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平面向量复习题及答案

时间:2012-05-10


例题讲解
1、(易 向量的概念)下列命题中,正确的是( ) A.若 a b ,则 a 与 b 的方向相同或相反 B.若 a b , b c ,则 a c C.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等 D.若 a = b , b = c ,则 a = c . 2 、 ( 易 线 性 表 示 ) 已 知 平 面 内 不 共 线 的 四 点 0,A,B,C 满 足 OB

=

uuu r

r 1 uuur 2 uuu OA + OC , 则 3 3

uuu uuu r r | AB |:| BC |= (
A.3:1

) B.1:3 C.2:1 C. 3 + 2 3 D.1:2 ) D 3? 2 3

3、(易 坐标运算)已知向量 a = (1,3), b = (3, n ),若 2 a – b 与 b 共线,则实数 n 的值是( A. 6 B. 9

4、 (易 向量的概念)向量 AB = (4, ?5) 按向量 a = (1, 2) 平移后得向量 A′B′ ,则 A′B′ 的坐标为 ( ) A. (4, ?5) B. (5, ?3) C. (1, 2) D. (3, ?7) C

uuu r

uuuu r

uuuu r

5、(中 线性表示)如图,在 △ ABC 中,D 是 BC 的中点,E 是 DC 的中点,

uuu r uuu r uuu r F 是 EC 的中点,若 AB = a , AC = b ,则 AF = (
1 3 A. a + b 4 4 1 3 B. a ? b 4 4 1 7 C. a + b 8 8

F E D

)

B 6、 坐标运算)若函数 f ( x ) = cos 2 x + 1 的图象按向量 a 平移后,得到的图象关于原点对称, (中 则向量 a 可以是( A. ( , ?1) ) B. ( , ?1)

1 7 D. a ? b 8 8

A

π 4

π 2

C. ( ,1)

π 4

D. (0,1)

填空题:共 二、填空题 共 3 小题 7、(易 线性表示)设 a, b 是两个不共线的非零向量,若向量 ka + 2b 与 8a + kb 的方向相反,则

k=
8、(易 线性运算)若 a = b + c ,化简 3( a + 2 b ) ? 2(3b + c ) ? 2( a + b ) = 9、(中 坐标运算)已知正△ABC 的边长为 1 ,则 BC + 2CA + 3 AB 等于

uuu v

uuu v

uuu v

检测题
1、(易 线性运算)已知非零向量 a, b 满足 a = λ b, b = λ a ( λ ∈ R ),则 λ = ( A. ?1 B. ±1 C.0 D.0 ) D. a ≤ a + b ( ) )

2、(易 向量不等式)设 a, b 是非零向量,则下列不等式中不恒成立 不恒成立的是 ( 不恒成立 A. a + b ≤ a + b B. a ? b ≤ a + b C. a ? b ≤ a + b

3、(中 坐标运算)已知 a = ( ?3,1) , b = (1, ?2) , ( ?2a + b)

( a + k b) ,则实数 k 的值是

A.

5 3

B.

25 11

C. ?

1 2

D. ?17 ).

4、(中 坐标运算)已知平面向量 a = ( x,1) , b = ( ? x, x 2 ) ,则向量 a + b ( A.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于第二、四象限的角平分线 B.平行于 y 轴 D.平行于 x 轴

5 、(中 坐标 运算)将二次函 数 y = x 2 的图象按向 量 a 平移后 ,得到的 图象与一次函 数

y = 2 x ? 5 的图象只有一个公共点 (3,1) ,则向量 a = (
A. (2,0) B. (2,1) C. (3, 0)

) D. (3,1)

6. 如图,在正六边形 ABCDEF 中, uuu r uuur uuu r 已知 AC = c , AD = d ,则 AE =

(用 c 与 d 表示).

巩固练习
ur uu r
1. 若 e1 , e2 是夹角为 A.1

π
3

的单位向量,且 a = 2e1 + e2 , b = ?3e1 + 2e2 ,则 a ? b = ( C ) C. ?

r

ur uu r r
7 2

ur

uu r
7 2

r r

B. ?4

D.

[

2. 设 a = (1,?2) , b = (?3,4) , c = (3,2) 则 (a + 2b) ? c = A. ( ?15,12) 答案 C B. 0 C. ?3



) D. ?11

3. 在 ?ABC中,已知向量 AB = (cos18°, cos 72°), BC = (2 cos 63°,2 cos 27°), 则?ABC 的 面积等于 A. ( B. )

2 2

2 4

C.

