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福建省厦门六中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


福建省厦门六中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(理科)
一、选择题: (本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)若命题“p∨q”为真,“≦p”为真,则() A.p 真 q 真 B. p 假 q 假 C. p 真 q 假 2. (5 分)已知 a,b,c∈R,那么下列命题中一定正确的是() A.若 > ,则 a>b C. 若

a>﹣b,则 c﹣a<c+b 3. (5 分)已知△ ABC 中,a=2 0 0 A.45 B.135 ,b=2 B. 若 a>b,c>d,则 a﹣c>b﹣d D.若 a>b,则 a >b ,A=60°,则 B=() 0 0 C.45 或 135
2 2

D.p 假 q 真

D.30 或 150

0

0

4. (5 分)某种细胞每隔 30 分钟分裂 1 次,1 个分裂成 2 个,则 1 个这样的细胞经过 4 小时 30 分钟后,可得到的细胞个数为() A.512 B.511 C.1024 D.1023 5. (5 分)命题“?x0∈R,x ﹣x +1>0”的否定是() 3 2 3 2 A.?x∈R,x ﹣x +1≤0 B. ?x0∈R,x ﹣x +1<0 3 2 3 2 C. ?x0∈R,x ﹣x +1≤0 D.不存在 x∈R,x ﹣x +1>0 6. (5 分)下列函数中,最小值为 4 的函数是() A. C. y=e +4e
x
﹣x

3

2

B. D.y=log3x+logx81

7. (5 分)在等比数列{an}中,S4=1,S8=3,则 a17+a18+a19+a20 的值是() A.14 B.16 C.18 D.20

8. (5 分)若不等式组

表示的平面区域是一个三角形,则 s 的取值范围是()

A.0<s≤2 或 s≥4

B.0<s≤2

C.2≤s≤4

D.s≥4

9. (5 分)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c=2a, 则 cosB=() A. B. C. D.

10. (5 分)在数列{an}中,若 an ﹣an+1 =p(n≥1,n∈N ,p 为常数) ,则称{an}为“等方差数列”, 下列是对“等方差数列”的判断: ①若{an}是等方差数列,则{an }是等差数列; n ②{(﹣1) }是等方差数列; * ③若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N ,k 为常数)也是等方差数列. 其中真命题的序号是() A.② B.①② C.②③ D.①②③
2

2

2

*

二、填空题: (本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. (4 分)已知数列{an}满足 a1=1,a2=1,an+2=an+1+an,则 a6=. 12. (4 分)已知△ ABC 的外接圆半径为 1,则
1 ﹣x

=.

13. (4 分)函数 y=a >0)上,则

(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny﹣1=0(mn

的最小值为.

14. (4 分)若不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对一切 a∈R 恒成立.则 x 的取值范围是. 15. (4 分)二次函数 y=ax +bx+c(x∈R)的部分对应值如表: x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣4 0 6 则不等式 ax +bx+c>0 的解集是. 16. (4 分)把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表(每行比上一行多一 个数) :设 ai,j(i、j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数, 如 a4,2=8.若 ai,j=210,则 i、j 的值分别为, .
2 2

2

三.解答题(本大题有 6 小题,共 76 分;解答应写出文字说明与演算步骤) 2 2 17. (12 分)已知 p:﹣2≤x≤10;q:x ﹣2x+1﹣m ≤0(m>0) ,若 p 是 q 的必要不充分条件, 求实数 m 的取值范围. 18. (12 分)已知△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2,cosB=

