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第二章函数、导数及其应用(2.1函数及其表示)


函数、导数及其应用
【知识特点】
1.函数、导数及其应用是高中数学的重要内容,本章主要包括函数的概念及其性质, 基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数) ,导数的概念,导数及其几何意义,导数 与函数的单调性、最值,导数在实际问题中的应用等内容。 2.本章内容集中体现了函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法,函数的类型较 多,概念、公式较多,具有较强的综合

性。

【重点关注】
1.函数的概念及其性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)是高考考查的主要内容, 函数的定义域、 解析式、 值域是高考考查重点, 函数性质的综合考查在历年考试中久考不衰, 应重点研究。 2.函数的图象及其变换既是高考考查的重点,又是学生学习的一个难点,应注意区分 各函数的图象及图象的变换,利用图象来研究性质。 3.导数的几何意义,导数在函数的最值及单调性方面的应用是高中数学的一个重点内 容,也是高等数学的必修内容,是近几年高考的一大热点,复习时应引起足够的重视。 4.注意思想方法的应用。数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论思想在各种题 型中均有体现,应引起重视。

【地位与作用】
一、函数在高考中的地位与作用 从 2007、2008、2009 年、2010 年的全国各地的高考试题中可以看出,近几年 高考在函数中的考查有如下特点: 1、 知识点的考查情况 ①映射与函数:以考查概念与运算为主,部分涉及新定义运算; ②定义域、值域、解析式是考查的重点,而且比较稳定,有时结合其它知识点 (一本部分内容为背景) ,分段函数较多、花样翻新; ③函数的单调性在历年考试中久考不衰,且比例有上升趋势,和导函数联系较 多; ④函数的奇偶性主要和单调性、不等式、最值、三角函数等综合,与周期性、

对称性、抽象函数等问题联系较多; ⑤反函数出现在选择题、填空题中,考反函数概念运算可能性较大,若出现在 解答题中,则必定与单调性、奇偶性、不等式、导函数等知识综合,难度较大; ⑥二次函数问题是每年的必考题,一方面直接考查二次函数,另一方面是利用 二次函数的性质解题,三个“二次”问题(即二次函数、二次方程、二次不等式) 是函数考试题中永恒的主题 ⑦指数函数与对数函数以基本概念、性质为主设计试题,考查指数、对数的定 义域、值域、单调性和运算,选择、填空题属中等难度,若解答题涉及到指、对数 函数,往往难度会上升; ⑧函数的图像与最值每年必考, 体现 “形是数的直观反映, 数是形的抽象概括” , 是数学思想方法中的数相结合思想的最直接的表现形式,尤其是函数 y=x+a/x(a> 0)的图像和性质,从未间断过; ⑨函数应用题与综合应用题是最能体现考生函数水平的试题:一次函数、二次 函数、y=x+a/x(a>0)型、指数型、对数型与现实生活相结合,考查学生的建模能 力,而函数与数列、不等式、导函数等众多知识的交汇已经成为函数综合应用中的 典型问题。 2、 常考题型及分值情况 函数在选择、填空、解答三种题型中每年都有考题,所占分值 30 分以上,占全 卷的 20%以上。在高考中占有重要地位。 3、 命题热点及生长点情况 近年来有关函数内容的高考命题趋势是: ①全方位. 近几年来的高考题中,函数的所有知识点都考过,虽然近几年不强 调知识点的覆盖率,但每一年函数知识点的覆盖率依然没有减少。 ②多层次. 在每年的高考题中,函数题抵挡、中档、高档难度都有,且选择、 填空、解答题题型齐全。抵挡难度一般仅涉及函数本身的内容,诸如定义域、值域、 单调性、周期性、图像、反函数,且对能力的要求不高;中、高档难度题多为综合 程度较大的问题,或者是函数与其它知识结合,或者是多种方法的渗透。 ③巧综合. 为了突出函数在中学中的主要地位,近几年来高考强化了函数对其 它知识的渗透,加大了以函数为载体的多种方法、多种能力的综合程度。 ④变角度. 出于“立意”和创新情况的需要,函数试题设置问题的角度和方式

