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高考.三角函数题型分析

时间:2011-08-13


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数学.高考复习资料 (试题分析——三角函数)

数学.试题分析
专题.三角函数 一、题型分析 一、单调性问题
此类问题主要考查三角函数的增减性,各象限中各个三角函数值的符号等.很多情况下,需要通过三 需要通过三 角恒等变换将已知函数式化为一个角的一个三角函数式的形式来求解. 角恒等变换将已

知函数式化为一个角的一个三角函数式的形式来求解.
2 4 例 1 写出函数 y = sin x + 2 3 sin x cos x ? cos x 在 [ 0,π ] 上的单调递增区间.

2 2 2 2 解: y = sin x + cos x sin x ? cos x + 2 3 sin x cos x

(

)(

)

π? ? = 3 sin 2 x ? cos 2 x = 2sin ? 2 x ? ? . 6? ? π π π 由已知可得 ? + 2kπ ≤ 2 x ? ≤ + 2kπ , 2 6 2 π π 则 ? + kπ ≤ x ≤ + kπ , k ∈ Z . 6 3 又 x ∈ [ 0,π ] ,
所以其单调递增区间是 ? 0, ? , ? π,π ? . 点评:① 在求单调区间时,要注意给定的定义域 注意给定的定义域,根据题意取不同的 k 值;② 在求 y = A sin(ω x + ? ) 的 点评 注意给定的定义域 单调区间时还应注意 ω 的正、负,同学们可以自己求一下 y = 2sin ? 求得的区间对比一下.

? π? ? 3?

?5 ?6

? ?

?π ? ? 2 x ? 的单调递减区间,并与本例所 ?6 ?

二、图象变换问题
三角函数的图象变换是一个重点内容.解这类问题,先通过三角恒等变换将函数化为 y = A sin(ω x + ? ) ( A > 0,ω > 0) 的形式,然后再探索其图象是由正弦曲线经过怎样的平移变换、伸缩变 换或振幅变换得到的. 特别需要注意的是: 在图象变换中, 无论是 “先平移后伸缩” 还是 , “先伸缩后平移” , 须记清每次变换均对“ 而言,尤其是左右平移在由形变换向数的问题转化的的时候,也是用“x + k” 须记清每次变换均对“ x ”而言 代替“x” ,其它做法都是多余的。尤其是要弄清楚“变换谁?得到谁?” 尤其是要弄清楚“ 尤其是要弄清楚 变换谁?得到谁? ,这个问题不搞清楚,就不要做题。
2 2 例 2 已知函数 y = sin x + 2 sin x cos x + 3cos x ? 1 , x ∈ R .该函数的图象可由 y = sin x , x ∈ R 的图 象经过怎样的变换而得到? 2 2 解: y = sin x + 2 sin x cos x + 3cos x ? 1 = sin 2 x + 2 cos x = sin 2 x + cos 2 x + 1
2

π? ? = 2 sin ? 2 x + ? + 1 . 将函数 y = sin x 依次作如下变换: 4? ? π π? ? (1)把函数 y = sin x 的图象向左平移 ,得到函数 y = sin ? x + ? 的图象; 4 4? ? 1 π? ? (2)把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到函数 y = sin ? 2 x + ? 的图象; 2 4? ? π? ? (3)把得到的图象上各点纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) ,得到函数 y = 2 sin ? 2 x + ? 的图 4? ?
象; (4)把得到的函数图象向上平移 1 个单位长度,得到函数 y =
2 2 综上得到函数 y = sin x + 2 sin x cos x + 3cos x ? 1 的图象.

π? ? 2 sin ? 2 x + ? + 1 的图象. 4? ?

1

X 3 ... 博乐理科教育 数学.高考复习资料 (试题分析——三角函数) 点评:由 y = sin x 的图象变换得到 y = A sin(ω x + ? ) 的图象,一般先作平移变换,后作伸缩变换,即 点评 y = sin x → y = sin( x + ? ) → y = sin(ω x + ? ) → y = A sin(ω x + ? ) .如果先作伸缩变换,后作平移变换,
则左(右)平移时不是 ? 个单位,而是 个单位长度.

? ? 个单位,即 y = sin(ω x ) → y = sin(ω x + ? ) 是左(右)平移 ω ω

这类问题一般要通过恒等变换,然后得出我们所熟悉的三角函数---------也就是 y = A sin(ω x + ? ) 形式三角函数问题,从而求得其周期.最小正周期问题常与三角函数的奇偶性、单调性、对称性及最值交 形式 汇出现.应掌握几个常用三角函数的最小正周期,会求 y = A sin(ω x + ? ) 的周期. 例 3 函数 y = sin 4 x + cos 2 x 的最小正周期为( (A) ) .

