 交 B’ ) , A? B 即 A ? B= {x|x ? A, 即 A ? B ={x|x ? A, 且 x ? B} . 或 x ? B}).

韦 恩 图 示

S
A B
A B

A

图1

图2

7

6、若 A ={(x,y)| y =x+1},B={y|y =x2+1},则 A∩B =_____. 7、设全集 U = {1,2,3,4,5,6,7,8},A = {3,4,5} B = {4,7,8}, 求: (CU A)∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B), CU (A∩B).

8、集合 P= ?x, y ? x ? y ? 0 1、用适当的符号填空: (1) ? (3){1}
{x x 2 ? 1 ? 0} ; { x x 2 ? x} ;

?

?

,Q= ?x, y ? x ? y ? 2 ,则 A∩B=

?

?

(2){1,2,3} (4)0

N;

{x x 2 ? 2 x} .

2、已知集合 U ? {x | ?3 ? x ? 3} , M ? {x | ?1 ? x ? 1},

CU N ? {x | 0 ? x ? 2}那么集合 N ?

,M ? N ?

.

2 3、设 A ? ?4, 2a ? 1, a , B ? ?9, a ? 5,1 ? a? ,已知 A B ? ?9? ,求实数 a 的值.

?

?

4、设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},则 A∪B 中的元素个数是 A、11 B、1 C、16 D、15 5、已知 A={ m |

m?4 x?3 ? Z },B={x| ? N } ,则 A∩B=__________。 2 2
8

A.若 A ? B, 则A ? B ? A C. ( A ? B)

B.若 A ? B ? B,则A ? B D. CU ? A ? B? ? ?CU A? ? ?CU B?

A

( A ? B)

14、设集合 M ? {x | x ? k ? 1 , k ? Z } , N ? {x | x ? k ? 1 , k ? Z } ,则 4 2 2 4 A. M ? N B. M

N

C. N

M

D. M ? N ? ?

9、满足 M ? ?a1, a2 , a3 , a4 ? ,且 M

?a1,a2 ,a3 ? ? ?a1 ,a2 ? 的集合 M 的个数是



10、已知集合 M 和 N 间的关系为 M ? N ? M ,那么下列必定成立的是 A、 CU N ? M ? ? C、 CU M ? CU N ? ? B、 CU M ? N ? ? D、 CU M ? CU N ? ?
y ?3





11、若 U={(x,y)∣x,y∈R}, M={(x,y)∣ x?2 ? 1 }, N={(x,y)∣y-3=x-2 },则 CUM?N 是 A、 ? B、{2,3} C、{(2,3)} D、{(x,y)∣y-3≠x-2 }

12、定义集合 A 与集合 B 的“差集”为: A ? B ? {x | x ? A且x ? B},则

A ? ( A ? B) 总等于
A、A B、B C、 A ? B D、 A ? B

13、下列表述中错误的是 9

6、已知全集 U ? ?3,5, 7? , 数集A ? ?3, a ? 7 ? , 如果CU A ? ?7? , 则a 的值为 A.2 或 12 B.-2 或 12 C.12 D.2

7、已知 U 是全集,集合 M,N 满足关系 M ? N ,则 A. CU M ? CU N B. CU M ? CU N C. M ? CU N D. M ? CU N

8、设全集 U ? R, A ? ?x | a ? x ? b? , Cu A ? x | x>4或x<3 , 则 a =______, b =______。 A B. ( A ? B) ? ( A ? C ) C C. ( A ? B) ? ( B ? C ) D. ( A ? B) ? C B

?

?

1、表示图形中的阴影部分 A. ( A ? C ) ? ( B ? C )

2、已知集合 A、B、C 为非空集合,M=A∩C,N=B∩C,P=M∪N,则 A.C∩P=C B.C∩P=P C.C∩P=C∪P D.C∩P= ?

3、定义集合运算:A⊙B={z︳z= xy (x+y),x∈A,y∈B} ,设集合 A={0,1} , B={2,3} ,则集合 A⊙B 的所有元素之和为 A、0 B、6 C、12 D、18 4、设集合 A ? { y | y ? x ? 2x ? 1, x ? R } ,集合 B ? { y | y ? ? x ? 1, x ? R } ,则 A ? B ?
2 2

5、全集 U ? ?1, 2,3?, M = x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 , 则CU M 等于 A. ?1? B. ?1 ,2? C. ?3? D. ?2? 10

?

?

其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域应由不等式 a ? g ( x) ? b 解出. ⑨ 对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进 行分类讨论. ⑩ 由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实 际意义.

B1、函数及其表示
只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. 对于集合 {x | a ? x ? b} 与区间 (a, b) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须 a ? b . ① f ( x) 是整式时,定义域是全体实数. ② f ( x) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③ f ( x) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④ 对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于 零且不等于 1. ⑤ y ? tan x 中, x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) .

⑥ 零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦ 若 f ( x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域 一般是各基本初等函数的定义域的交集. ⑧ 对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知 f ( x) 的定义域为 [ a, b] , 11

1、函数 y ? 1 ? x2 ? x2 ?1 的定义域是 A. 函数的奇偶性定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x,都有 . f( - - . .x)= . . . . f(x) , 那么函数 f(x) . . . . 叫做奇函数 . ... 如果对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x,都有 . f( - x)= f(x) , . . . . . . . . . 那么函数 f(x) 叫做 偶函数 . ... 图象 判定方法 (1)利用定义(要 先 判断 定义域 是否 关于原点对称) (2)利用图象(图 象关于原点对称) (1)利用定义(要 先 判断 定义域 是否 关于原点对称) (2)利用图象(图 象关于 y 轴对称)

??1,1?

