nbhkdz.com冰点文库

01一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法教学案

时间:2014-10-07


高中数学必修五

整理:ppt

一元二次不等式的概念和一 元二次不等式解法
本节课是人民教育出版社 A 版必修数学 5 第三章不等式第二大节 3.2 一元二次不等式及 其解法的第一节课.一元二次不等式及其解法 教学分为三个学时, 第一个学时先由师生共同 分析日常生活中的实际问题来引出一元二次 不等式及其解法中的一些基本概念 .求

解一元 二次不等式的步骤.求解一元二次不等式的程 序框图.确定一元二次不等式的概念和解法, 以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真 的科学态度.通过具体例题的分析和求解,在 这些例题中设置思考项,让学生探究,层层铺 设, 以便让学生深刻理解一元二次不等式的概 念,有利于一元二次不等式的解法的教学 .讲 述完一元二次不等式的概念后, 再回归到先前 的具体事例, 总结一元二次不等式解法与二次 函数的关系和一元二次不等式解法的步骤, 由 学生用表格将一元二次不等式解法与二次函 数的数形关系的对应关系用图表形式表示出 来; 然后用一个程序框图把求解一般一元二次 不等式的过程表示出来,根据这些图表,得出 一元二次不等式解法与二次函数的关系两者 之间的区别与联系,再辅以新的例题巩固 .整 个教学过程,探究一元二次不等式的概念,揭 示一元二次不等式解法与二次函数的关系本 质,引出一元二次不等式解法的步骤和过程, 并及时加以巩固, 同时让学生体验数学的奥秘 与数学美,激发学生的学习兴趣 教学重点 1.从实际问题中抽象出一元二次不 等式模型 2.围绕一元二次不等式的解法展开, 突出体现 数形结合的思想 教学难点 理解二次函数 .一元二次方程与一 元二次不等式的关系 教具准备 多媒体及课件,幻灯片三张 三维目标
1

一.知识与技能 1. 经历从实际情景中抽象出一元二次不 等式模型的过程 2. 通过函数图象了解一元二次不等式与 二次函数.一元二次方程的联系 3.会解一次二次不等式, 对给定的一元二 次不等式,尝试设计求解的程序框图 二.过程与方法 1.采用探究法,按照思考.交流.实验.观 察.分析.得出结论的方法进行启发式教学 2. 发挥学生的主体作用,作好探究性实 验 3. 理论联系实际,激发学生的学习积极 性 三.情感态度与价值观 1. 通过利用二次函数的图象来求解一元 二次不等式的解集, 培养学生的数形结合的数 学思想 2.通过研究函数.方程与不等式之间的内 在联系,使学生认识到事物是相互联系 .相互 转化的,树立辩证的世界观 教学过程 导入新课 师 上网获取信息已经成为人们日常生活的重 要 组 成 部 分 , 因 特 网 服 务 公 司 (Internet Service Provider)的任务就是负责将用户的 计算机接入因特网,同时收取一定的费用 某同学要把自己的计算机接入因特网, 现有两 家 ISP 公司可供选择,公司 A 每小时收费 1.5 元; 公司 B 的收费原则是在用户上网的第一小 时内收费 1.7 元,第二小时内收费 1.6 元,以 后每小时减少 0.1 元.(若用户一次上网时间超 过 17 小时,按 17 小时计算) 一般来说,一次上网时间不会超过 17 小时, 所以,不妨一次上网时间总小于 17 小时,那 么, 一次上网在多长时间以内能够保证选择公 司 A 比选择公司 B 所需费用少? 假设一次上网 x 小时, 则 A 公司收取的费用为 1.5x, 那么 B 公司收取的费用为多少?怎样得 来?