(Ⅰ)若 b=4,求 sinA 的值; (Ⅱ) 若△ ABC 的面积 S△ ABC=4 求 b,c 的值. 19. (12 分)已知等差数列{an}满足 a3=15,a4+a6=22,Sn 为{an}的前 n 项和. (1)求通项公式 an 及 Sn; (2)设{bn﹣an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn. 20. (13 分)某家公司每月生产两种布料 A 和 B,所有原料是三种不同颜色的羊毛,下表给出 了生产每匹每种布料所需的羊毛量,以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量.已知生产每匹 布料 A、B 的利润分别为 120 元、80 元.那么如何安排生产才能够产生最大的利润?最大的 利润是多少? 羊毛颜色 每匹需要/kg 供应量/kg 布料 A 布料 B 红 4 4 1400 绿 6 3 1800 黄 2 6 1800 21. (13 分)某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,铺设一个对角线在 L 上的四边形 电气线路,如图所示.为充分利用现有材料,边 BC,CD 用一根 5 米长的材料弯折而成,边 BA, AD 用一根 9 米长的材料弯折而成, 使 A+C=180°, 且 AB=BC. 设 AB=x 米, cos A=f (x) . (1)求 f(x)的解析式,并指出 x 的取值范围; (2)求 的最大值,并指出相应的 x 值.

22. (14 分)已知 f(x)=logmx(m 为常数,m>0 且 m≠1) ,设 f(a1) ,f(a2) ,…,f(an) (n∈N+)是首项为 4,公差为 2 的等差数列. (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)若 bn=anf(an) ,记数列{bn}的前 n 项和为 Sn,当 时,求 Sn; (3)若 cn=anlgan,问是否存在实数 m,使得{cn}中每一项恒小于它后面的项?若存在,求出 实数 m 的取值范围.

福建省厦门六中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)若命题“p∨q”为真,“≦p”为真,则() A.p 真 q 真 B. p 假 q 假 C. p 真 q 假

D.p 假 q 真

考点: 复合命题的真假. 专题: 阅读型. 分析: 本题考查的是复合命题的真假问题.在解答时,可先结合条件“p 或 q”为真命题判断 p、q 的情况,根据?p 为真,由此即可获得 p、q 的真假情况,得到答案 解答: 解:由题意可知:“p∨q”为真命题, ∴p、q 中至少有一个为真, ∵?p 为真, ∴p、q 全为真时,p 且 q 为真,即“p 且 q 为真”此时成立; 当 p 假、q 真, 故选 D. 点评: 本题考查的是复合命题的真假问题.在解答的过程当中充分体现了命题中的或非关 系.值得同学们体会反思.属基础题. 2. (5 分)已知 a,b,c∈R,那么下列命题中一定正确的是() A.若 > ,则 a>b C. 若 a>﹣b,则 c﹣a<c+b B. 若 a>b,c>d,则 a﹣c>b﹣d D.若 a>b,则 a >b
2 2

考点: 不等关系与不等式. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 由不等式的性质,对四个命题一一验证,注意举反例. 解答: 解:若 a=1,b=2,c=﹣1,则 A 错误; 若 a=1,b=0,c=5,d=﹣10,则 B 错误; 若 a>﹣b,则﹣a<b,则 c﹣a<c+b,正确; 若 a=﹣1,b=﹣2,则 D 错误; 故选 C. 点评: 本题考查了不等式的性质应用,注意成立的条件,属于基础题. 3. (5 分)已知△ ABC 中,a=2 0 0 A.45 B.135 考点: 专题: 分析: 度数. 解答: ,b=2 ,A=60°,则 B=() 0 0 C.45 或 135

D.30 或 150

0

0

正弦定理. 解三角形. 利用正弦定理列出关系式,把 a,b,sinA 的值代入求出 sinB 的值,即可确定出 B 的 解:∵△ABC 中,a=2 = ,b=2 ,A=60°, = = ,