3 2

D. 2

答案 A 4. 在 ?ABC 中, a = 5, b = 8, C = 60° ,则 BC ? CA 的值为 A.10 B.20 5. 已知下列命题中: C.-10 D.20 ( )

(1)若 k ∈ R ,且 kb = 0 ,则 k = 0 或 b = 0 ,

r r r r r r r r r (2)若 a ? b = 0 ,则 a = 0 或 b = 0 (3)若不平行的两个非零向量 a, b ,满足 | a |=| b | ,则 ( a + b ) ? ( a ? b ) = 0 r r (4)若 a 与 b 平行,则 a b =| a | ? | b |

r

(5) p ? q = (p ? q)
2 2

2

C. 2 D. 3 uuu uuu uuu r r r 6. 已知点 O 为△ABC 外接圆的圆心,且 OA + OB + CO = 0 ,则△ABC 的内角 A 等于( 其中真命题的个数是( B. 1 A. 30
o

)A. 0



B. 60

o

C. 90

o

D. 120

o

7. 在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 线与 CD 交于点 F .若 AC = a , BD = b ,则 AF = A. 答案 B 8. 已知 a = 1, b = 6, a (b ? a ) = 2 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是( )

的延长

uuur

uuu r

uuu r



) D. a +

1 1 a+ b 4 2

B.

2 1 a+ b 3 3

C.

1 1 a+ b 2 4

1 3

2 b 3

π
A. B.

π
C.

π
D.

π
2
)

6
答案 C

4

3

uuu uuu r r uuu uuu r r 9. 在平行四边形 ABCD 中,若 BC + BA = BC + AB ,则必有(
A. ABCD 是菱形 C. ABCD 是正方形 B. ABCD 是矩形 D.以上皆错

10.已知向量 a = (cosθ , sin θ ) ,向量 b = ( 3,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值,最小值分别是 ( ) A. 4 2 ,0 二.填空题 11. 已知 Rt△ABC 的斜边 BC=5,则 AB ? BC + BC ? CA + CA ? AB 的值等于 答案 -25 12. 设 p = (2,7),q = (x,?3),若 p 与 q 的夹角 θ ∈ [0, . B. 4, 4 2 C. 16, 0 D. 4, 0

π
2

) ,则 x 的取值范围是
.

13. 若平面向量 a , b 满足 a + b = 1 , a + b 平行于 x 轴, b = (2,?1) ,则 a = TWT 答案 解析 (-1,0)-(-2,-1)=(-3,1)

a + b = (1,0) 或 ( ?1,0) ,则 a = (1,0) ? (2,?1) = (?1,1)

或 a = (?1,0) ? (2,?1) = (?3,1) . 14. 在 ?ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB + OC ) 的最小值是 ________。 答案 -2 15.已知ΔABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m = ( a, b) ,

ur

r u r n = (sin B,sin A) , p = (b ? 2, a ? 2) .

ur ur

r
u r u v v

(1) 若 m // n ,求证:ΔABC 为等腰三角形; (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = 证明: (1) Q m // n,∴ a sin A = b sin B, 即a? 三角形 解(2)由题意可知 m // p = 0, 即a (b ? 2) + b( a ? 2) = 0

π
,求ΔABC 的面积 .

3

a b ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a = b = b? 2R 2R
u u v v

∴?ABC 为等腰

∴ a + b = ab
由余弦定理可知, 4 = a 2 + b 2 ? ab = ( a + b) 2 ? 3ab

即(ab) 2 ? 3ab ? 4 = 0

∴ ab = 4(舍去ab = ?1)
∴S = 1 1 π ab sin C = ? 4 ? sin = 3 2 2 3

课后练习
? ?→


? ?→



? ?→

1、已知 ABCD 为矩形,E 是 DC 的中点,且 AB = a , AD = b ,则 BE =(


















(A) b + 1 a 2

(B) b - 1 a 2

(C) a + 1 b 2

(D) a - 1 b 2

2、设非零向量 a 与 b 的方向相反,那么下面给出的命题中,正确的个数是( ) (1)a+b=0 (2)a-b 的方向与 a 的方向一致 (3)a+b 的方向与 a 的方向一致 (4)若 a+b 的方 向与 b 一致,则|a|<|b| A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3、已知 a=(1,-2),b=(1,x),若 a⊥b,则 x 等于( ⊥ A. ) D. -2 ) B. e1 = (4,6), e2 = (6,9)

1 2

B. ?

1 2

C. 2

4、下列各组向量中,可以作为基底的是( A. e1 = (0,0), e2 = (?2,1)

C. e1 = (2,?5), e2 = (?6,4)

D. e1 = ( 2,?3), e2 = ( ,? ) ) D. 13 )

1 2

3 4

5、已知向量 a,b 的夹角为 120 o ,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b) a= ( ) · A.3 B. 9 C . 12

6、已知 a、b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么|a+3b|=( A. 7

B. 10 C. 13 D.4 r r r r r r r r o 7、若向量 a与b 的夹角为 60 , | b |= 4, ( a + 2b).( a ? 3b ) = ?72 ,则向量 a 的模为( A.2 B.4 C.6 D.12



8、已知 AB = (6,1), BC = ( x, y ), CD = (?2,?3), 且 BC ∥ DA ,则 x+2y 的值为( A.0 B. 2 C.



