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平面向量导学案


学案 25

平面向量及其线性运算

导学目标:1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.3. 理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、 减法的运算, 并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运 算及其意义,理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

自主梳理 1.向量的有

关概念 (1)向量的定义:既有______又有______的量叫做向量. (2)表示方法:用来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示 → → 向量的方向.用字母 a,b,…或用AB,BC,…表示. (3)模:向量的______叫向量的模,记作________或_______. (4)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作 0;零向量的方向是________. (5)单位向量:长度为____单位长度的向量叫做单位向量.与 a 平行的单位向量 e= ____________. (6)平行向量:方向______或______的______向量;平行向量又叫____________,任一 组平行向量都可以移到同一直线上.规定:0 与任一向量______. (7)相等向量:长度______且方向______的向量. 2.向量的加法运算及其几何意义 → → → (1)已知非零向量 a,b,在平面内任取一点 A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做 a 与 b → → 的,记作,即=AB+BC=,这种求向量和的方法叫做向量加法的.? (2)以同一点 O 为起点的两个已知向量 a,b 为邻边作 ? OACB,则以 O 为起点的对 → 角线OA就是 a 与 b 的和,这种作两个向量和的方法叫做向量加法的. (3)加法运算律 a+b=________ (交换律); (a+b)+c=____________(结合律). 3.向量的减法及其几何意义 (1)相反向量 与 a____________、____________的向量,叫做 a 的相反向量,记作______. (2)向量的减法 ①定义 a-b=a+________,即减去一个向量相当于加上这个向量的____________. → → → → ②如图,AB=a, ,AD=b,则AC=,DB=____________.

4.向量数乘运算及其几何意义 (1)定义:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作______,它的长度与方向规定如下: ①|λa|=______; ②当 λ>0 时,λa 与 a 的方向______;当 λ<0 时,λa 与 a 的方向______;当 λ=0 时,λa =______. (2)运算律 设 λ,μ 是两个实数,则 ①λ(μa)=________.(结合律) ②(λ+μ)a=________.(第一分配律) ③λ(a+b)=__________.(第二分配律)

(3)两个向量共线定理:向量 b 与 a (a≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使 b =λa. 5.重要结论 → 1→ → → PG= (PA+PB+PC)?G 为△ABC 的________; 3 → → → PA+PB+PC=0?P 为△ABC 的________. 自我检测 → 1. ( 2010 ·四川)设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC = 16 , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? → | AB ? AC = AB ? AC ,|则|AM|等于( ) A.8 B.4 C.2 D.1 2.下列四个命题: ①对于实数 m 和向量 a,b,恒有 m(a-b)=ma-mb; ②对于实数 m 和向量 a,b (m∈R),若 ma=mb,则 a=b; ③若 ma=na (m,n∈R,a≠0),则 m=n; ④若 a=b,b=c,则 a=c, 其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 → → → → → 3.在 ? ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则MN等于( ) 1 1 1 1 A.- a+ b B.- a+ b 4 4 2 2 1 3 3 C.a+ b D.- a+ b 2 4 4 → → → → → 4. (2010· 湖北) 已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0.若存在实数 m 使得AB+AC =m,成立,则 m 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 → 5.(2009·安徽)在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若AC= → → λAE+μAF,其中 λ、μ∈R,则 λ+μ=______.

探究点一 平面向量的有关概念辨析 例 1 ①有向线段就是向量,向量就是有向线段; ②向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; → → ③向量AB与向量CD共线,则 A、B、C、D 四点共线; ④如果 a∥b,b∥c,那么 a∥c. 以上命题中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 变式迁移 1 下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号). ①|a|=|b|?a=b; ②若 a=b,b=c,则 a=c; ③|a|=0?a=0; → → ④若 A、B、C、D 是不共线的四点,则AB=DC?四边形 ABCD 是平行四边形. 探究点二 向量的线性运算 例 2 (2011·开封模拟)已知任意平面四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的中点. → 1 → → 求证:EF= (AB+DC). 2

变式迁移 2(2011·深圳模拟)如图所示,若四边形 ABCD 是一个等腰梯形,AB∥DC, → → → → → M、N 分别是 DC、AB 的中点,已知AB=a,AD=b,DC=c,试用 a、b、c 表示BC,MN, → → DN+CN.