∴由正弦定理 ∵b<a,∴B<A,

得:sinB=

则 B=45°. 故选:A. 点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关 键. 4. (5 分)某种细胞每隔 30 分钟分裂 1 次,1 个分裂成 2 个,则 1 个这样的细胞经过 4 小时 30 分钟后,可得到的细胞个数为() A.512 B.511 C.1024 D.1023 考点: 数列的应用. 专题: 应用题;等差数列与等比数列. 分析: 根据指数函数产生的背景,可判断出 a×2 ,a=1,n=9,代入可判断. 解答: 解:∵某种细胞每隔 30 分钟分裂 1 次,1 个分裂成 2 个,则 1 个这样的细胞经过 4 小时 30 分钟后, ∴共分裂 9 次, 9 ∴可得到的细胞个数为 2 =512, 故选:A 点评: 本题考查了数列在实际问题中的应用,属于中档题. 5. (5 分)命题“?x0∈R,x ﹣x +1>0”的否定是() 3 2 3 2 A.?x∈R,x ﹣x +1≤0 B. ?x0∈R,x ﹣x +1<0 3 2 3 2 C. ?x0∈R,x ﹣x +1≤0 D.不存在 x∈R,x ﹣x +1>0 考点: 命题的否定. 专题: 常规题型. 分析: 特称命题“?x0∈M,p(x)”的否定为全称命题“?x∈M,¬p(x)”. 3 2 3 2 解答: 解:特称命题“?x0∈R,x ﹣x +1>0”的否定是“?x∈R,x ﹣x +1≤0”. 故选 A. 点评: 本题考查特称命题的否定形式,要注意存在量词“?”应相应变为全称量词“?”. 6. (5 分)下列函数中,最小值为 4 的函数是() A. C. y=e +4e
x
﹣x

n

3

2

B. D.y=log3x+logx81

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用基本不等式可得 条件. 解答: 解:∵e >0,4e >0, ∴
x
﹣x

=4,注意检验不等式使用的前提

x

﹣x

=4,

当且仅当 e =4e ,即 x=ln2 时取得等号,

∴y=e +4e 的最小值为 4, 故选 C. 点评: 本题考查基本不等式求函数的最值, 利用基本不等式求函数最值要注意条件: “一正、 二定、三相等”. 7. (5 分)在等比数列{an}中,S4=1,S8=3,则 a17+a18+a19+a20 的值是() A.14 B.16 C.18 D.20 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等比数列的性质可知,从第 1 到第 4 项的和,以后每四项的和都成等比数列, 由前 8 项的和减前 4 项的和得到第 5 项加到第 8 项的和为 2, 然后利用第 5 项到第 8 项的和除 以前 4 项的和即可得到此等比数列的公比为 2,首项为前 4 项的和即为 1,而所求的式子 (a17+a18+a19+a20)为此数列的第 5 项,根据等比数列的通项公式即可求出值. 解答: 解:∵S4=1,S8=3, ∴S8﹣S4=2, 而等比数列依次 K 项和为等比数列, 则 a17+a18+a19+a20=(a1+a2+a3+a4)?2 =16. 故选 B. 点评: 此题考查学生掌握等比数列的性质,灵活运用等比数列的通项公式化简求值,是一 道中档题.
5﹣1

x

﹣x

8. (5 分)若不等式组

表示的平面区域是一个三角形,则 s 的取值范围是()

A.0<s≤2 或 s≥4 考点: 专题: 分析: 解答:

B.0<s≤2

C.2≤s≤4

D.s≥4

二元一次不等式(组)与平面区域. 计算题;作图题;不等式的解法及应用. 由题意作出其平面区域,由图求 s 的取值范围. 解:由题意作出其平面区域,

由图可知,0<s≤2 或 s≥4. 故选 A. 点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题. 9. (5 分)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c=2a, 则 cosB=() A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答: 则 b=

余弦定理;等比数列. 计算题. 根据等比数列的性质,可得 b= a,将 c、 b 与 a 的关系结合余弦定理分析可得答案. 解:△ ABC 中,a、b、c 成等比数列,且 c=2a, a, = ,

