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一 数列通项的求法


数列通项的求法
四川省郫县第一中学 高三数学组

2016年7月14日星期四

引入:【2013级成都二诊17题(1)】 已知数列?an ?中,a1 ? 1, 当n ? 2时, 有(n ? 1)an ? (n ? 1)an ?1 求数列?an ?的通项公式.
an n ?1 解: ? n ? 2, a1 ? 1,(n

? 1)an ? (n ? 1)an?1 ? an ? 0 ? ? (n ? 2) an?1 n ? 1

a2 1 ? ? a1 3

a3 2 ? a2 4

a4 3 ? a3 5

?

an n ?1 ? an ?1 n ? 1

以上n-l个等式左右两边分别相乘,得:

an 1 2 3 a2 a3 a4 n ?1 ? ? ??? ? ? ? ??? a1 a2 a3 an?1 3 4 5 n ?1
an 2 ? ? a1 n(n ? 1)

? a1 ? 1

2 ? an ? n(n ? 1)

方法1--用累加法求数列的通项
利用an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ?? (an ? an?1 ), 求数列的通项公式
若数列{an }满足:an?1 ? an ? f (n)(n ? N *), 数列? f (n)? 前n项和可求, 可用累积法求数列{an }的通项公式 .

例1.求数列 1,3,7,?的一个通项公式.

? a2 ? a1 ? 3 ? 1 ? 2;
a3 ? a2 ? 7 ? 3 ? 4;

且n=1时,al=1适合上式,

a4 ? a3 ? 13 ? 7 ? 6;
… an ? an?1 ? 2(n ? 1).

?an ? n2 ? n ?1,

总结 我们应验证n=l 时,al=1适合 以上n-l个等式左右两边分别相加,得 2 an ? n ? n ? 1. an ? a1 ? 2[1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1)] ? (n ? 1)n,

方法2--用累乘法求数列的通项
an a2 a3 a4 利用an ? a1. a . a . a .?. a , 求an ? 1 2 3 n ?1
an?1 若数列{an }满足: ? f (n)(n ? N * ), 数列? f (n)? 前n项得积 an 可求,可用累积法求数列的通项公式 .

n ?1 例题2;在数列?an ?中a1 ? 2, an ?1 ? an , 求 ?an ?的通项公式 n

n ?1 解: ? a1 ? 2, an ?1 ? an , n

an a2 2 a3 3 a4 4 n ? a ? , a ? , a ? ,? , a ? , 1 2 3 n ?1 1 2 3 n ?1

an a 2 a3 ? an ? a1 . a . a .?. a 1 2 n ?1
2 3 n ? 2 ? ? ? ?? ? 2n(n ? 2). 1 2 n ?1

又? a1 ? 2, ? a ? 2n(n ? N*). n

方法3--利用数列前n项和Sn求通项公式:
数列?an ?的前项和Sn与an之间有如下关系: ?a1 ? S1 an = ? 。 ?an ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2)

例3

已知 Sn = 2 n2 + n –1 ,求数列的通项公式 an .

解:an = Sn - Sn-1 = ( 2 n2 + n –1 ) -[ 2 (n- 1)2 + (n –1) - 1 ] =4n– 1(n?2). a1 = S1 = 2 × 12 + 1 – 1 = 2 .

?a1 ? 2 ? 数列通项公式为 ?a ? 4n ? 1 (n ? 2) . ? n

? 验证a1 ? 2不适合an ? n2 ? n ? 1.?写分段形式。

方法4--借助于等差、等比数列求通项公式:
例4 求下列数列的通项公式: 2,22,222,2222,···(逐项依次多数字2)
n个2 n位 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解: ? an ? 222? 2 ? 2 ? 20 ? 200 ? ? ? 200? 0

2(1 ? 10n ) 2 ? ? (10n ? 1) (这是等比数列的前 n 1 ? 10 9 项和, a1 ? 2, q ? 10) .

借助于等差、等比数列 求通项公式是一种重要的 方法,必须掌握好

例题5在数列{an }中,且 a1 ? 1, nan ?1 ? (n ? 1)an ? 2n(n ? 1) an (1) 求证: 数列{ }为等差数列,并求数列{an }的通项公式。 n 借助于求证得思路 解:(1)由题设条件得:

an ?1 an ? ? 2(n ? 1,2,3,?) n ?1 n

去证明问题

an a1 ? 数列{ }为等差数列,首项 b1 ? ? 1, 公差为 2 . n 1

an ? ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ? an ? 2n(n ? 1). n
数列{an }的通项公式an ? 2n(n ?1).

an 例 6在数列{an }中,若 a1 ? 1,且 an?1 ? (n ? N *), 1 ? an 求数列{an }的通项公式 .
an 1 1 解:由 an ?1 ? 有 ? ?1 1 ? an an ?1 an
1 1 即 ? ?1 an ?1 an 1 1 ?{ }是以 ? 1为首项,1为公差的等差数列, an an

利用倒数变换 求的通项公式

所以

1 1 ? n, an ? . an n

归纳法(只作介绍即可):
另法:在数列{an }中,若 a1 ? 1 ,且 an ?1 (n ? N *),求数列的通项公式 .
解:由题设条件,得依次计算可得: a1 1 1 a1 ? 1,a2 ? ? ? . 1 ? a1 1 ? 1 2
a2 a3 ? ? 1 ? a2 1 1 ? , a4 ? a 3 ? ? , 1 3 1 ? a 1 4 3 1? 1? 2 3 1 2
1 3

an ? 1 ? an

这是不完全 归纳法,解 选择,填空 题可用

1 a4 1 4 a5 ? ? ? ,? 1 ? a4 1 ? 1 5 4

可以猜想 an ?

1 . n

方法5--构造新数列法:
例7在数列{an }中,若a1 ? 1,且an?1 ? 2an ? 1(n ? N *), 求数列的通项公式 .

变式--在数列{an }中,若 a1 ? 1 ,且 an ?1 ? 2an ? 3n (n ? N *), 求数列的通项公式 .





? 数列的通项公式可以看作项数n的函数,求数列的通项 也就是求函数解析式要学会“模式分析,层次解决”的 解题策略,将求数列通项的方法与具体的数列模型对应 起来:

1. an?1 ? an ? f (n)

型,用累加法:

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1.

an?1 ? g (n) 型,用累乘法: 2. an

an an?1 a2 an ? a . a ? a .a1 ? n?1 n?2 1

3. an?1 ? pan ? q 型(p、q为常数). 方法l:先变形为 数列的相关知识求an.
q q an?1 ? ? p ( an ? ), 再根据等比 p ?1 p ?1

方法2:变为 an?1 ? an ? p(an ? an?1 ),先求 {an ? an?1} 的通 项,再用累加法求an.
an ?1 an q an ? ? , 方法3: p n ?1 pn p n ?1 先用累加法求 p n , 再求an.

4.an?1 ? pan ? f (n)

型(p为常数).
则?
an pn

an?1 an f (n) 方法:变形得 n?1 ? n ? n?1 , p p p

?可用累加法

求出,由此求an. 5.“已知Sn求an”型,利用n≥2时,an=Sn-Sn-1.

如果以上方法都还不能得到解决,可以尝试利用 “归纳——猜想——证明”的思想方法去解决。


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