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2013年全国各地高考试题分类汇编(三角函数)


2013 年全国各地高考试题汇编
(三角函数部分) 1.(本小题满分 12 分)(2013 湖北.理) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ,已知 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1 . (1)求角 A 的大小; (2)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3, b ? 5 求 sin B sin C 的值. 解 .(1

) 由 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1 得 2 cos 2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ? cos A ?
cos A ? ?2 (舍去)

1 或 2

因为 0 ? A ? ? 所以 A ?
1 2 1 2

?
3

(2)由 S ? bc sin A ? bc ?

3 3 ? bc ? 5 3 ? bc ? 20 2 4

又 b ? 5 ? c ? 4 .由余弦定理得
a2 ? b2 ? c2 ? 2bccocsA ? 25 ? 16 ? 20 ? 21 ? a ? 21

由正弦定理得 sin B sin C ? sin A ? sin A ? 2. (本小题满分 12 分)(湖南.文)
?

b a

c a

bc 2 20 3 5 sin A ? ? ? 2 a 21 4 7

3 2? (1)求 f ( ) 的值 3 1 (2)求使 f ( x ) ? 成立的 x 的取值集合 4 2? 2? ? ? ? 1 1 解(1) f ( ) ? cos cos ? ? cos cos ? ?( ) 2 ? ? 3 3 3 3 3 2 4 ? 1 ? ? (2) f ( x) ? cos x cos( x ? ) ? [cos(2 x ? ) ? cos ] 3 2 3 3 1 ? 1 ? cos(2 x ? ) ? 2 3 4 1 ? f ( x) ? ? cos(2 x ? ) ? 0 4 3

已知函数 f ( x) ? cos x ? cos( x ? )

1

? 2 k? ?

?
2
1 4

? 2x ?

?
3

? 2k ? ?

3? 5? 11? , k ? z. ? k ? ? ? x ? k? ? ,k ? z 2 12 12

故使 f ( x ) ? 成立的 x 的取值集合为 ? x k? ?
?

?

5? 11? ? ? x ? k? ? , k ? z? 12 12 ?

3. (本小题满分 12 分)(2013 陕西.理) 已知向量 a ? (cos x, ? 1 ), b ? (
2 3 sin x,cos 2 x), x ? R ,
b. 设函数 f ( x) ? a·

(1) 求 f ( x) 的最小正周期.
?? (2) 求 f ( x) 在 ? ?0, ? 上的最大值和最小值.
? 2?

解. f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x
? 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 6

1 2

(1) f ( x) 的最小正周期为 ? . (2) 0 ? x ? ?? ? 2 x ? ?
2 6 6

?

?

?

由正弦函数的性质 sin(2 x ? ) ? [? ,1]
6
?? 所以 x ? ? ? 0, ? 时, f ( x) min ? ? ; f ( x) max ? 1.
? 2?

?

5? 6 1 2

1 2

4、(2013 湖南.理)已知函数 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos( x ? ) , g ( x) ? 2sin 2 .
6 3

?

?

x 2

(1)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

3 3 ,求 g (? ) 的值; 5

(2)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合. 解. f ( x) ? sin( x ? ) ? cos( x ? )
6 3

?

?

?

3 1 1 3 sin x ? cos x ? cos x ? sin x ? 3 sin x 2 2 2 2
x ? 1 ? cos x 2
3 4 3 3 得 sin ? ? ,又 ? 是第一象限角,所以 cos ? ? , 5 5 5

g ( x) ? 2sin 2

(1)

由 f (? ) ?

2

所以 g (? ) ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? . (2) f ( x) ? g( x) ? 3sin x ? 1 ? cos x ? 3sin x ? cos x ? 1
? 1 ? sin( x ? ) ? . 6 2

4 5

1 5

所以 2k? ?

?

6

? x?

?
6

? 2 k? ?

5? 2? , k ? z. ? 2k? ? x ? 2k? ? ,k ? z 6 3

故使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合为 {x 2k? ? x ? 2k? ? 5.(本小题满分 12 分)(2013 安徽.理)

2? , k ? z} 3

?? 已知函数 f ( x) ? 4cos? x ? sin ? ?? x ? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? 。
? 4?

(1)求? 的值; (2)讨论 f ( x) 在区间 ?0, 2? 上的单调性。 解(1) f ( x) ? 4 cos ? x sin(? x ? ) ? 2 2 sin ? x cos ? x ? 2 2 cos 2 ? x
4 ? 2(sin 2? x ? cos 2? x) ? 2 ? 2sin(2? x ? ) ? 2 4

?

