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2009年北京市中学生数学竞赛高一年级决赛试题及参考解答


中学 生 数 学 ? 2 0 0 9年 8月上 ? 第3 7 5 期( 高中)  



数 

篱   赛 
0’  

2 0 0 9年北京 市中学生数学竞赛  高一 年级决赛 试题 及参 考解答 




填 空题 ( 满分 4

0分 , 每小题 8分)  

曲边 三 角形 ( 阴影 部分 ) 的面 积等 于
厘米 .   答:   4 ( 6 —7 f )  
3   。  





平方 

1 . 已知 和 都 是单 位 向量 , 并且 向量 : = :   +2  与 一5   ~4  互 相 垂 直 , 则 和 之 间 的 
角(  ,  > 一 

. ‘ - -r  

亩  


于 C,  

如图 2 , 根 据 

答:   .   解  设 和 之 问 的角 (  ,  > 一0 , 则 根 据  向量 垂直 的条 件得 :  
0 一  .   =(  +2   ) ( 5  一4  )  

条件 ,延 长 MO 交 圆 
设 圆的半 径为 r ,  
M C 一 4+ 2 r.  

由切割 线定 理得 
M B 一 M A ?M C .  

图2  

一5 (  ) z 4 - 1 0一 a.   一4   .   一8 (  ) z  
一5 +6 c o s O -8 —6 c o s O - 3。  

即 4 8 = = =4 ( 4 +2 r ),  

由此 c 。 s  



解得 r 一 4 c m, O C=O A=AM 一 4 c m.  


所 以   一 号 .  
— —

连接 O B, 在直 角AO B M 中,  
s i n   M OB-  MB



2. — c o s 2   9 0 + 

“  

的值 瓜 i n 。 刚  是 疋— — ‘ .   25 0

竽一   ,  

答:   解 

.   1 十  1  

所 以  M0 B=6 O 。 , 因此  为 6 0 。 , 而 N 为 

的 中点 ,  

:3 0 。 , 连 接 ON, 则 ZMO N一  

3 0 。 , 所以 S ,  ̄O N—  1 ?OM ?ON ?s i n 3 O 。 = = =   1  
c os 7 0 ̄  

: :

—  

— —

— — — —



- : : v —  ̄ - s i n 7 0  ̄


× 8× 4× 1

c o s 7 0 。 4  ̄s i n 7 0 。   V r 3 s i n 7 0  ̄ c o s 7 0 。  

—8 ( c m2 ) .  

√ -  ̄ 3   S ‘ l n /   ^ u 。 一   1   o 0 s 7 o 。
s i n 7 0 o o 0 S 3 O o —O 0 s 7 0 o s i n 3 0 o   s i n 1 4 O 。   s i n 1 4 0 o  

而扇形 AON 的面积 一丌 4 。 ×  


孥 ( c  ,  
4( 6



: =4 s i n ( 7 0 。 一3 0 。 ) 4 √ 3 s i n 4 0 。 4 √ 3  
- ——— —— ——— ——— ——— ——— —— ——— 一 == —— — — ——— ——— ——— —一 == —— —=— —一  

所 以 阴 影 图 形 的 面 积 一8 一  一 下 2 4 -4  ̄  
 ̄ r ) ( c m2 ) .  

i n 4 0 。  

3 s i n 4 0 。  

3 ‘  



3 .如 图 1 , 过 o0  

外一 点 M 引 圆 的切 线  切 圆于 点 B, 连 接 MO  交 圆于点 A , 已知 MA  

4 .  
答: 4 .  

干 

+  

二 

的 值 是 

●  ●  ● 

一 4厘 米 , MB一 4√ 3  

厘 米. N 为AB的 中点 .  

图1  

解 设  

+  

可   : z 则  

网址 : z x s s . e h i n a j o u r n a 1 . n e t . a n  

● 

3 O  ● 电 子 邮 箱 : z x s s @ c h i n a j o u m a 1 . n e t . c n  

中学生数学 ? 2 0 0 9年 8月上 ? 第3 7 5期( 高中 )  

z 。 一2 o +1 4 √   +3√( 2 0 +1 4  ) ( 2 0 -1 4  )  

证明

设 直 角 AAB C中,   C一9 0 。 , 边 长 

×(   丽
; 4 O +6 x.  

