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函数与导数

时间:2016-11-26


函数与导数的综合
1.集合 A ? {x ax ?1? 0}, B ?{x x 2 ? 3x ? 2 ? 0} 且 A ? B ? A , 这样的实数 a 可取( A.1, 1 2 2.设函数 f ( x) ? B. 1, 2, 1 2 C. 1, 2 D. 0, 1 , 1 2 )

x , 集合 M ? {x f ?( x) ? 0 }, N ?

{ y y ? f ( x) } ,则以下结论成立的是 ( ) 1? x 2 A. N ? M B. M ? N ? ? C. M ? N ? [?1, 1] D. M ? N ? (? 1 , 1 ) ; ≠ 2 2 ? ? ? ?? 3 .已知集合: M ?{a a ? m(?1,1) ? (1,1), m?R}, N ?{b b ? (2, ?1) ? n (0,1), n?R} , 如果向量 c ? M ? N ,则 ? . c ?
4.已知命题 p: “|x-1|≤1” ,命题 q: “x ? Z” ,如果“p 且 q”与“非 P”同时为假命题 ,则满足条件的 x 为( ...... A. {x | x ? 2或x ? 0, x ? Z } B. {x | 0 ? x ? 2, x ? Z } C. ?1, 2? D. ?0,1, 2? ) 5.设 x, y, z 是空间不同的直线或平面,对下列四种情形,使“ x / / z且y / / z ? x / / y ”为真命题的是( ① x, y, z 均为直线;② x, y 是直线,z 是平面;③z 是直线, x, y 是平面;④ x, y, z 均为平面. A.①② B.②③④ C.①④ D.①②③④ 6.以下列命题是真命题的有: ①已知 f ?( x) ( x ? 0) 存在,则“数列{ f (n) }是递增数列”的充分必要条件是“ f ?( x) ? 0 ( x ? 0 ); ” ? ? ? ? ? ? ②“ ? t ? R a ? t ? b ”是“ a ? b ? a ? b 成立”的充分必要条件; ③“ ? l ? ? , l ? ? ”是“平面 ? ? ? ”的充要条件; ④“ a2 ? b2 ? 0,(a, b ? R) ”是“ a , b 中至少有一不为 0”的充要条件. 7. 设函数 f ( x) ? x3 ( x ? R) , 若 0 ? ? ? ? 时, f ( m sin ? ) ? f (1? m ) ? 0 恒成立, 则实数 m 的取值范围是 ( ) 2 A. (0, ??) B. (1, ? ?) C. (??, 1) D. [0, 1] 8.若不等式 x ? a ? 0 的解集是区间 [?2, 3) ,那么不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集是区间( ) b? x A. (?1, 3) 9.已知 m ? 0, B. (??, ?1) ? (3, ? ?) C. (?2, ?1) D. (??, ?2) ? (?1, ? ?) f ( x) ? mx3 ? 12 x ,且 f ? ( 1 ) ? ?12 ,则实数 m ? __________. m ) B.相交,且交点在第 II 象限 D.相交,且交点在坐标原点 )

10. 已知直线 x ? 2 及 x ? 4 与函数 y ? log 2 x 图像的交点分别为 A, B , 与函数 y ? lg x 图像的交点分别为 C , D , 则直线 AB 与 CD ( A.相交,且交点在第 I 象限 C.相交,且交点在第 IV 象限

11.设 a ? 1 ,函数 y ? log a x 的定义域为 ?m, n? (m ? n) ,值域为 ?0,1? .定义“区间 ?m, n? 的长度等于 n ? m ”.若区 间 ?m, n? 的长度的最小值为 5 ,则实数 a 的值为( ) 6 A.11 B.6 C. 11 D.6 或 11 6 6 12.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x ? 2) ,当 x ? 1 时, f ( x) 单调递减,若 x1 ? x2 ? 2 且
( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值为(

) D.可正可负

A.恒小于 0

B.恒大于 0

C.可能等于 0

13.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有一棵树与两墙的距离 分别是 am(0 ? a ? 12) 、4m,不考虑树的粗细。现在想用 16m 长的篱笆,借 助墙角围成一个矩形的花圃 ABCD。设此矩形花圃的面积为 Sm2,S 的最大
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值为 f (a) ,若将这棵树围在花圃内,则函数 u ? f (a) 的图象大致是(



14.已知 P( x, y ) 是函数 y ? e x ? x 的图象上的点,则点 P 到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最小距离为 15.若过点 P(0,m)可作曲线 f ( x) ? x3 ? 6 x2 ? 9 x 三条切线,则实数 m 的取值范围是
y ? f ? x? 的说法:①图像关于点 ?1,0? 对称;②图像关于 y 轴对称;③以 2 为周期;

.

