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第15讲 导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例


如图,y ? f ( x)在a、b点的函数值与 这些点附近的函数值有什么关系? 导数值呢?导数符号呢?
y

探究

f ?(b) ? 0

f ?( x ) >0

f ?( x )<0

f ?( x )

<0

/>a

f ?( x) >0
o b 极大值点

x

极小值点

y ? f ( x)
1

f ?(a) ? 0

新课引入
极值是一个局部概念,极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最 大或最小,并不意味着它在函数的整个 的定义域内最大或最小。

在社会生活实践中,为了发挥最大的经济效益, 常常遇到如何能使用料最省、产量最高,效益最大 等问题,这些问题的解决常常可转化为求一个函数 的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值?他们 与函数极值关系如何?
2013年6月17日3时42分 2

极大值、极小值与最大值、最小值有什么区别? 极大值、极小值是局部的最大值、最小值。最大值、 最小值是想对于整体而言。

求极大值、极小值有什么用?那就是去求函数 的最大值、最小值。

分析下图一个定义在区间 ?a, b?上的函数 f ( x ) 的极值
和最值.

如何求 f ( x ) 在 ?a, b?内的最大值与最小值呢?

函数的最值
y 观察右边一个定义 在区间[a,b]上的函数 y=f(x)的图象,你能找 出函数y=f(x)在区 间[a,b]上的最大值、 a x1 o X X b 最小值吗? f(x2) f(x1)、f(x3) 发现图中____________是极小值,_________是极大 f(b) 值,在区间上的函数的最大值是______,最小值是 f(x3) _______。
2 3

x

问题在于如果在没有给出函数图象的情况下,怎 样才能判断出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢?

一般地,求函数y=f(x)在[a,b]上的 最大值与最小值的步骤如下: (1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或 极小值)

(2)将y=f(x)的各极值与端点处函数值f(a) f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小 的 一个最小值.
2013年6月17日3时42分 6

二、应用题有四难。今天继续讲应用题,同学们对照一下是第几难? 先不严格的定义什么是应用题。就是用数学知识、方法、思想、数学思维方 式解决生产、生活问题。 所以应用题可以分成两部分:背景知识,数学问题。背景知识分社会背景知 识、自然背景知识。 应用题第一难:实践操作难,即设计一种测量方法难 应用题第二难:难在我们对背景知识知道太少。背景是有关企业、医学、物理、 汽车、建筑物、地理、经济等等。我们在做应用题前要先熟悉这些知识。所以这 里有个高原现象,就是熟悉背景知识,我们不熟悉。 应用题第三难:就是把现实生活生产问题抽象为数学模型,能够提炼出数学模 型,这种抽象、提炼能力我们不会。 应用题第四难:难在我们对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式不熟 练。有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式是我们解答出应用题的基础知 识。所以这里有个高原现象我们迈不上去,就是对有关的数学知识、方法、思想、 数学思维方式的熟练,但我们不熟练。即抽象出的数学问题难。

应用题这几年高考大题没有,从2009年开始这年是一道填空题, 2010年也是填空题,到2012年一直没有大题。以前有大题,属于中 档题偏上一点点,不是压轴题。不是应用题不重要,应用题可以让 我们知道学了数学有什么用,可以培养我们解决实际问题的能力。 那为什么这几年淡化应用题?

高考试题设计时每一道要对浙江省所有考生都要公平,包括男 生与女生,包括农村学生与城市学生。比如如果出一道有关足球的 应用题是不行的,因为男生喜欢足球,女生不喜欢,所以对女生不 公平。比如出一道有关城市地铁的应用题那对农村学生不公平,在 浙江只有杭州有地铁,其他地方包括温州宁波也没有。还有比如出 一道有关飞机的应用题那对浙江山区的考生就不公平。正因为如此, 所以出应用题是吃力不讨好的事情,所以这几年就淡化掉了。

此题对农村的无钱无势无权的学生不公平,在一些地区家里办 厂的就占便宜,这更加加剧了不公平,因为社会要提倡对弱势群体 要关怀和照顾。 一个政府、官员和国民对待弱势群体的态度行为决定文明的标 杆。一个国家文明程度的高低,取决于他们对待弱势者的态度。

第一小题对文科生不公平,因为生物没考,第二小题对理科生不公平,因为 地理没考,如果高考有应用题就会文理分开。

此题对农村的无钱无势无权的学生不公平,在一些地区家里办厂的就占便宜,这更 加加剧了不公平,因为社会要提倡对弱势群体要关怀和照顾。 一个政府、官员和国民对待弱势群体的态度行为决定文明的标杆。一个国家文明程 度的高低,取决于他们对待弱势者的态度。

应用基本不等式求最值的条件:

一正

二定

三相等

a与b为正实数

积定和最小

和定积最大

若等号成立, a与b必须能 够相等

强调:求最值时要考虑不等式是否能取到“=”

应用基本不等式求最值的条件:

一正

二定

三相等

2 求f ( x) ? sin x ? , ( x ? (0, ? ))的最值。 sin x
a与b为正实数 积定和最小 若等号成立, a与b必须能 够相等

和定积最大

强调:求最值时要考虑不等式是否能取到“=”

巩固练习
1 1. x ? 0 ,当 x 取什么值,x ? 的值最小?最小值是多少? x

2 引申:若x<0呢? x ? x
1 x

呢?

a b ? 与2的大小关系,并说明理由. (2) 已知 ab ? 0, 寻找 b a

1 2 y ? x ? 图像怎样?y ? x ? 图像怎样? x x 1 y ? x ? 图像怎样? x
x? x x?0

1 x ? 呢? x

(3) 已知 ab ? 0,

a b ?能得到什么结论? 请说明理由. b a

以前知识复习完毕。

总结与本节课有关的知识。
1、如果函数是一元二次函数求极大值、极小值、最大值、最 小值还是采用老办法好,老题还是老办法好。如果次数是三次求函 数的极大值、极小值、最大值、最小值用新办法即导数且要充分利 用序轴标根法,尽量数形结合,新题新办法即导数法。根求不出来 就不要求。用字母表示。
2、如果函数是 , 一、图像与对勾函数联系,利用图像求极值、最值。 二利用基本不等式求极值、最值。

三、与函数 以a、b是具体数字来讲解。 四、用导数求也要结合图像。

的图像的区别。同学们我


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