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Hgxdda上海市金山区2011届高三上学期期末考试--数学


秋风清,秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。

金山区 2010 学年第一学期期末考试高三数学试题
考生注意: 考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚. .答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚. 号填写清楚 2.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. . 道试题, 分钟. 一、填空题(本

大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 填空题 本大题满分 本大题共有 接填写结果, 否则一律得零分. 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若集合 A={x| 1<|x–1|<3,x∈Z},用列举法表示 A= 2.已知 sinθ= . .

5 ,θ 是第二象限的角,则 tanθ= 13
. .

3.函数 y=log 2 x 的反函数是 4.计算:sin(arctan

3 )= 3

5.若 cos?= –

3 π π ,?∈( , π),则 sin(?+ )= 5 2 6

. . .

6.在边长为 2 的正方形 ABCD 中,若 E 是 CD 的中点,则 AD ? BE = 7.若矩阵 A= ? ?

?0 1? ?1? ? ,矩阵 B= ? ? ,则矩阵 A 和 B 的乘积 AB= ? ? 2? ?1 0? ? ?

π 6 8.行列式 π sin 6 cos
9.在( x ?

π 6 的值是 π cos 6 sin



1 x

)12 的二项展开式中,常数项的值为



10.已知向量 a =(k2+k–3) i +(1–k) j ,b = –3 i +(k–1) j ,若向量 a 与 b 平行,则 k=



11.若有下列命题:① |x|2+|x|–2=0 有四个实数解;② 设 a 、b、c 是实数,若二次方 程 ax2+bx+c=0 无实根,则 ac≥0;③ 若 x2–3x+2≠0,则 x≠2,④ 若 x∈R,则函数

y= x + 4 +
2

1 x +4
2

的最小值为 2.上述命题中是假命题 假命题的有 假命题

(写出

所有假命题的序号). 12. “渐升数”是指在一个数中,每一位数字比其左边的一位数字大(除首位数字),如: 24579 就是一个五位“渐升数” .那么在二位“渐升数”中,任取一个二位渐升数,则 该数比 45 大的概率是 . . 13.函数 y=|x2–1|和函数 y=x+k 的图像恰有三个交点,则 k 的值是 14.如图,把正三角形 ABC 分成有限个全等的小正三 角形,且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实 数, 使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相 对顶点上实数的乘积相等.设点 A 为第一行,…,BC 为第 n 行,记点 A 上的数为 a11=1,…,第 i 行中第 j 个数为 aij (1≤j≤i). 若 a 21=

1 1 ,a 22= ,则 a31+a32+a33= 2 4



二、选择题 (本大题共有 4 题,考生应在答题纸相应编号的位置内填涂,每小题 5 分, 本大题共有 考生应在答题纸相应编号的位置内填涂, 位置 共 20 分) 15. “x=2kπ+

π (k∈Z)”是“tanx=1”成立的 4

(

)

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 16.下列给出的赋值语句中正确的是 ( (A)3=A (B)M=M+1 (C) B+A–2=0 (D)x+y=0 (

)

17.设 Sk=

1 1 1 1 + + +…+ ,则 Sk+1 为 k +1 k + 2 k + 3 2k
(B)Sk+

)

(A)Sk+

1 2(k + 1) 1 1 – 2k + 1 2(k + 1)
n k =1

1 1 + 2k + 1 2(k + 1) 1 1 – 2(k + 1) 2k + 1
1 ) 的值为 k2
(D)1 ( )

(C)Sk+

(D)Sk+
n

18.定义: Π a k =a1a2a3…an,则 lim Π (1 ?
n →∞ k = 2

(A) 0

(B)

1 3

(C)

1 2

三、解答题(把解题的主要步骤写在相应序号的方框内,如果写错位置,该题不予评分, 把解题的主要步骤写在相应序号的方框内,如果写错位置,该题不予评分, 把解题的主要步骤写在相应序号的方框内