也不断创新。重视函数思想的考查,加大了函数应用题、探索题和信息题的考查力 度,从而使函数考题显得新颖、生动、灵活。 二、导数在高考中的地位与作用 导数是高中数学中重要的内容,是解决实际问题的强有力的数学工具,运用导 数的有关知识,研究函数的性质:单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考 中考察形式多种多样,以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及 导数的应用,也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来,综合考察利用导数研 究函数的单调性、极值、最值,估计 2010 年高考继续以上面的几种形式考察不会有 大的变化: (1)考查形式为:选择题、填空题、解答题各种题型都会考察,选择题、填空 题一般难度不大,属于高考题中的中低档题,解答题有一定难度,一般与函数及解 析几何结合,属于高考的中低档题; (2)2010 年高考可能涉及导数综合题,以导数为数学工具考察:导数的物理 意义及几何意义,复合函数、数列、不等式等知识。 定积分是新课标教材新增的内容,主要包括定积分的概念、微积分基本定理、 定积分的简单应用,由于定积分在实际问题中非常广泛,因而 07 年的高考预测会在 这方面考察,预测 2010 年高考呈现以下几个特点: (1)注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简单的应用;高考中本讲的 题目一般为选择题、填空题,考查定积分的基本概念及简单运算,属于中低档题; (2)定积分的应用主要是计算面积,诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动 等实际问题要很好的转化为数学模型

第一节、函数及其表示
【高考目标定位】
一、考纲点击 1. 了解构成函数的要素, 会求一些简单函数的定义域和值域; 了解映射的概念。 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解 析法)表示函数。

3.了解简单的分段函数,并能简单应用。 二、热点、难点提示 1.本节是函数的起始部分,以考查函数的概念、三要素及表示法为主,同时函 数的图象、分段函数的考查是热点,另外,实际问题中的建模能力偶尔也有所考查。 2.以多种题型出现在高考试题中,要求相对较低,但很重要,特别是函数的表 达式、对应法则,仍是明年高考考查的重要内容。

【考纲知识梳理】
一、函数与映射的概念 函数 两集合 对应关系 设 A、B 是两个非空数集 如果按照某种确定的对应关 映射 设 A、B 是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关

f : A?B

系 f ,使对于集合 A 中的任 系 f ,使对于集合 A 中的任 意一个数 x ,在集合 B 中都 意一个元素 x ,在集合 B 中 有 唯 一 确 定 的 数 f ( x) 和 它 对应。 都有唯一确定的元素 y 与之 对应。 称 f : A ? B 为从集合 A 到 集合 B 的一个映射 对应 f : A ? B 是一个映射

名称

称 f : A ? B 为从集合 A 到 集合 B 的一个函数

记法

y ? f ( x) , x ? A

注:函数与映射的区别:函数是特殊的映射,二者区别在于映射定义中的两个集合是 非空集合,可以不是数集,而函数中的两个集合必须是非空数集。 二、函数的其他有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 y ? f ( x) , x ? A 中, x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与

x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值 { f ( x) | x ? A} 的集合叫做函数的值域
(2)一个函数的构成要素 定义域、值域和对应关系

(3)相等函数 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数。 注:若两个函数的定义域与值域相同,是否为相等函数?(不一定。如果函数 y=x 和 y=x+1,其定义域与值域完全相同,但不是相等函数;再如 y=sinx 与 y=cosx,其定义域为 R, 值域都为[-1,1],显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等,关键是看定义域和对 应关系) (4)函数的表示方法 表示函数的常用方法有:解析法、图象法和列表法。 (5)分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示, 这种函数称为分段函数。 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集, 其值域等于各段函数的值域的并集, 分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是个函数。

【热点、难点精析】
一、求函数的定义域 1、确定函数的定义域的原则 (1)当函数 y=f(x)用列表法给出时,函数的定义域是指表格中实数 x 的集合; (2)当函数 y=f(x)用图象法给出时,函数的定义域是指图象在 x 轴上的投影所覆盖 的实数的集合; (3)当函数 y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集 合; (4)当函数 y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的意义确定。 2、确定函数定义域的依据 (1)若 f(x)是整式,则定义域为全体实数; (2)若 f(x)是分式,则定义域为使分式的分母不为零的 x 取值的集合; (3)当 f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式取非负的 x 取值的集合; (4)当 f(x)是非正数指数幂时,定义域是使幂的底数不为 0 的 x 取值的集合; (5) 若已知函数 f(x)的定义域为[a,b], 其复合函数 f(g(x))定义域由不等式 a≤g(x) ≤b 解出;

(6)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a,b], 则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a,b]时的值 域。 3、例题解析

〖例 1〗(09 长郡中学月考) 已知 、 示把集合 A. 中的元素 映射到集合 B.0 C.1

,集合 的值为(C)



中仍为 ,则 D.

