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2009年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(文史类)


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2009 福建数学试题(文史类)
第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.若

集合 A ? ?x | x ? 0.? B ? ?x | x ? 3? ,则 A ? B 等于 A. {x | x ? 0} 2. 下列函数中,与函数 y ? A f ( x) ? ln x B {x | 0 ? x ? 3} C {x | x ? 4} DR

1 有相同定义域的是 x
1 x
C f ( x) ?| x | D f ( x) ? e
x

B f ( x) ?

3.一个容量 100 的样本,其数据的分组与各组的频数如下表 组别

(0,10]

(20, 20]

(20,30)

(30, 40)

(40,50]

(50,60]

(60,70]

频数

12

13

24

15

16

13

7

则样本数据落在 (10, 40) 上的频率为 A. 0.13 B. 0.39 C. 0.52 D. 0.64

x2 y 2 4. 若双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? o ? 的离心率为 2,则 a 等于 a 3
A. 2 C. B. D. 1

3

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3 2

5. 如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形, 且体积为

1 。则该集合体的俯视图可以是 2

6. 阅读图 6 所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是 A.-1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知锐角 ?ABC 的面积为 3 3 , BC ? 4, CA ? 3 ,则角 C 的大 小

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为 A. 75° B. 45° B. 60° D.30°
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8. 定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 的部分图像如右图所示, 则在 ? ?2,0 ? 单调性不同的是 A. y ? x2 ? 1 B. y ?| x | ?1 C. y ? ?

上, 下列函数中与 f ? x ? 的

?2 x ? 1, x ? 0
3 ? x ? 1, x ? 0

?e x , x ? o ? D. y ? ? ? x ?e , x ? 0 ?

?x ? y ?1 ? 0 ? 9.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( ? 为常数)所表示的平面区域内的面积等 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
于 2,则 a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
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10. 设 m, n 是平面 ? 内的两条不同直线; l1 , l2 是平面 ? 内的两条相交直线,则 ? // ? 的一个充分 而不必要条件是 A. m // ? 且l1 // ? B. m // l1且n // l2
x

C. m // ? 且n // ?

D. m // ? 且n // l2

11.若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则 f ? x ? 可以是 A. f ? x ? ? 4x ?1 C. f ? x ? ? e ?1
x

B. f ? x ? ? ( x ?1) D. f ? x ? ? In ? x ?

2

? ?

1? ? 2?

12.设 a,b,c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 a 与 b 不共线, a ? c ∣a∣=∣c∣,则∣b ? c∣的值一定等于 A. 以 a,b 为两边的三角形面积 B 以 b,c 为两边的三角形面积 C.以 a,b 为邻边的平行四边形的面积 D 以 b,c 为邻边的平行四边形的面积
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第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置。 13. 复数 i ?1+i ? 的实部是
2



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? 14. 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点, 若在该圆周上随机取一点 B, 则劣弧 ab 的长度小于
1 的概率为 ;
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15. 若曲线 f ? x ? ? ax2 ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 16. 五位同学围成一圈依序循环报数,规定: ①第一位同学首次报出的数为 1.第二位同学首次报出的数也为 1,之后每位同学所报出的数都是 前两位同学所报出的数之和; ②若报出的是为 3 的倍数,则报该数的同学需拍手一次 当第 30 个数被报出时,五位同学拍手的总次数为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分)2 分) 等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和
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Sn 。

18.(本小题满分 12 分) 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现一次有放回地随机摸取 3 次,每次摸取一个球 (I)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果; (Ⅱ)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得总分为 5 的概率。
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19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |?

?

2 ?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; (I)若 cos cos, ? ? sin 4 4

?

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(Ⅱ) (I) 在 的条件下, 若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? , 求函数 f ( x ) 3

的解析式; 并求最小正实数 m , 使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数。

20.(本小题满分 12 分) 如图,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60 , AB ? 2, AD ? 4 将
?

?CBD 沿 BD 折起到 ?EBD 的位置,使平面 EDB ? 平面 ABD (I)求证: AB ? DE (Ⅱ)求三棱锥 E ? ABD 的侧面积。
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21.(本小题满分 12 分)

1 3 x ? ax 2 ? bx, 且 f '(?1) ? 0 3 (I)试用含 a 的代数式表示 b ;
已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间;
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( Ⅲ ) 令 a ? ?1 , 设 函 数 f ( x ) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处 取 得 极 值 , 记 点

M ( x1 , f ( x1 )), N ( x2 , f ( x2 )) ,证明:线段 MN 与曲线 f ( x) 存在异于 M 、 N 的公共点;

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22.(本小题满分 14 分) 已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
10 3

的左顶点 A 和上顶点 D,椭圆 C 的右顶点为 B ,点 S 和椭 圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线, AS , BS 与直线 l : x ? 分别交于 M , N 两点。 (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求线段 MN 的长度的最小值; (Ⅲ)当线段 MN 的长度最小时,在椭圆 C 上是否存在这 样的点 T ,使得 ?TSB 的面积为

1 ?若存在,确定点 T 的个数,若不存在,说明理由 5

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