?

因为 f ( x) 的最小正周期为 ? ,且 ? ? 0 从而有
2? ? ? ?? ? 1 2?

(2)由(1)知 f ( x) ? 2sin(2? x ? ) ? 2 若 0 ? x ? 当 ? 2x ?
4

?

?
2

时,即 0 ? x ? 时, f ( x) 单调递增; 2 8 ? ? 5? ? ? 当 ? 2 x ? ? 时,即 ? x ? 时, f ( x) 单调递减; 2 4 4 8 2
4 ?

?

?

?

4

,则 ? 2 x ?
4

?

?
4

?

?

5? 4

综上可知, f ( x) 在区间 [0, ] 上单调递增;在区间 [ , ] 上单调递减.
8 8 2

?

? ?

6.(本小题共 13 分)(2013 北京.理) 在 ?ABC 中, a ? 3 , b ? 2 6 , ?B ? 2?A . (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值.
3

解(1)因为 a ? 3, b ? 2 6, ?B ? 2?A 所以在 ?ABC 中由正弦定理得
3 2 6 3 2 6 6 ? ? ? ? cos A ? sin A sin 2 A sin A 2sin A cos A 3

(2)由(1)知 cos A ?

6 3 ,所以 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 3 3
1 3

又??B ? 2?A ? cos B ? 2 cos 2 A ? 1 ?
? sin B ? 1 ? cos 2 B ? 2 2 3

在 ?ABC 中, sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?
?c ? a sin C ?5 sin A

5 3 9

7. (本小题满分 12 分)(2013 江西.理) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 已 知
cos C ? (cos A ? 3sin A)cos B ? 0

(1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 1 ,求 b 的取值范围 解(1)由已知得 ? cos( A ? B) ? cos A cos B ? 3sin Acos B ? 0 即 sin A sin B ? 3 sin A cos B ? 0
sin A ? 0,?sin B ? 3 cos B ? 0 cos B ? 0,?tan B ? 3

又0 ? B ? ? ?B ?

?
3

(2)由余弦定理,有 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B
1 1 1 a ? c ? 1, cos B ? ,? b 2 ? 3(a ? ) 2 ? 2 2 4 1 1 又 0 ? a ? 1 ,于是有 ? b2 ? 1 ? ? b ? 1 4 2
4

8.(本小题满分 12 分)(2013 江西.文) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 已 知
sin A sin B ? sin B sin C ? cos 2 B ? 1 .

(1)求证: a, b, c 成等差数列; (2)若 C ?
2? a ,求 错误!未找到引用源。的值。 3 b

解(1)由已知得 sin A sin B ? sin B sin C ? 2sin 2 B
sin B ? 0 ? sin A ? sin C ? 2sin B

由正弦定理,有 a ? c ? 2b ,即 a, b, c 成等差数列. (2)由 C ?
2? , c ? 2b ? a 及余弦定理得 3 a 3 (2b ? a) 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ? 5ab ? 3b 2 ? ? b 5

9.(本小题满分 12 分)(2013 四川.理) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别 a、b、c ,且
2 cos 2 A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? 2 5

(1)求 cos A 的值; (2)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影。
A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? 2 5 3 得, [cos( A ? B) ? 1]cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos B ? ? 5 3 即 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B) sin B ? ? 5 3 3 则 cos( A ? B ? B) ? ? ? cos A ? ? 5 5 3 4 (2)由 cos A ? ? , 0 ? A ? ? ,? sin A ? 5 5

解(1)由 2 cos 2

由正弦定理,有 sin B ?

b sin A 2 ? a 2

依题意知 a ? b ? A ? B ? B ?

?
4
5

由余弦定理,有
3 (4 2) 2 ? 52 ? c 2 ? 2 ? 5c ? (? ) ? c ? 1或 c ? ?7 (舍) 5

故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 BA cos B ?

2 . 2

10(本小题满分 12 分)(2013 新课标Ⅱ.理)
?ABC 在内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B .

(1)求 B ; (2)若 b ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值。 解(1)由已知及正弦定理得 sin A ? sin B cos C ? sin C sin B …① 又 A ? ? ? ( B ? C) ?sin A ? sin( B ? C) ? sin B cos C ? cos B sin C ……② 由①②得 sin C(sin B ? cos B) ? 0 , C ? (0, ? ) ?sin C ? 0
B ? (0, ? ) ? B ?

?
4

(2) ?ABC 的面积 S ? ac sin B ?

