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八种经典线性规划例题最全总结(经典)


线性规划常见题型及解法
由 已 知 条 件 写 出 约 束 条 件 ,并 作 出 可 行 域 ,进 而 通 过 平 移 直 线 在 可 行 域 内 求 线 性 目标函数的最优解是最常见的题型,除此之外,还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围
?x ? 2 ? 例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 ,

则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 ?x ? y ? 2 ?
A、 [2,6] B、 [2,5] C、 [3,6] D、 ( 3,5] ( )

y 2

B A

y =2 x x + y =2

解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l: x+2y= 0, 将 l 向 右 上 方 平 移 , 过 点 A( 2,0) 时 , 有 最 小 值 2, 过 点 B( 2,2) 时 , 有 最 大 值 6, 故 选 A

O

2 x=2

二、求可行域的面积
?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 例 2 、不 等 式 组 ?x ? y ? 3 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 ?y ? 2 ?
A、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大 ( )

y

x+y – 3 = 0
解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , △ ABC 的 面 积 即 为 所 求 , 由 梯 形 OMBC 的 面 积 减 去 梯 形 OMAC 的 面 积 即 可 , 选 B

M A O

B

y =2

三、求可行域中整点个数
例 3、 满 足 |x|+ |y|≤ 2 的 点 ( x, y) 中 整 点 ( 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ) 有 ( A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个 )

C x 2x + y – 6= 0 =5

?x ? y ? 2 ?x ? y ? 2 ? 解 : |x|+ |y|≤ 2 等 价 于 ? ?? x ? y ? 2 ? ?? x ? y ? 2

( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y 0) ( x 0, y ? 0) ( x 0, y 0)

y

作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界) ,容易得到整 点 个 数 为 13 个 , 选 D

O

x

第 1页 共5页

四、求线性目标函数中参数的取值范围
?x ? y ? 5 ? 例 4 、已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ? x ? y ? 5 ? 0 ,使 z = x + a y ( a > 0 ) ?x ? 3 ?
取得最小值的最优解有无数个,则 a 的值为 A、 - 3 B、 3 C、 - 1 D、 1 ( )

y x+y=5

x–y+5=0

O

x=3 x

解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l: x+ay= 0, 要 使 目 标 函 数 z=x+ay(a>0)取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 , 则 将 l 向 右 上 方 平 移 后 与 直 线 x+y= 5 重 合 , 故 a=1, 选 D

五、求非线性目标函数的最值
?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 例 5 、 已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
A、 13, 1 C、 13, B、 13, 2 D、 , 则 z=x +y 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是 (
2 2



y
2 5 5

4 5

13 ,

A

解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 ,x +y 是 点 ( x, y) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 故 最 大 值 为 点 A ( 2,3 ) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 即 2 | A O | = 1 3 ,最 小 值 为 原 点 到 直 线 2 x + y - 2 = 0 的 距 离 的 平 方 , 即为

2

2

O x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0

x 2x + y - 2= 0 =5

4 ,选 C 5

六、求约束条件中参数的取值范围
例 6、 已 知 |2x- y+ m|< 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 ( 0,0) 和 ( - 1,1) , 则 m 的取值范围是 A、 ( -3,6) B、 ( 0,6) C、 ( 0,3) D、 ( -3,3) ( )

y

2x – y + 3 = 0 2x – y = 0

解 : |2x- y+ m|< 3 等 价 于 ?

?2 x ? y ? m ? 3 ? 0 ?2 x ? y ? m ? 3 ? 0

O

由右图可知 ?

?m ? 3 ? 3 ,故 0< m< 3, 选 C ?m ? 3 ? 0

七、比值问题
第 2页 共5页

当目标函数形如 z ?

y?a 时,可把 z 看作是动点 P( x, y) 与定点 Q (b, a ) 连线的斜率,这样目标函数的最值就转 x ?b

化为 PQ 连线斜率的最值。 例

? ?x-y+2≤0, y 已知变量 x,y 满足约束条件?x≥1, 则 的取值范围是( ?x+y-7≤0, x ?
9 (B) (-∞, ]∪[6,+∞) 5 (D)[3,6]

).

