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正切函数的图象与性质


正切函数的图象和性质

一、探究: ? 你能否根据研究正弦函数、余弦函 数的图像与性质的经验,以同样的 方法研究正切函数的图像与性质?
? 有了前面的知识准备,我们可以从 一个新的角度来研究正切函数的性 质。

二、探究用正切线作正切函数图象
问题: 正切函数 y

= t a n x 是否为周期

函数?

设f(x)=tanx
∵ f ? x +π ? = t a n ? x +π ? = t a n x

? f ?x ?

y = t a n x 是周期函数, 是它的一个周期. ?

正切函数的周期是:k ? , ( k

? z且 k ? 0 )

问题:探求正切函数 y ? tan x 的奇偶性:
? f ( x ) ? tan x
x ? k?



? f ( ? x ) ? tan( ? x ) ? ? tan x ? ? f ( x ) ? f ( x ) ? tan x

的定义域是: ? ? ( k ? z ) 关于原点对称 2 是奇函数

正切函数的值域和最值
动画链接 正切函数的定义是 ; 正切函数的单调区间是 ; 正切函数的值域是实数集 R 正切函数无最大值,也无最小值。

一、复习:我们是如何作出正弦函数图象呢?
1、用平移正弦线描点连线得 , y ? sinx x ? [0 , 2? ] 图象
2? 5? 6 3

?
2

?
3

y
1
?
6
● ●

y ? s in x ( x ? [ 0 , 2 ? ])

● ● ●

7? 6


4? 3

3? 2

5? 3

11 ? 6

?
7? 6 4? 3 5?

2?
● ●

2?
11 ? 6

0

?
6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?


● ● ●

x

3? 2

-1

3

2、再利用周期性把该段图像向左右延伸得 到正弦函数图像

y ?sin x, x ?[0,2?]
y

y ? sin x ,
3? 2

x? R

? 2? ? 4 ? ? 3?
-

3? 2

? 2

-?

o ? 2

?

2?

3?

4? x

利用正切线画出函数

y ? tan x

把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分: ? ? ? 3? 3? ? (2) 作正切线 ? ? ? , , 8 , 8 ,4 , 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线
?
2

? ? ? ? x??? , ? , ? 2 2 ?

的图像:

o

?

?
2

?

3? 8

?

?
4

?

?
8

0

?
8

?
4

3? 8

?
2

?

?
2

正切曲线

??

0

正切函数的图像
? 从上图可以看出,正切曲线是被互 相平行的直线 : ? x ? ? k? , (k ? z ) 2

所隔开的无穷多支曲线组成的。

正 切 函 数 图 像
⑴ ⑵ ⑶ ⑷

?

3? 2

??

三、性质 :

定义域: { x | x ? ? k ? , k ? Z } 2 值域: R 周期性:? 奇偶性: 奇函数,图象关于原点对称。 kπ ( ,0 ) 无对称轴 (5)对称中心
(6)单调性:
( 在每一个开区间, ?

?

2

?

? k? ,

?

? k? )

2

2

? kZ

内都是增函数。

问 题





问题:
正切函数是整个定义域上的增函数吗?为什么?

A
B
? 3? 2

??

在每一个开区间
π (+ k π , + k π ) ,k ? Z 2 2 π

内都是增函数。

四、例题分析 例1、比较下列每组数的大小。
(1)tan167 与 tan173
o o

tan (2) (-



2π 与 ) tan 5 4
演示1

解: (1)

∵90<167<173<180
?? ? y ? ta n x 在 ? , ? ? 上 是 增 函 数 , ? 2 ?
0 0

? ta n 1 6 7 ? ta n 1 7 3 (2) tan(- 3π ) = tan(- 3π +π )= tan π 4 4 4
? ? ? 又 y ? ta n x在 ? 0 , ? 是 增 函 数 2 ? ?

? ta n

?

? ta n

2

?

演示2

tan(-

4 3π < ) 4

tan 2π 5

5

?

3? 2

?

?
2

?
2

167 ? 173 ?

3? 2

返回

?

3? 2

?

3? 4

?

?
2
? 2?
4
5

?
2

3? 2

返回

说明:比较两个正切值大小,关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内,再 利用y=tanx的单调递增性解决。
反馈演练 比较大小
?
3? 7
?< (1)tan138____tan143 ?

) > (2)tan( ? ____tan ( ? 5

)

例题分析
例 2.
解:

求 函 数 y ? ta n ( x ?

?
4

)的 定 义 域 、 值 域 和 单 调 区 间 .

及其对称中心
设t ? x ?

? ? 因 此 , 函 数 的 定 义 域 是 ? x x ? R且 x ? k? ? ,k ? Z 4 ? ? ? ? ? y ? t a n t的 单 调 增 区 间 是 ? ? k? , ? k? 2 2 ?

? ? ? , 则 y ? ta n t的 定 义 域 为 ? t t ? R 且 t ? k ? + ,k ? Z ? 4 2 ? ?? ? ? ? x? ? k? ? , ? x ? k? ? 4 4 2
? ? ? ? ?,k ? Z ?

?

值域 : R
?
4

? ?

?

? k? ? x ?

?

2

? ? ? k? 2 4

? ?

3? 4

? k? ? x ?

? k?

3? ? ? ? ? 函 数 的 单 调 增 区 间 是 ? k? ? , k? ? ?,k ? Z 4 4 ? ?

∵tant的对称中心( ∴对称中心为 (
k? 2

k? 2

,0)∴x+ ,0)

?

4

=

k? 2

,x=

k? 2

?

?

4

,

?

?
4

反馈演练

求函数y=tan3x的定义域,值域,单调增区间, 对称中心。
定义域:{ x \x ? k? 3 ? ? 6 , k ? z}

值域: R
单调递增区间:( ? ? 6 ? k? 3 , ? 6 ? k? 3 )k ? z ,

k?

对称中心: (

6

,0)

例题分析
例3 求函数 y ? ta n 3 x 的周期. 解:
因 为 ta n (3 x ? ? ) ? ta n 3 x ,
即 tan3(x+

?
3

)=tan3x,

这说明自变量 x ,至少要增加 3 ,函数的值 才能重复取得,所以函数 y ? ta n 3 x 的周期 是
?

?

反馈练习:求下列函数的周期:
(1) y ? 5 ta n x 2
( 2 ) y ? ta n ( ? 4 x )

3

2?

?

小结:y=tanωx的周期T=

? 4 ?

例4:观察正切曲线,写出满足下列条件的x的值的范围。 (1) tanx >0
y 1 x –?/2 0 ?/2 –?/2 x

(2)tanx <1
y

0 ?/4 ?/2

(k?,k?+?/2) k?z

(k?–?/2,k?+?/4)k?z

例题分析
例5
解不等式: n x ? ta 3

解:

y
3

0

?
3

?
2

x

由图可知:

? ? ? ? x ? k? ? , k? ? ?(k ? Z ) ? 3 2 ? ?

五、小结:正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平 再利用周期性把该段图 移正切线得 y ? tan x , x ? ( ? ? 2 象向左、右扩展得到。 , ? 2 ) 的图象,

y

2 、y ? tan x 性质:
⑴ 定义域:{ x ⑵ 值域: R
|x ? ? 2 ? k? , k ? Z }

⑶ 周期性:

?

?

?
2

0

?
2

x

奇函数,图象关于原点对称。 ⑷ 奇偶性: (5) 对称性:对称中心: (6)单调性: 在每一个开区间
(π π + kπ , + kπ ) ,k 2 2

, 无对称轴

? Z 内都是增函数。

作业
? 第46页A组: 6、7、8题 ? 第47页B组: 2题


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