三、最小正周期问题

π π (B) (C) π (D) 2π 4 2 4 2 2 2 解析: 解析:Q y = sin x + 1 ? sin x = 1 ? sin x(1 ? sin x) 1 1 ? cos 4 x 7 cos 4 x = 1 ? sin 2 x cos 2 x = 1 ? sin 2 2 x = 1 ? = + , 4 8 8 8 2π π ∴T = = .故选(B) . 4 2

点评: 点评:本题是通过平方关系、倍角公式、降次将函数化为单一且次数为一次的函数求解的. 四、求值与证明问题 此类题是高考中出现较多的题型,要求同学们掌握从题设条件入手、以题目结论或要求为目标,正确 运用各类三角公式,消除角的差异,实现函数名称的转化,达到解(证)题的目的. 深刻理解三角函数的概念,熟练掌握各类三角公式,熟悉三角恒等变换的常用思想方法和变换技巧, 是解决问题的关键.

sin 2α ? cos 2 α ?π ? 1 (1)求 tan α 的值; (2)求 的值. 例 4 已知 tan ? + α ? = . 1 + cos 2α ?4 ? 2 1 ?π ? 1 + tan α 1 (1)由题意知 tan ? + α ? = = ,解得 tan α = ? ; 解: 3 ?4 ? 1 ? tan α 2
(2)

sin 2α ? cos 2 α 2sin α cos α ? cos 2 α 2sin α ? cos α = = 1 + cos 2α 2 cos 2 α 2 cos α 1 1 1 5 = tan α ? = ? ? = ? . 2 3 2 6

点评: 点评:本题在解答过程中用到了两角和的正切公式、二倍角公式及正、余弦公式的关系,熟练掌握和灵活 应用各类三角公式显得尤为重要,在此前提下,解决该类问题,必须先弄清楚“角”在哪里?否则容易求 错题目,弄清楚“角”在哪也就是“求值角先行 ” 求值角先行! 求值角先行 ;另外,三角函数问题围绕“角和名”两大问题来思考, 尽量寻求角之间的联系,尽量减少函数名,是解决这类问题的基本法则。

五、最值或值域问题
这是在考试中出现频率很高的一类题型,要求掌握基本的三角公式和正弦、余弦等基本三角函数的值 域.解题时,常常进行降次处理,尽量将异名三角函数化为同名三角函数,将不同的角化为相同的角.

1 + cos 2 x π? ? + sin x + a 2 sin ? x + ? 的最大值为 2 + 3 ,试确定常数 a 的值. 4? ?π ? ? 2 sin ? ? x ? ?2 ? 2 2 cos x π? π? ? ? + sin x + a 2 sin ? x + ? = cos x + sin x + a 2 sin ? x + ? 解: f ( x ) = 2 cos x 4? 4? ? ?
例 5 若函数

f ( x) =

2

π? ? 2 + a 2 sin ? x + ? . 4? ? 2 2 因为 f ( x ) 的最大值为 2 + 3 ,所以 2 + a = 2 + 3 ,即 a = 3 , a = ± 3 . 点评:本题先进行三角恒等变换,化为 y = A sin(ω x + ? ) 的形式,再求 a 的值.求一个复杂三角函数的最 点评 小正周期、 最值、 单调区间等, 一般是将这个复杂的三角函数通过三角恒等变换化简为 y = A sin(ω x + ? ) 的
形式后再求解.另外,在求最值问题还有一类题型就是:把所给的函数运用换元的办法转化为一元二次函 数的问题来解决,这里就不再举例。换元的时候要注意“引进新元要立刻根据旧元求出新元的取值范围” , 当然,还有可能把三角函数问题跟导数简单结合,这样只能扩大知识点的覆盖,但不会增加试题的难度, 要想正确解答这类问题,必须对三角函数的求导熟悉,否则在求导这一知识环节出问题,题目也就没办法 进行了。

X 3 ... 博乐理科教育 π? π? ? ? = 2 sin ? x + ? + a 2 sin ? x + ? = 4? 4? ? ?