+   面

) + 2 0 —1 4 √  

AB=C , AC=b , C B一口 ,   C的 平 分线 C D—t ,  

内切 圆 的圆心 为 0, 内切 圆半 径 为 r . 连接 O A,  
OB, OC ,  

即  . 2 7 。 一6 z一 4 0 = 0,  

观察 之 , 4为 方程 的一 个根 ,  
所 以(  一 4 ) (   +4 x+ l O ) 一o .  

S △ A B c =-  ̄ 。 - a b  
又  S △ A B c— S △ A D c + S △ B D c  
一  

① 

由 △一 4   一4 ×l O 一一2 4 <O ,  

1  



方程 z   +4 x +1 0 — 0 无 实 根.   所以, 方程 z 。 一6 x~4 0 —0只有 唯一 的实 
根 z一 4 ,   即 得  +  一 一4 .  

n 4 5 。 + 丢  i n 4 5 。 一   +  
( 口 +6 )   ② 
√Z  

所 以  a b = 

又  S △ A B c — S △ ( 阳 c + S △  c + S △ 0 A  


5 .在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 不 论 m 取 何 值 
时, 抛物 线 Y—mx 。 +( 2 m+ 1 ) z一 ( 3 m+2 ) 都  不通 过 的 直 线 Y一 一z+ 1上 的 点 的 坐 标 是 


号 r ( 口 - I - b + c ) 一   1   r ( 口 + 6 + 口 + 6 — 2 r )  
a b =2 ( 口 +6 ) r ~2 r 。   ③ 

一 r ( a +b -r ) 一 ( 口 +6 ) r —r 2 ,  

与① 比较 得

( 写 出全 部符 合条 件点 的坐标 )  
1  

联 立② 与③ 解得 n +b , a b得 
。 +6 一  ,   6 :  ,  

答: ( 1 , 0 ) , ( -3 , 4 ) , ( 昔, 一专) .  
解  由 Y— iX 。  
+ ( 2 m+ 1 ) z一 ( 3 m +  2 ) 一 m( x+ 3 ) ( X一 1 )  
\  9 ( - 3 , 4 )  

2 √ 2 r —t  

2 √2 r —t  

所 以根 据 韦达 定 理 , 以 口和 b为根 的一 元 

+( z一2 ) , 可 知 抛 物  线一 定 过 点 A( 1 ,  


|   \   i / /  
_ C   ) x  

二次方 程 为 



2 t r 2  

- 。’  

2  

1 ) , B( 一 3, 一 5 ) .  

过 点 A、 B分别作 Y  
轴的平行线交直线 Y  
= 一 z+ 1于 点 C( 1 ,  

f   .
图 3  
 

即方程 ( £ 一2   ) z   +2 √   z 一2 £ r 。 一0 .  
三、 ( 满分 1 5分 ) 求 函数 , : Z  一Z  , 使得 
( 1 )f ( 1 ) 一l ;   一  

( 2 )对 于所 有  , y EZ  , ,( z + ) =, (  )  
+厂 (  ) +x y都成 立 .   解 设 函数 , : Z   一Z  , 满 足 
( 1 )厂 ( 1 ) 一1 ;  

0 ) , D( 一3 , 4 ) . 过 A、 B两 点 的直线 与 直线 Y一  
一  

+1交 于点 E(   3

, 一

1)


则 C, D、 E 三点 满 

( 2 )对 于所 有 X, Y ∈Z  , ,( z + ) =, ( z )  
+ ,(  ) +x y,  

足条 件.  

. 1

二、 ( 满分 1 5 分) 直 角AABC内切 圆的半 
径为 r , 直 角 的平 

对 于正 整数 ,  , 下 列 的等式 成立 
f ( 2 n ) =2 f( n ) +  。   f ( 3 n ) 一厂 (  ) +, ( 2   ) +2 n 。 ,   f ( 4 n ) 一,(  ) +厂 ( 3 竹 ) +3 n   ,  

分线 的长为 t . 求 
证: 直 角 AAB C   的两 条 直 角 边 的  A  
长 口 和 b是 关 于  图4  

f( mn ) 一厂( n ) + ,( ( m— 1 )  ) +(  一 1 ) n 。 .  

z的一元二次方 程 ( £ 一2 √   r )   +2 √   r   X一  
2 £ r z —O的 根 .  

将 上 面 的等式相 加 , 得 
搠 ) 一, n ,(   ) +( 1 +2 +3 + …+ ( m一 1 ) )  .  

a j o u   - . n   e t .  

?