1 2

D. -2

9、P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB = PB ? PC = PC ? PA ,则 P 是△ABC 的( A. 外心 B. 内心 C. 重心 ) D.(-3,4) ) D. 垂心



10、直线 3 x + 4 y ? 12 = 0 的方向向量可以是( A.(4,3) B.(4,-3) C.(3,4)

11、点(2,-3)到直线 5 x ? 12 y + 4 = 0 的距离为(

A.

50 13

B.

22 13

C.

26 13

D.

46 13

12、下列命题中: ① a ∥ b ? 存在唯一的实数 λ ∈ R ,使得 b = λ a ;② e 为单位向量,且 a ∥ e ,则 a =± | a | · e ; ③ | a ? a ? a |=| a | ; ④ a 与 b 共 线 , b 与 c 共 线 , 则 a 与 c 共 线 ; ⑤ 若
3

a ? b = b ? c则b ≠ c, 当且仅当 a = 0时成立 其中正确命题的序号是(
A.①⑤ B.②③④ C.②③ D.①④⑤



填空题( ’ 一、 填空题(4*4’ ) → 13、与向量 a =(12,5)平行的单位向量为 14、已知向量 OA = ( k ,12), OB = (4, 5), OC = (? k ,10) ,且 A、B、C 三点共线,则 k 的值 为 _______
→ →

uuu r

uuu r

uuur

15、已知| a |= 5 ,| b |=5, | c |=2 5 ,且 a + b + c = 0 ,则 a ? b + b ? c + c ? a =_______ 16、 ?ABC 中,有命题① AB ? AC = BC ;② AB + BC + CA = 0 ;③若











→ →

→ →

→ →

( AB + AC ) ? ( AB ? AC ) = 0 ,则 ?ABC 为等腰三角形;④若 AC ? AB > 0 ,则 ?ABC 为锐角 三角形.上述命题正确的是_____________

三、解答题(12'+12'+12'+12'+12'+14') 解答题
? ?→ ? ?→
→ → → →

17、ABCD 是梯形,AB∥CD,且 AB=2CD,M、N 分别是 DC 和 AB 的中点,已知 AB = a ,
? ?→

AD = b ,试用 a 、 b 表示 MN 。

18、已知 | a |= 4 , | b |= 2 ,且 a 与 b 夹角为 120°求: ⑴ (a ? 2b) ? (a + b) ; ⑵ | 2a ? b | ; ⑶ a 与 a + b 的夹角。

19、设向量 a,b 满足|a|=|b|=1 及|3a-2b|=3,求|3a+b|的值。 , 第三讲 平面向量 一、选择题 1.(2010?安徽,3)设向量 a=(1,0), b=12,12,则下列结论中正确的是 A.|a|=|b| B.a?b=22 C.a-b 与 b 垂直 D.a∥b 解析: 项,∵|a|=1, ,A |b|= 122+122=22, ∴|a|≠|b|; B 项,∵a?b=1×12+0×12=12; C 项,∵a-b=(1,0)-12,12=12,-12, ∴(a-b)?b=12,-12?12,12=14-14=0; D 项,∵1×12-0×12≠0,∴a 不平行 b.故选 C. 答案:C

(

)

