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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第五章 5.1


数学

北(文)

§5.1 平面向量的概念及 线性运算
第五章 平面向量

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.向量的有关概念 名称 定义 备注 既有 大小 又有 方向 的量; 向 平面向量是 向量 量的大小叫做向量的 长度 自由向量 模 (或称

) 长度为 零 的向量; 其方向是 零向量 记作 0 任意的 非零向量 a 单位向量 长度为 单位1 的向量 的 单 位 向 量 a 为± |a|
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基础知识·自主学习
要点梳理
如果表示两个向量的 平行 有向线段所在的直线 0 与任一向量 平行 或 则称这 共线 向量 平行或重合 , 两个向量平行或共线 相等 长度相等且方向相同 两 向 量 只 有 相 等 或 向量 的向量 相反 长度 相等 且方向相反 向量 的向量 不等,不能比较大小 0 的相反向量为 0
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2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律
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求两 个向 加法 量和 的运 算
平行四边形 三角形

(1)交换律:a+b= b+a . (2)结合律:(a+b)+c=

a+(b+c) .

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减 求两个向量差的运 法 算

a-b=a+(-b)

三角形 法则 (1)|λa|= |λ||a| ; (2)当 λ>0 时, λa 的 方向与 a 的方向 λ(μa)= (λμ)a ; 数 求实数 λ 与向量 a 相同 ; 当 λ<0 时,(λ+μ)a=λa+μa ; 乘 的积的运算 λa 的方向与 a 的方 λ(a+b)=λa+λb 向 相反 ;当 λ=0 时,λa= 0
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基础知识·自主学习
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3.向量共线的判定定理 a 是一个非零向量,若存在一个实数 λ,使得 b=λa,则向 量 b 与非零向量 a 共线.

基础知识

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基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) √ (3) × (4)√ (5) × (6)√

解析

C A

-2 -1

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的概念辨析
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】

给出下列命题:

①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A, → B, C, D 是不共线的四点, 则AB → =DC是四边形 ABCD 为平行四 边形的充要条件;③若 a=b,b =c,则 a=c;④a=b 的充要条 件是|a|=|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是______.
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题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的概念辨析
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】

给出下列命题:

①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A, → B, C, D 是不共线的四点, 则AB → =DC是四边形 ABCD 为平行四 边形的充要条件;③若 a=b,b =c,则 a=c;④a=b 的充要条 件是|a|=|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是______.
基础知识 题型分类

正确理解向量的概念, 向量共 线和点共线的区别, 向量相等 的定义是解题关键.

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的概念辨析
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】
解析

给出下列命题:

①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A, 相同. → B, C, D 是不共线的四点, 则 → → →AB → → → ②正确.∵AB=DC, ∴|AB|=|DC|且AB∥DC, → =DC是四边形 ABCD 为平行四
又∵A,B,C,D 是不共线的四点,

①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定

边形的充要条件;③若 a=b,b ∴四边形 ABCD 为平行四边形; = c,则 a=c;④ABCD a=b 的充要条 反之,若四边形 为平行四边形,
→ → → → → → 件是 |a∥ |= |b|且 且|AB a∥ b. 则AB DC |= |DC|,因此,AB=DC.
→ → 其中正确命题的序号是 ______ .为平行四边形”的充要条件. 故“AB=DC”是“四边形 ABCD
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题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的概念辨析
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】

给出下列命题:

①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A, ∴b,c 的长度相等且方向相同, → B, C, D 是不共线的四点, 则AB ∴ a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. → =DC是四边形 ABCD 为平行四 边形的充要条件;③若 a=b,b
=b,

③正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同;又 b=c,

④不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a

= c,则 a=c;④a=b 的充要条 故“|a|=|b|且 a∥b”不是“a=b”的充要条件, 而是必要不充 件是 |a|=|b|且 a∥b. 分条件. 其中正确命题的序号是 ______ .. 综上所述,正确命题的序号是 ②③
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题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的概念辨析
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】

给出下列命题:

①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A, → B, C, D 是不共线的四点, 则AB → =DC是四边形 ABCD 为平行四 边形的充要条件;③若 a=b,b =c,则 a=c;④a=b 的充要条 件是|a|=|b|且 a∥b.
②③ . 其中正确命题的序号是______
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题型分类·深度剖析
题型一 平面向量的概念辨析
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】

给出下列命题:

(1)相等向量具有传递性,非零

①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A, 向量的平行也具有传递性. → (2)共线向量即为平行向量,它 B, C, D 是不共线的四点, 则AB 们均与起点无关. → =DC是四边形 ABCD 为平行四
(3)向量可以平移,平移后的向 量与原向量是相等向量.解题 时,不要把它与函数图像的移 动混为一谈.