31 ? ………  …   n e t - c n  

中学生数学 ? 2 0 0 9年 8月 上 ? 第3 7 5期 ( 高 中)  
) 由于 1 +2 +3 +… + ( m- -1 ) 一— e— r ( m  -1




,  

一1 8 0 。 一  0cM 一 9 0 。 +  ,  
厶 

数 
学 
所 以  (   ) =  厂(  ) +  z , 对 所 

所 以  B M0 = = :  0 C D.   因此, △0 B M  △C } D C, 所 以   0 B C 一 

竞  
赛  
__ , ●  

有 的正 整数 m 和  都成 立 .   特别 是 , 当  一1时 厂 ( m) 一  ( *)  

0 DC . 于是 B, o, C, D 四点 共 圆 , 也 就 是点 0  
在△ C B D 的外接 圆上 .   ( 2 )由( 1 ) 知 B 0— 0D, 又 K0—0C, 因 为 
B, K


等式 ( *) 定 义 了在正 整数集合上 的 函数 , .  
因为 厂 ( 1 ) 一 
厂( z+ ) 一 




0, c和 D 都 在 同一个 圆上 , 则 K, C关 于 

富  

: = : 1 ,  

BD 的 中垂线 对 称 , B K— C D—AB, 又  KBD  
一  

C DB一  AB D, 所 以 点 K 与点 A 是 关 于 

BD 的 对 称 点 , 即 AK_ 上 I B D, 而 KC / / B D, 所 以 
AK上 KC, 即  AKC一 9 0 。 .  
2  

!   : ±兰   ±  ! ±  ±  
 

五、 ( 满分 1 5分 ) 证明, 在任 意 给 出 的 7个 
2   + ’   一  



2  

+    。

实数 中 , 一定 能 找到 两个 实数 X, Y, 使得 
o ≤  ≤  .  

一,( z) + ,(  ) +xy,  

上T   xy 

所以 厂 ( m) : 

是 问题 的唯一 解 .  

证 明  设 任 意 给 出 的 7个 实 数 为 口   , a 。 ,  

四、 ( 满分 1 5  
分) 如 图 5所 示 ,  

n 。 , n   , n s , 口 e , a   , 在 ( 一 号 , 号 ) 内 存 在7  实 数  
1,   ,

0 3 ,  ‘ ,  ,  , 0 7 , 使得 t a n @   —a   其 中( i 一  

在 平 行 四 边 形 
AB C D 中,   B AD  

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ) .  

的平分 线交 BC 于  点M, 交 DC 的延  长 线 于 点 N,   △C J   N 的 外 心 为  图5  

将 ( 一 号 , 号 ) 等 分 为6 个 长 为 詈 的 区 间 :  

0, / x C MN 的外 接 圆 与 △C B D 的外 接 圆 的 另 


( 一 号 , 一 号 ) ,  [ 一 号 , 一 詈 ] ,  ( 一 詈 , o ) ,   [ 0 , 詈 ] , ( 詈 , 号 ] , ( 号 , 号 ) ? 根 据 抽 屉 原 理 , 必  
存 在  ,  属 于 同 一 个 长 为 詈 的 小 区 间 ,   不 妨 设   ≥   , 则  0 ≤   一   ≤ 詈 ,  
因 此O  ̄ t a n ( O   — O j )  ̄ t a n 詈 ,  

交点 为 K. 证明:  

( 1 )点 0在 △ C BD 的外接 圆 上 ;  
( 2 )   AKC 一 9 0 。 .  

证 明  ( 1 )由 于 平 行 四 边 形 AB C D 中,  

B AD 的平 分线 交 B C 于点 M , 交 DC的延 长 
线于点 N, 所 以  B M_ A 一  MAD一  B AM ,   因此 B A—B M, 同理 可得 MC=C N. 连接 0 C,  

即。 ≤  嘉  ≤   .  
令z 一口   , y =a   , 这样 , 我 们从 任 意给 出的  7个 实数 中, 找 到 了两实 数 X, Y , 使 得 

则 O C 平 分  NC M.连 接 0 B, O M , 0D, 设 
B AD 一  , 则 
0C D 一  BC I D +  删
1 

 
n 

●  ●  ● 

一0 +告( 1 8 o 。 -0 ) 一9 0 。 +詈,  
厶  厶 

0 ≤   ≤ 等 .  
( 北京数 学会 普及委 员会 提供 )  

BM 0 — 1 8 0 。 一  oM C 

网址 : Z X S S . c h i n a j o u r n a 1 . n e t . c n  

● 

3 2  ● 电 子 邮 箱 : z x s s @ c h i n a j o u r n a 1 . n e t . c n  


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