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直线与椭圆的位置关系练习题答案


直线与椭圆的位置关系练习
1. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点 M 到焦点 F1 的距离为 2, N 为 MF1 的中点,则 ON ( O 为坐标原点)的值为 25 9
A.4 B.2 C.8 D.





3 2

解 : 如 图 所 示 , 设

椭 圆 的 另 一 个 焦 点 为 F2 , 由 椭 圆 第 一 定 义 得

MF 1 ? MF 2 ? 2a ? 10 ,所以 MF 2 ? 10 ? MF 1 ? 10 ? 2 ? 8 ,
又因为 ON 为 ?MF 所以 ON ? 1 F2 的中位线,

1 MF2 ? 4 , 故答案为 A. 2

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,求实数 m 的取值范围 2.若直线 y ? kx ? 1(k ? R) 与椭圆 5 m
? y ? kx ? 1 ? 解法一:由 ? x 2 可得 (5k 2 ? m) x 2 ? 10kx ? 5 ? 5m ? 0 , y2 ? ? 1 ? m ?5
? ? ? m ? 5k 2 ? 1 ? 0 即 m ? 5k 2 ? 1 ? 1 ? m ? 1且m ? 5
解法二:直线恒过一定点 (0,1) 当 m ? 5 时,椭圆焦点在 x 轴上, 短半轴长 b ?

m ,要使直线与椭圆恒有交点则 m ? 1 即 1 ? m ? 5 5 可保证直线与椭圆恒有交点即 m ? 5

当 m ? 5 时,椭圆焦点在 y 轴上,长半轴长 a ? 综述: m ? 1且m ? 5 解法三:直线恒过一定点 (0,1)

要使直线与椭圆恒有交点,即要保证定点 (0,1) 在椭圆内部
2 2 已知椭圆 4 x ? y ? 1 及直线 y ? x ? m .

0 2 12 ? ? 1即 m ? 1 5 m

3.

(1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

2 2 3. 解: (1)把直线方程 y ? x ? m 代入椭圆方程 4 x ? y ? 1 得

4x2 ? ?x ? m? ? 1 ,
2

即 5x ? 2mx? m ? 1 ? 0 . ? ? ?2m? ? 4 ? 5 ? m2 ?1 ? ?16m2 ? 20 ? 0 , 解得 ?
2 2

2

?

?

5 5 ?m? 2 2

1

2m m2 ? 1 (2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 x1 , x2 ,由(1)得 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 5 5
根据弦长公式得 : 1 ? 1 ? ? ?
2

m 2 ? 1 2 10 ? 2m ? ? 4 ? ? .解得 m ? 0 .方程为 y ? x . ? 5 5 ? 5 ?

2

4. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1,F2,若过点 P(0,-2)及 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,求 2 1

⊿ABF2 的面积 解法一:由题可知:直线 l AB 方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 由 ? x 2

? y ? ?2 x ? 2 ? 可得 9 y 2 ? 4 y ? 4 ? 0 , y2 ? ? 1 ? 1 ?2

y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

4 10 1 4 10 ? S ? ? F1 F2 y1 ? y 2 ? 9 2 9

? y ? ?2 x ? 2 4 5 ? 2 2 解法二: F2 到直线 AB 的距离 h ? 由?x 可得 9 x ? 16x ? 6 ? 0 , y2 ? ?1 5 ? 1 ?2
又 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ?
2

10 2 1 4 10 ? S ? ? AB h ? 9 2 9 2, e ? 2 2

解法三:令 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则 AF 1 ? a ? ex1 , BF 1 ? a ? ex2 其中 a ?

? y ? ?2 x ? 2 4 5 ? 2 2 由?x 可得 9 x ? 16x ? 6 ? 0 , F2 到直线 AB 的距离 h ? y2 ? ?1 5 ? 1 ?2

AB ? a ? ex1 ? a ? ex2 ? 2a ? 2e( x1 ? x2 ) ?

10 2 1 4 10 ? S ? ? AB h ? 9 2 9

5. 已知中心在原点,长轴在 x 轴上的椭圆的两准线间的距离为 2 3 ,若椭圆被直线 x+y+1=0 截得的弦的 中点的横坐标是 ?

2 ,求椭圆的方程 3
2 2

解法一:令椭圆方程为 mx ? ny ? 1(m ? n) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 由题得:

x1 ? x 2 1 2 y ? y2 ?? ?? , 1 2 3 2 3

由?

? y ? ?x ?1 2n 4 2 ? ? 即n ? 2m 可得 (m ? n) x ? 2nx ? n ? 1 ? 0 , x1 ? x 2 ? ? 2 2 m?n 3 ?m x ? ny ? 1
2

2a 2 1 1 1 又? ?2 3即 2 ? 3 ? 2 2 c m m n

?m ?

2 4 2 4 , n ? 椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1 3 3 3 3

解法二:令椭圆方程为 mx2 ? ny2 ? 1(m ? n) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 由题得:

x1 ? x 2 2 y ? y2 1 ?? , 1 ?? 2 3 2 3

由?