〖例 2〗21. (2009 天津卷文) 设函数 f ( x) ? ? 的解集是( A ) A. (?3,1) ? (3,??) C. (?1,1) ? (3,??) 解析

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 则不等式 f ( x) ? f (1) ? x ? 6, x ? 0

B. (?3,1) ? (2,??) D. (??,?3) ? (1,3)

由已知,函数先增后减再增

当 x ? 0 , f ( x) ? 2 f (1) ? 3 令 f ( x) ? 3, 解得 x ? 1, x ? 3 。 当 x ? 0 , x ? 6 ? 3, x ? ?3 故 f ( x) ? f (1) ? 3 ,解得 ? 3 ? x ? 1或x ? 3 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解 〖例 3〗试判断以下各组函数是否表示同一函数?
3 3 2 (1)f(x)= x ,g(x)= x ;

x ? 0, ?1 |x| ? ? 1 x ? 0; (2)f(x)= x ,g(x)= ?
(3)f(x)=
2 n ?1

x 2n?1 ,g(x)=( 2 n ?1 x )2n-1(n∈N*) ;

(4)f(x)= x

x ? 1 ,g(x)= x 2 ? x ;

(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1。
3 3 2 解: (1)由于 f(x)= x =|x|,g(x)= x =x,故它们的值域及对应法则都不相同,

所以它们不是同一函数;

x ? 0, ?1 |x| ? ? 1 x ? 0; (2)由于函数 f(x)= x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) ,而 g(x)= ?
的定义域为 R,所以它们不是同一函数; (3)由于当 n∈N*时,2n±1 为奇数, ∴f(x)=
2 n ?1

x 2n?1 =x,g(x)=( 2 n ?1 x )2n-1=x,它们的定义域、值域及对应法则都相

同,所以它们是同一函数; (4)由于函数 f(x)= x

x ? 1 的定义域为{x|x≥0},而 g(x)= x 2 ? x 的定义域

为{x|x≤-1 或 x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数; (5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数 注:对于两个函数 y=f(x)和 y=g(x) ,当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相 同时,y=f(x)和 y=g(x)才表示同一函数 若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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相同,反之亦然。 〖例 4〗求下列函数的值域:

2 2 (1) y ? 3x ? x ? 2 ; (2) y ? ? x ? 6 x ? 5 ; (3)

y?

3x ? 1 x?2 ;

(4) y ? x ? 4 1 ? x ; (5) y ? x ? 1 ? x ; (6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ;
2

y?
(7)

2 x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 1 ? sin x y? y ? (x ? ) 2 2 ? cos x 2x ?1 2 ; x ? x ?1 ; (8) (9)
1 23 23 y ? 3x 2 ? x ? 2 ? 3( x ? ) 2 ? ? 6 12 12 ,

解: (1) (配方法)

23 [ , ?? ) 2 y ? 3 x ? x ? 2 ∴ 的值域为 12
改题:求函数 y ? 3x ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域
2

解: (利用函数的单调性)函数 y ? 3x ? x ? 2 在 x ? [1,3] 上单调增
2

∴当 x ? 1 时,原函数有最小值为 4 ;当 x ? 3 时,原函数有最大值为 26 ∴函数 y ? 3x ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域为 [4, 26]
2

(2)求复合函数的值域:
2 y? 设 ? ? ? x ? 6x ? 5 ( ? ? 0 ) ,则原函数可化为

?

又∵ ? ? ? x ? 6 x ? 5 ? ?( x ? 3) ? 4 ? 4 ,
2 2

∴ 0 ? ? ? 4 ,故
2

? ?[0,2] ,

∴ y ? ? x ? 6 x ? 5 的值域为 [0, 2] (3) (法一)反函数法:
y? 3x ? 1 2x ? 1 y? x ? 3 ,其定义域为 {x ? R | x ? 3} , x ? 2 的反函数为

y?
∴原函数

3x ? 1 x ? 2 的值域为 { y ? R | y ? 3}
y? 3x ? 1 3( x ? 2) ? 7 7 ? ? 3? x?2 x?2 x?2 ,

(法二)分离变量法:

7 7 ?0 3? ?3 x?2 ∵ x?2 ,∴ ,

y?
∴函数

3x ? 1 x ? 2 的值域为 { y ? R | y ? 3}

2 (4)换元法(代数换元法) :设 t ? 1 ? x ? 0 ,则 x ? 1 ? t ,

∴原函数可化为 y ? 1 ? t ? 4t ? ?(t ? 2) ? 5(t ? 0) ,∴ y ? 5 ,
2 2

∴原函数值域为 (??,5] 注:总结 y ? ax ? b ? cx ? d 型值域, 变形: y ? ax ? b ? cx ? d 或 y ? ax ? b ? cx ? d
2 2
2

(5)三角换元法:
2 ∵ 1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,∴设 x ? cos ? , ? ?[0, ? ] ,

y ? cos ? ? sin ? ? 2 sin(? ?