2.若向量 a 与 b 不共线,a?b≠0,且 c=a-a?aa?bb,则向量 a 与 c 的夹角为 ( ) A.0 B.π6 C.π3 D.π2 解析:∵a?c=a?a-a?aa?bb =a?a-a2a?ba?b=a2-a2=0, 又 a≠0,c≠0,∴a⊥c,∴〈a,c〉=π2,故选 D. 答案:D 3.(2010?全国Ⅱ)△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB.若 CB→=a,CA→=b,|a| =1, |b|=2,则 CD→= ( ) A.13a+23b B.23a+13b C.35a+45b D.45a+35b 解析: 由角平分线的性质得|AD→|=2|DB→|, 即有 AD→=23AB→=23(CB→-CA→)=23(a -b). 从而 CD→+AD→=b+23(a-b)=23a+13b.故选 B. 答案:B 4. (2010?辽宁)平面上 O,A,B 三点不共线,设 OA→=a,OB→=b,则△OAB 的面积 等于 ( ) A.|a|2|b|2-? a?b ? 2 B.|a|2|b|2+? a?b ? 2 C.12|a|2|b|2-? a?b ? 2 D.12|a|2|b|2+? a?b ? 2 解析:∵cos〈a,b〉=a?b|a||b|, ∴sin〈a,b〉= 1-cos2〈a,b〉 = 1-a?b|a||b|2 =|a|2|b|2-? a?b ? 2|a||b|, ∴S△OAB=12|OA→|OB→|sin〈OA→,OB→〉 =12|a||b|sin〈a,b〉 , =12|a|2|b|2-? a?b ? 2, 故选 C. 答案:C 5.若向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),a≠±b,则 a 与 b 一定满足( ) A.a 与 b 的夹角等于α-β B.a⊥b C.a∥b D.(a+b)⊥(a-b) 解析:∵a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β), a-b=(cos α-cos β,sin α-sin β), ∴(a+b)?(a-b)=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=1-1=0, 可知(a+b)⊥(a-b). 答案:D

二、填空题 6.(2010?陕西)已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m =________.

解析:a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),∴a+b=(1,m-1), (a+b)∥c,∴2+m-1=0,∴m=-1. 答案:-1 7.(2010?江西)已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则|a-b|=________. 解析:|a-b|=? a-b ? 2=a2+b2-2a?b =12+22-2×1×2cos 60°=3. 答案:3 8.(2010?浙江)已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)满足|β|=1,且α与β-α的夹角为 120°, 则|α|的取值范围是________. 解析: 如图, 数形结合知β=AB→, α=AC→, |AB|=1, 点在圆弧上运动, C ∠ACB=60°, 设∠ABC=θ, 由正弦定理知 ABsin 60°=|α|sin θ, ∴|α|=233sin θ≤233, 当θ=90° 时取最 大值. ∴|α|∈0,233. 答案:0,233 9.

得(x,y)=(2m,-m)+(-n,n), 于是 x=2m-n,y=-m+n.由 2m2-n2=2,消去 m、n 得 M 的轨迹方程为 x2-2y2=2. 答案:x2-2y2=2

三、解答题 10.

3cos γ+4cos β=-5, ① 同理可得, 4cos α+5cos γ=-3, ② 3cos α+5cos β=-4. ③ 解①②③联立方程组可得, cos α=0,cos β=-45,cosγ=-35, 即 OA→?OB→=0,OB→?OC→=-45,OC→?OA→=-35. (2)由(1)知 sin α=1,sin β=35,sin γ=45. 如右图,S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA=12×1×1+12×1×1×35+12×1×1× 45=65. 11.已知向量 a=cos3x2,sin3x2, b=cosx2,-sinx2,且 x∈0,π2, 求:(1)a?b 及|a+b|; (2)若 f(x)=a?b-2λ|a+b|的最小值是-32,求λ的值. 解:(1)a?b=cos3x2?cosx2-sin3x2?sinx2=cos 2x.

|a+b|= cos3x2+cosx22+sin3x2-sinx22 =2+2cos 2x=2cos2x. ∵x∈0,π2,∴cos x≥0, ∴|a+b|=2cos x. (2)f(x)=cos 2x-4λcos x 即 f(x)=2(cos x-λ) 2-1-2λ2. ∵x∈0,π2,∴0≤cos x≤1. ①当λ<0 时,当且仅当 cos x=0 时, f(x)取得最小值-1,这与已知矛盾. ②当 0≤λ≤1 时,当且仅当 cos x=λ时, f(x)取得最小值-1-2λ2,由已知-1-2λ2=-32, 解得λ=12. ③当λ>1 时,当且仅当 cos x=1 时, f(x)取得最小值 1-4λ,由已知得 1-4λ=-32, 解得λ=58,这与λ>1 相矛盾. 综上所述,λ=12 即为所求.

∴x1x2+14(x1x2)2=0(x1x2≠0). ∴x1x2=-4. ∴MA→=x1,-12x21+2, MB→=x2,-12x22+2. ∵x1-12x22+2-x2-12x21+2 =(x1-x2)12x1x2+2=0, ∴MA→∥MB→,即 AM→∥AB→. (2)解:∵MA→=-2MB→, ∴x1=-2x2,-12x21+2=-2-12x22+2. ∴-2x22+2=x22-4,∴x2=±2. ∴B(2,-1)或(-2,-1),∴kAB=22 或-22. ∴AB 的方程为 y=±22x-2.

文 章来源 莲山 课件 w w w.5Y k J.C om 莲山课件 原文地址:http://www.5ykj.com/shti/gaosan/88858.htm


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