? m x1 2 ? ny1 2 ? 1 y ? y2 m 作差得 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ( y1 ? y 2 ) ? n ? 2m 2 2 n x ? x m x ? ny ? 1 1 2 2 ? 2
?m ? 2 4 2 2 4 2 ,n ? 椭圆方程为 x ? y ? 1 3 3 3 3

2a 2 1 1 1 ?2 3即 2 ? 3 又? ? 2 2 c m m n
6.

已知长方形 ABCD, AB=2 2 ,BC=1.以 AB 的中点 O 为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系 xoy .

(Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点? 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. D

y
C

A [解析] (Ⅰ)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 ? 2,0 ,

O

B

x

?

??

2,0 , 2,1 .

?? ?

图8

x2 y2 设椭圆的标准方程是 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? . a b 则2a ? AC ? BC

?

?

2? ? 2

?

?? ? ?1 ? 0?
2
2 2

2

?

?

2 ? 2 ? ?1 ? 0?
2

?

2

?4?2 2
x2 y2 ? a ? 2 ? b ? a ? c ? 4 ? 2 ? 2 ? 椭圆的标准方程是 ? ? 1. 4 2 (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2?k ? 0? . 设 M,N 两点的坐标分别为 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y 2 ?.
2

联立方程: ?

? y ? kx ? 2 ?x ? 2 y ? 4
2 2

消去 y 整理得, 1 ? 2k x ? 8kx ? 4 ? 0
2 2

?

?

8k 4 , x1 x 2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 OM ? ON ,所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,
有 x1 ? x 2 ? ? 所以, x1 x2 ? ?kx1 ? 2??kx2 ? 2? ? 0 , 即 1 ? k x1 x2 ? 2k ?x1 ? x2 ? ? 4 ? 0
2

?

?

3

4 1? k 2 16k 2 8 ? 4k 2 ? 0, 得 k 2 ? 2, k ? ? 2. ? ? 4 ? 0 即 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 ,或 y ? ? 2 x ? 2 .
所以, 所以存在过 P(0,2)的直线 l : y ? ? 2 x ? 2 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点. 7. 已知椭圆的中心在坐标原点 O, 焦点在坐标轴上, 直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q, 且 OP⊥OQ, |PQ|= 求椭圆方程 解
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?

?

10 , 2

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?y ? x ? 1 设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0),P(x1,y1),Q(x2,y2)由 ? 2 得(m+n)x2+2nx+n-1=0, 2 mx ? ny ? 1 ?

Δ=4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0,由 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0,

4(m ? n ? mn) 10 2 2(n ? 1) 2n 3 ?( ) ,将 m+n=2,代入得 m· +1=0,∴m+n=2 ①又 2 n= ②由①、 ② ? m?n 2 m?n m?n 4 x2 3 2 1 3 3 1 3 1 式得 m= ,n= 或 m= ,n= 故椭圆方程为 + y =1 或 x2+ y2=1 2 2 2 2 2 2 2 2

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2 2 7. 椭圆 x ? y ? 1 ?a > b > 0? 与直线 x ? y ? 1 交于 P 、 Q 两点, a2 b2 且 OP ? OQ ,其中 O 为坐标原点.

(1)求

1 1 ? 2 的值; 2 a b

3 ≤ e ≤ 2 ,求椭圆长轴的取值范围. 3 2 (1)设 P( x1 , y1 ), P( x 2 , y 2 ) ,由 OP ⊥ OQ ? x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

(2)若椭圆的离心率 e 满足

? y1 ? 1 ? x1 , y 2 ? 1 ? x 2 , 代入上式得: 2 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0

① 又将 y ? 1 ? x代入

2a 2 x2 y2 ? 2 ? 1 ? (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 ,? ? ? 0,? x1 ? x 2 ? 2 , 2 a ? b2 a b a 2 (1 ? b 2 ) 代入①化简得 1 ? 1 ? 2 . x1 x 2 ? 2 a ? b2 a2 b2 2 2 2 a2 c b 1 b 1 1 b2 2 (2) ? e 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? , 又由(1)知 b 2 ? 2 3 2 2 a 3 2a ? 1 a a a
? 1 1 2 5 3 5 6 ,∴长轴 2a ∈ [ 5, 6 ]. ? ? ? ? a2 ? ? ?a? 2 2a 2 ? 1 3 4 2 2 2

x2 y2 ? ? 1 顺次交于 A、B 两点, 8.设直线 l 过点 P(0,3) ,和椭圆 9 4
若 AP ? ? PB 试求?的取值范围. 解:当直线 l 垂直于 x 轴时,可求得 ? ? ?

??? ?

??? ?

1 ; 5

当 l 与 x 轴不垂直时,设 A?x1 , y1 ?, B( x2,y2 ) ,直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 , 代入椭圆方程,消去 y 得

?9k

2

? 4 x 2 ? 54kx ? 45 ? 0

?

4

解之得

x1, 2 ?

? 27k ? 6 9k 2 ? 5 . 9k 2 ? 4

因为椭圆关于 y 轴对称,点 P 在 y 轴上,所以只需考虑 k ? 0 的情形. 当 k ? 0 时, x1 ?