探究点三 共线向量问题 → → 例 3 如图所示,平行四边形 ABCD 中,AD=b,AB=a,M 为 AB 中点,N 为 BD 靠近 B 的三等分点,求证:M、N、C 三点共线.

变式迁移 3 设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. → → → (1)如果AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,求证:A、C、D 三点共线; → → → (2)如果AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,CD=2e1-ke2,且 A、C、D 三点共线,求 k 的 值.

→ 1 → → 1.若点 P 为线段 AB 的中点,O 为平面内的任意一点,则OP= (OA+OB).如图所示. 2

2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量与三点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. 3.三点共线的性质定理: → → (1)若平面上三点 A、B、C 共线,则AB=λBC. → → → (2) 若平面上三点 A、 B、 C 共线, O 为不同于 A、 B、 C 的任意一点, 则OC=λOA+μOB, 且 λ+μ=1.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.若 O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( ) → → → → → → A.EF=OF+OE B.EF=OF-OE → → → → → → C.EF=-OF+OE D.EF=-OF-OE → → → 2.设 a,b 为不共线向量,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则下列关系式 中正确的是( ) → → → → A.AD=BC B.AD=2BC → → → → C.AD=-BC D.AD=-2BC 3.(2011· 杭州模拟)设 a,b 是任意的两个向量,λ∈R,给出下面四个结论: ①若 a 与 b 共线,则 b=λa; ②若 b=-λa,则 a 与 b 共线; ③若 a=λb,则 a 与 b 共线; ④当 b≠0 时,a 与 b 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ=λ1,使得 a=λ1b. 其中正确的结论有( ) A.①② B.①③ C.①③④ D.②③④ → → → → → 4.在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足BD=2DC,则AD等于( ) 2 1 5 2 A. b+ c B. c- b 3 3 3 3 2 1 1 2 C. b- c D. b+ c 3 3 3 3 → → 5.(2010·广东中山高三六校联考)在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,AD=2DB, → 1→ → CD= CA+λCB,则 λ 等于() 3 2 1 1 2 A. B. C.- D.- 3 3 3 3 1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) → → → 6.(2009·湖南)如下图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若AD=xAB+yAC, 则 x=______,y=__________.

???? → → → → 7.已知 OP1 =a,OP2=b,P1P2=λPP2,则OP=_________.
→ 8.(2011·青岛模拟)O 是平面上一点,A,B,C 是平面上不共线三点,动点 P 满足OP 1 → → → → → → =OA+λ(AB+AC),λ= 时,则PA· (PB+PC)的值为________. 2 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)若 a,b 是两个不共线的非零向量,a 与 b 起点相同,则当 t 为何值时,a,tb, 1 (a+b)三向量的终点在同一条直线上? 3

10.(12 分)在△ABC 中, → 用 a,b 表示AP.

AD

1 AE 1 → → BE 与 CD 交于点 P,且AB=a,AC=b, ? , ? , AB 3 AC 4

11.(14 分)(2011· 黄山模拟)已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点. → → → (1)求GA+GB+GO; 1 → → → → (2)若 PQ 过△ABO 的重心 G,且,OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证: + m 1 =3. n

答案自主梳理 1.(1)大小方 (4) 任意的 向(2)有向线段(3)长度|a|? AB | a ± |a| (6) 相同 相反 非零 共线向量 平行 (7) 相等 相同
?

(5)1 个

→ 2.(1)和 a+b a+b AC 三角形法则 (2)平行四边形法则 (3)b+a a+(b+c) 3.(1)长 度相等 方向相反 -a (2)①(-b) 相反向量 ②a+b a-b 4.(1)λa ①|λ||a| ②相同 相反 0 (2)①(λμ)a ②λa+μa ③λa+λb 5.(1)重心 (2)重心 自我检测 1.