?
4

)

∵ ? ?[0, ? ] ,∴

??

?

? 5? ? 2 ?[ , ] sin(? ? ) ?[? ,1] 4 4 4 ,∴ 4 2 ,

2 sin(? ?


?
4

) ? [ ?1, 2]


∴原函数的值域为 [?1, 2]
??2 x ? 3 ( x ? ?4) ? y ?| x ? 1| ? | x ? 4 |? ?5 (?4 ? x ? 1) ?2 x ? 3 ( x ? 1) ?

(6)数形结合法:



∴ y ? 5 ,∴函数值域为 [5, ??)
2 (7)判别式法:∵ x ? x ? 1 ? 0 恒成立,∴函数的定义域为 R

y?


2 x2 ? x ? 2 2 x 2 ? x ? 1 得: ( y ? 2) x ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0



①当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,①即 3 x ? 0 ? 0 ,∴ x ? 0 ? R
2 ②当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,∵ x ? R 时方程 ( y ? 2) x ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 恒有实根,

∴△ ? ( y ? 1) ? 4 ? ( y ? 2) ? 0 ,
2 2

∴1 ? y ? 5 且 y ? 2 , ∴原函数的值域为 [1,5]
1 2 x 2 ? x ? 1 x(2 x ? 1) ? 1 1 1 1 y? ? ? x? ? x? ? 2 ? 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2 x?1 2 2 (8) ,

x?


1 1 x? ?0 2 ,∴ 2 ,

1 1 1 1 2 x? ? ? 2 (x ? ) 2 2 x?1 2 (x ? 1) 2 2 ∴

? 2



1 1 x? ? 2 1? 2 2 x?1 x? 2 时等号成立 2 时,即 当且仅当

y? 2?


1 2,

1 [ 2 ? , ??) 2 ∴原函数的值域为
(9) (法一)方程法:原函数可化为: sin x ? y cos x ? 1 ? 2 y ,



1 ? y sin( x ? ? ) ? 1 ? 2 y
2

cos ? ?
(其中

1 1? y
2

,sin ? ?

y 1? y2 ) ,

sin( x ? ? ) ?
∴ ∴

1? 2 y 1? y2


?[?1,1]


|1 ? 2 y |? 1 ? y 2
2

∴ 3y ? 4 y ? 0 ,

0? y?


4 3,

4 [0, ] 3 ∴原函数的值域为
注: 上面讨论的是用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法, 掌握这些方法对于以 后的复习中求解综合性的题目时是非常有用的。 二、求函数的解析式 1、函数的解析式的求法 (1)待定系数法。若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) ,可用待定系数法。 (2)换元法。已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意变量的取值 范围. (3)解方程组法。已知 f(x)满足某个等式,这个等式除 f(x)是未知量外,还出现其 他未知量,如 f(-x)、f( 程组求出 f(x) 2、例题解析

1 )等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方 x

1 1 f ( x ? ) ? x3 ? 3 x x ,求 f ( x) ; (1)已知 2 f ( ? 1) ? lg x x (2)已知 ,求 f ( x ) ;

(3)已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x ) ;

(4)已知 f ( x ) 满足

1 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x x ,求 f ( x ) ;

1 1 1 1 f ( x ? ) ? x3 ? 3 ? ( x ? )3 ? 3( x ? ) x x x x , 解: (1)配凑法:∵
∴ f ( x) ? x ? 3x ( x ? 2 或 x ? ?2 ) ;
3

2 2 ?1 ? t x? t ?1 , (2)换元法:令 x ( t ? 1) ,则 f (t ) ? lg


2 2 f ( x) ? lg t ?1 , x ?1

( x ? 1)


(3)待定系数法:设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) , 则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 3ax ? 3a ? 3b ? 2ax ? 2a ? 2b ? ax ? b ? 5a ? 2 x ? 17 , ∴ a ? 2,b ? 7 , ∴ f ( x) ? 2 x ? 7 ;

1 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x x (4)方程组法: 1 1 3 2 f ( ) ? f ( x) ? x x 把①中的 x 换成 x ,得 3 f ( x) ? 6 x ? 1 x。 3 x



②,

① ?2 ? ②得

f ( x) ? 2 x ?