边形的充要条件;③若 a=b,b =c,则 a=c;④a=b 的充要条 件是|a|=|b|且 a∥b.

②③ . 其中正确命题的序号是______ 是 a 方向上的单位向量.
基础知识 题型分类 思想方法

a a (4)非零向量 a 与 的关系: |a| |a|

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量. ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. ③ λa=0(λ 为实数),则 λ 必为零. ④ λ, μ 为实数,若 λa= μb,则 a 与 b 共线. 其中错误命题的个数为 A.1
解析

( C ) C. 3 D.4

B. 2

①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.

②正确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小, 但它们的模均为实数,故可以比较大小.

③错误.当 a=0 时,不论 λ 为何值,λa=0.

④错误.当 λ=μ=0 时,λa=μb,此时,a 与 b 可以是任意向量.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 平面向量的线性运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】 (1)如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的 中点,点 F 是 BC 的一个 → 三等分点,那么EF等于 ( ) 1→ 1→ 1→ 1→ A. AB- AD B. AB+ AD 2 3 4 2 1→ 1→ 1→ 2→ C. AB+ DA D. AB- AD 3 2 2 3 → → (2)在△ABC 中,AB=c,AC=b,若 → → → 点 D 满足BD=2DC, 则AD等于( ) 2 1 5 2 A. b+ c B. c- b 3 3 3 3 2 1 1 2 C. b- c D. b+ c 3 3 3 3
基础知识 题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二 平面向量的线性运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】 (1)如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的 中点,点 F 是 BC 的一个 → 三等分点,那么EF等于 ( ) 1→ 1→ 1→ 1→ A. AB- AD B. AB+ AD 2 3 4 2 1→ 1→ 1→ 2→ C. AB+ DA D. AB- AD 3 2 2 3 → → (2)在△ABC 中,AB=c,AC=b,若 → → → 点 D 满足BD=2DC, 则AD等于( ) 2 1 5 2 A. b+ c B. c- b 3 3 3 3 2 1 1 2 C. b- c D. b+ c 3 3 3 3
基础知识 题型分类

结合图形性质, 准确灵活运用 三角形法则和平行四边形法 则是向量加减法运算的关键.

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二 平面向量的线性运算

【例 2】 (1)如图,正方形 思维启迪 解析 答案 思维升华 ABCD 中,点 E 是 DC 的 → → → (1)在△CEF 中,有EF=EC+CF. 中点,点 F 是 BC 的一个 → 1→ → 因为点 E 为 DC 的中点,所以 EC 三等分点,那么 EF等于 ( ) =2DC. → 2→ 1 1 1 1 → → → → F 为 BC 的一个三等分点,所以 CF= CB. A. 因为点 AB- AD B. AB+ AD 3 2 3 4 2 → 1→ → 1→ 1 → 2→ 1 → 12 → 2 → 1→ 2 → EF = DC+D. CB= AB + DA= AB- AD,故选 D. C. 所以 AB+ DA 3 2AB- 2 3AD 3 2 3 3 2 2 → →→ → → → → → → → ∵ABC BD= 2DC ,= ∴ AD -AB = BD=2DC=2(AC-AD), (2)(2) 在△ 中, AB c ,AC =b ,若 → → →→ → → BD 点 D 满足 2DC, 则AD等于( ) ∴3AD=2= AC +AB , 2 1 5 2 A. b+ c B. - b1 2 → 1 → 3c2 → 3 3 3 c. ∴AD=3AC+3AB=3b+ 2 1 1 23 C. b- c D. b+ c 3 3 3 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 平面向量的线性运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】 (1)如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的 中点,点 F 是 BC 的一个 → 三等分点,那么EF等于 ( D ) 1→ 1→ 1→ 1→ A. AB- AD B. AB+ AD 2 3 4 2 1→ 1→ 1→ 2→ C. AB+ DA D. AB- AD 3 2 2 3 → → (2)在△ABC 中,AB=c,AC=b,若 → → → 点 D 满足BD=2DC, 则AD等于( A ) 2 1 5 2 A. b+ c B. c- b 3 3 3 3 2 1 1 2 C. b- c D. b+ c 3 3 3 3
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 平面向量的线性运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】 (1)如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的 中点,点 F 是 BC 的一个 → 三等分点,那么EF等于 ( D ) 1→ 1→ 1→ 1→ A. AB- AD B. AB+ AD 2 3 4 2 1→ 1→ 1→ 2→ C. AB+ DA D. AB- AD 3 2 2 3 → → (2)在△ABC 中,AB=c,AC=b,若 → → → 点 D 满足BD=2DC, 则AD等于( A ) 2 1 5 2 A. b+ c B. c- b 3 3 3 3 2 1 1 2 C. b- c D. b+ c 3 3 3 3
基础知识 题型分类