2.C [①根据实数与向量积的运算可判断其正确;②当 m=0 时,ma=mb=0,但 a 与 b 不一定相等,故②错误;③正确;④由于向量相等具有传递性,故④正确.] → → → → 3.A [由AN=3NC得 4AN=3AC=3(a+b), 1 ? 1 → → 3 又AM=a+ b,所以MN= (a+b)-? ?a+2b? 2 4 1 1 =- a+ b.] 4 4 4.B [由题目条件可知,M 为△ABC 的重心,连接 AM 并延长交 BC 于 D, → 2→ 则AM= AD,① 3 → → → → 因为 AD 为中线,AB+AC=2AD=mAM, → → 即 2AD=mAM,② 联立①②可得 m=3.] 4 5. 3

→ → 解析设AB=a,AD=b, 1 → 1 → → 那么AE= a+b,AF=a+ b,又∵AC=a+b, 2 2 2 → 2 → → AC= (AE+AF),即 λ=μ= , 3 3 4 ∴λ+μ= . 3 课堂活动区 例 1 D [①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段; ②不正确,若 a 与 b 中有一个为零向量时也互相平行,但零向量的方向是不确定的,故 两向量方向不一定相同或相反; ③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行; ④不正确,如果 b=0 时,则 a 与 c 不一定平行. 所以应选 D.] 变式迁移 1 ②③④ 解析 ①模相同,方向不一定相同, 故①不正确; ②两向量相等,要满足模相等且方向相同,故向量相等具备传递性,②正确; ③只有零向量的模才为 0,故③正确; → → ④AB=DC,即模相等且方向相同,即平行四边形对边平行且相等.故④正确. 故应选②③④. 例 2 证明 方法一 如图所示,

→ → → → 在四边形 CDEF 中,EF+FC+CD+DE=0.① → → → → 在四边形 ABFE 中,EF+FB+BA+AE=0.② ①+②得 → → → → → → → → (EF+EF)+(FC+FB)+(CD+BA)+(DE+AE)=0. ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点, → → → → ∴FC+FB=0,DE+AE=0. → → → → → ∴2EF=-CD-BA=AB+DC, → 1 → → 即EF= (AB+DC).

2

方法二 取以 A 为起点的向量,应用三角形法则求证. → 1→ ∵E 为 AD 的中点,∴AE= AD. 2 → 1 → → ∵F 是 BC 的中点,∴AF= (AB+AC). 2 → → → 又AC=AD+DC, 1 → → 1→ → 1 → → → ∴AF= (AB+AD+DC)= (AB+DC)+ AD 2 2 2 1 → → → = (AB+DC)+AE 2

→ → → 1 → → ∴EF=AF-AE= (AB+DC). 2 → 1 → → 即EF= (AB+DC). 2 → → → → 变式迁移 2 解BC=BA+AD+DC

例 3 解题导引 (1)在平面几何中, 向量之间的关系一般通过两个指定的向量来表示, 向量共线应存在实数 λ 使两向量能互相表示. (2)向量共线的判断(或证明)是把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,从而 判断共线. → → → 证明在△ABD 中BD=AD-AB. → → → 因为AB=a,AD=b,所以BD=b-a.





→ → 由共线向量定理知:CM∥CN, → → 又∵CM与CN有公共点 C,∴M、N、C 三点共线. → → → 变式迁移 3(1)证明∵AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2, → → → ∴AC=AB+BC=e1-e2+3e1+2e2 =4e1+e2= ?

1 1 → (-8e1-2e2)= ? CD. 2 2

→ → ∴AC与CD共线. → → 又∵AC与CD有公共点 C,∴A、C、D 三点共线. → → → → (2)AC=AB+BC=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2,∵A、C、D 三点共线,∴AC与 → CD共线. → → 从而存在实数 λ 使得AC=λCD

即 3e1-2e2=λ(2e1-ke2).
?3=2λ, ? 由平面向量的基本定理得? ? ?-2=-λk.

