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【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第二节 参数方程习题 理 选修4-4

时间:2016-05-25


第二节
[基础达标] 一、填空题(每小题 5 分,共 25 分)

参数方程

1. (2015?重庆测试) 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐

标方程为 ρ =4cos θ ,直线 l 的参数方程为 周长分为 1∶5,则实数 a=

(t 为参数),若直

线 l 将曲线 C 的

.

-1 或 5 【解析】曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=4x,标准方程为(x-2)2+y2=4,直线 l 的普
通方程为 x+

y-a=0,直线 l 将曲线 C 的周长分为 1∶5,则弦所对的圆心角是 60°,则圆心
,即 ,解得 a=-1 或 5.

(2,0)到直线 l 的距离为

2. (2015?湘潭三模) 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐 标方程为 ρ =2cos θ ,直线 l 的参数方程为 点的直角坐标为 (t 为参数),则直线 l 与曲线 C 的交

.
【解析】由曲线 C 的极坐标方程为 ρ =2cos θ ,可化为 ρ 2=2ρ cos θ ,转
2 2

(0,0)和

化为直角坐标方程可得 x +y -2x=0,把

代入可得 t=0 或 t= ,故直线 l 与曲线 C 的

交点坐标为(0,0)和

.

3. (2015?马鞍山质检) 以平面直角坐标系的原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐

标系,则曲线

(φ 为参数,φ ∈R)上的点到曲线 ρ (cos θ +sin

θ )=4(ρ ,θ ∈R)的最短距离是

.

1

2

【解析】曲线

的普通方程为 x +y =7,曲线 ρ (cos θ +sin

2

2

θ )=4 的直角坐标方程为 x+y=4,圆心(0,0)到直线 x+y=4 的距离 d=2

,所以圆

x2+y2=7 上的点到直线 x+y=4 的最短距离为 d-r=2

.

4. (2015?重庆高考) 已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数),以坐标原点为极

点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ cos 2θ =4 ρ >0,

2

<θ <

,则直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为

.
2 2

(2,π ) 【解析】由题设得直线 l 的普通方程为 x-y+2=0,曲线 C 的直角坐标方程为 x -y =4, 联立 解得 所以曲线 C 与直线 l 交点的极坐标为(2,π ).

5. (2015?重庆期末考试) 已知点 P 在曲线 C1:

(θ 为参数)上运动,以坐标

原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρ cos ,点 Q 在 l 上运动,则|PQ|的最小值为

.

-1 【解析】曲线 C1 的普通方程为(x-1)2+(y+3)2=1,直线 l 的直角坐标方程为 x-y-2=0,
圆心(1,-3)到直线 l:x-y-2=0 的距离 d= ,则|PQ|min=d-r=

-1.

二、解答题(每小题 10 分,共 50 分) 6. (2015?东北三省三校一模) 已知曲线 C 的坐标方程是 x2+y2=2x,直线 l 的参数方程是

(t 为参数).

(1)求直线 l 的普通方程;

2

(2)设点 P(m,0),若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且|PA|?|PB|=1,求实数 m 的值.

【解析】(1)直线 l 的参数方程是

(t 为参数),消去参数 t 可得 x=

y+m.

(2)把

(t 为参数)代入方程 x2+y2=2x,

得 t2+(

m-

)t+m2-2m=0,

由 Δ >0,解得-1<m<3,

∴t1t2=m2-2m. ∵|PA|?|PB|=1=|t1t2|,∴m2-2m=±1,解得 m=1±

,1.

又∵Δ >0,∴实数 m=1±

,1.

7.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(k 为参数),以原点 O 为极点,

以 x 轴正半轴为极轴,与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,建立极坐标系.圆 C 的极坐标方 程为 ρ =2sin θ . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B,若点 M 的坐标为(2,3),求|MA|?|MB|的值. 【解析】(1)由 ρ =2sin θ 得 ρ =2ρ sin θ ,即 x +y -2y=0, 标准方程为 x +(y-1) =1. 故圆 C 的直角坐标方程为 x +(y-1) =1.
2 2 2 2 2 2 2

(2)直线 l 的参数方程为

(k 为参数),

3

可化为

,

代入圆 C 的直角坐标方程,得

=1,

即 t2-

t+7=0.

由于 Δ =

-4?7= >0,

故可设 t1,t2 是上述方程的两实根,

所以

又直线 l 过点 P(2,3),故由上式及 t 的几何意义, 得|MA|?|MB|=|t1|?|t2|=7. 8. (2015?太原模拟) 已知在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x +y =4,圆 C2:x +(y-2) =4. (1)以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C1,C2 的极坐标方程及其交点的极坐 标; (2)求圆 C1 与 C2 公共弦的参数方程. 【解析】(1)由题意得圆 C1,C2 的极坐标方程分别为 ρ =2,ρ =4sin θ ,
2 2 2 2



∴圆 C1 与 C2 交点的极坐标为

.

(2)由(1)得圆 C1 与 C2 交点的极坐标为

,

4

化为直角坐标为(

,1),(-

,1),

∴圆 C1 与 C2 公共弦的参数方程为

(t 是参数).

