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2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)文科数学


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷文科) 一.选择题选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.设 i 是虚数单位,若复数 a ? (A)-3 (B)-1

10 (a ? R ) 是纯虚数,则 a 的值为 3?i
(C)1 (D)3



2.已知 A ? ? x | x ? 1 ? 0? , B ? ??2, ?1, 0,1? ,则 (CR A) ? B ? (A) ??2, ?1? (B) ??2? (C) ??1, 0,1?

( ) (D) ?0,1?

3.如图所示,程序据图(算法流程图)的输出结果为 (A)

3 4

(B)

1 6

(C)

11 12

(D)

25 24

4. (2 x ? 1) x ? 0 ”是“ x ? 0 ”的 “ (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 5.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被 录用的概率为 (A)

2 3

(B)

2 5
2

(C)
2

3 5

(D)

9 10

6.直线 x ? 2 y ? 5 ? 5 ? 0 被圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长为 (A)1 (B)2 (C)4 (D) 4 6

7.设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S8 ? 4a3 , a7 ? ?2 ,则 a9 = (A) ?6 (B) ?4 (C) ?2 (D)2


8 . 函 数 y ? f ( x ) 的 图 像 如 图 所 示 , 在 区 间 ? a, b ? 上 可 找 到 n(n ? 2) 个 不 同 的 数 x1 , x2 ,? , xn

使得

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,则 n 的取值范围为 ? ?? ? x1 x2 xn

(A)

?2,3?

(B)

?2,3, 4?

(C)

?3, 4?

(D)

?3, 4,5?

9.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,若 b ? c ? 2a,3sin A ? 5sin B ,则角 C = (A)

?
3

(B)
3

2? 3
2

(C)

3? 4

(D)

5? 6

10.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 有两个极值点 x1 , x2 ,若 f ( x1 ) ? x1 ? x2 ,则关于 x 的方程

3( f ( x ))2 ? 2af ( x ) ? b ? 0 的不同实根个数为
(A)3 二.填空题 11. 函数 y ? ln(1 ? ) ? 1 ? x 2 的定义域为_____________. 12.若非负数变量 x, y 满足约束条件 ? (B) 4 (C) 5 (D) 6

1 x

? x ? y ? ?1 ,则 x ? y 的最大值为__________. ?x ? 2 y ? 4

13.若非零向量 a, b 满足 a ? 3 b ? a ? 2b ,则 a, b 夹角的余弦值为_______. 14.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) .若当 0 ? x ? 1 时。 f ( x) ? x(1 ? x) , 则当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) =________________. 15. 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点, 过点 A, P, Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S ,则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号) 。

? ?

?

?

?

?

? ?

①当 0 ? CQ ?

1 1 3 时,S 为四边形;②当 CQ ? 时, S 为等腰梯形;③当 CQ ? 时, S 与 C1 D1 的交点 R 2 2 4

满足 C1 R ? 三.解答题

6 1 3 ;④当 ? CQ ? 1 时, S 为六边形;⑤当 CQ ? 1 时, S 的面积为 。 2 3 4

16. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
3

).

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小值,并求使 f ( x) 取得最小值的 x 的集合; (Ⅱ)不画图,说明函数 y ? f ( x ) 的图像可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变化得到.

17. (本小题满分 12 分) 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取 30 名 高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如下: 甲 乙 7 2 0 0 2 0 4 5 6 7 8 9 5 3 0 0 1 0

5 5 5 4 3 3 3 8 6 6 2 2 1 7 5

3 1 1 4

3 0 0 4 2

3 6 0 1

8 9 1 1 2 2 3 3 5 2 2 2 3 3 6 6 9 5 5 8

(Ⅰ)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级 这次联考数学成绩的及格率(60 分及 60 分以上为及格) ; (Ⅱ)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 x1 , x2 ,估计 x1 ? x2 的值.

18. (本小题满分 12 分) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 ABCD 是 边 长 为 2 的 菱 形 , ?BAD ? 60? . 已 知

PB ? PD ? 2, PA ? 6 .
(Ⅰ)证明: PC ? BD (Ⅱ)若 E 为 PA 的中点,求三菱锥 P ? BCE 的体积.

19. (本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , a2 ? a4 ? 8 ,且对任意 n ? N * ,函数

f ( x) ? (an ? an ?1 ? an ? 2 ) x ? an ?1 ? cos x - an ? 2 ? sin x
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? (an ? 2

满足 f '( ) ? 0

?

2

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . ) 2an

20. (本小题满分 13 分)
2 2 设函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a ) x ,其中 a ? 0 ,区间 I ? ? x | f ( x) ? 0? .

(Ⅰ)求 I 的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ; (Ⅱ)给定常数 k ? ? 0,1? ,当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,求 I 长度的最小值.

21. (本小题满分13分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4,且过点 P( 2,3) . a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) Q ( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 为椭圆 C 上一点, 设 过点 Q 作 x 轴的垂线, 垂足为 E 。 取点 A(0, 2 2) ,连接 AE , 过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D 。 G 是点 D 关于 y 轴的对称点, 点 作直线 QG , 问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理由.