9 (A)[ ,6] 5 (C) (-∞,3]∪[6,+∞) 解析

y 是可行域内的点 M(x,y)与原点 O x

5 9 y (0,0)连线的斜率,当直线 OM 过点( , )时, 取得 2 2 x 9 y 最小值 ;当直线 OM 过点(1,6)时, 取得最大值 6. 答案 A 5 x

八、线性规划应用
例 1、某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品 A 、 B 、 C ,每消耗一吨燃料与产品 A 、 B 、 C 有下列关系:

现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为 2 : 3 ,现需要三种产品 A 、 B 、 C 各 50 吨、63 吨、65 吨.问如何使用 两种燃料,才能使该厂成本最低? 分析:由于该厂成本与两种燃料使用量有关,而产品 A 、 B 、 C 又与这两种燃料有关,且这三种产品的产量也 有限制,因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问题,这类简单的线性规划问题一般都可以 利用二元一次不等式求在可行域上的最优解. 解:设该厂使用燃料甲 x 吨,燃料乙

y 吨,甲每吨 2t 元,

则成本为 z ? 2tx ? 3ty ? t (2 x ? 3 y) .因此只须求 2 x ? 3 y 的最小值即可.

又由题意可得 x 、

y 满足条件

?10x ? 5 y ? 50, ? ?7 x ? 9 y ? 63, ?5 x ? 13y ? 65. ?

作出不等式组所表示的平面区域(如图)

第 3页 共5页

?10x ? 5 y ? 50, 27 56 ? A( , ) 7 x ? 9 y ? 63. 得 11 11 由? ?7 x ? 9 y ? 63, 117 70 ? B( , ) 5 x ? 13y ? 65. 得 23 23 由?
2 x ? 3 y ? 0 ,把直线 l 向右上方平移至可行域中的点 B 时, 作直线 l:
z ? 2x ? 3y ? 2 ? 117 70 444 ? 3? ? 23 23 23 .

444 t ∴最小成本为 23 . 117 70 答:应用燃料甲 23 吨,燃料乙 23 吨,才能使成本最低.
说明:本题中燃料的使用不需要是整数吨,若有些实际应用问题中的解是整数解,又该如何来考虑呢? 例 2、 咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉 9 克、咖啡 4 克、糖 3 克,乙种饮料每杯含奶粉 4 克、咖啡 5 克、糖 10 克.已知每天原料的使用限额为奶粉 3600 克、咖啡 2000 克、糖 3000 克.如果甲种饮料每杯能获利 0.7 元,乙种饮料每杯能获利 1.2 元,每天在原料的使用限额内饮料能全部售出,每天应配制两种饮料各多少杯 能获利最大? 分析:这是一道线性规划的应用题,求解的困难在于从实际问题中抽象出不等式组.只要能正确地抽象出不等 式组,即可得到正确的答案. 解:设每天配制甲各饮料 x 杯、乙种饮料 由条件知: z ? 0.7 x ? 1.2 y .变量 x 、

y 杯可获得最大利润,利润总额为 z 元.

y 满足

, ?9 x ? 4 y ? 3600 ?4 x ? 5 y ? 2000, ? ? , ?3 x ? 10 y ? 3000 ? ? x ? 0, y ? 0.
作出不等式组所表示的可行域(如图)

0.7 x ? 1.2 y ? 0 ,把直线 l 向右上方平移至经过 A 点的位置时, z ? 0.7 x ? 1.2 y 取最大值. 作直线 l:

?3x ? 10 y ? 3000? 0, ? 4 x ? 5 y ? 2000? 0. 由方程组: ?
第 4页 共5页

得 A 点坐标 A(200, 240) . 答:应每天配制甲种饮料 200 杯,乙种饮料 240 杯方可获利最大.

高考真题练习
? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 1.(2010 年浙江理 7)若实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0, 且 x ? y 的最大值为 9,则实数 m ? ? x ? my ? 1 ? 0, ?
(A) ?2 (B) ?1 (C)1 (D)2

解析:将最大值转化为 y 轴上的截距,将 m 等价为斜率的倒数,数形结合可知答案选 C,本题主要考察了用平面区域 二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题

?x ? y ? 1 ? 2.(2009 年陕西理 11)若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 a ?2 x ? y ? 2 ?
的取值范围是
w.w.w.k.s.5.u.c .o.m w.w. w.k.s. 5.u.c. o.m

(A) ( ?1 ,2 )

(B) ( ?4 ,2 )

(C) (?4, 0]

(D) (?2, 4)

答案:B 解析:根据图像判断,目标函数需要和 x ? y ? 1 , 2 x ? y ? 2 平行, 由图像知函数 a 的取值范围是( ?4 ,2 )

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 3.(2009 年山东理 12) 设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , ? x ? 0, y ? 0 ?
若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为 12,

y

x-y+2= 0 z=ax+b y 2 3x-y-6=0 x

2 3 ? 的最小值为( a b 25 8 A. B. 6 3


2 -2 O

).