责任自负. 个小题, 责任自负.本大题有 5 个小题,共 74 分) 19.(本题 12 分)已知 a、b、c 是?ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边,S 是?ABC 的面积, 本题 若 a=4,b=5,S=5 3 ,求 c 的长度. 20.本题 14 分)已知向量 a =(sinx, cosx), (本题 向量 b =(cosx, sinx), x∈R, 函数 f(x)= a ( a + b ). (1)求函数 f(x)的最大值、最小值与最小正周期; (2)求使不等式 f(x)≥

3 成立的 x 的取值范围. 2

21.(本题 14 分)阅读:设 Z 点的坐标(a, b),r=| OZ |,θ 是以 x 轴的非负半轴为始边、 本题 以 OZ 所在的射线为终边的角, 复数 z=a+bi 还可以表示为 z=r(cosθ+isinθ), 这个表达式 叫做复数 z 的三角形式,其中,r 叫做复数 z 的模,当 r≠0 时,θ 叫做复数 z 的幅角, 复数 0 的幅角是任意的,当 0≤θ<2π时,θ 叫做复数 z 的幅角主值,记作 argz. 根据上面所给出的概念,请解决以下问题: (1)设 z=a+bi =r(cosθ+isinθ) (a、b∈R,r≥0),请写出 写出复数的三角形式与代数形式相 写出 互之间的转换关系式; (2)设 z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),探索三角形式下的复数乘法、除法的 运算法则,请写出 写出三角形式下的复数乘法、除法的运算法则.(结论不需要证明 结论不需要证明 写出 结论不需要证明) 22.(本题 16 分)数列{an}是等差数列,数列{bn}满足 bn=anan+1an+2 (n∈N*),数列{bn} 本题 的前 n 项和为 Sn. (1)若数列{an}的公差 d 等于首项 a1,试用数学归纳法证明:对于任意 n∈N*,都有 S n=

bn a n + 3 ; 4d
(2)若数列{an}满足:3a5=8a12>0,试问 n 为何值时,Sn 取得最大值?并说明理由.

23.(本题 18 分)在 R+上的递减函数 f(x)同时满足:(1)当且仅当 x∈M 本题 f(x)的集合为[0, 2]; (2)f(

R+时,函数值

1 )=1; (3)对 M 中的任意 x1、2 都有 f(x1?x2)= f(x1)+ f(x2); x (4)y=f(x) 2

在 M 上的反函数为 y=f–1(x). (1)求证:

1 1 ∈M,但 ?M; 4 8 1 . 2

(2)求证:f–1(x1)? f–1(x2)= f–1(x1+x2); (3)解不等式:f–1(x2–x)? f–1(x–1)≤

2010 学年第一学期期末考试高三数学试题评分参考意见
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 填空题 本大题满分 本大题共有 接填写结果, 否则一律得零分. 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1.{–1, 3};2.–

? 2? 5 1 4 3 ?3 1 ;3.y=2x,x∈R;4. ;5. ;6.4;7. ? ? ;8. ; ; ?1? 12 2 10 2 ? ? 7 5 7 ;13. 1 或 ;14. 18 4 16

9.924 ;10. 1,2,–3;11.①、④;12.

二、选择题 15.A;16. B;17.C;18. C 三、解答题 19.解:∵S=

1 3 absinC, ∴ sinC= ,…………………………………………4 分 2 2

于是∠C =60o,或∠C =120o,……………………………………………………6 分 又 c2=a2+b2–2abcosC ………………………………………………………………8 分 当∠C =60o 时,c2=a2+b2–ab,c= 21 …………………………………………10 分 当∠C =120o 时,c2=a2+b2+ab,c= 61 .……………………………………………12 分

20.(1) 向量 a =(sinx, cosx),向量 b =(cosx, sinx),x∈R, f(x)= a ( a + b )= a + a ? b =1+2sinxcosx=1+sin2x.…………………………………5 分 函数 f(x)的最大值为 2,最小值为 0,最小正周期为π;……………………………8 分 (2)由 f(x)≥
2