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(

)

(条件给出的变化 二、题型特点: 条件给出的变化、难度等) 题型特点: 条件给出的变化、难度等) (
在这部分考题中,选择题,解答题多是基本题目,概念性比较强;这里就不再论述; 在大题中,在条件的给出过程中,多与平面向量结合,这是近年来变化比较大的地方,多是利用平面 向量的坐标运算以及平面向量数量积最终转化为三角函数的问题;在上面的分析中,我们给出了六类三角 函数题型,其中估计在三角函数的应用部分 2008 年不会设置大题,三角函数图象变换出大题的可能性也不 大,肯定要在三角函数图象和性质的利用上做文章,这点也是三角函数部分的重点之重点,大家除了要对 三角函数的图象和性质非常熟练之外,还要对三角恒等变换以及诱导公式和两角和与差的公式非常熟悉。 因此必须引起大家的高度重视。但历年来三角函数问题难度的设置上不会太多,多是中、低档题,因此, 这部分不能丢分。更不能会而不对,对而不全。

三、强化训练
一、选择题 1、 (海南、宁夏理 3)函数 y = sin ? 2 x ?

? ?

π? ? π ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( A ) 3? ? 2 ?

2、 (海南宁夏理 9)若

A. ?

7 2

cos 2α 2 =? ,则 cos α + sin α 的值为( C ) π? 2 ? sin ? α ? ? 4? ? 1 1 7 B. ? C. D. 2 2 2

? x π? ? π ? 3、将 y = 2cos ? + ? 的图象按向量 a = ? ? , 2 ? 平移,则平移后所得图象的解析式为( A ) ? ?3 6? ? 4 ? ? x π? A. y = 2cos ? + ? ? 2 B y = 2 cos ? x ? π ? + 2 .C、 y = 2 cos ? x ? π ? ? 2 D. y = 2 cos ? x + π ? + 2 ? ? ? ? ? ? ?3 4? ? 3 12 ? ?3 4? ? 3 12 ? 4、 (江西理 5)若 0 < x <

π ,则下列命题中正确的是( D ) 2
3

X 3 ... 博乐理科教育 3 A. sin x < x π

数学.高考复习资料 (试题分析——三角函数) B. sin x >

3 x π

C. sin x <

4 2 x π2

D. sin x >

4 2 x π2

5、 (全国卷 1 理 1) α 是第四象限角, tan α = ? A.

5 ,则 sin α = ( D ) 12

1 5

B. ?

1 5

C.

5 13
2

D. ?

5 13
2

6、全国卷 1 理(12)函数 f ( x ) = cos x ? 2 cos A. ? , ?

?π π? ? π? C. ? 0, ? ?6 2? ? 3? 7、 (全国卷 2 理 2)函数 y = sin x 的一个单调增区间是( C
B. ? , ? A. ? ? , ? B. ? , ?

? π 2π ? ?3 3 ?

x 的一个单调增区间是( 2 ? π π? D. ? ? , ? ? 6 6?


A )

? π 3π ? ? 3π ? ? 3π ? C. ? π, ? D. ? ,π ? 2 ?4 4 ? ? 2 ? ? 2 ? π? π? ? ? 8、函数 y = sin ? 2 x + ? ? cos ? 2 x + ? 的最小正周期和最大值分别为( A ) 6? 3? ? ? B. π , 2 C. 2π , 1 D. 2π , 2 A. π , 1 2π π ? ? 9、 θ = “ ”是“ tan θ = 2 cos ? + θ ? ”的( A ) 3 ?2 ?
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 10、若函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + ? ) , x ∈ R (其中 ω > 0 , ? < 则(D) A. ω =

? π π? ? 4 4?

π )的最小正周期是 π ,且 f (0) = 3 , 2

1 π ,? = 2 6

B. ω =

1 π ,? = 2 3

C. ω = 2,? =

π 6

D. ω = 2,? =

π 3

二、填空题 4、 (江苏 11)若 cos(α + β ) =

1 3 1 , cos(α ? β ) = ,则 tan α tan β = ___ __. 5 5 2

11、 (上海理 6)函数 y = sin ? x +

? ?

π? ? π? ? sin ? x + ? 的最小正周期 T = 3? ? 2?

π



15、 (浙江理 12)已知 sin θ + cos θ = 12、 (四川理 16)下面有五个命题:

1 π 3π ,且 ≤ θ ≤ ,则 cos 2θ 的值是 5 2 4

?

7 25

①函数 y=sin x-cos x 的最小正周期是 π .②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a=
4 4

kπ , k ∈ Z |. 2

③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. ④把函数 y = 3 sin( 2 x + ⑤函数 y = sin( x ?