高中数学必修五

整理:ppt

生 结果是

x(35 ? x) 元,因为是等差数列,其 20

y 3

2

1

-

0

1

2

3

首项为 1.7,公差为-0.1,项数为 x 的和,即

x( x ? 1) x(35 ? x) 1.7 x ? (?0.1) ? . 2 20
师 如果能够保证选择 A 公司比选择 B 公司所 需费用少,则如何列式? 生 由题设条件应列式为

x(35 ? x) > 1.5x(0 20
2

<x<17),整理化简得不等式 x -5x< 推进新课 2 师 因此这个问题实际就是解不等式:x -5x< 0 的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等 式 , 它的 解法 是 我们 下面 要 学习 讨论 的 重 点 什么叫做一元二次不等式? 含有一个未知数并且未知数的最高次数是二 次的不等式叫做一元二次不等式, 它的一般形 2 2 式是 ax +bx+c>0 或 ax +bx+c<0(a≠0).例如 2 2 2 2x -3x-2>0,3x -6x<-2,-2x +3<0 等都是 一元二次不等式 那么如何求解呢? 师 在初中,我们已经学习过一元一次方程和 一元一次不等式的解法, 以及一次函数的有关 知识,那么一元一次方程.一元一次不等式以 及一次函数三者之间有什么关系呢? 思考:对一次函数 y=2x-7,当 x 为何值时, y=0?当 x 为何值时,y<0?当 x 为何值时,y >0? 它的对应值表与图象如下:

由对应值表与图象(如上图)可知: 当 x=3.5 时,y=0,即 2x-7=0; 当 x<3.5 时,y<0,即 2x-7<0; 当 x>3.5 时,y>0,即 2x-7> 师 一般地,设直线 y=ax+b 与 x 轴的交点是 (x0,0),则有如下结果: (1)一元一次方程 ax+b=0 的解是 x0; (2)①当 a>0 时, 一元一次不等式 ax+b>0 的 解集是{x|x >x0};一元一次不等式 ax+b <0 的解集是{x|x<x0 ②当 a<0 时,一元一次不等式 ax+b>0 的解 集是{x|x<x0}; 一元一次不等式 ax+b<0 的解 集是{x|x>x0 师 在解决上述问题的基础上分析, 一次函数. 一元一次方程 . 一元一次不等式之间的关系 . 能通过观察一次函数的图象求得一元一次不 等式的解集吗? 生 函数图象与 x 轴的交点横坐标为方程的根, 不等式的解集为函数图象落在 x 轴上方(下方) 部分对应的横坐标.

a> 0
一次函数

a<0

y=ax+b(a

的图象 一元一次 方程 ax+b=0 的 解集 一元一次 不等式 ax+b> {x|x= {x|x=

?

b } a b } a

?

b } a b } a

{x|x>

{x|x<

x

2 .5
2

2

3 .5

3

4 .5

4

5

?

?

0 的解集 一元一次 不等式 ax+b<

{x|x<

{x|x>

高中数学必修五

整理:ppt

0 的解集

?

b } a

?

b } a

师 在这里我们发现一元一次方程 . 一元一次 不等式与一次函数三者之间有着密切的联系. 利用这种联系(集中反映在相应一次函数的图 象上)我们可以快速准确地求出一元一次不等 式的解集,类似地,我们能不能将现在要求解 的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论 找到其求解方法呢? 在初中学习二次函数时, 我们曾解决过这样的 2 问题:对二次函数 y=x -5x,当 x 为何值时, y=0?当 x 为何值时,y<0?当 x 为何值时,y >0?当时我们又是怎样解决的呢? 生 当时我们是通过作出函数的图象,找出图 象与 x 轴的交点,通过观察来解决的 2 二次函数 y=x -5x 的对应值表与图象如下: x 1 y 6 0 4 6 6 4 0 6 0 1 2 3 4 5 6

为 ax +bx+c>0 或 ax +bx+c<0(a>0)的形式, 而且我们已经知道, 一元二次不等式的解与其 相应的一元二次方程的根及二次函数图象有 关, 即由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的 一元二次方程的解和对应的一元二次不等式 的解集 如何讨论一元二次不等式的解集呢? 2 我们知道, 对于一元二次方程 ax +bx+c=0(a> 2 0),设其判别式为 Δ =b -4ac,它的解按照 Δ >0,Δ =0,Δ <0 分为三种情况,相应地,抛 2 物线 y=ax +bx+c(a>0)与 x 轴的相关位置也分 为三种情况(如下图),因此,对相应的一元二 2 2 次不等式 ax +bx+c>0 或 ax +bx+c<0(a>0) 的解集我们也分这三种情况进行讨论