三、分段函数及实际应用题 1、相关链接 (1)解决分段函数的基本原则是分段进行; (2)对于实际应用题应根据题意确定好分段点,在每一段上分析出其解析式; (3)对于分段函数的最值问题,一般是将每一段上的最值分别求出,其中的最大者就 是整个函数的最大值,其中的最小者就是整个函数的最小值。

四、函数的综合应用 〖例 1〗 已知函数 f(x)的定义域为 R, 且对于一切实数 x 满足 f(x+2)=f(2-x),f(x+7)=f(7 -x) (1)若 f(5)=9,求:f(-5); (2)已知 x∈ [2,7]时,f(x)=(x-2)2,求当 x∈[16,20]时,函数 g(x)=2x-f(x)的表达式, 并求出 g(x)的最大值和最小值; (3)若 f(x)=0 的一根是 0,记 f(x)=0 在区间[-1000,1000]上的根数为 N,求 N 的最小 值。 解 ∴ (1)由 f(x+2)=f(2-x)及 f(x+7)=f(7-x)得:f(x)的图像关于直线 x=2,x=7 对称。 f(x)=f[(x-2)+2] =f[2-(x-2)]=f(4-x) =f[7-(3+x)]=f(7+(3+x)) =f(x+10) ∴f(x)是以 10 为周期的周期函数。 ∴f(-5)=f(-5+10)=f(5)=9 (2)当 x∈[16,17],x-10∈[6,7] ∴f(x)=f(x-10)=(x-10-2)2=(x-12)2 当 x∈(17,20 ] ,x-20∈(-3,0 ] ,4-(x-20)∈[4,7 ) ∴f(x)=f(x-20)=f[4-(x-20)] =f(24-x)=(x-22) ∴g(x)= ?
2

2 ? ?2 x ? ( x ? 12) 2 ? ?2 x ? ( x ? 22)

x ? [16,17] x ? (17,20]

∵x∈ [16,17]时,g(x)最大值为 16,最小值为 9;x∈(17,20 ] ,g(x)>g(17)=9,g(x) ≤g(20)=36 ∴g(x)的最大值为 36,最小值为 9。 (3)由 f(0)=0,及 f(0)=f(4)=0,知 f(0)在 [0,10) 上至少有两个解。 而在[-1000,1000 ) 上有 200 个周期,至少有 400 个解。又 f(1000)=0 所以最少有 401 个解。且这 401 个解的和为-200。



题中(2)可根据函数图像的对称性、函数的周期性,通过作图得到
2 ? ?( x ? 12) f(x)= ? 2 ? ?( x ? 22)

x ? [16,17] x ? (17,20]

一般地:当 x∈[-3,2]时,4-x∈[2,7] ∴f(x)=f(4-x)=(x-2)
2

∴当 x∈[-3,7],f(x)=(x-2)

2

故当 x∈[-3+10k,7+10k],x-10k∈[-3,7] ∴f(x)= (x-10k-2) (k∈z) ∴f(x)= (x-10k-2)
2 2

x∈[-3+10k,7+10k],(k∈Z)

〖例 2〗 设 a 是正数,ax+y=2(x≥0,y≥0),记 y+3x- (1)M(a)的表达式; (2)M(a)的最小值。 解 将代数式 y+3x-

1 2 x 的最大值是 M(a),试求: 2

1 2 x 表示为一个字母,由 ax+y=2 解出 y 后代入消元,建立关于 x 2 1 2 x ,将 y=2-ax 代入消去 y,得: 2

的二次函数,逐步进行分类求 M(a)。 (1)设 S(x)=y+3x- S(x)=2-ax+3x- =-

1 2 x 2

1 2 x +(3-a)x+2 2 1 2 1 2 =- [x-(3-a)] + (3-a) +2(x≥0) 2 2
∵y≥0 ∴2-ax≥0 而 a>0 ∴0≤x≤

2 a

下面分三种情况求 M(a) (i)当 0<3-a<

2 (a>0),即 a

?0 ? a ? 3 时 ? 2 a ? 3 a ? 2 ? 0 ?
解得 0<a<1 或 2<a<3 时 M(a)=S(3-a)=

1 2 (3-a) +2 2

(ii)当 3-a≥

2 (a>0)即 a

?a ? 0 时, ? 2 ?a ? 3a ? 2 ? 0
解得:1≤a≤2,这时 M(a)=S(

2 2 2 1 2 2 )=2-a· +3· - · ( ) a a a 2 a 2 6 =- 2 + a a

(iii)当 3-a≤0;即 a≥3 时 M(a)=S(0)=2 综上所述得:

?1 2 (0 ? a ? 1) ? 2 (3 ? a ) ? 2     ? 2 6 ? (1 ? a ? 2) ?? 2 ?       M(a)= ? a a ?1 2 (  2 ? a ? 3) ? (3 ? a ) ? 2     ?2 ? (a ? 3) ?2         

(2)下面分情况探讨 M(a)的最小值。 当 0<a<1 或 2<a<3 时 M(a)=

1 2 (3-a) +2>2 2

当 1≤a≤2 时

2 6 1 3 2 9 + =-2( - ) + 2 a a 2 2 a 1 1 ∵1≤a≤2 ? ≤ ≤1 2 a 1 1 ∴当 = 时,M(a)取小值,即 a 2 5 M(a)≥M(2)= 2
M(a)=- 当 a≥3 时,M(a)=2 经过比较上述各类中 M(a)的最小者,可得 M(a)的最小值是 2。 注:解题经验的积累,有利于解题思路的挖掘,对参数 a 的分类,完全依据二次函数顶

点的横坐标 3-a 是否在定义域区间[0, 案。

2 ]内,这样就引出三种讨论情况,找出解题的方 a

【感悟高考真题】
1. (2009 浙江理)对于正实数 ? ,记 M ? 为满足下述条件的函数 f ( x ) 构成的集合:

?x1 , x2 ? R 且 x2 ? x1 ,有 ?? ( x2 ?x1 ) ?f (x 2) ? f (x ) 1
( )

? (x ?2 x ? ) 1

. 下列结论中正确的是

A.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M? 1?? 2 B.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 g ( x) ? 0 ,则

f ( x) ? M ?1 g ( x) ?2

C.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 D.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 ?1 ? ?2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 答案:C 【解析】对于 ?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) ,即有 ?? ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?? , x2 ? x1



f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? k , 有 ?? ? k ? ? , 不 妨 设 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 , 即 有 x2 ? x1

??1 ? k f ? ?1 , ??2 ? kg ? ?2 , 因 此 有 ??1 ? ? 2? k f ? kg ? ? ?1? , 2 因 此 有
f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 .
2.(2009 山东卷理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? 则 f(2009)的值为( A.-1 B. 0 ) C.1 D. 2

?log2 (1 ? x), x ? 0 , ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

【解析】:由已知得 f (?1) ? log 2 2 ? 1 , f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? ?1 ,

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ?1 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ?1 ? (?1) ? 0 , f (4) ? f (3) ? f (2) ? 0 ? (?1) ? 1 , f (5) ? f (4) ? f (3) ? 1 , f (6) ? f (5) ? f (4) ? 0 ,
所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2009)= f(5)=1,故选 C. 答案:C. 3. (2008 年全国卷一 1)函数 y ?

x( x ?1) ? x 的定义域为( C )

A. ? x | x ≥ 0? C. ? x | x ≥ 1?
答案:C

B. ? x | x ≥ 1?

?0?

D. ? x | 0 ≤ x ≤ 1?

4. (上海卷 11)方程 x + 2x-1=0 的解可视为函数 y=x+ 2的图像与函数 y=

2

1

x

的图像交点的横坐标,若 x4+ax-4=0 的各个实根 x1,x2,?,xk (k≤4)所对应 4 的点(xi , )(i=1,2,?,k)均在直线 y=x 的同侧,则实数 a 的取值范围是

xi

(-∞, -6)∪(6,+∞); 5. (2010 辽宁理数)(1O)已知点 P 在曲线 y=
角,则 a 的取值 范围是 (A)[0,

4 上,a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜 e ?1
x

? ) 4

(B) [

? ?

, ) 4 2

? 3? ( , ] 2 4

(D) [

3? ,? ) 4

【答案】D 【命题立意】本题考查了导数的几何意义,求导运算以及三角函数的知识。 【解析】因为 y ?
'

?4e x ?4 3? ?? ?? ? x ? ?1 ,即 tan a≥-1,所以 x 2 x 4 (e ? 1) e ?2?e

6. ( 2010 上海文数) 9. 函数 f ( x) ? log 的反函数的图像与 y 轴的交点坐标是 x? 3) 3 ( (0,?2) 。

解析:考查反函数相关概念、性质 法一:函数 f ( x) ? log3 ( x ? 3) 的反函数为 y ? 3 x ? 3 ,另 x=0,有 y=-2 法 二 : 函 数 f ( x) ? log3 ( x ? 3) 图 像 与 x 轴 交 点 为 ( -2,0 ) ,利用对称性可知,函数

f ( x) ? log3 ( x ? 3) 的反函数的图像与 y 轴的交点为(0,-2)

【考点精题精练】
一、选择题

1.