B. ( -1,1 )

C. [-1,1]

D. (-∞ ,-1 )∪( 1 ,+∞ )

函数的 奇偶性

若函数 f ( x) 为奇函数,且在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 . 奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同。 偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反。 在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数 (或奇函数) ,两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函 数与一个奇函数的积(或商)是奇函数. 12

5、已知函数

f ? x?

? ? f ? x ? 2 ?????? x ? ?1 ?? ,求 f [f( ?4 )]的值 ?2 x ? 2???????? 1 ? x ? 1 ? ? x ? ??????? x ? 1? ? ????? ?

2、求下列函数的值域。 (1) y ? 3x ? 1 ,x∈{1,2 ,3,4,5 } (2) y ? x
2

? 4x ? 6

,x∈ ?1,5?

(3) y ?

x x ?1

(4) y ?

x2 x2 ? 1

3、设函数 g ( x) ? x2 ? 2( x ? R) , f ( x) ? ? A、 ? ? 9 , 0 ? ? (1, ??) ? ? 4 ? ?

? x 2 ? x ? 2, x ? g ( x) ? ,则 f ( x) 的值域是 2 ? ? x ? x ? 2, x ? g ( x)

B、 [0, ??)

9 C、 [? , ??) 4
4、已知函数

9 D、 ? ? , 0 ? ? (2, ??) ? ? 4 ? ?

f ? x? ? ? ?

?5x ? 1??????x ? 0 ,求 f(1)+f( ?1)的值 ? 3 x ? 2 ??? x ? 0 ??????? ? ?

13

12、设函数 f ? x ? ?

?x ? 1??x ? a ? 为奇函数,则实数
x

a?

? ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 的解集为 13、设奇函数 f ( x ) 在 (0,
A. (1, ??) 6、已知函数 f ( x) ? ? 7、函数 f ( x ) ? B. (??, ?1)

(0,1)

C. (??, ?1)

D. (1, ??)

(??, ?1)

?3x ? 2, x ? 1,
2 ? x ? ax, x ? 1,

若 f ( f (0)) ? 4a ,则实数 a=

.

1 ? x 的图像关于 x

A. y 轴对称 C.坐标原点对称

B.直线 y ? ? x 对称 D.直线 y ? x 对称

8、如果函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ?1)x ? 2 在区间 (??, 4] 上是减函数,那么实 数 a 的取值范围是
2 9、如果二次函数 f ( x) ? x ?(a ?1)x ? 5 在区间 ( ,1) 上是增函数, f (2)

1 2

的取值范围 10、二次函数 y ? x ? mx ? 1 是偶函数,则函数的增区间为
2

A. [0, ??)

B. (??, 0]

C. [1, ??)

D. [?1, ??)

11、下列函数中, 是奇函数且在 (0, ??) 上为增函数的是 A. y ? x ? x
3

B. y ? x ?

1 x

C. y ? x ?

1 x

D. y ? ? x

3

14

② f ( x) ? f ( ? x) ? 0 ( x ? R ) 则不等式 x ? f ( x) ? 0 的解集是 A. ?x | ?3 ? x ? 0或x ? 3? C. ?x | x ? ?3或x ? 3? 14、设偶函数 f ( x) 在 [0,??) 上为减函数,则不等式 f ( x) ? f (2x ? 1) 的解集是 15、函数 f ( x ) ? x ?

③ f (?3) ? 0 .

B. x | x ? ?3或0 ? x ? 3

?

?

D. ?x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3?

2 在区间[2,3]上的最大值为 x

16、若 f ( x) 为R上的奇函数,且 f (?2) ? 0 若 f ( x) 在 (??, 0) 上是减函数,则 x ? f ( x) ? 0 的解集为_______; 17、已知函数 f ( x) 的定义域是 x ? 0 的一切实数,对定义域内的任意 x1 , x2 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 , (1)求证: f ( x) 是偶函数; (3)解不等式 f (2 x ? 1) ? 2 .
2

(2) f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数;

18、定义域为 R 的函数 f ( x) 满足条件: ① [ f ( x1 ) ? f ( x2 )]( x1 ? x2 ) ? 0,( x1 , x2 ? R? , x1 ? x2 ) 15

21、已知 f ( x) 是偶函数, x ? R ,当 x ? 0 时, f ( x ) 为增函数,若

x1 ? 0, x2 ? 0 ,且 | x1 |?| x2 | ,则

A . f (? x1 ) ? f (? x2 )
19、已知 f ( x) 对一切实数 x , y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? 2 , 当 x > 0 时, f ( x) ? 0 (1)证明 f ( x) 为奇函数 (2)证明 f ( x) 为 R 上的减函数 (3)解不等式 f ( x ? 1) ? f (1 ? 2 x ? x 2 ) < 4

B . f (? x1 ) ? f (? x2 )

C . ? f ( x1 ) ? f (? x2 )

D . ? f ( x1 ) ? f (? x2 )

20、如果函数 f ( x) 的定义域为 R ,且有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , 求证: f ( ) ? f ( x) ? f ( y) 且 f ( x) 为偶函数。

x y

16

17


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