3 1 得:sin2x≥ ,………………………………………………………10 分 2 2

即 2kπ+

π 5π ≤2x≤2kπ+ ,…………………………………………………………12 分 6 6

即 kπ+

π 5π ≤x≤kπ+ ,k∈Z.………………………………………………………14 分 12 12

?r = a 2 + b 2 ?a = r cos θ ? 21.解:(1) ? ;? ……(各 3 分)………………………6 分 b (a ≠ 0) ?b = r sin θ ?tan θ = a ?
(以上每组内只写出一个,给 2 分) (2) 三角形式下的复数乘法的运算法则: z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)× r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]……10 分 三角形式下的复数除法的运算法则:

z1 r (cos θ1 + i sin θ1 ) r1 = 1 = [cos(θ1–θ2)+isin(θ1–θ2)] (z2≠0)…………14 分 z 2 r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) r2
注意:z2≠0 不写扣 1 分.

22.(1)当 n=1 时,S1=b1,

b1 a 4 b1 (d + 3d ) = =b1,原式成立.……………………1 分 4d 4d

假设当 n=k 时,Sk=

bk a k + 3 成立,………………………………………………2 分 4d

则 Sk+1=Sk+bk+1=

bk a k + 3 + bk +1 4d …………………………………………………4 分 4d

=

a k a k +1a k + 2 a k +3 + bk +1 4d a k bk +1 + bk +1 4d bk +1 (a k + 4d ) bk +1 a k + 4 = = = ……6 分 4d 4d 4d 4d bn a n + 3 ;……………8 分 4d

所以 n=k+1 时,等式仍然成立,故对于任意 n∈N*,都有 Sn=

(2)因为 3a5=8a12>0,所以 3a5=8(a5+7d),a5= – 又 a16=a5+11d = –

56d >0,所以 d<0 5

d 4d >0,a17=a5+12d = <0,………………………………………11 分 5 5

所以 a1>a2>a3>…>a16>0>a17>a18…,b1>b2>b3>…>b14>0>b17>b18…, 因为 b15=a15a16a17<0,b16=a16a17 a18>0,………………………………………………13 分 a15=a5+10d = –

6d 9d >0,a18=a5+13d = <0, 5 5

所以 a15<–a18,所以 b15> –b16,b15+b16>0,……………………………………………15 分 故 S16>S14,所以 Sn 中 S16 最大.………………………………………………………16 分

1 1 1 1 1 ∈M,又 = × ,f( )=1, 2 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 所以 f( )=f( × )=f( )+f( )=2∈[0, 2],所以 ∈M,……………………………3 分 4 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 又因为 f( )=f( × )=f( )+f( )=3?[0, 2],所以 ?M;…………………………5 分 8 4 2 4 2 8
23.(1)证明:因为 (2)因为 y=f(x)在 M 上递减,所以 y=f(x)在 M 有反函数 y=f –1(x),x∈[0, 2] 任取 x1、x2∈[0, 2],设 y1=f –1(x1),y2=f –1(x2), 所以 x1=f(y1),x2=f(y2) (y1、y2∈M) ……………………………………………………………7 分 因为 x1+x2=f(y1)+f(y2)=f(y1y2), –1 所以 y1y2=f (x1+x2),又 y1y2= f –1(x1)f –1(x2), 所以:f –1(x1)? f –1(x2)= f –1(x1+x2);……………………………………………………10 分 (3)因为 y=f(x)在 M 上递减,所以 f –1(x)在[0, 2]上也递减, f–1(x2–x)? f–1(x–1)≤

1 等价于:f –1(x2–x+x–1)≤f –1(1)…………………………………11 分 2

?0 ≤ x 2 ? x ≤ 2 ? ?0 ≤ x ? 1 ≤ 2 …………………………………………………………………………14 分 ? 2 ?x ? 1 ≥ 1

?? 1 ≤ x ≤ 0或1 ≤ x ≤ 2 ? 即: ?1 ≤ x ≤ 3 …………………………………………………………17 分 ? ? x ≤ ? 2或x ≥ 2
所以 2 ≤x≤2…………………………………………………………………………18 分


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