参考答案 一、选择题 1.D 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C 7.A 8.B 9.B 10.A 11. ? 0,1 12.4 13. ?

?

1 3

14. f ( x) ? ? 15.①②③⑤

x( x ? 1) 2

16.解: (1) f ( x) ? sin x ? sin x cos

?
3

? cos x sin

?
3

1 3 3 3 ? sin x ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 2 2 2 2

3 3 ? ? ? ( ) 2 ? ( ) 2 sin( x ? ) ? 3 sin( x ? ) 2 2 6 6
3? 4? ? 2k? ,? x ? ? 2k? , (k ? Z ) 6 6 2 3 4? ? 2k? , k ? Z } . 所以, f (x) 的最小值为 ? 3 ,此时 x 的集合 {x | x ? 3
当 sin( x ?

?

) ? ?1 时, f ( x) min ? ? 3 ,此时 x ?

?

?

(2) y ? sin x 横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍,得 y ? 3 sin x ; 然后 y ? 3 sin x 向左平移
17.解: (1)

? ? 个单位,得 f ( x) ? 3 sin( x ? ) 6 6

30 30 ? 0.05 ? n ? ? 600 n 0.05 25 5 p? ? 30 6

(2) x1 ?

7 ? 40 ? 13 ? 50 ? 4 ? 24 ? 60 ? 9 ? 26 ? 70 ? 9 ? 22 ? 80 ? 5 ? 2 ? 90 ? 2 30 2084 = 30 5 ? 40 ? 14 ? 50 ? 3 ? 17 ? 60 ?10 ? 33 ? 70 ?10 ? 20 ? 80 ? 5 ? 90 x2 ? 30 2069 = 30 2084 2069 15 x2 ? x1 ? ? ? ? 0.5 30 30 30

18.解:

(1)证明:连接 BD, AC 交于 O 点

? PB ? PD ? PO ? BD ? BD ? AC 又? ABCD 是菱形 而 AC ? PO ? O ? BD ⊥面 PAC (2) 由(1) BD ⊥面 PAC

? BD ⊥ PC

S△ PEC ?

2 1 1 ?3 S△ PAC ? ? 6 ? 2 3 ? sin 45? = 6 ? 3 ? 2 2 2
1 1 1 1 ? S ?PEC ? BO ? ? 3 ? ? 2 3 2 2

VP ? BEC ? VB ? PEC ?
19.解:由 a1

?2

a2 ? a4 ? 8

f ( x) ? (an ? an ?1 ? an ? 2 ) x ? an ?1 ? cos x - an ? 2 ? sin x ? ? f(x) an - an ?1 ? an ? 2 - an ?1 ? sin x - an ? 2 ? cos x
f '( ) ? an - an ?1 ? an ? 2 - an ?1 ? 0 2
所以, 2an ?1 ? an ? an ? 2

?

??an ? 是等差数列.
而 a1 ? 2

a3 ? 4

d ?1

? an ? 2 ? n -1 ?1 ? n ? 1 ( )

(2) bn ? (an ? 2

1 1 1 ) (n ? 1 ? n ?1 ) (n ? 1 ? n ?2 ?2 ) an 2 2 2 1 1 ( n) 1(2 ? n ? 1 n 2 2 ) 2 Sn ? ? 1 2 12

1 2n 1 ? n 2 ? 3n ? 1- n 2 =(n ? 3) 1n ?
20.解: (1)令 f ( x) ? x ? a ( ? a )x ? ? 0 ? -1 ?
2

解得 x1 ? 0

x2 ?

a 1 ? a2

a ? ? ? I ? ?x | 0 ? x ? ? 1 ? a2 ? ?
? I 的长度 x2 - x1 ?
(2) k ? ? 0,1? 由 (1) I ?

a 1 ? a2

则 0 ? 1? k ? a ? 1? k ? 2

a 1 ? a2

I'?

1 ? a2 ? 0 ,则 0 ? a ? 1 (1 ? a 2 ) 2

故 I 关于 a 在 (1 ? k ,1) 上单调递增,在 (1,1 ? k ) 上单调递减.

I1 ?
I2 ?

1- k 1 ? ?1- k ?
2

?

1- k 2 ? 2k ? k 2

1? k 2 1 ? 1 ? k) ( 1- k I min ? 2 ? 2k ? k 2

21.解: (1)因为椭圆过点 P ( 2,3)

?
? a ?8
2

2 3 ? 2 ? 1 且 a 2 ? b2 ? c2 2 a b
b ?4
2

c ?4
2

x2 y 2 ? ?1 椭圆 C 的方程是 8 4

(2)

由题意,各点的坐标如上图所示,

8 x0 y?0 则 QG 的直线方程: ? 8 y0 x0 ? x0 x?
化简得 x0 y0 x ? ( x0 2 ? 8) y ? 8 y0 ? 0 又 x0 ? 2 y0 ? 8 ,
2 2

x2 y 2 所以 x0 x ? 2 y0 y ? 8 ? 0 带入 ? ?1 8 4
求得最后 ? ? 0 所以直线 QG 与椭圆只有一个公共点.


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