(1) 解题的关键在于熟练地找 出图形中的相等向量,并能熟 练运用相反向量将加减法相 互转化.
(2) 用几个基本向量表示某个 向量问题的基本技巧:①观察 各向量的位置;②寻找相应的 三角形或多边形;③运用法则 找关系;④化简结果.

思想方法

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)已知 O, A, B 是平面上的三个点,直线 AB 上有 → → → 一点 C,满足 2AC+CB= 0,则OC等于 ( A ) → → → → A. 2OA-OB B.-OA+ 2OB 2→ 1→ 1→ 2→ C. OA- OB D.- OA+ OB 3 3 3 3 → +BA → = 2BP → ,则 ( (2)设 P 是△ ABC 所在平面内的一点,BC ) → +PB → =0 A.PA → +PC → =0 C.PB → + PA → =0 B.PC → +PB → + PC → =0 D.PA

→ +CB → =0 得 2AO → +2OC → +CO → +OB → =0, 解析 (1)由 2AC

→ =-2AO → -OB → =2OA → -OB →. ∴OC
思想方法

基础知识

题型分类

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)已知 O, A, B 是平面上的三个点,直线 AB 上有 → → → 一点 C,满足 2AC+CB= 0,则OC等于 ( A ) → → → → A. 2OA-OB B.-OA+ 2OB 2→ 1→ 1→ 2→ C. OA- OB D.- OA+ OB 3 3 3 3 → +BA → = 2BP → ,则 ( (2)设 P 是△ ABC 所在平面内的一点,BC )

B

→ +PB → =0 A.PA → +PC → =0 C.PB

→ + PA → =0 B.PC → +PB → + PC → =0 D.PA

(2)如图,根据向量加法的几何意义有 → → → BC+BA=2BP?P 是 AC 的中点,

→ +PC → =0. 故PA
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题型分类·深度剖析
题型三 共线向量定理及应用
思维启迪
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【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不 共线, → =a+b, → =2a+8b, → (1)若AB BC CD =3(a-b),求证:A、B、D 三点 共线; (2)试确定实数 k, 使 ka+b 和 a+ kb 共线.

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型三 共线向量定理及应用
思维启迪
解析 思维升华

【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不 共线, → =a+b, → =2a+8b, → (1)若AB BC CD =3(a-b),求证:A、B、D 三点 共线; (2)试确定实数 k, 使 ka+b 和 a+ kb 共线.

解决点共线或向量共线的问 题,要结合向量共线定理进 行.

基础知识

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题型三 共线向量定理及应用
思维启迪
解析 思维升华

【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不 → =a+b,BC → =2a+8b,CD → =3(a-b), (1) 证明 ∵ AB 共线, → → +CD → → → → ∴ BD = BC = 2a + 8b + 3( a-b) (1)若AB=a+b, BC = 2 a+ 8 b, CD →. =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB =3(a-b),求证:A、B、D 三点 → 、BD → 共线,又∵它们有公共点 B, ∴AB 共线; ∴A、B、D 三点共线. (2)试确定实数 k, 使 ka+b 和 a+ (2)解 ∵ka+b 与 a+kb 共线, ∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), kb 共线. 即 ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a、b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=± 1.
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题型三 共线向量定理及应用
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【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不 共线, → =a+b, → =2a+8b, → (1)若AB BC CD =3(a-b),求证:A、B、D 三点 共线; (2)试确定实数 k, 使 ka+b 和 a+ kb 共线.