.

16 .设函数 y ? f ? x? 满足对任意的实数 t, 都有 f ?1? t? ? ? f ?1 ? t? , f ? t ? 2? ? f ? 2 ? t? 成立,则下面关于函数 ④ f ?2009? ? 0 。其中正确的有 17.已知函数 f ( x) ? (将你认为正确说法前面的序号都填上)

1 ? ax2 ?a ? 0? 是奇函数,并且函数 f ( x) 的图像经过点(1,3) , x?b (1)求实数 a , b 的值; (2)求函数 f ( x) 的值域

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18 . 设 二 次 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 在 区 间 ? ?2, 2? 上 的 最 大 值 、 最 小 值 分 别 是 M 、 m , 集 合

A ? ? x| f ( x)? ? x.
(1)若 A ? {1, 2},且 f (0) ? 2 ,求 M 和 m 的值; (2)若 A ? {1} ,且 a ? 1 ,记 g (a) ? M ? m ,求 g ( a ) 的最小值.

19.已知函数 f ( x) ? ln(a ? x) ? x (a ? 0) a? x (1)求 f ( x) 的定义域; (2)若 f ( x) 有极小值,求 a 的取值范围; x x (3)在(2)的条件下,若 x1 x2 ? 0 ,求证 ln 1 ?1? 2 . x2 x1

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20.设函数 f ? x? ? x3 ? ax2 ? a2 x ?1, 二次函数 g ? x? ? ax2 ? x ?1 (Ⅰ)若 a ? 0 ,求 f ? x? 的单调区间; (Ⅱ) 当函数 y ? f ? x? 与 y ? g ? x? 的图象只有一个公共点且 g ? x? 存在最大值时, 记 g ? x? 的最大值为 h ?a? , 求函数 h ?a? 的解析式; (Ⅲ)若函数 f ? x? 与 g ? x? 在区间 ?a ? 2, a? 内均为增函数,求实数 a 的取值范围。

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21.已知函数 f ( x) ? ( x2 ? 3x ? 3) ? e x定义域为[?2, t ](t ? ?2), 设f (?2) ? m, f (t ) ? n. (I)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x)在[?2, t ] 上为单调函数; (II)求证: n ? m ; (III)求证:对于任意的 t ? ?2, 总存在x0 ?(?2, t ), 满足

f ?( x0 ) 2 ? (t ?1)2 ,并确定这样的 x0 的个数. 3 ex0

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函数与导数(一)参考答案:
(一)集合 1. D. 提示:集合 B ?{1, 2 } , A? B ? A ? A ? B ,当 A ?? 时, a ? 0 ;当 A ? ? 时, a ? 1 或 a ? 1 . 2 2. A. 提示: f ?(x) ? 0??1? x ?1? M ? ( ?1,1) , N ?[? 1 , 1 ] , 则 M ? N ? N . 2 2 ? ? 3. 2. 提示:因为 c ?M ? N , 设 c ? m(?1,1) ? (1,1) ? (?m?1, m?1) , ? ? ? ?m?1? 2 m ??1 c ? (2, ?1) ? n(0,1) ? (2, ?1? n) , 则: ,解得: 所以: c ? (2, 0) , c ? 2 . m?1??1? n n ?1

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(二)常用逻辑用语 4. D 5. C 6. ③④ (三)不等式 7. C 提示:利用函数 f (x) ? x3 是奇函数且在 R 上单调递增,所以原不等式等价于: m sin ? ? m ?1? 0 , 当 0 ?? ? ? 时恒成立, 令 sin ? ? t ? t?[0,1] , mt ? m ?1? 0, t?[0,1] 恒成立 ? ?m ?1? 0 , m ?1 . 2 a ??2 8. A 提示: x ? a ? 0 解集为 [?2, 3) ,则 , x 2 ? ax ?b ? 0 ? x 2 ? 2x ?3? 0 ? ?1? x ? 3 . b ?3 x ?b 12 9. ?2 . 提示: f ?(x) ? 3mx2 ? 12 ? 3m? 12 ,已知 f ? ( 1 ) ??12 , 3m ? ??12 , m m x ?1 m 4 4 即 m? ??4 , 又 m ? 0, 所以 m? ??4 ,故 m ??4 时,原不等式成立. m m