π ) 在〔 ,π〕上是减函数 . 其中真命题的序号是 0 2

π π )的图象向右平移 得到y = 3 sin 2 x的图象. 3 6
① ④

三、解答题

4

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16、 (安徽理 16)已知 0 < α <

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π ? 1 ? ? π? ? ? ,β 为 f ( x) = cos ? 2 x + ? 的最小正周期, a = ? tan ? α + β ?, 1?, ? 4 ? 4 8? ? ? ? ?

b = (cos α, ,且 a b = m .求 2)
解:因为 β 为 f ( x ) = cos ? 2 x +

2 cos 2 α + sin 2(α + β ) 的值. cos α ? sin α

主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式,考查运算能力和推理能力.

π? ? 的最小正周期,故 β = π . 8? 1 ? 1 ? ? ? · 故 cos α tan ? α + β ? = m + 2 . 因 a b = m ,又 a b = cos α tan ? α + β ? ? 2 . · · · 4 ? 4 ? ? ? π 由于 0 < α < ,所以 4 2 2 cos α + sin 2(α + β ) 2 cos 2 α + sin(2α + 2π) 2 cos 2 α + sin 2α 2 cos α (cos α + sin α ) = = = cos α ? sin α cos α ? sin α cos α ? sin α cos α ? sin α 1 + tan α π? ? = 2 cos α = 2 cos α tan ? α + ? = 2(2 + m) · 1 ? tan α 4? ? 1 3 18、 (福建理 17)在 △ ABC 中, tan A = , tan B = . 4 5 (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长. (Ⅰ)求角 C 的大小;

? ?

考查两角和差公式,用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力

1 3 + 4 5 = ?1 .又Q 0 < C < π ,∴ C = 3 π . 解: (Ⅰ)Q C = π ? ( A + B ) ,∴ tan C = ? tan( A + B ) = ? 1 3 4 1? × 4 5 3 ? π? (Ⅱ)Q C = π ,∴ AB 边最大,即 AB = 17 .又Q tan A < tan B,A,B ∈ ? 0, ? , 4 ? 2? sin A 1 ? = , ? tan A = ? π? ∴ 角 A 最小, BC 边为最小边.由 ? cos A 4 且 A ∈ ? 0, ? , ? 2? ?sin 2 A + cos 2 A = 1, ?
得 sin A =

17 AB BC sin A .由 = 得: BC = AB = 2 .所以,最小边 BC = 2 . 17 sin C sin A sin C 19、 (广东理 16)已知 △ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3, , B (0, , C (c, . 4) 0) 0)

(1)若 c = 5 ,求 sin ∠A 的值; (2)若∠A 是钝角,求 c 的取值范围. 解析: (1)AB = (?3, ?4) ,AC = (c ? 3, ?4) , c=5, 则 AC = (2, ?4) , cos ∠A = cos < AC , AB >= 若 ∴ ∴sin∠A=
2 5 ; 5

uuu r

uuur

uuur

uuur uuu r

?6 + 16 5× 2 5

=

1 5



2)若∠A 为钝角,则 ?

? ?3c + 9 + 16 < 0 25 25 解得 c > ,∴c 的取值范围是 ( , +∞ ) ; 3 3 ?c ≠ 0

21、 (湖南理 16)已知函数 f ( x ) = cos 2 ? x +

? ?

1 π? ? , g ( x) = 1 + sin 2 x . 2 12 ?

(I)设 x = x0 是函数 y = f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的单调递增区间.

5

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解: (I)由题设知 f ( x ) =

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1 π [1 + cos(2 x + )] . 2 6 π = kπ , 6

因为 x = x0 是函数 y = f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 + 即 2 x0 = kπ ?

π (k ∈Z ) . 6

所以 g ( x0 ) = 1 +

1 1 π sin 2 x0 = 1 + sin(kπ ? ) . 2 2 6

当 k 为偶数时, g ( x0 ) = 1 + 当 k 为奇数时, g ( x0 ) = 1 +

1 1 3 ? π? sin ? ? ? = 1 ? = , 2 ? 6? 4 4 1 π 1 5 sin = 1 + = . 2 6 4 4

(II) h( x ) = f ( x ) + g ( x ) =

1? π ?? 1 ? ?1 + cos ? 2 x + 6 ? ? + 1 + 2 sin 2 x 2? ? ??
? 3 1 1? 3 1 π? 3 ? cos2x + sin 2 x ? + = sin ? 2 x + ? + . ? ? 2 ? 2 2 ? 2? 2 3? 2 ?

