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2015-2016学年高中数学 第一章 导数及其应用 2.1 几个常用函数的导数课件 新人教B版选修2-2


第1章

导数及应用

1.2.1 几个常用函数的导数

几个常用 函数的导 数

内容:根据导数的定义求四个常用函数 的导数

应用

根据导数定义求出函数的导 数
求曲线在某点处的切线方程

本课主要学习根据导数定义求出几个

常用函数的导 数,利用地球脉动视频引入新课,以“问题引导,探究交 流”为主,新知识是学生在已有知识的基础上探究而来 ,例题的处理非常灵活,变式训练设计合理,过渡有水 到渠成之感,整堂课下来充实流畅. 在讲述利用导数求切线方程时,采用例题与思考与 探究相结合的方法,通过2个例题。随后是课堂检测, 通过设置难易不同的必做和选做试题,有利于对不同的 学生进行因材施教。

1.导数的定义是什么?
一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬间变化率是
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim , ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x lim

我们称它为 f ( x) 在点 x ? x0 处的导数,记为 f ?( x) ,或 y? |x?x ,
0

即:

f ?( x) ? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

2.导数的几何意义是什么?
曲线 y ?
f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率.

3.求函数 y ?

f ( x) 的导数的一般步骤是什么?

(1)求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ;
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) (2)求平均变化率 ?x ? ; ?x ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) lim lim ? y (3)取极限,得导数 = f ?( x) ? ?x?0 ?x = ?x?0 . ?x

简称:一差、二商、三极限.

地球脉动

地球的变幻—导数与函数的变幻

函数 y = f (x) =c 的导数
因 ?y f ? x ? ?x ? ? f ? x ? c ? c ? ? ? 0, ?x ?x ?x

y y=c

?y 所以 y' ? lim ? lim 0 ? 0. ?x ?0 ?x ?x ? 0

O

x

从几何的角度理解:
y?=0表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为0. 从物理的角度理解: 若y=c表示路程关于时间的函数,则y?=0则为某物体的瞬时速 度始终为0,即一直处于静止状态.

函数 y= f (x)=x 的导数
?y f ?x ? ?x ? ? f ?x ? x ? ?x ? x 因为 ? ? ? 1, ?x ?x ?x

y
y=x

?y 所以 y ' ? lim ? lim 1 ? 1. ?x ?0 ?x ?x ?0
从几何的角度理解:
y?=1表示函数y=x图象上每一点处的 切线斜率都为1. 从物理的角度理解:

O

x

若y=x表示路程关于时间的函数,则y?=1可以解释为某物体做瞬

时速度为1的匀速运动.

函数 y = f (x) = x2 的导数

?y f ?x ? ?x ? ? f ?x ? ?x ? ?x ? ? x 2 因为 ? ? ?x ?x ?x
2

y y=x2

x ? 2 x ? ?x ? ??x ? ? x 2 ? ?x
2 2

? 2 x ? ?x
所以 ?y y ' ? lim ? lim ?2 x ? ?x ? ? 2 x. ?x ?0 ?x ?x ?0

O

x

从几何的角度理解:
y? =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率为2x, 说明随着x的变化,切线的斜率也在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y?=2x表明: 当x<0时,随着x的增加,y=x2减少得越来越慢; 当x>0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快.

从物理的角度理解:
若y=x2表示路程关于时间的函数,则y?=2x可以解释为某 物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.

1 函数 y = f (x) = 的导数 x

1 1 ? ?y f ?x ? ?x ? ? f ?x ? x ? ?x x 因为 ? ? ?x ?x ?x

x ? ?x ? ?x ? 1 ? ?? 2 , x?x ? ?x ??x x ? x ? ?x

?y 1 1 ? ? 所以 y' ? lim ? lim ? ? 2 ?? 2. ? ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? x ? x ? ?x ?

1 画出函数 y ? x 的图象.根据图象,描述它的变化情况,

并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.
y
2 1

-2

-1

1

2

x

-1
-2

1.四个常用函数的导数: (1) y ? f ( x) ? c 的导数 y ? ? 0 ; (3) y ? f ( x) ? x 的导数 y? ? 2 x ;
2

(2) y ? f ( x) ? x 的导数 y ? ? 1 ;
1 y ? f ( x ) ? (4 ) x

的导数 y? ? ?