故选 B. 点评: 本题考查余弦定理的运用,要牢记余弦定理的两种形式,并能熟练应用. 10. (5 分)在数列{an}中,若 an ﹣an+1 =p(n≥1,n∈N ,p 为常数) ,则称{an}为 “等方差数 列”,下列是对“等方差数列”的判断: ①若{an}是等方差数列,则{an }是等差数列; n ②{(﹣1) }是等方差数列; * ③若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N ,k 为常数)也是等方差数列. 其中真命题的序号是() A.② B.①② C.②③ D.①②③ 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据“等方差数列”的定义,数列{an}中,若 an ﹣an+1 =p(n≥1,n∈N ,p 为常数) , 则{an}称为“等方差数列”,我们逐一判断①②③中的三个数列是否满足等方差数列的定义, 可得答案. 解答: 解:①∵{an}是等方差数列, 2 2 ∴an ﹣an﹣1 =p(p 为常数) 2 ∴{an }是等差数列,故①正确; n 2 2 n 2 n﹣1 2 ②数列{(﹣1) }中,an ﹣an﹣1 =[(﹣1) ] ﹣[(﹣1) ] =0, n ∴{(﹣1) }是等方差数列;故②正确; ③数列{an}中的项列举出来是,a1,a2,…,ak,…,a2k,… 数列{akn}中的项列举出来是,ak,a2k,…,a3k,…, 2 2 2 2 2 2 2 2 ∵(ak+1 ﹣ak )=(ak+2 ﹣ak+1 )=(ak+3 ﹣ak+2 )=…=(a2k ﹣a2k﹣1 )=p 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴(ak+1 ﹣ak )+(ak+2 ﹣ak+1 )+(ak+3 ﹣ak+2 )+…+(a2k ﹣a2k﹣1 )=kp 2 2 ∴(akn+1 ﹣akn )=kp * ∴{akn}(k∈N ,k 为常数)是等方差数列;故③正确;
2 2 * 2 2 2 *

故选:D. 点评: 本题考查等差数列的定义及其应用,解题时要注意掌握数列的概念,属基础题. 二、填空题: (本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. (4 分)已知数列{an}满足 a1=1,a2=1,an+2=an+1+an,则 a6=8. 考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据数列{an}满足 a1=1,an+2=an+1+an,一步一步的求 a6. 解答: 解:因为数列{an}满足 a1=1,a2=1,an+2=an+1+an, a3=a2+a1=1+1=2, a4=a3+a2=2+1=3, a5=a4+a3=3+2=5, a6=a5+a4=5+3=8. 故答案为:8 点评: 本题主要考查利用数列递推式求值,属易题,计算细心即可. 12. (4 分)已知△ ABC 的外接圆半径为 1,则

=2.

考点: 正弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 由正弦定理可得 的外接圆半径为 r. 解答: 解:由正弦定理可得 故答案为:2. 点评: 本题考查正弦定理的应用,把要求的式子化为 题的关键. 13. (4 分)函数 y=a >0)上,则
1 ﹣x

=

=2r,△ ABC

=

=2r=2,

,是解

(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny﹣1=0(mn

的最小值为 4.

考点: 基本不等式;指数函数的图像与性质. 专题: 计算题;压轴题;转化思想. 分析: 最值问题长利用均值不等式求解,适时应用“1”的代换是解本题的关键.函数 y=a (a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,知 A(1,1) ,点 A 在直线 mx+ny﹣1=0 上,得 m+n=1 又 mn>0,∴m>0,n>0,下用 1 的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值. 解答: 解:由已知定点 A 坐标为(1,1) ,由点 A 在直线 mx+ny﹣1=0 上, ∴m+n=1, 又 mn>0,∴m>0,n>0,
1﹣x



=(

) (m+n)=

=2+ + ≥2+2?