2

2

由对应值表与图象(如上图)可知: 2 当 x=0 或 x=5 时,y=0,即 x -5x=0; 2 当 0<x<5 时,y<0,即 x -5x<0; 2 当 x<0 或 x>5 时,y>0,即 x -5x> 2 这就是说, 若抛物线 y=x -5x 与 x 轴的交点是 (0,0)与(5, 2 则一元二次方程 x -5x=0 的解就是 x1=0 , x2 2 一元二次不等式 x -5x<0 的解集是{x|0<x< 2 5};一元二次不等式 x -5x>0 的解集是{x|x< 0 或 x> [教师精讲] 由一元二次不等式的一般形式知, 任何一个一 元二次不等式,最后都可以化
3

(1)若 Δ >0,此时抛物线 y=ax +bx+c(a>0) 与 x 轴 有 两 个 交 点 〔 图 (1) 〕 , 即 方 程 ax 2 +bx+c=0(a>0)有两个不相等的实根 x1,x2(x1 2 <x2),则不等式 ax +bx+c>0(a>0)的解集是 2 {x|x<x1,或 x>x2};不等式 ax +bx+c<0(a >0)的解集是{x|x1<x<x2 2 (2)若 Δ =0,此时抛物线 y=ax +bx+c(a>0)与 x 轴 只 有 一 个 交 点 〔 图 (2) 〕 ,即方程 2 ax +bx+c=0(a > 0) 有 两 个 相 等 的 实 根

2

b 2 , 则不等式 ax +bx+c> 0(a> 0)的 2a b 2 解集是{x|x≠ ? };不等式 ax +bx+c<0(a 2a
x1=x2= ? >0)的解集是 2 (3)若 Δ <0,此时抛物线 y=ax +bx+c(a>0) 2 与 x 轴没有交点 〔图(3)〕 , 即方程 ax +bx+c=0(a 2 >0)无实根,则不等式 ax +bx+c>0(a>0)的 2 解集是 R;不等式 ax +bx+c<0(a>0)的解集 是.

高中数学必修五

整理:ppt

Δ=

Δ >0

Δ =0

Δ <0

【例 4】 解不等式-x
2

+2x-3>

b2-4ac
二 次函数 y=ax +bx +c(a> 0)的图 象
2

生 解: 整理化简, 得 x -2x+3<0.因为 Δ <0, 2 方程 x -2x+3=0 无实数解,所以不等式的解集 是? 师 由上述讨论及例题,可归纳出解一元二次 不等式的程序吗? 生 归纳如下: 2 (1) 将二次项系数化为“+”: y=ax +bx+c> 0(或<0)(a> (2)计算判别式 Δ ,分析不等式的解的情况: ①Δ > 0 时 , 求 根 x1 < x2 ,

ax2+ bx+c=0
的根

x1.2

?b? ? ? ? b 2? a 2= 2a

x1=x

?

ax2+ bx+c>0
的解集

{x|x < x1 或 x>x2}

{x|x

R

?若y>0, 则x ? x1或x>x2 ; ? ?若y<0, 则x1<x<x2 .
②Δ =0 时 , 求 根 x
1

b ≠ ? 2a
}

=x

2

=x

0



ax + bx+c<0
的解集

2

{x|x1< x<x2}

?

?

; ?若y>0, 则x ? x0的一切实数 ? ?若y<0, 则x ? ?; ?若y ? 0, 则x ? x . 0 ?
③Δ <0 时,方程无解, ?

?若y>0, 则x ? R; ?若y ? 0, 则x ? ?.