(湖南长沙周南中学·2009 年高一月考)下列各组函数表示同一函数的是(



A. f ( x) ? C. f ? x ? ? ?

x 2 , g ( x) ? ( x ) 2
? x? x ? 0 ? , g ?t ? ? t ?? x?x ? 0?

B. f ( x) ? 1, g ( x) ? x0 D. f ( x ) ? x ? 1 , g ( x ) ?

x2 ? 1 x ?1

2.

(湖南长沙周南中学·2009 年高一月考)下列函数中,值域是 R+ 的是( B. y ?



A.y= x 2 ? 2x ? 1 C. y ?

x?2 ?x ? ?0,?? ?? x ?1

1 ?x ? N ? x ? 2x ? 1
2

D .y?

1 x ?1
x 的定义域为( )

3.

(黑龙江庆安一中·2009 高一期中)函数 y ? 1 ? x ? A. ?x | x ? 0? B. ?x | x ? 1? C. ?x | x ? 1?

?0?

D. ?x | 0 ? x ? 1?

4.

(黑龙江庆安三中·2010 届高三 10 月月考(文) )设 a ? b ,函数 y ? (a ? x)( x ? b) 2 的 y x O a A 图象可能是( ) b O a B b y x O a C b y x O a D b y x

解析: 可得 y ? (a ? x)( x ? b)2 ? ?( x ? a)( x ? b)2 当

a , b 是函数的两个零点

x ? a 时, 则 f ( x) ? 0

当 a ? x ? b 时, 则 f ( x) ? 0, 故选 B 且 ,则( )

当 x ? b 时, 则 f ( x) ? 0, 5. (黑龙江庆安一中·2009 高一期中)设

A.

B.

C.

D.

6.

(北京市二十中学●高一检测)下列四个图形中,不是 以 x 为自变量的函数的图象是 ..
y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

A 答案:C

B

C

D

7. (北京市二十中学●高一检测)下列函数中,与函数 y = x (x≥0)有相同图象的一个是 A. y = x 2 C. y = 3 x3 答案:B.
2 ? ? x ? bx ? c, x ? 0 f ( x) ? ? ,若 f (?4) ? f (0), f (?2) ? ?2 ,则关于 x 的 ? x?0 ?2,

B. y = ( D. y =

x )2

x2 x

8.设函数

方程

f ( x) ? x 的解的个数是(
B.2

) C.3 D.4

A.1

9. (安徽阜南一中●2010 届月考) 函数 则

f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2? ? 13 , 若 f ?0? ? 2 ,

f (2010) =





A.

13

B. 2

13 C. 2

D.

2 13
,如果存在函数 为函

10 . (09 周 口 中 英 文 学 校 月 考 ) 定 义 在 实 数 集 上 的 函 数 ,使得 数 的一个承托函数.给出如下命题: ,其承托函数可能不存在,也可能有无数个 不存在承托函数; 的一个承托函数;

对于一切实数都成立,那么称

1 对给定的函数

2 定义域和值域都是的函数 3 为函数

4

为函数

的一个承托函数

其中,正确的命题个数是( C ) A.0 B.1 C.2 D.3

11 . ( 09 吉 安 市 第 一 中 学 月 考 ) 下 列 两 个 变 量 之 间 的 关 系 哪 个 不 是 函 数 关 系 ( B A、角度和它的正切值 C、正方体的棱长和表面积 ) B、人的右手一柞长和身高 D、真空中自由落体运动物体的下落距离和下落时间

12.(09 天津一百中学月考) 若两个函数的对应关系相同,值域相同,但定义域不同,则称 这两个函数为同族函数。那么与函数 A1个 B 2个 C3个 D 4个 为同族函数的个数有(B )

二、填空题 1. (浙江·09 年长征中学高一二检)14、设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x ? [0, ??) 时 f(x)是增函数,则 f (?2), f (? ), f (?3) 的大小关系是 2. (湖北部分高中· 2010 届高三联考) 函数 y ?

1

log0 . 5 (4 x2 ? 3 x )

的定义域为

? 1 ? ?3 ? ? , 0 ? ? ,1? ? ? 4 ? ?4 ?

.