(1) 证明三点共线问题,可用向 量共线解决, 但应注意向量共线 与三点共线的区别与联系, 当两 向量共线且有公共点时, 才能得 出三点共线.
(2)向量 a、b 共线是指存在不全 为零的实数 λ1,λ2,使 λ1a+λ2b =0 成立,若 λ1a+λ2b=0,当且 仅当 λ1=λ2=0 时成立,否则向 量 a、b 不共线.

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (1)在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 相交于点 O, → = a, → E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 CD 交于点 F, 若AC BD → 等于 = b,则AF 1 1 A. a+ b 4 2 1 1 C. a+ b 2 4 ( 2 1 B. a+ b 3 3 1 2 D. a+ b 3 3 ( D. 0 ) )

(2)已知向量 a、 b、c 中任意两个都不共线,并且 a+b 与 c 共线, b+ c 与 a 共线,那么 a+b+ c 等于 A.a B. b C. c

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题型分类·深度剖析
→ =AD → +DF → ,由题意知, (1)如图,AF → 1→ DE∶BE=1∶3=DF∶AB, ∴DF =3AB, 1 1 11 1 2 1 → ∴AF= a+ b+ ( a- b)= a+ b. 2 2 32 2 3 3 (2)∵a+b 与 c 共线,∴a+b=λ1c. 解析 又∵b+c 与 a 共线,∴b+c=λ2a. 由①得:b=λ1c-a. ∴b+c=λ1c-a+c=(λ1+1)c-a=λ2a, ? ? ?λ1+1=0 ?λ1=-1 ∴? ,即? , ? ? ?λ2=-1 ?λ2=-1
∴a+b+c=-c+c=0.
答案 (1) B
基础知识

① ②

(2) D
题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列7 方程思想在平面向量的线性运算中的应用
→ =1OA → ,OD → =1OB → ,AD 与 典例:(12 分)如图所示,在△ABO 中,OC 4 2 → =a,OB → =b.试用 a 和 b 表示向量OM →. BC 相交于点 M,设OA

思维启迪

规范解答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
思想与方法系列7 方程思想在平面向量的线性运算中的应用
→ =1OA → ,OD → =1OB → ,AD 与 典例:(12 分)如图所示,在△ABO 中,OC 4 2 → =a,OB → =b.试用 a 和 b 表示向量OM →. BC 相交于点 M,设OA

思维启迪

规范解答

温 馨 提 醒

(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领,要尽可 能地转化到平行四边形或三角形中去.
→ 能用 a、b 表示,那我们不妨设出OM → =ma+nb. (2)既然OM
(3)利用向量共线建立方程,用方程的思想求解.

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思想与方法系列7 方程思想在平面向量的线性运算中的应用
→ =1OA → ,OD → =1OB → ,AD 与 典例:(12 分)如图所示,在△ABO 中,OC 4 2 → =a,OB → =b.试用 a 和 b 表示向量OM →. BC 相交于点 M,设OA

思维启迪

规范解答

温 馨 提 醒

→ → → → 解 设OM=ma+nb,则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb. 1→ → 1 → → → AD=OD-OA= OB-OA=-a+ b. 3分 2 2 → → 又∵A、M、D 三点共线,∴AM与AD共线. ? 1 ? → → 5分 ∴存在实数 t,使得AM=tAD,即(m-1)a+nb=t?-a+2b?. ? ?
m-1=-t ? ? 1 ∴(m-1)a+nb=-ta+ tb. ∴? ,消去 t 得,m-1=-2n, t 2 n = ? 2 ? 即 m+2n=1. ①

7分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列7 方程思想在平面向量的线性运算中的应用
→ =1OA → ,OD → =1OB → ,AD 与 典例:(12 分)如图所示,在△ABO 中,OC 4 2 → =a,OB → =b.试用 a 和 b 表示向量OM →. BC 相交于点 M,设OA

思维启迪

规范解答

温 馨 提 醒

1? 1 ? → → → 又∵CM=OM-OC=ma+nb- a=?m-4?a+nb, 4 ? ? 1 1 → → → CB=OB-OC=b-4a=-4a+b. → 与CB → 共线. 又∵C、M、B 三点共线,∴CM

10分

→ =t CB →, ∴存在实数 t1,使得CM 1
? ? 1 ? 1? ∴?m-4?a+nb=t1?-4a+b?, ? ? ? ?