对于二次项系数是负数(即 a<0)的不等式, 可 以先把二次项系数化成正数,再求解 [知识拓展] 2 【例 1】 解不等式 2x -5x-3> 2 生 解 : 因 为 Δ > 0 , 2x -5x-3=0 的 解 是 x1=-

1 ,x 2=3. 所 以 不 等 式 的 解 集 是 {x|x < 2

(3)写出解集 师 说的很好 . 下面我们用一个程序框图把求 解一元二次不等式的过程表示出来, 请同学们 将判断框和处理框中的空格填充完整 [学生活动过程]

?

1 ,或 x> 2
2

【例 2】 解不等式-3x +15x> 2 生 解:整理化简得 3x -15x+12<0.因为 Δ > 2 0,方程 3x -15x+12=0 的解是 x 1=1,x2=4,所 以不等式的解集是{x|1<x<

【例 3】 解不等式 4x 2-4x+1>
生 解:因为 Δ =0,方程 4x -4x+1=0 的解是 x1=x 2=
2

1 1 .所以不等式的解集是{x|x≠ 2 2
4

高中数学必修五

整理:ppt

一元二次不等式的概念和一元二次不等 式解法 多媒体演示区 次不等式概念 一元二次不 等式解题步骤 备课资料 一.备用习题 2 1.解不等式 x+2>3x 解:原不等式等价于 3x
2

一元二

例题

-x-2<

解方程 3x - x - 2=0 得两根: x1 ? ?
2

2 ,x 3

=1.∴原不等式的解集为( ?

2 ,1) 3

[方法引导] 上述过程以学生自主探究为主, 教师起引导作 用, 充分体现学生的主体作用与新课程的理念. 该过程中的思考 . 观察 . 探究起到层层铺设的 作用,激起学生学习的兴趣与勇于探索的精 神 课堂小结 1.一元二次不等式: 含有一个未知数并且未知 数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次 2 不 等 式 , 它 的 一 般 形 式是 ax +bx+c > 0 或 ax2+bx+c<0(a≠0) 2. 求解一元二次不等式的步骤和解一元二次 不等式的程序 布置作业 1.完成第 90 页的练习 2.完成第 90 页习题 3.2 第 1 题 板书设计

2.解下列不等式: 2 2 2 (1)2+3x-2x <0; (2)-x +2x-3x>0; (3)x -4x+4> 2 解:(1)原不等式等价于 2x -3x-2> 由 2x -3x-2=0 得 x1 ? ?
2

1 ,x2 2
的 解 集 是











(-∞, ?

1 )∪( 2
2

(2)原不等式等价于:x -2x+3< 2 由 Δ =(-2) -4×1×3<0,知原不等式解集为

?
(3)Δ =(-4) -4×4=0,方程 x -4x+4=0 有等根 x1=x2=2, ∴原不等式的解集为{x|x∈R,且 点评:1.要严格按“解法步骤”求解 2. 最后要用集合表示法表出解集 . 如本例 (1) 用区间表示出解集;本例(3)用大括号表示解 集, 该 题 的 解 集 也 可 用 区 间 表 为 (-∞,2)∪(2,+∞),但有的同学把第 (3)题的 解集表示为 x≠2,这是错误的 二.阅读材料
2 2

5

高中数学必修五

整理:ppt

法国数学家韦达 韦达, 1540 年出生在法国东部的普瓦图的 韦特奈.他早年学习法律,曾以律师身份在法 国议会里工作,韦达不是专职数学家,但他非 常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇研究数 学,并作出了很多重要贡献,成为那个时代最 伟大的数学家 在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军 的密码.韦达还致力于数学研究,第一个有意 识地和系统地使用字母来表示已知数 .未知数 及其乘幂, 带来了代数学理论研究的重大进步. 韦达讨论了方程根的各种有理变换, 发现了方 程根与系数之间的关系(所以人们把叙述一元 二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定 理”) 韦达是第一个有意识地和系统地使用字 母表示数的人, 并且对数学符号进行了很多改 进.他在 1591 年所写的《分析术引论》是最早 的符号代数著作.是他确定了符号代数的原理 与方法, 使当时的代数学系统化并且把代数学 作为解析的方法使用 . 他还写下了《数学典 则》 ,1579 年,韦达出版《应用于三角形的数 学定律》.这是欧洲第一本使用六种三角函数 的系统的平面.球面三角学.主要著作还有 《论 方程的识别与修正》 《分析五章》等.韦达的著 作以独特形式包含了文艺复兴时期的全部数 学内容 . 只可惜韦达著作的文字比较晦涩难 懂,在当时不能得到广泛传播.在他逝世后, 才由别人汇集整理并编成 《韦达文集》 于 1646 年出版 韦达 1603 年卒于巴黎,享年 63 岁.由于 韦达作出了许多重要贡献,成为 16 世纪法国 最杰出的数学家, 在欧洲被尊称为“代数学之 父 中国在一元二次方程方面的成就 从“九章算术”卷八说明方程以后, 在数 值代数的领域内中国一直保持了光辉的 成 就 “九章算术”方程章首先解释正负术是 确切不移的,正像我们现在学
6