=4,

当且仅当两数相等时取等号. 故答案为 4. . 点评: 均值不等式是不等式问题中的确重要公式,应用十分广泛.在应用过程中,学生常 忽视“等号成立条件”,特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握.当均值不等 式中等号不成立时, 常利用函数单调性求最值. 也可将已知条件适当变形, 再利用均值不等式, 使得等号成立.有时也可利用柯西不等式以确保等号成立,取得最值. 14. (4 分)若不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对一切 a∈R 恒成立.则 x 的取值范围是{﹣ 2,0}. 考点: 函数恒成立问题. 专题: 不等式的解法及应用. 2 2 2 分析: 将不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 转化为(x +2x)a﹣2x ﹣4x﹣4<0,令 f(a) 2 2 2 =(x +2x)a﹣2x ﹣4x﹣4,则 f(a)是可看做为关于 a 的一次函数,所以不等式(a﹣2)x +2 (a﹣2)x﹣4<0 对一切 a∈R 恒成立等价于 围. 解答: 解:不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0, 2 2 可转化为(x +2x)a﹣2x ﹣4x﹣4<0, 2 2 令 f(a)=(x +2x)a﹣2x ﹣4x﹣4, 则 f(a)是可看做为关于 a 的一次函数, ∴等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对一切 a∈R 恒成立 等价于 ,
2 2 2

,解之即可确定 x 的取值范

解得,x=0 或 x=﹣2, ∴x 的取值范围是{﹣2,0}. 故答案为:{﹣2,0}. 点评: 本题考查不等式的化简,一次函数的性质,恒成立问题的灵活转化,属于中档题. 15. (4 分)二次函数 y=ax +bx+c(x∈R)的部分对应值如表: x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣4 0 6 2 则不等式 ax +bx+c>0 的解集是{x|x>3 或 x<﹣2}. 考点: 一元二次不等式与二次函数;二次函数的性质;一元二次不等式. 专题: 计算题;综合题. 分析: 由表可得二次函数的零点,可设其两根式,然后代入一点求得解析式,即可得到不 2 等式 ax +bx+c>0 的解集. 解答: 解:由表可设 y=a(x+2) (x﹣3) , 又∵x=0,y=﹣6,代入知 a=1.
2

∴y=(x+2) (x﹣3) ∴ax +bx+c=(x+2) (x﹣3)>0 得 x>3 或 x<﹣2. 故答案为:{x|x>3 或 x<﹣2} 点评: 本题为基础题,考查了一元二次不等式与二次函数的关系,在解题时注意题目要求 不等式的解集. 16. (4 分)把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表(每行比上一行多一 个数) :设 ai,j(i、j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数, 如 a4,2=8.若 ai,j=210,则 i、j 的值分别为 20,20.
2

考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 第一行有一个数,第二行有两个数…,第 n 行有 n 个数字,这样每一行的数字个数组 成一个等差数列,表示出等差数列的前项和,使得和大于或等于 210,解出不等式,求出 n 的 值,在满足条件的数字附近检验,得到结果. 解答: 解:由题意可知,第一行有一个数,第二行有两个数,第三行有三个数,…,第 62 行有 62 个数,第 63 行有 63 个数,第 n 行有 n 个数字,这样每一行的数字个数组成一个等差 数列, ∴前 n 项的和是 ∵当 n=20 时, , =210,

∴210 为第 20 行,第 20 个数 故答案为:20,20 点评: 本题的考点是归纳推理,主要考查数列的性质和应用,本题解题的关键是看出所形 成的数列是一个等差数列,利用等差数列的前项和,使得和大于或等于 210 求解. 三.解答题(本大题有 6 小题,共 76 分;解答应写出文字说明与演算步骤) 17. (12 分)已知 p:﹣2≤x≤10;q:x ﹣2x+1﹣m ≤0(m>0) ,若 p 是 q 的必要不充分条件, 求实数 m 的取值范围. 考点: 必要条件. 分析: p 与 q 是数的范围问题,所以“p 是 q 的必要不充分条件”可以转化为集合间的包含关 系解决. 解答: 解:p:﹣2≤x≤10; 2 2 q:x ﹣2x+1﹣m ≤0(m>0)?(x﹣(1﹣m) ) (x﹣(1+m) )≤0?1﹣m≤x≤1+m, 若 p 是 q 的必要不充分条件即“q?p”?{x|1﹣m≤x≤1+m}?{x|﹣2≤x≤10},
2 2