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题型分类

思想方法

练出高分

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思想与方法系列7 方程思想在平面向量的线性运算中的应用
→ =1OA → ,OD → =1OB → ,AD 与 典例:(12 分)如图所示,在△ABO 中,OC 4 2 → =a,OB → =b.试用 a 和 b 表示向量OM →. BC 相交于点 M,设OA

思维启迪

规范解答

温 馨 提 醒

1 1 ? ?m- =- t1 4 4 ∴? ,消去 t1 得,4m+n=1. ? ?n=t1



1 3 1 3 → 由①②得 m=7,n=7,∴OM=7a+7b.

12分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列7 方程思想在平面向量的线性运算中的应用
→ =1OA → ,OD → =1OB → ,AD 与 典例:(12 分)如图所示,在△ABO 中,OC 4 2 → =a,OB → =b.试用 a 和 b 表示向量OM →. BC 相交于点 M,设OA

思维启迪
难度.

规范解答

温 馨 提 醒

(1)本题考查了向量的线性运算,知识要点清晰,但解题过程复杂,有一定的
(2)易错点是,找不到问题的切入口,想不到利用待定系数法求解.

(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心,向量是一个几何量,是有 “形”的量,因此在解决向量有关问题时,多数习题要结合图形进行分析、 判断、求解,这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题易忽视 A、M、 D 三点共线和 B、M、C 三点共线这个几何特征.
(4)方程思想是解决本题的关键,要注意体会.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形 法则,做题时,要注意三角形法则与平行四边形

方 法 与 技 巧

法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首 尾相接,指向终点”;向量减法的三角形法则要 素是“起点重合,指向被减向量”;平行四边形 法则要素是“起点重合”.

2. 可以运用向量共线证明线段平行或三点共线. 如 → → → AB∥CD且 AB 与 CD 不共线, 则 AB∥CD; 若AB → ,则 A、B、C 三点共线. ∥BC

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考 虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;

失 误 与 防 范

二是考虑零向量是否也满足条件. 要特别注意零 向量的特殊性.

2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从 而求得所求向量的相反向量,导致错误.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1.下列命题中正确的是 A.a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线

(

)

B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行 四边形的四个顶点 C.向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

解析 由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正确;
由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可 以在同一直线上,而此时就构不成四边形,所以 B 不正确; 向量的平行只要求方向相同或相反,与起点是否相同无关,所以 D 不正确;
对于 C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题入手来考虑, 假设 a 与 b 不都是非零向量,即 a 与 b 中至少有一个是零向量,而 由零向量与任一向量都共线,可知 a 与 b 共线,符合已知条件,所 以有向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量,故选 C.

答案

C
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

→ =a+2b,BC → =-5a+6b,CD → =7a-2b,则下 2.已知AB 列一定共线的三点是 A.A、B、C C.B、C、D B.A、B、D D.A、C、D ( B )

解析

→ =BC → +CD → =2a+4b=2AB → ?BD → ∥AB → ?A、B、 BD

D 三点共线.

基础知识

题型分类

思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

→ → → 3. 已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0, 若存在实数 m → → → 使得AB+AC=mAM成立,则 m 等于 ( B ) A.2 B. 3 C.4 D.5

解析

→ +MC → =-MA →. 由已知条件得MB

如图,因此延长 AM 交 BC 于 D 点,则 D 为 BC 的中点.延长 BM 交 AC 于 E 点,延长 CM 交 AB 于 F 点,同理可证 E、F 分别为 AC、AB 的中点, 即 M 为△ABC 的重心. 2→ 1 → → → → +AC → =3AM → ,则 m=3. AM=3AD=3(AB+AC),即AB
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

→ +OB → +OC → =0, 4.已知点 O 为△ABC 外接圆的圆心,且OA 则△ABC 的内角 A 等于 A.30° B.60° C.90° ( B ) D.120°

→ +OB → +OC → =0,知点 O 为△ABC 的重心, 解析 由OA

又 O 为△ABC 外接圆的圆心,
∴△ABC 为等边三角形,A=60° .