习初等代数时从正负数的四则运算学起一样, 负数的出现更丰富了数的内容.我们古代的方 程在公元前 1 世纪的时候已有多元方程组.一 元二次方程及不定方程几种.一元二次方程是 借用几何图形而得到证明.不定方程的出现在 二千多年前的中国是一个值得重视的课题, 这 比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三 3 2 3 2 百多年.具有 x +px +qx=A 和 x +px =A 形式的三 次方程, 中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉 古算经”已有记载, 用“从开立方除之”而求 出数字解答(可惜原解法失传了), 不难想象王 孝通得到这种解法时的愉快程度, 他说谁能改 动他著作内的一个字可酬以千金.11 世纪的贾 宪已发明了和霍纳 (1786~1837)方法相同的数 字方程解法,我们也不能忘记 13 世纪中国数 学家秦九韶在这方面的伟大贡献.在世界数学 史上对方程的原始记载有着不同的形式, 但比 较起来不得不推中国天元术的简洁明了 .四元 术是天元术发展的必然产物.级数是古老的东 西,二千多年前的“周髀算经”和“九章算 术”都谈到算术级数和几何级数.14 世纪初中 国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价, 他的有些工作欧洲在十八九世纪的著作内才 有记录.11 世纪时代,中国已有完备的二项式 系数表,并且还有这表的编制方法 .历史文献 揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传 往欧洲的.内插法的计算,中国可上溯到 6 世 纪的刘焯, 并且 7 世纪末的僧一行有不等间距 的内插法计算 14 世纪以前, 属于代数方面许多问题的研 究,中国是先进国家之一.就是到十八九世纪 由李锐(1773~1817),汪莱(1768~1813)到李 善兰(1811~1882), 他们在这一方面的研究上 也都发表了很多的名著

高中数学必修五

整理:ppt

课后作业 班级 姓名 一.选择题: 1.不等式 x -3x-4<0 的解集是( A.{x︱x<4} C.{x︱-l<x<4}
2

学号

)

B.{x︱x>-1} D.{x︱x<-1 或 x>4} )

C.{x|-1<x<2} D.{x|-1≤x≤2} 2 9. 若不等式 ax +8ax+ 21<0 的解集是 {x| - 7<x<-1},那么 a 的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2 10. 设集合 S = {x||x|<5} , T = {x|x + 4x - 21<0},则 S∩T=( ) A.{x|-7<x<-5} B.{x|3<x<5} C.{x|-5<x<3} D.{x|-7<x<5} 11.不等式 x ? 5x ? 0 的解集是___________
2

2.下列不等式中,解集是 ? 的是( A.2x -3x+2>0 B.x +4x+4≤0 2 2 C.4-4x-x <0 D.-2+3x-2x >0 3.不等式 ? 2 x ? ?6 的解集是( ) A. (3,??) C. (??,?3) B. (?3,??) D. (??,3)
2 2

_________;

12.不等式 x ? 4 x ? 4 ? 0 的解集是________
2

4.不等式 (1 ? x)(1? | x |) ? 0 的解集是( A.{x|-1<x≤0} C.{x|-1<x<1}
2

)

____________;

B.{x|x>0 且 x≠1} D.{x|x>-1 且 x≠1} ) 13.不等式 ? x ? 4 x ? 5 ? 0 的解集是_______
2

5.不等式 ? 2 x ? 5x ? 3 ? 0 的解集是( A.R B. ? x / ? 3 ? x ?