,∴m≤3,又 m>0

所以实数 m 的取值范围是 0<m≤3. 点评: 本题考查充分条件和必要条件有关问题,利用集合的包含关系解决充要条件问题是 一种常用方法. 18. (12 分)已知△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2,cosB= (Ⅰ)若 b=4,求 sinA 的值; (Ⅱ) 若△ ABC 的面积 S△ ABC=4 求 b,c 的值. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 综合题;解三角形. 分析: (Ⅰ)先求出 sinB= ,再利用正弦定理求 sinA 的值; (Ⅱ)由△ ABC 的面积 S△ ABC=4 求 c 的值,利用余弦定理求 b 的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵cosB= ∴sinB= , ∵a=2,b=4, ∴sinA= = = ;

(Ⅱ)S△ ABC=4= ×2c× ,∴c=5, ∴b= = .

点评: 本题考查正弦定理、余弦定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 19. (12 分)已知等差数列{an}满足 a3=15,a4+a6=22,Sn 为{an}的前 n 项和. (1)求通项公式 an 及 Sn; (2)设{bn﹣an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知可先求得 d,a1 的值,从而可求通项公式 an 及 Sn; (2)根据已知,可先求出数列{bn}的通项公式,进而即可求出其前 n 项和 Tn. 解答: 解: (1)a3=a1+2d=15,a4+a6=2a5=22,a5=a1+4d=11, ∴可解得 d=﹣2,a1=19, ∴an=﹣2n+21; (2) ,

∴可求得

故有前 n 项和



点评: 本题主要考察了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和的求法,属于基础题. 20. (13 分)某家公司每月生产两种布料 A 和 B,所有原料是三种不同颜色的羊毛,下表给出 了生产每匹每种布料所需的羊毛量,以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量.已知生产每匹 布料 A、B 的利润分别为 120 元、80 元.那么如何安排生产才能够产生最大的利润?最大的 利润是多少? 羊毛颜色 每匹需要/kg 供应量/kg 布料 A 布料 B 红 4 4 1400 绿 6 3 1800 黄 2 6 1800 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: 设每月生产布料 A、B 分别为 x 匹、y 匹,利润为 Z 元,然后根据题目条件建立约束 条件,得到目标函数,画出约束条件所表示的区域,然后利用平移法求出 z 的最大值,从而求 出所求.

解答: 解: 设每月生产布料 A、 B 分别为 x 匹、 y 匹, 利润为 Z 元, 那么

①…

(1 分) 目标函数为 z=120x+80y…(2 分) 作出二元一次不等式①所表示的平面区域(阴影部分)即可行域.把 z=120x+80y 变形为 ,得到斜率为 以看出,当直线 M 时,截距 解方程组 得 M 的坐标为 x=250,y=100 …(7 分) 所以 zmax=120x+80y=38000. 答:该公司每月生产布料 A、B 分别为 250、100 匹时,能够产生最大的利润,最大的利润是 38000 元. ,在轴上的截距为 经过可行域上 最大,即 z 最大. …(6 分) ,随 z 变化的一族平行直线.如图可

点评: 本题主要考查了简单线性规划的应用,以及平面区域图的画法和二元一次不等式组 的解法,属于中档题. 21. (13 分)某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,铺设一个对角线在 L 上的四边形 电气线路,如图所示.为充分利用现有材料,边 BC,CD 用一根 5 米长的材料弯折而成,边 BA, AD 用一根 9 米长的材料弯折而成, 使 A+C=180°, 且 AB=BC. 设 AB=x 米, cos A=f (x) . (1)求 f(x)的解析式,并指出 x 的取值范围; (2)求 的最大值,并指出相应的 x 值.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: (1)利用余弦定理,建立方程,解得 cos A= ,即可求 f(x)的解析式,并指出 x 的取值范围; (2)表示出 ,利用基本不等式求出最大值,并指出相应的 x 值.
2 2 2