1 2

2 ac 4

由已知及余弦定理得 4 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos
a 2 ? c 2 ? 2ac ? ac ?

?
4

4 ? 2 2( 2 ? 1) 当且仅当 a ? c 等号成立. 2? 2

因此 ?ABC 面积的最大值为 2 ? 1 . 11.(2013 山东 . 理 ) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且
a ? c ? 6, b ? 2 , cos B ?
7 . 9

(1)求 a , c 的值; (2)求 sin( A ? B) 的值. 解(1)由余弦定理 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B

6

得 b2 ? (a ? c)2 ? 2ac(1 ? cos B) 又 b ? 2, a ? c ? 6, cos B ? ? ac ? 9 解得 a ? 3, c ? 3. (2)在 ?ABC 中, sin B ? 1 ? cos2 B ? 由正弦定理得 sin A ?
4 2 9
7 9

a sin B 2 2 ? b 3

? 1 a ? c,? A ? (0, ) ? cos A ? 1 ? sin 2 A ? 2 3

因此 sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

10 2 27

12.(2013 全 国 卷 . 文 ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为

a, b, c,(a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac
(1)求角 B (2)若 sin A sin C ?
3 ?1 ,求角 C 4

解(1)在 ?ABC 中,由 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac 得

b2 ? a2 ? c2 ? ac ………①
由余弦定理得

b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ……②
由①②得 cos B ? ? , B ? (0, ? ) ? B ? (2)由(1)知 B ?
?
1 2 2? 3

2? ? ? A ? ? C ,由 sin A sin C ? 3 3

3 ?1 得 4

sin( ? C )sin C ? 3

3 ?1 1 ? ? 3 ?1 ? ? [cos ? cos( ? 2C )] ? 4 2 3 3 4

? 3 ? cos(2C ? ) ? 3 2

7

0?C ? ? 2C ?

?
3 ?

??

?
3

? 2C ?

?
3

?

?
3

?
3

?
6

?C ?

?
4

13. (本小题满分 14 分)(2013 江苏卷) 已知 a= (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? . (1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ; (2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值. 解: (1) a ? b ? (cos ? ? cos ? ,sin ? ? sin ? )
a ? b ? (cos ? ? cos ? ) 2 ? (sin ? ? sin ? ) 2
2

? 2 ? 2(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 2

所以, cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 0 所以, a ? b . (2) ?
? cos? ? cos ? ? 0 ?sin ? ? sin ? ? 1
2 3

① 1 ,①2+②2 得: cos(? ? ? ) ? ? 2 ②
2 3

所以, ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? , 带入②得: sin( 所以, ? ? ? 所以, ? ?
? 3
2? 3 1 ? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? sin( ? ? ) ? 1 3 2 2 3

5? ? ,? ? . 6 6

? 2

14.(2013 上海.理)已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) (1)若 y ? f ( x) 在 [? ,
4

? 2?
3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移 个单位,再向上平移 1 个 单位,得到函数 y ? g ( x) 的图像.区间 [a, b](a, b ? R, a ? b) ,满足: y ? g ( x) 在
[a, b] 上至少含有 30 个零点.在所有满足上述条件的 [a, b] 中,求 b ? a 的最

? 6

8

小值. 解(1)因为函数在 [? ,
4

? 2?
3

] 上单调递增,且 ? ? 0 ,

所以

? 2? ? ? 3 ? 且 ? ? ? ?0 ? ? ? . 2? 3 2? 4 4
? 6

(2) f ( x) ? 2sin 2 x 将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函 数 y ? 2sin 2( x ? ) ? 1 的图像,所有 g ( x) ? 2sin 2( x ? ) ? 1
5? 3? 令 g ( x ) ? 0 ,得 x ? k ? ? 或 x ? k ? ? ( k ? z ) 12 4 2? ? 所以两个相邻零点之间的距离为 或 . 3 3 6 6

?

?

若 b ? a 最小,则 a 和 b 都是零点. 此 时 在 区 间 [a, ? ? a],[a, 2? ? a], ,[a, m? ? a](m ? N*) 上 分 别 恰 有
3,5, , 2m ? 1 个零点,所以在区间 [a,14? ? a] 上恰有 29 个零点.

从而在区间 (14? ? a, b] 上至少有一个零点,所以 b ? a ? 14? ?
5? ? 5? ,14? ? ? ] 上恰有 30 个零点, 12 3 12 ? 43? 因此, b ? a 的最小值为14? ? ? 3 3

?
3

.

另一方面,在区间 [

9


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