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(四)函数与导数

lg 2 10. D. 提示:求出直线 AB 与 CD 的方程分别为 y ? 1 x, y ? x 2 2 11. B. 提示:画出函数 y ? log a x 的图象,先确定 a ? 6或 11 ,再通过图象检验排除 D 6
12. B. 提示:设 x1 ? x2 由条件可判定 x1 ?1, x2 ?1且 x1 ?1 ? x2 ?1 再由图象得出 13. C. 提示:设 CD ? x(m) 则AD ?16 ? x(m) ?S ? x(16 ? x) ? 64 , ?当0 ? a ? 8 则Sm a x ? 64 64 0 ? a ?8 ,? u ? a(16 ? a) 8 ? a ?12 当8 ? a ? 1 2则Sm a x ?a (1 ?6 a )

?

14. 4 5 . 提示: d ? 1 e x ? x ? 3 令g ( x) ? e x ? x ? 3 用导数求出其最小值。 5 5 f (t ) ? m 15. 0 ? m ? 8 . 提示:设切线的切点( t , f (t ) )则 ? f ?( x) t ?0
3 2 g (t ) 极大值与极小值分别为 8 和 0 用导数求出 ?m ? ? 2 t3 ? 6 t2 令 g ( t) ? ? 2 t ?6 t

16. ①②④ 17.答案 解: (1)?函数 f ( x) ?
2

1 ? a?? x ? 1 ? ax2 ? ?? ,? a ? 0,? ? x ? b ? ? x ? b,? b ? 0 ? x?b x?b 1? a ? 3,? b ? 0, 又函数 f ( x) 的图像经过点(1,3) ,? f (1) ? 3,? ∴a=2 1? b 1 ? 2x 2 1 ? 2 x ? ?x ? 0? (2)由(1)知 f ( x) ? x x 1 2 1 1 当 x ? 0 时, 2 x ? ? 2 2 x ? ? 2 2 , 当且仅当 2 x ? , 即x ? 时取等号 x x x 2
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1 ? ax2 是奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) x?b

1 1 1 ? 2 ?? 2 x ? ? ? 2 2 ,? 2 x ? ? ?2 2 ?x ?x x 1 2 ,即x ? ? 当且仅当 (?2 x) ? 时取等号 ?x 2 综上可知函数 f ( x) 的值域为 ? ?,?2 2 ? 2 2,??
当 x ? 0 时, ?? 2 x ? ?

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18. (1)由 f (0) ? 2可知c ? 2, 又 A ? ?1 , 2?,故1 , 2是方程ax2 ? (b ? 1) x ? c ? 0的两实根.

1-b ? 1+2= ? ? a 解得a ? 1 ,b ? ? 2 ?? , ?2= c ? ? a ? f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 ? ( x ? 1)2 ? 1, x ???2,2?
当x ? 1时,f ( x)min ? f (1) ? 1,即m ? 1 当x ? ?2时,f ( x)max ? f (?2) ? 10,即M ? 10.
(2)由题意知,方程ax2 ? (b ? 1) x ? c ? 0有两相等实根x=2, x=1

1? b ? 1?1 ? ? ?b ? 1 ? 2a ? a ∴ ? , 即? ?c ? a ?2 ? c ? a ?
∴f(x)=ax2+(1-2a)x+a, x∈[-2,2] 又a≥1,故1其对称轴方程为x=

1 4a ? 1 ? 1? 2a 2a

1 ?1 ? ? ,1? ,∴M=f(-2)=9a-2 2a ? ?2 ? 2a ? 1 1 1 ) ? 1? m= f ( ,g(a)=M+m=9a-1 2a 4a 4a
又g (a)在区间?1, ??? 上为单调递增的, ?当a ? 1时,g (a)min = ?
19.解:(1) f ( x) 的定义域为{ x | x ? ?a } (2)? f ?( x) ? x 2 ? f ( x) 只有在 x=0 时有极小值, (a ? x) 若 ?a ? 0, 则x ? ?a ? 0, 此时在定义域内恒有f ?( x) ? 0, f ( x)无极小值 , 若 ?a ? 0,当? a ? x ? 0时f ?( x) ? 0, 当x ? 0时f ?( x) ? 0 ,? f ( x)有极小值时a ? 0 (3)由上知 f ( x) ? f (0) ? ln a ?ln(a ? x) ? x ? ln a在x ? ?a时恒成立 a? x x x x x 即ln a ? x ? x 令 a ? x ? 1 ? 0则 x ?1? 2 ,于是 ln 1 ?1? 2 在x1 x2 ? 0时成立 a a? x a x2 a?x x1 x2 x1 20. 解: (Ⅰ) f ? ? x? ? 3x 2 ? 2ax ? a 2 ? 3 x ? a ? x ? a? ,?a ? 0,? a ? ?a , 3 3 a a 故函数 f ? x? 在区间 ??, 、 ??a, ??? 上单调递增,在 , ?a 上单调递减 3 3