解答: 解: (1)在△ ABD 中,由余弦定理得 BD =AB +AD ﹣2AB?AD?cosA. 2 2 2 同理,在△ CBD 中,BD =CB +CD ﹣2CB?CD?cosC. 因为∠A 和∠C 互补, 2 2 2 2 2 2 所以 AB +AD ﹣2AB?AD?cosA=CB +CD ﹣2CB?CD?cosC=CB +CD +2CB?CD?cosA.…(4 分) 2 2 2 2 即 x +(9﹣x) ﹣2x(9﹣x)cosA=x +(5﹣x) +2x(5﹣xcosA. 解得 cosA= , 即 f(x)= ,其中 x∈(2,5)…(7 分)

,∴

x∈(2,5)…(9 分)



,…(11 分) 时, …(13 分)



点评: 本题考查余弦定理,考查基本不等式的运用,正确运用余弦定理是关键. 22. (14 分)已知 f(x)=logmx(m 为常数,m>0 且 m≠1) ,设 f(a1) ,f(a2) ,…,f(an) (n∈N+)是首项为 4,公差为 2 的等差数列. (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)若 bn=anf(an) ,记数列{bn}的前 n 项和为 Sn,当 时,求 Sn; (3)若 cn=anlgan,问是否存在实数 m,使得{cn}中每一项恒小于它后面的项?若存在,求出 实数 m 的取值范围. 考点: 等比关系的确定;数列的函数特性;数列的求和. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1) 根据等差数列的通项公式可求得 ( f x) 的解析式, 进而求得 an, 进而根据 推断出数列{an}是以 m 为首项,m 为公比的等比数列 (2)把(1)中的 an 代入 bn=anf(an)求得 bn,把 m 代入,进而利用错位相减法求得 Sn. 2 (3)把 an 代入 cn,要使 cn﹣1<cn 对一切 n≥2 成立,需 nlgm<(n+1)?m ?lgm 对一切 n≥2 成 立,进而根据 m 的不同范围求得答案. 解答: 解: (1)由题意 f(an)=4+2(n﹣1)=2n+2,即 logman=2n+2, 2n+2 ∴an=m ∴ ∵m>0 且 m≠1, 2 ∴m 为非零常数, 4 2 ∴数列{an}是以 m 为首项,m 为公比的等比数列 2n+2 2n+2 2n+2 (2)由题意 bn=anf(an)=m logmm =(2n+2)?m , 当 ∴Sn=2?2 +3?2 +4?2 +…+(n+1)?2 ① 4 5 6 n+2 n+3 ①式乘以 2,得 2Sn=2?2 +3?2 +4?2 +…+n?2 +(n+1)?2 ② 3 4 5 6 n+2 n+3 3 3 4 5 n+2 ②﹣①并整理, 得 Sn=﹣2?2 ﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣…﹣2 + (n+1) ?2 =﹣2 ﹣[2 +2 +2 +…+2 ]+ n+3 (n+1)?2 = =﹣2 +2 (1﹣2 )+(n+1)?2
3 3 n n+3 3 4 5 n+2 4 2

=2

n+3

?n

(3)由题意 cn=anlgan=(2n+2)?m lgm,要使 cn﹣1<cn 对一切 n≥2 成立, 2 即 nlgm<(n+1)?m ?lgm 对一切 n≥2 成立, 2 ①当 m>1 时,n<(n+1)m 对 n≥2 成立; 2 ②当 0<m<1 时,n>(n+1)m ∴ 对一切 n≥2 成立,只需 ,

2n+2

解得 ∴0<m< .

,考虑到 0<m<1,

综上,当 0<m<

或 m>1 时,数列{cn}中每一项恒小于它后面的项

点评: 本题主要考查了等比关系的确定.涉及了数列的求和,不等式知识等问题,考查了 学生分析问题的能力.


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