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6293平面向量的数量积课时

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第一课时 2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义 教学要求:掌握平面向量的数量积及其几何意义;掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题; 教学重点:平面向量的数量积定义及应用. 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解. 教学过程: 一、复习准备: 1. 如何由坐标得到两个向量共线? 2. 物理中力做的功是怎样定义的? 二、讲授新课: 1.教学向量的数量积的概念. ①.两个非零向量夹角的概念:已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ (0≤θ≤π)叫a与b的夹角.注意:当 θ=0时a与b同向;当 θ=π 时,a与b反向;当 θ= ? 2 时,a与b垂直,记a⊥b; ②.平面向量数量积 (内积) 的定义: 已知两个非零向量a与b, 它们的夹角是θ , 则数量|a||b|cos? 叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (分析:符号由 cos?的符号所决定;两个向量的数量积称为内积,写成 a?b; ) ③.“投影”的概念:作图定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 投影也是一个数量,不 是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当?为直角时投影为 0;当? = 0? 时投影为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b| ④.向量的数量积的几何意义:数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. ⑤.性质:e?a = a?e =|a|cos? ,a?b ? a?b = 0,当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时, a?b = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a cos? = a ? b ) | a || b | ⑥探究:运算律 a?b=b.a (λ a).b=λ (a.b) 2.教学例题 ①.讲解范例:例 1 已知|a|=5, |b|=4, a 与 b 的夹角 θ=120o,求 a· b. o 例 2 已知|a|=6, |b|=4, a 与 b 的夹角为 60 求(a+2b)· (a-3b). 例 3 已知|a|=3, |b|=4, 且 a 与 b 不共线,k 为何值时,向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直. (教师演示 ?学生模仿 ?学生演示) ②.练习:已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角是 60° 时, 分别求a· b. 3. 小结:1.平面向量数量积(内积)的定义;2.向量的数量积的几何意义. 三、巩固练习: 1.已知|a|=1,|b|= 2 ,(1)若 a∥b,求 a· b;(2)若 a、b 的夹角为60° ,求|a+b|;(3)若 a-b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角. 2.设 m、n 是两个单位向量,其夹角为60°,求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角. 3.对于两个非零向量 a、b,求使|a+tb|最小时的 t 值,并求此时 b 与 a+tb 的夹角. 4.已知 a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中 i、j 是直角坐标系中 x 轴、y 轴正方向上的单位向量,那 么 a· b=? 5.作业:课本 P119 A 组 1,2,3 题. 第二课时 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学要求:使学生掌握平面向量数量积的坐标表示, 掌握向量垂直的坐标表示的条件,及平面 内两点间的距离公式,能用所学知

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