11 C. 3

D. 4

【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z(a>0,b>0) 过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而

2 3 2 3 2a ? 3b 13 b a 13 25 ? =( ? ) ? ?( ? )? ?2? ,故选 A. a b a b 6 6 a b 6 6

【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的

2 3 ? 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答 a b ?x ? 0 4 4.(2009 年安徽理 7)若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分为面积相等的两部分,则 k ? 3
平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知 2a+3b=6,求
?3 x ? y ? 4 ?

的值是

第 5页 共5页

( A)

7 3

(B)

3 7

(C)

4 3

(D)

3 4

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[解析]:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC

?x ? 3y ? 4 4 由? 得 A(1,1) ,又 B(0,4) ,C(0, ) 3 ?3x ? y ? 4
1 4 4 (4 ? ) ? 1 ? ,设 y ? kx 与 3x ? y ? 4 的 2 3 3 1 2 1 5 交点为 D,则由 S ?BCD ? S ?ABC ? 知 xD ? ,∴ y D ? 2 3 2 2 5 1 4 7 ∴ ? k ? ? , k ? 选 A。 2 2 3 3
∴S
△ABC

y

y=kx+ 3 D C O A x

4

=

? x ? 2 y ? 19 ≥ 0, ? 5.(2008 年山东理 12)设二元一次不等式组 ? x ? y ? 8 ≥ 0, 所表示的平面区域为 M , ?2 x ? y ? 14 ≤ 0 ?
使函数 y ? a x (a ? 0,a ? 1) 的图象过区域 M 的 a 的取 值范围是( ) B. [2,10]

, 3] A. [1

9] D. [ 10, C. [2, 9]

解:C,区域 M 是三条直线相交构成的三角形(如图)

9 ) (3,8) 两 种 情 形 , 显 然 a ?1 , 只 需 研 究 过 ( 1 , 、

a1 ? 9 且 a3 ? 8 即 2 ? a ? 9.

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 6.(2010 年 安 徽 理 13) 设 x , y 满 足 约 束 条 件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 , 若 目 标 函 数 ?x ? 0 , y ? 0 ?

z ? abx ? y ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 8,则 a ? b 的最小值为________。
【答案】4【解析】不等式表示的区域是一个四边形,4 个顶点是

1 (0, 0), (0, 2), ( , 0), (1, 4) ,易见目标函数在 (1, 4) 取最大值 8, 2 所以 8 ? ab ? 4 ? ab ? 4 ,所以,在 a ? b ? 2 时是等号成立。所以 a ? b 的最小值为
4. 【规律总结】线性规划问题首先作出可行域,若为封闭区域(即几条直线围成的区域)则区域端点的值是目标函数 取得最大或最小值,求出直线交点坐标代入得 ab ? 4 ,要想求 a ? b 的最小值,显然要利用基本不等式. 7.( 2010 年陕西理 14)铁矿石 A 和 B 的含铁率 a ,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如 下表:

a
A B
50% 70%

b (万吨)
1 0.5
第 6页 共5页

c (百万元)
3 6

某 冶 炼 厂 至 少 要 生 产 1.9( 万 吨 ) 铁 , 若 要 求 CO2 的 排 放 量 不 超 过 2 ( 万 吨 ), 则 购 买 铁 矿 石 的 最 少 费 用 为

__________ __ (百万元).
【解析】设铁矿石 A 购买了 x 万吨,铁矿石 B 购买了 y 万吨,购买铁矿石的费用为 z 百万元,则由题设知,本题即

?50% x ? 70% y ? 1.9 ?5 x ? 7 y ? 19 ? ? 2x ? y ? 4 x ? 0.5 y ? 2 ? ? 求实数 x , y 满足约束条件 ? ,即 ? (*)时, z ? 3x ? 6 y 的最小值.作不等式组(*) x ? 0 x ? 0 ? ? ? ? y ? 0 y?0 ? ?
对应的平面区域,如图阴影部分所示.现让直线 z ? 3x ? 6 y ,即 y ? ?

1 1 x ? z 平移分析即知,当直线经过点 P 时, 2 6

?5 x ? 7 y ? 19 得点 P 坐标为 ?1,2? .故 z min ? 3 ? 1 ? 6 ? 2 ? 15. z 取得最小值.又解方程组 ? ? 2x ? y ? 4

第 7页 共5页


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