9. (2015?新课标全国卷Ⅱ) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:

(t 为参数,t≠0),

其中 0≤α <π .在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ =2sin θ ,C3:ρ =2 cos θ .

(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.

【解析】(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x +y -2y=0,曲线 C3 的直角坐标方程为 x +y -2

2

2

2

2

x=0.

联立

解得

所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和

.

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ =α (ρ ∈R,ρ ≠0),其中 0≤α <π .

因此 A 的极坐标为(2sin α ,α ),B 的极坐标为(2

cos α ,α ).

所以|AB|=|2sin α -2

cos α |=4

.

当α =

时,|AB|取得最大值,最大值为 4.

10. (2015?贵阳监测) 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,以 x 轴的非负半轴 为极轴,建立极坐标系,已知直线 l 的参数方程为 方程为 ρ =1. (t 为参数),圆 C 的极坐标

5

(1)求直线 l 与圆 C 的公共点的个数;

(2)在平面直角坐标中,圆 C 经过伸缩变换 求 4x2+xy+y2 的最大值,并求相应点 M 的坐标.

得到曲线 C',设 M(x,y)为曲线 C'上一点,

【解析】(1)直线 l 的普通方程为 x-y-

=0,

圆 C 的直角坐标方程为 x +y =1.

2

2

圆心(0,0)到直线 l 的距离为 d=

=1,

即圆心到直线的距离等于圆半径,

∴直线 l 与圆 C 有 1 个公共点.

(2)圆 C 的参数方程是

(0≤θ <2π ),

∴曲线 C'的参数方程是

(0≤θ <2π ),

∴4x2+xy+y2=4cos2θ +cos θ ?2sin θ +4sin2θ =4+sin 2θ ,
当θ = 或θ = 时,4x +xy+y 取得最大值 5,
2 2

此时 M 的坐标为

.

[高考冲关] 1.(5 分) (2015?安庆三模) 在极坐标系中,曲线 C:ρ =2sin θ ,A,B 为曲线 C 上的两点,以极 点为原点,极轴为 x 轴非负半轴的直角坐标中,曲线 E: 大值为 上一点 P,则∠APB 的最 ( )

A.

B.

C.

D.

6

B 【解析】曲线 C 的直角坐标方程为 x +(y-1) =1,曲线 E 的普通方程为 3x+4y+6=0,易得直 线 E 与圆 C 相离,且圆心 C 到直线 E 的距离 d=2,则∠APB 取最大值时,PA,PB 与圆 C 相切,且

2

2

PC 最短,此时在 Rt△PAC 中,sin ∠APC= ,故∠APC= ,∠APB 为 .

2.(5 分)在平面直角坐标系内,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐 标系中取相同的长度单位.曲线 C 的极坐标方程是 ρ =2cos θ ,直线 l 的参数方程是

(t 为参数),若 M,N 分别为曲线 C 与直线 l 上的动点,则|MN|的最小值为(

)

A.

+1

B.3

-1

C.

-1

D.3

-2

B 【解析】由 ρ =2cos θ 得 ρ =2ρ cos θ ,所以曲线 C 的直角坐标方程为 x +y =2x,即

2

2

2

x2+y2-2x=0,则曲线 C 是以(1,0)为圆心,1 为半径的圆,由

得 x-y+5=0,所以

直线 l 的直角坐标方程是 x-y+5=0,则圆心(1,0)到直线 l 的距离 d=

=3

>1,因为

M,N 分别为曲线 C 与直线 l 上的动点,所以|MN|的最小值为 3

-1.

3.(5 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1,C2 的参数方程分别为

(θ 为参

数)和

(t 为参数),以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线

C1,C2 的交点的极坐标为

.
(θ 为参数)的普通方程为 x2+y2=2,曲线

【解析】曲线 C1:

C2:

(t 为参数)的普通方程为 x=2-y.由

所以曲线 C1 与

C2 的交点的直角坐标为(1,1),即曲线 C1 与 C2 的交点的极坐标为

.

7

4.(10 分) (2014?新课标全国卷Ⅰ) 已知曲线 C: 数). (1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程;

=1,直线 l:

(t 为参

(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值.

【解析】(1)曲线 C 的参数方程为

(θ 为参数),

直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ ,3sin θ )到 l 的距离为

d=

|4cos θ +3sin θ -6|.

则|PA|=

|5sin(θ +α )-6|,其中 α 为锐角,且 tan α = ,

当 sin(θ +α )=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为

;

当 sin(θ +α )=1 时,|PA|取得最小值,最小值为

.

5.(10 分) (2015?湖南高考) 已知直线 l:

(t 为参数),以坐标原点为极点,x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ =2cos θ . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)设点 M 的直角坐标为(5,

),直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|?|MB|的值.

【解析】(1)ρ =2cos θ 等价于 ρ =2ρ cos θ . 将 ρ =x +y ,ρ cos θ =x 代入①即得曲线 C 的直角坐标方程为 x +y -2x=0.
2 2 2 2 2

2

① ②

8

(2)将

代入②,得 t +5

2

t+18=0.

设这个方程的两个实根分别为 t1,t2, 则由参数 t 的几何意义即知|MA|?|MB|=|t1t2|=18.

9


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