基础知识

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1 2 3

A组
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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5.在△ABC 中,AB=2,BC=3,∠ABC=60° ,AD 为 BC 边 → =λAB → +μBC → ,则 λ+μ 等 上的高,O 为 AD 的中点,若AO 于 A.1 1 B. 2 1 C. 3 2 D. 3 ( D )

1→ → → → → 解析 AD=AB+BD=AB+3BC, 1→ 1→ 1→ → → → 2AO=AB+3BC,即AO=2AB+6BC.
1 1 2 故 λ+μ=2+6=3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

→ =3(e +e ),CB → =e -e , → 6.设向量 e1,e2 不共线,AB 1 2 2 1 CD =2e1+e2,给出下列结论:①A,B,C 共线;②A,B, D 共线;③B,C,D 共线;④A,C,D 共线,其中所
④ 有正确结论的序号为________ .

解析

→ =AB → -CB → =4e +2e ,BD → =CD → -CB → =3e , AC 1 2 1

由向量共线的充要条件 b=λa(a≠0)可得 A,C,D 共线, 而其他 λ 无解.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

→ =a,AD → =b,AN → =3NC → ,M 为 BC 7.在?ABCD 中,AB
1 1 -4a+4b → 的中点,则MN=____________.(用 a,b 表示)

解析

3→ 3 → → → 由AN=3NC得AN= AC= (a+b), 4 4

1 → → =AN → -AM → AM=a+ b,所以MN 2
? 1 ? 3 1 1 ? ? = (a+b)-?a+2b?=- a+ b. 4 4 4 ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

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1 2 3

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4

专项基础训练
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→ =2DB →, 8.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD 2 1→ → → CD= CA+λCB,则 λ=________. 3 3

解析

→ =CA → +AD →, 由图知CD




→ =CB → +BD →, CD
→ +2BD → =0. 且AD

→ =CA → +2CB →, ①+②×2 得:3CD
1→ 2→ 2 → ∴CD= CA+ CB,∴λ= . 3 3 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

9.已知向量 a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中 e1、e2 不共线,向 量 c=2e1-9e2.问是否存在这样的实数 λ、μ,使向量 d=λa +μb 与 c 共线?

解 ∵d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2) =(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,
要使 d 与 c 共线,则应有实数 k,使 d=kc, 即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,
? ?2λ+2μ=2k, 即? ? ?-3λ+3μ=-9k,

得 λ=-2μ.

故存在这样的实数 λ、μ,只要 λ=-2μ,就能使 d 与 c 共线.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.如图所示,在△ABC 中,D、F 分别是 BC、 → 2→ → → AC 的中点,AE= AD,AB=a,AC=b. 3 → → → → → (1)用 a、b 表示向量AD,AE,AF,BE,BF; (2)求证:B,E,F 三点共线.

1→ → (1)解 延长 AD 到 G,使AD=2AG, → =a+b, 连接 BG,CG,得到?ABGC,所以AG
1→ 1 → AD=2AG=2(a+b), 1→ 1 → AF=2AC=2b,
基础知识 题型分类

2→ 1 → AE= AD= (a+b), 3 3

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.如图所示,在△ABC 中,D、F 分别是 BC、 → 2→ → → AC 的中点,AE= AD,AB=a,AC=b. 3 → → → → → (1)用 a、b 表示向量AD,AE,AF,BE,BF; (2)求证:B,E,F 三点共线. 1 1 → → → BE=AE-AB= (a+b)-a= (b-2a). 3 3 1 1 → → → BF=AF-AB=2b-a=2(b-2a). 2→ → (2)证明 由(1)可知BE= BF, 3
因为有公共点 B,所以 B,E,F 三点共线.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