31 63 . . 44

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(Ⅱ)∵二次函数 g ? x? ? ax2 ? x ?1 有最大值,? a ? 0 ,由 f ? x? ? g ? x? 得 x ? x2 ? a2 ?1? ? 0 , ∵函数 y ? f ? x? 与 y ? g ? x? 的图象只有一个公共点,??a2 ?1 ? 0,??1 ? a ? 1 又 a ? 0 ,??1 ? a ? 0 , 又 g ? x? ? a x ? 1 ? 1 ?1 ,?h ?a? ? ? 1 ?1, ?1 ? a ? 0 4a 2a 4a
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2

(Ⅲ)当 a ? 0 时,函数 f ? x? 在区间 ??, a 、 ??a, ??? 上单调递增, 3 ? ? a?0 ? 1 函数 g ? x? 在区间 ??, 上单调递增.? ? a ? a ,解得 a ? ? 2 . 2a 3 2 ? 1 ?a ? ? 2a 当 a ? 0 时,函数 f ? x? 在区间 ???, ?a? 、 a , ?? 上单调递增,函数 g ? x? 在区间 1 , ?? 上单调递增. 3 2a ? ? a?0 ? a ,解得 a ? 3 ,综上所述,实数 a 的取值范围是 ? ??, ? 2 ? ??3, ??? ?? a ?2 ? ? ? 3 2? ? ? 1 ?a ? 2 ? ? 2a 21.解: (I)因为 f ?( x) ? ( x2 ? 3x ? 3) ? e x ? (2x ? 3) ? e x ? x( x ?1) ? ex 由f ?( x)? 0 ? x ? 或 1 ? x 由 0;?f ? ( x ) ? 0? ? 0 x所以 1, 在 f x ?? ( ) ( ??, 上递增 0 ) , (1, ) , 在( 0 , 1 上递减 ) 欲,f x 在 ( ? ) [t上为单调函数 2, ] 则? ? , ? t 2 0

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(II)证:因为 f ( x)在(??,0),(1, ??)上递增, 在(0,1)上递减, 所以f ( x)在x ?1 处取得极小值 e 又f (?2) ? 13 ? e, 所以f ( x)在[?2, ??]上的最小值为f (?2), 从而当t ? ?2时, f (?2) ? f (t ),即m ? n e2 f ?( x ) 2 f ?( x0 ) 2 2 (III)证:因为 x 0 ? x0 ? x , 所以 ? (t ?1)2 ,即为x0 ? x0 ? 2 (t ?1)2 , 0 3 3 e0 ex0 2 令g ( x) ? x2 ? x ? 2 (t ?1) 2, 从而问题转化为证明方程g ( x) ? x 2 ? x ? 2 (t ?1) ? 0 3 3 在(?2, t )上有解, 并讨论解的个数 因为g (?2) ? 6 ? 2 (t ?1)2 ? ? 2 (t ? 2)(t ? 4), g (t ) ? t (t ?1) ? 2 (t ?1) 2 ? 1 (t ? 2)(t ?1), 所以 3 3 3 3 ①当 t ? 4或 ? 2 ? t ?1时, g (?2) ? g (t ) ? 0, 所以g ( x) ? 0在(?2, t ) 上有解,且只有一解; ②当 1 ? t ? 4时, g (?2) ? 0且g (t ) ? 0, 但由于g (0) ? ? 2 (t ?1) 2 ? 0 ,所以 上有解,且有两解; 3 ③当 t ?1时, g ( x) ? x2 ? x ? 0 ? x ? 0或x ?1, 所以g ( x) ? 0在(?2, t ) 上有且只有一解;

当t ? 4时, g ( x) ? x 2 ? x ? 6 ? 0 ? x ? ?2或x ? 3, 所以g ( x) ? 0在(?2, 4)上也只有一解 f ?( x ) 综上所述, 对于任意的t ? ?2, 总存在x0 ? (?2, t ), 满足 x0 0 ? 2 (t ?1)2 , 3 e 且当t ? 4或 ? 2 ? t ? 1时, 有唯一的x0适合题意;当1 ? t ? 4时, 有两个x0适合题意.

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