=

1? ? π? ? 3 ?cos ? 2 x + 6 ? + sin 2 x ? + 2 = 2? ? ? ?

当 2kπ ?

π π π 5π π ≤ 2 x + ≤ 2kπ + ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ + ( k ∈ Z )时, 2 3 2 12 12 1 π? 3 5π π? ? ? . sin ? 2 x + ? + 是增函数,故函数 h( x) 的单调递增区间是 ? kπ ? ,kπ + ? ( k ∈ Z ) 2 ? 3? 2 12 12 ? ?

函数 h( x ) =

22、 (江西理 18)

0 如图,函数 y = 2 cos(ω x + θ )( x ∈ R,≤ θ ≤ ) 的图象与 y 轴交于点 (0,3) ,且在该点处切线的斜率为
?2 . (1)求 θ 和 ω 的值;
点 (2) 已知点 A ? ,? , P 是该函数图象上一点, Q ( x0,y0 ) 是 PA 的中点, 0 点

π 2

y
3

?π ?2

? ?

P

3 ?π ? 当 y0 = , x0 ∈ ? ,π ? 时,求 x0 的值. 2 ?2 ?
解: (1)将 x = 0 , y = 3 代入函数 y = 2 cos(ω x + θ ) 得 cos θ = 因为 0 ≤ θ ≤

O

A

x

3 , 2
x =0

π π ,所以 θ = .又因为 y′ = ?2ω sin(ω x + θ ) , y′ 2 6

= ?2 , θ =

π ,所以 ω = 2 , 6

因此 y = 2 cos ? 2 x +

? ?

π? ?. 6?

6

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(2)因为点 A ? ,? , Q ( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 = 0 所以点 P 的坐标为 ? 2 x0 ?

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?π ?2

? ?

3 , 2

? ?

π ? ,3 ? . 2 ?

又因为点 P 在 y = 2 cos ? 2 x +

? ?

5π ? 3 π? ? . ? 的图象上,所以 cos ? 4 x0 ? ? = 6 ? 2 6? ?

因为

π 7π 5π 19π ≤ x0 ≤ π ,所以 ≤ 4 x0 ? ≤ , 2 6 6 6 5π 11π 5π 13π 2π 3π = 或 4 x0 ? = .即 x0 = 或 x0 = . 6 6 6 6 3 4

从而得 4 x0 ?

23、 (全国卷 1 理 17)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a = 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A + sin C 的取值范围. 解: (Ⅰ)由 a = 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A = 2sin B sin A ,所以 sin B = 由 △ ABC 为锐角三角形得 B =

1 , 2

π . 6

(Ⅱ) cos A + sin C = cos A + sin ? π ?

? ?

π ? ? A? 6 ?

1 3 π? ?π ? ? sin A = 3 sin ? A + ? . = cos A + sin ? + A ? = cos A + cos A + 2 2 3? ?6 ? ?
由 △ ABC 为锐角三角形知,

π π ?A> ?B, 2 2

π π π π ?B= ? = . 2 2 6 3

2π π π < A+ < , 3 3 6

所以

π? π? 1 3 3 3 ? ? sin ? A + ? < .由此有 < 3 sin ? A + ? < × 3, 2 ? 3? 2 2 3? 2 ?

所以, cos A + sin C 的取值范围为 ?

? 3 3? ? 2 ,?. ? 2? ?
π ,边 BC = 2 3 .设内角 B = x ,周长为 y . 3

24、 (全国卷 2 理 17)在 △ ABC 中,已知内角 A =

(1)求函数 y = f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. 解: (1) △ ABC 的内角和 A + B + C = π ,由 A = 应用正弦定理,知 AC =

π 2π ,B > 0,C > 0 得 0 < B < . 3 3

BC 2 3 BC ? 2π ? sin B = sin x = 4sin x , AB = sin C = 4 sin ? ? x?. π sin A sin A ? 3 ? sin 3

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因为 y = AB + BC + AC ,所以 y = 4sin x + 4 sin ?

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2π ? ? 2π ? ? ? x? + 2 3?0 < x < ?, 3 ? ? 3 ? ?

(2)因为 y = 4 ? sin x +

? ? ?

? 3 1 π? π 5π ? ? ?π cos x + sin x ? + 2 3 = 4 3 sin ? x + ? + 2 3 ? < x + < ?, ? 2 2 6? 6 6 ? ? ?6 ?