1 x2 .

2.求函数导数的步骤: (1)求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ;
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) (2)求平均变化率 ?x ? ; ?x

(3)得导数 y? = f ?( x) ?

?y ?x ?0 ?x lim



3.函数的导数的不同角度意义的解释: (1)几何意义的解释是:曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的 斜率; (2)物理意义的解释是:物体运动在某一时刻的瞬时速度.

例1.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象,

并根据导数定义,求它们的导数.
(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关?
解:函数 y ? 2 x 的导数
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) 2( x ? ?x) ? 2 x ? ? 2, 因为 ?x ? ?x ?x
lim 所以 y? = ? x ?0 ?y ? lim 2 ? 2 . ?x ?x ?0

同理可求得函数 y ? 3x 的导数 y? ? 3 ;函数 y ? 4 x 的导数 y? ? 4

如图,画出它们的图象, (1)从图象上看,它们的导数分别 表示各条直线的斜率; (2)在这三个函数中, y ? 4 x 增加 得最快, y ? 2 x 增加得最慢; (3)函数 y ? kx(k ? 0) 增加的快慢 与 k 有关系,即与函数的导数有关
-2 -1

y
2 1

y=4x y=3x
y=2x y=x

1 -1 -2

2

x

系, k 越大,函数增加的越快, k 越小,函数增加的越慢. 函数 y ? kx(k ? 0) 减少的快慢与 k 有关系,即与函数导数的绝 对值有关系, k 越大,函数减少的越快, k 越小,函数减 少的越慢.

1 例2.已知函数 f ( x) ? ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1,1) x 处的切线方程.
1 解:因为 f ?( x ) = ? 2 x
'



1 所以, k ? f (1) ? ? 2 ? ?1 . 1

y ? 1 ? (?1)( x ? 1) 故曲线在点 (1,1) 处的切线方程为:

x? y?2 ?0. 即:

上点 (1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程.

1 变式训练1:已知函数 f ( x) ? ,求过曲线 y ? f ( x) x

解:由例2可知, 过曲线 y ? f ( x)上点 (1,1)的切线的斜率为 ?1 , 所以与它垂直的直线的斜率为1, 所以所求直线方程为 y ? x.

1 变式训练2:已知函数 f ( x) ? ,直线 l 为曲线 y ? f ( x) x

的切线且过点 (3, ?1),求直线 l 的方程. 问题1:点 (3, ?1)是否在曲线上?

问题2:函数在 x ? 3处的导数是否是所求切线的斜率?
问题3:如何求这条切线方程?

解:设切点为 P( x0 , y0 ) ,直线的斜率:

k ? f ?( x0 ) ? ?

1 x0 ,

直线 l 的方程为: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 1 1 y ? ? ? ( x ? x0 ) 即: x0 x0 又因为直线 l 过点 (3, ?1) , 所以:
?1 ? 1 1 ? ? (3 ? x0 ) ,解得: x0 ? 1 x0 x0

所以所求的切线方程为: y ? 1 ? (?1)( x ? 1) ,即: x ? y ? 2 ? 0 .

本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法?
1.知识: (1)利用定义求导法的方法,求导的三个步骤:作差,求 商,取极限. (2)四个常用函数的导数:

y ? c 的导数 y ? ? 0 ; y ? x 的导数 y ? ? 1 ; y ? x2 的导数
1 1 ? y ? y ? ? y? ? 2 x ; x 的导数 x2 .

(3)函数的导数的不同角度意义的解释. (4)利用导数求切线方程的方法.

2.思想:归纳概括思想、类比思想、数形结合的思想.

必做题:
2 S ? ? r 1.已知圆面积 ,根据导数定义求 S ?(r ) .
2 f ( x ) ? x 2.已知 ,求 f ?(3) .

3 y ? x 3.求过曲线 上点 (1,1) 的切线的直线方程.
2 y ? 2 x ? 1 的斜率等于 4 的切线方程. 4.求曲线

选做题: 1.氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最 初有 500 克氡气,那么 t 天后,氡气的剩余量为 A(t ) ? 500 ? 0.834 ,
t

问氡气的散发速度是多少?
? y ? x 2.由四个常用函数的导数,能否归纳 ( ? ?Q*)的导数?


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