?λ=2, 解之,得? 4 ?k=3.
课后练习区

3

4 ∴k 的值为 . 3

→ → → 1.B [由减法的三角形法则知EF=OF-OE.]

3.D [题目考查两向量共线的充要条件,此定理应把握好两点:(1)与 λ 相乘的向量为 非零向量,(2)λ 存在且唯一.故②③④正确.]

5.

6.1+ 解析

3 2

3 2

作 DF⊥AB 交 AB 的延长线于 F,设 AB=AC=1?BC=DE= 2,∵∠DEB=60° ,∴ 6 BD= . 2 由∠DBF=45° , 6 2 3 得 DF=BF= × = , 2 2 2

3→ → 3→ → 所以BF= AB ? FD= AC, 2 2 → → → → 所以AD=AB+BF+FD=( 1 ? 1 λ-1 7. a+ b λ λ

3 → 3→ )AB+ AC. 2 2

λ-1 1 λ-1 =a+ (b-a)= a+ b. λ λ λ 8.0 1 → → → → → 1 → → 解析由OP=OA+λ(AB+AC),λ= ,得AP- (AB+AC),即点 P 为△ABC 中 BC 边 2 2 的中点, → → ∴PB+PC=0. → → → → ∴PA· (PB+PC)=PA· 0=0. → → → 1 9.解设OA=a,OB=tb,OC= (a+b), 3 2 1 → → → ∴AC=OC-OA=- a+ b,…………………………………………………………… (4 3 3 分) → → → AB= OB- OA = tb - a. …………………………………………………………………… (6 分) → → 要使 A、B、C 三点共线,只需AC=λAB, 2 1 即- a+ b=λtb-λa,…………………………………………………………………… (8 3 3 分) 2 2 - =-λ, λ= , 3 3 ∴ ∴ …………………………………………………… (11 1 1 =λt. t= . 3 2

? ? ?

? ? ?

分) 1 ∴当 t= 时, 三向量终点在同一直线上. ……………………………………………(12 分) 2 10.解

取 AE 的三等分点 M, 1 使|AM|= |AE|,连结 DM. 3 设|AM|=t,则|ME|=2t. 1 又|AE|= |AC|, 4 ∴|AC|=12t,|EC|=9t,

|AD| |AM| 1 = = ,…………………………………………………………………………(4 分) |AB| |AE| 3 |PC| |PE| |EC| 9 ∴DM∥BE,∴ = = = . |DC| |DM| |MC| 11 2 ∴|DP|= |DC|.…………………………………………………………………………(8 分) 11 → → → → 2 → 1→ 2 → → ∴AP=AD+DP=AD+ DC= AB+ (DA+AC) 11 3 11 1→ 2 ? 1→ →? = AB+ ?-3AB+AC? 3 11 3→ 2→ 3 2 = AB+ AC= a+ b.……………………………………………………………(12 分) 11 11 11 11 11.(1)解 ∵点 G 是△ABO 的重心, → → → ∴GA+GB+GO=0.……………………………………………………………………(2 分) → 1 (2)证明 ∵M 是 AB 边的中点,∴OM= (a+b). 2 2 1 → → ∵G 是△ABO 的重心,∴OG= OM= (a+b). 3 3 → → ∵P、G、Q 三点共线,∴PG∥GQ, → → 且有且只有一个实数λ,使PG=λGQ.…………………………………………………(5 分)

, 1 1 1 1 ∴( -m)a+ b=λ[- a+(n- )b].…………………………………………………(8 分) 3 3 3 3 又因为 a、b 不共线,所以 1 1 -m=- λ 3 3 ,……………………………………………………………………(10 分) 1 1 =λ?n- ? 3 3

? ? ?

1 1 消去 λ, 整理得 3mn=m+n, 故 + =3.……………………………………………(14 分) m n


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