? ?

1? ? 2? 1? ? 2?
)

_____________.

C. ?

D. ? x / x ? ?3或x ?

? ?

14.不等式 x +x+1>0 的解集是_____________;

2

2 ? ?x ? 1 ? 0 6.不等式组 ? 2 的解集是( ? ? x ? 3x ? 0

A.{x|-1<x<1} B.{x|-1<x<3} C.{x|0<x<1} D.{x|0<x<3} 2 7.不等式-x -x+2≥0 的解集是( ) A.{x|x≤-2 或 x≥1} B.{x|-2<x<1} C.{x|-2≤x≤1} D.Φ 2 8.一元二次方程 ax +bx+c=0 的根为 2, -1, 1 2 2 有意义的 则当 a<0 时, 不等式 ax +bx+c≥0 的解集 16. 使代数式 x ? 2 x ? 3 + x ?3 为( ) A.{x|x<-1 或 x>2} B.{x|x≤-1 或 x≥2} x 的取值范围是______________________.
7

15.设集合 A={x|(x-1) <3x+7}, 则 A∩Z 中 有________个元素.

2

高中数学必修五

整理:ppt

17.解下列不等式: 2 (1)2+3x-2x >0; (2)x(3-x)≤x(x+2)-1; 2 (3)x -2x+3>0. 解: 20.解不等式:|x -4x+3|>x -4|x|+3.
2 2

2 2 18.已知 x=1 是不等式 k x -6kx+8≥0(k≠0) 21.解关于 x 的不等式:x +(1-a)x-a<0. 解: 的解,求 k 的取值范围. 解:

2

19.解不等式:1<x -3x+3<7.

2

8


一元二次不等式及其解法教案

一元二次不等式及其解法教案【教学目标】 1.知识与技能:理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握图象法解一 元二次不等式的方法;培养数形结合...

一元二次不等式及其解法学案

一元二次不等式及其解法学案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。清镇市第四中学...【学习过程】 一.自主学习复习 1、一元一次方程和一元一次不等式以及一次函数...

一元二次不等式及其解法导学案

【重难点 一元二次不等式的解法和综合运用 重难点】 重难点 【问题导学】画二次函数图象应画清楚:1.开口方向,2.对称轴,3.顶点,4. x 轴的交点(如果有的...

一元二次不等式的解法导学案

一元二次不等式的解法导学案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2013 级数学课堂...文档贡献者 mathmli 贡献于2015-02-01 专题推荐 2014教师资格材料分析辅......

一元二次不等式的解法(第1课时)教学设计-定稿

2. 教材地位: 一元二次不等式解法是初中一元一次...知识与技能目标:理解一元二次不等式的概念;掌握一...百度认证-大数据营销01 优秀产品经理指南 DTCC2014:...

公开课教案:一元二次不等式的解法

公开课教案 课题:§3.2 一元二次不等式及其解法(2) 教学目标: 知识与技能:掌握解含参数的一元二次不等式。 过程与方法:通过回顾总结解一元二次不等式的基本...

《一元二次不等式及其解法》教案2

《一元二次不等式及其解法教案2_高二数学_数学_高中教育_教育专区。《一元二次不等式及其解法教案 一、教学目的 1.理解一元二次不等式的概念及其与二次...

...一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法)说课(课...

理解一元二次不等式的概念, 有利于一元二次不等式的解法的教学.讲述完一元二次不等式的概念后,再回归到先前的具 体事例, 总结一元二次不等式解法与二次函数...

学案3.3一元二次不等式及其解法答案

学案3.3 一元二次不等式及其解法基础梳理 2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 填下表: {x|x>x2 或 x<x1} {x|x1<x<x2} b? ...

...一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法》教案

(人教A版)数学必修五 :3-2-1《一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法教案_数学_高中教育_教育专区。教学设计 3.2 一元二次不等式及其解法? 3.2....