基础知识

题型分类

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1

B组
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专项能力提升
3

4

5

→ → → 1. 设 O 在△ABC 的内部,D 为 AB 的中点, 且OA+OB+2OC =0,则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为 A.3 B. 4 C.5 D.6 ( B )

1 → → → 解析 ∵D 为 AB 的中点,则OD=2(OA+OB), → +OB → +2OC → =0,∴OD → =-OC →, 又OA ∴O 为 CD 的中点,
1 1 又∵D 为 AB 中点,∴S△AOC= S△ADC= S△ABC, 2 4
S△ABC 则 =4. S△AOC
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

2.O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 → →? ? AB AC ? ? → → + P 满足:OP=OA+λ ? ?,λ∈[0,+∞),则 P 的轨 → → ?|AB| |AC|? 迹一定通过△ABC 的 A.外心 B.内心 C.重心 ( D.垂心 )

作∠BAC 的平分线 AD. → →? ? AB AC ? → =OA → +λ? + ∵OP ?→ ?, → ?|AB| |AC|? → →? → ? AB AC AD ? → =λ? + ∴AP ?→ ?=λ′·→ (λ′∈[0,+∞)), → |AD| ?|AB| |AC|?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解析

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1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

2.O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 → →? ? AB AC ? ? → → + P 满足:OP=OA+λ ? ?,λ∈[0,+∞),则 P 的轨 → → ?|AB| |AC|? 迹一定通过△ABC 的 A.外心 B.内心 C.重心 ( B ) D.垂心

λ′ → → → ∥AD →. ∴AP= · AD,∴AP →| |AD
∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.

基础知识

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1

B组
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专项能力提升
3

4

5

3.如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB、 AC 于不同的两点 M、 N, → =mAM → ,AC → =nAN → ,则 m+n 的值为______ 2 . 若AB

1 → → → 解析 ∵O 是 BC 的中点,∴AO=2(AB+AC).
m → n→ → → → → → 又∵AB=mAM,AC=nAN,∴AO= 2 AM+2AN.
m n ∵M,O,N 三点共线,∴ 2 +2=1.则 m+n=2.

基础知识

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3

4

5

4.设 a,b 是两个不共线的非零向量,若 a 与 b 起点相同,t∈R, 1 t 为何值时,a,tb, (a+b)三向量的终点在一条直线上? 3 1 → → → 解 设OA=a,OB=tb,OC= (a+b). 3 → =λAC →, 若 A,B,C 三点共线,则有AB 1 → → → → ∴OB-OA=λ(OC-OA), ∴tb-a=λ[3(a+b)-a]. 2 1 化简整理得,(3λ-1)a=(3λ-t)b, 3 1 ∵a 与 b 不共线,由平面向量基本定理得 λ=2且 t=2. 1 1 故当 t=2时,a,tb,3(a+b)三向量的终点在一条直线上.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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3

4

5

→ =mOA → +nOB → (m,n∈R). 5.已知 O,A,B 是不共线的三点,且OP (1)若 m+n=1,求证:A,P,B 三点共线; (2)若 A,P,B 三点共线,求证:m+n=1.

证明

(1)若 m+n=1,

→ =mOA → +(1-m)OB → =OB → +m(OA → -OB → ), 则OP → -OB → =m(OA → -OB → ), ∴OP → =mBA → ,∴BP → 与BA → 共线. 即BP
→ → 又∵BP与BA有公共点 B,则 A、P、B 三点共线,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3

4

5

→ =mOA → +nOB → (m,n∈R). 5.已知 O,A,B 是不共线的三点,且OP (1)若 m+n=1,求证:A,P,B 三点共线; (2)若 A,P,B 三点共线,求证:m+n=1.

→ =λBA →, (2)若 A,P,B 三点共线,则存在实数 λ,使BP → -OB → =λ(OA → -OB → ). ∴OP

→ =mOA → +nOB →. 又OP → +(n-1)OB → =λOA → -λOB →, 故有 mOA → +(n+λ-1)OB → =0. 即(m-λ)OA

→ → ∵O,A,B 不共线,∴OA,OB不共线, ? ?m-λ=0, ∴? ∴m+n=1. ? ?n+λ-1=0,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分


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