3. (湖北黄冈中学·2010 届高三 10 月月考)已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的图象如 图所示,f ( ) ? ?

?

2

2 , 则 f( 0 ) ? 3



2 答案: 3 2? 解析:由图象可得最小正周期为 3 . f (0) ? f (
所以

2? 2? ? 7? 2? ? 2 ) f( )??f( )? 3 ,注意到 3 与 2 关于 12 对称,故 3 2 3.

4. (广东龙湾中学●高三月考)若对任意的 x ? R, f ?( x) ? 4 x 3 , f (1) ? ?1, 则 f ( x) 的解 析式为 f ( x) ? x4 ? 2 三、解答题

1. ( 湖 北 黄 冈 中 学 · 2010 届 高 三 10 月 月 考 ) ( 本 题 满 分 13 分 ) 已 知 函 数

1 f ( x)? ( x) , x?? ? 1 ,1 g ( x) ? f 2 ( x) ? 2af ( x) ? 3 的最小值为 h(a) ? ,函数 3
(1)求 h(a) 的解析式; (2) 是否存在实数 m , n 同时满足下列两个条件: ①m ? n ? 3; ②当 h(a) 的定义域为 ? n , m?
2 2 时,值域为 ? ?n , m ? ? ?若存在,求出 m , n 的值;若不存在,请说明理由.

?1 ? ?1 ? 1 f ( x) ? ? ,3? t ? f ( x) ? ? ,3? f ( x) ? ( ) x , x ? ? ?1,1? ? 3 ? ,令 ?3 ? 3 解: (1)由 ,知
. . . . . . . . . . . .1 分 记 g ( x) ? y ? t ? 2at ? 3 ,则 g ( x) 的对称轴为 t ? a ,故有:
2

a?
①当

1 28 2a h( a ) ? ? g ( x ) 3 时, 9 3 的最小值

②当 a ? 3 时, g ( x) 的最小值 h(a) ? 12 ? 6a

1 ?a?3 2 ③当 3 时, g ( x) 的最小值 h(a) ? 3 ? a

? 28 2a ?9 ? 3 ? ? 2 综述, h(a ) ? ?3 ? a ? ?12 ? 6a ? ?

a?

1 3
. . . .7 分

1 ?a?3 3 a?3

(2)当 a ? 3 时, h(a) ? ?6a ? 12 .故 m ? n ? 3 时, h(a) 在 ?n, m? 上为减函数. 所以 h(a) 在 ?n, m? 上的值域为 ? h(m), h(n)? . . . . . . .9 分

由题,则有 ?

? h( m) ? n 2 ??6m ? 12 ? n 2 ? ? ,两式相减得 6n ? 6m ? n2 ? m2 ,又 m ? n ? ? 2 2 ? h( n) ? m ??6n ? 12 ? m ? ?

所以 m ? n ? 6 ,这与 m ? n ? 3 矛盾.故不存在满足题中条件的 m , n 的值. . . . . . . .13 分 2. (山东沂源●高三月考) (本小题满分 12 分) 已知 M (1 ? cos2x,1), N (1, 3 sin 2x ? a) ( x ? R, a ? R, a 是常数) , 且 y ? OM ? ON (O 为 坐标原点). (1)求 y 关于 x 的函数关系式 y ? f ( x) ; (2)若 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) 的最大值为 4,求 a 的值;

(3)在满足(2)的条件下,说明 f ( x) 的图象可由 y ? sin x 的图象如何变化而得到? 解: (1) y ? OM ? ON ? 1 ? cos2x ? 3 sin 2x ? a ,所以

f ( x) ? cos2x ? 3 sin 2x ? 1 ? a
(2) f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 1 ? a ,因为 0 ? x ?

?
2

, 所以

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? ? ? ? , 当 2 x ? ? 即 x ? 时 f ( x) 取最大值 3+ a , 6 6 2 6

所以 3+ a =4, a =1

? ? 个单位得到函数 f ( x) ? sin( x ? ) 的图象; 6 6 ? 1 ②将函数 f ( x) ? sin( x ? ) 的图象保持纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 得到函数 6 2 ? f ( x) ? sin( 2 x ? ) 的图象; 6 ? ③将函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? ) 的图象保持横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍得到函数 6 ? f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ) 的图象; 6 ? 2x (? ) 的 图 象 向 上 平 移 2 个 单 位 , 得 到 函 数 ④ 将 函 数 f ( x) ? 2 s i n 6 ? f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ) +2 的图象。 6
(3)①将 y ? sin x 的图象向左平移


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