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3.1.2 用二分法求方程的近似解

时间:2016-09-01


上节回忆

1、函数的零点的定义:
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点

结论:

方程f ( x) ? 0有实数根 ? 函数y ? f ( x)的图象与x轴有交点 ? 函数y ? f ( x)有零点

上节回忆

2、如何判断函数y=f(x)在区间[a,b]上是否 有零点? (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连 续不断的一条曲线 (2) f(a)· f(b)<0

问题:你会解下列方程吗?

2x-6=0; 2x2-3x+1=0; lnx+2x-6=0 你会求方程lnx+2x-6=0的近似解吗?

思 路

?

求方程根的问题 相应函数的零点问题

?

求方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0的近似解的问题 可以转化为函数 f ?x ? ? ln x ? 2 x ? 6 在区 间(2,3)内零点的近似值。

在区间(2,3)内零点的近似值.
区间 (2,3) 中点 的值 2.5 中点函数 近似值 -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 区间长度 1 0.5 0.25 0.125 0.0625

(2.5,3) 2.75 (2.5,2.75) 2.625 (2.5,2.625) 2.5625 (2.5,2.5625) 2.53125 (?,?) …

?思考: 通过这种方法,是否可以得到任 意精确度的近似值? (如精确度 为0.01)

精确度为0.01,即零点值与近 似值的差的绝对值要小于或等于 0.01

求函数f ? x ? ? ln x ? 2x ? 6在区间? 2, 3? 零点的近似值.(精确度为0.01)
区间 中点的值 中点函数 近似值 -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.010 0.001 区间长度

(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.5625) (2.53125,2.5625) (2.53125,2.546875) (2.53125,2.5390625)

2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875 2.5390625 2.53515625

1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125

设函数的零点为 如图

=2.53125, b =2.5390625,则 a ? x ? b. x0 , a 0 . . .

x0 a b 由于 a ? b ? 2.53125 ? 2.5390625 ? 0.0078125 ? 0.01,
所以

x0 ? a ? b ? a ? 0.01, x0 ? b ? a ? b ? 0.01,

所以我们可将此区间内的任意一点作为函数 零点的近似值,特别地,可以将区间端点作为零 点的近似值. 所以方程的近似解为

x ? 2.53125

y

二分法概念
a
0 b x



y ? f ?x ? ,通过不断地把函数 f ?x ?的零点所在的区

?a, b?上连续不断且 f ?a?? f ?b? ? 0 的函 对于在区间

间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法.

1.确定区间 ?a, b? ,验证 f ?a ? ? f ?b? ? 0 ,给定精确度 2.求区间 ?a, b ?的中点 c ; 3.计算 f ?c ? ; (1)若 f ?c ? ? 0 ,则 c 就是函数的零点; (2)若 f ?a ? ? f ?c? ? 0 ,则令 b

给定精确度 ,用二分法求函数 f ?x ?零点近似 值的步骤如下:

?

?;

(3)若 f ?c ? ? f ?b? ? 0 ,则令 a ? c (此时零点 x0 ? 4.判断是否达到精确度 近似值 a(或

? c(此时零点 x0 ? ?a, c?).

? :即若 a ? b ? ? ,则得到零点

?c, b?).

b);否则重复2~4.

小结
方程
用二分法求 方程的近似解

函数

1.寻找解所在的区间 2.不断二分解所在的区间 3.根据精确度得出近似解 逼近思想 二分法 数形结合 转化思想

通过本节课的学习,你学会了 哪些知识? 基本知识:1. 二分法的定义; 2.用 二分法求解方程的近似解的步骤. 二分法求方程近似解的口诀: 定区间,找中点, 同号去,异号算, 周而复始怎么办? 中值计算两边看; 零点落在异号间; 精确度上来判断.

借助计算器用二分法求 x ? 3x ? 1 ? 0
3

的近似解(精确度0.1).

方程的近似解为

x ? 0.3125或0.375.


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