? 27k ? 6 9k 2 ? 5 ? 27k ? 6 9k 2 ? 5 , , x2 ? 9k 2 ? 4 9k 2 ? 4
.

18k 18 x1 ? 9k ? 2 9k 2 ? 5 所以 ? ? ? = =1 ? =1 ? 2 2 x2 9k ? 2 9k ? 5 9 k ? 2 9k ? 5 9?2 9? 5
由 所以

k2

? ? (?54k ) 2 ? 180 9k 2 ? 4 ? 0 , 解得 k 2 ?
?1 ? 1? 18 9?2 9? 5 k2 1 ? ? ,综上 5

?

?

5 , 9 1 5

?1 ? ? ? ?

9.已知椭圆的一个焦点为 F1(0,-2 2 ),对应的准线方程为 y ? ?

9 2 ,且离心率 e 满足: 4

2 4 , e, 成等差数列。 3 3
(1)求椭圆方程; (2)是否存在直线 l,使 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰被直线 x ? ? 出 l 的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由。

1 平分,若存在,求 2

2 2 a2 9 2 2 ,? ∴a=3,c=2 2 ,b=1, ?c ? ?2 2 ? 3 c 4 4 1 2 9 2 2 又 F1(0,-2 2 ),对应的准线方程为 y ? ? ∴椭圆中心在原点,所求方程为 x ? y ? 1 9 4 1 (2)假设存在直线 l,依题意 l 交椭圆所得弦 MN 被 x ? ? 平分 2
(1)解:依题意 e ? ∴直线 l 的斜率存在。 设直线 l:y=kx+m

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? 2 y2 消去 y,整理得 (k +9)x +2kmx+m -9=0 ?1 ?x ? 9 ?
∵l 与椭圆交于不同的两点 M、N, 2 2 2 2 2 2 ∴Δ =4k m -4(k +9)(m -9)>0 即 m -k -9<0 ①

x1 ? x2 ?km 1 ? 2 ?? 2 k ?9 2 2 2 (k ? 9) ? (k 2 ? 9) ? 0 , 把②代入①式中得 2 4k
设 M(x1,y1),N(x2,y2) ?

?m ?

k2 ? 9 2k



∴k> 3 或 k<- 3 ∴直线 l 倾斜角 ? ? ( , ) ? ( , )

? ?

? 2?
2 3

3 2

10. 已知椭圆

x2 ? y2 ? 1 , 2
5

(1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 A?2, 1? 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点 P 、 Q , O 为原点,且有直线 OP 、 OQ 斜率满足 kOP ? kOQ ? ? 求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程. 解:设弦两端点分别为 M ?x1,y1 ? , N ?x2,y2 ? ,线段 MN 的中点 R?x,y ? ,则

?1 1? ? 2 2?

1 , 2

? x12 ? 2 y12 ? 2, ? 2 2 ? x2 ? 2 y 2 ? 2, ? ? x1 ? x2 ? 2 x, ? y ? y ? 2 y, ? 1 2
(1)将 x ?

① ② ③ ④
由题意知 x1

①-②得

?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? 2? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 .
y1 ? y2 ? 0 .⑤ x1 ? x2

则上式两端同除以 x1 ? x2 , 有 ?x1 ? x2 ?2? y1 ? y2 ? ? x2 , 将③④代入得 x ? 2 y

y1 ? y2 ? 0, x1 ? x2

1 1 y ? y2 1 , y ? 代入⑤,得 1 ? ? ,故所求直线方程为: 2 2 x1 ? x2 2
2

2x ? 4 y ? 3 ? 0 . ⑥

2 2 将⑥代入椭圆方程 x ? 2 y ? 2 得 6 y ? 6 y ?

1 1 ? 0 ,? ? 36 ? 4 ? 6 ? ? 0 符合题意,2 x ? 4 y ? 3 ? 0 为 4 4

所求. (2)将

y1 ? y2 (椭圆内部分) ? 2 代入⑤得所求轨迹方程为: x ? 4 y ? 0 . x1 ? x2 y1 ? y2 y ? 1 2 2 代入⑤得所求轨迹方程为: x ? 2 y ? 2 x ? 2 y ? 0 . (椭圆内部分) ? x1 ? x2 x ? 2
2 x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 ? 2 , ⑦, 2

(3)将

(4)由①+②得 :

?

?

将③④平方并整理得

2 x12 ? x2 ? 4 x 2 ? 2x1 x2 ,

⑧,

2 y12 ? y2 ? 4 y 2 ? 2 y1 y2 ,



将⑧⑨代入⑦得:

4 x 2 ? 2 x1 x2 ? 4 y 2 ? 2 y1 y2 ? 2 , 4

?

?



再将 y1 y2 ? ?

1 x1 x2 代入⑩式得: 2

? 1 ? 2 x 2 ? x1 x2 ? 4 y 2 ? 2? ? x1 x2 ? ? 2 , ? 2 ?



x2 ?

y2 ?1. 1 2

6


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