所以,当 x +

π π π = ,即 x = 时, y 取得最大值 6 3 . 6 2 3

5、 (陕西理 17)设函数 f ( x ) = a b ,其中向量 a = (m, 2 x) , b = (1 + sin 2 x, , x ∈ R ,且 y = f ( x ) 的图 · cos 1) 象经过点 ? ,? . 2 (Ⅰ)求实数 m 的值

?π ?4

? ?

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合.

解: (Ⅰ) f ( x ) = a b = m(1 + sin 2 x ) + cos 2 x , 由已知 f ?

π? π ?π? ? ? = m ?1 + sin ? + cos = 2 ,得 m = 1 . 2? 2 ?4? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) = 1 + sin 2 x + cos 2 x = 1 + 2 sin ? 2 x +

? ?

π? ?, 4?

π? ? ∴ 当 sin ? 2 x + ? = ?1 时, f ( x) 的最小值为 1 ? 2 , 4? ?

? 3π ? π? ? ∴ 由 sin ? 2 x + ? = ?1 ,得 x 值的集合为 ? x x = kπ ? ,k ∈ Z ? . 8 4? ? ? ?
26、已知 cos α =

π 1 13 , cos(α ? β) = , 且0 < β < α < ,(Ⅰ)求 tan 2α 的值. 2 7 14
2 1 π , 0 < α < ,得 sin α = 1 ? cos 2 α = 1 ? ? 1 ? = 4 3 ? ? 7 2 7 ?7?

(Ⅱ)求 β .

本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算能力。 解: (Ⅰ)由 cos α = ∴ tan α =

sin α 4 3 7 = × = 4 3 ,于是 tan 2α = 2 tan α = 2 × 4 3 2 = ? 8 3 cos α 7 1 1 ? tan 2 α 1 ? 4 3 47

(

)

(Ⅱ)由 0 < α < β < 又∵ cos (α ? β ) =

π
2

,得 0 < α ? β <

π
2
2

13 ,∴ sin (α ? β ) = 1 ? cos 2 (α ? β ) = 1 ? ? 13 ? = 3 3 由 β = α ? (α ? β ) 得: ? ? 14 14 ? 14 ?

cos β = cos ?α ? (α ? β ) ? = cos α cos (α ? β ) + sin α sin (α ? β ) = ? ?
所以 β =

1 13 4 3 3 3 1 × + × = 7 14 7 14 2

π
3

8

数学.高考复习资料 (试题分析——三角函数) 27、 (天津理 17)已知函数 f ( x ) = 2 cos x (sin x ? cos x ) + 1 x ∈ R . , (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. 8 4 本小题考查三角函数中的诱导公式、 特殊角三角函数值、 两角差公式、 倍角公式、 函数 y = A sin(ω x + ? ) 的 性质等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分. (Ⅰ)解: f ( x ) = 2 cos x (sin x ? cos x ) + 1 = sin 2 x ? cos 2 x = 因此,函数 f ( x ) 的最小正周期为 π . (Ⅱ)解法一:因为 f ( x ) =

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? π 3π ? ? ?

π? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?

π? ? ? π 3π ? ? 3π 3π ? 2 sin ? 2 x ? ? 在区间 ? , ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数, 4? ? ?8 8 ? ?8 4? π ? 3π ? ? 3π π ? f ? ? = 2 sin ? ? ? = ? 2 cos = ?1 , 4 ? 4 ? ? 2 4?

又f?

?π? ?=0, ?8?

? 3π ? f ? ?= 2, ? 8 ? ? π 3π ? ? ?

故函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 . 8 4 28、 (重庆理 17)设 f ( x ) = 6 cos 2 x ? 3 sin 2 x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值及最小正周期; (Ⅱ)若锐角 α 满足 f (α ) = 3 ? 2 3 ,求 tan α 的值. 解 f ( x) = 6

4 5

? 3 ? 1 + cos 2 x 1 ? 3 sin 2 x = 3cos 2 x ? 3 sin 2 x + 3 = 2 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? + 3 ? 2 ? 2 2 ? ?

2π π? ? = π. = 2 3 cos ? 2 x + ? + 3 . 故 f ( x) 的最大值为 2 3 + 3 ;最小正周期 T = 2 6? ?
(Ⅱ)由 f (α ) = 3 ? 2 3 得 2 3 cos ? 2α + 又由 0 < α <

? ?

π? π? ? ? + 3 = 3 ? 2 3 ,故 cos ? 2α + ? = ?1 . 6? 6? ?

π π π π π 5 得 < 2α + < π + ,故 2α + = π ,解得 α = π. 2 6 6 6 6 12 π = 3. 3

从而 tan α = tan

4 5

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