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2.1.1指数与指数幂的运算2


指数与分数指数幂 ( 2)

复习:1、判断下列说法是否正确:
(1)-2是16的四次方根;

(2)正数的n次方根有两个;
(3)a 的n次方根是
n

a;

n n ( 4) a ? a(a ? 0). 解:(1)正确; (2)不正确;

(3

)不正确;(4)正确。

初中已学过整数指数幂,知道:

a ? a ? a ????? a
n

(n?N*)

n个 a0 =1 (a ≠0)
?n

a

1 ? ? n ( a ? 0, n ? N ). a

整数指数幂的运算性质:
m (1)、a . n a = m n + a mn a (a?0,m,n∈Z ) (a?0,n,m∈Z ) m n (2)、(a )

=

n n n (3)、(ab) =a b

(a?0,b?0,n∈Z )

下面讨论根式 m (a>0) n a
与幂的关系 先看几个实例

(1) a

4

12

? (a ) ? a .
4 3 4 3

指数间有关系:
12 3? , 4
12 4

可以认为

4

a =a

12

.

(2)(2 ) =2 ? 2 =2 ,
5 2 10 10 5

10 10      5= ? 2 =2 。 2
5 15 15 5

10 2

( 3 )3 = 3 .

定义正数a的分数指数幂意义是:

a
a

m n
m ? n

?
?

n

a

m

1
n

(m、n∈N*且n>1)
0的正分数指数幂等于0; 0的负分数指数幂没有意义。

a

m

这样,指数的概念就由整数指数幂推广 到了分数指数幂,统称有理数指数幂。 可以证明,整数指数幂的运算法则对有 理指数幂也成立,即有理指数幂有如下的运 算法则:

(1)、ar· as=ar+s r s rs (2)、 (a ) =a r r r (3)、 (a· b) =a · b 其中a>0, b>0 且r, s?Q 。

例1、a为正数,用分数指数幂表 示下列根式:

(1)

6

a ; ( 2)
3

4

1
3

a
3

2

; a

(3)

a 2 a

2

; ( 4)

a

解:(1)6 a 4 ? a ;

2 3

解: (2)

1
3

a

2

?a

2 ? 3

;

解:
3

(3)

a 2 a

2

? a ?a

2 3

?2

?a
?a

2 ?2 3
5 ? 3

;

解: (4) a ? a
3

1 2

? (a ? a )
3 2 1 3

1 2

1 3 1 2

? (a ) ? a .

口答: 1、用根式表示下列各式:
(1)

( a > 0 )
3 ? 5

a
5

1 5

(2)

a
4

3 4

(3)
3

a

(4) a
3

?

2 3

1
5

a

a

a

1
3

2、用分数指数幂表示下列各式:

a2

(1)

4

( a ? b ) 3 ( a ? b ? 0) ( 2 )

3

(a ? b)
(3)

3 4

( m ? n) 2
2 3

( m ? n)

( m ? n) 4 ( m ? n) ( 4 )

p 6 ? q 5 ( p ? 0)

( m ? n)

2

p3 ? q

5 2

例2、利用分数指数幂的运算法则 计算下列各式:

(1)0.001 ; (2)64 1 ? 256 =100 2
(3)27 ;
3

2 ? 3

4 ? 3

;

?9

(4)4 ? 4 ? 4 ? 4.
3 6

=16

解:

(1)0.001
?3 2 ? 3

2 ? 3

? (10 )
2

? 10

2 ( ?3)?( ? ) 3

? 1 0 =100

(2)64 ;

4 ? 3

? (4 )

4 ? 3 3

?4

?4

1 ? 256

(3)27

2 3

?3

2 3? 3

?3 ? 9
2

(4)4 ? 4 ? 4 ? 4.
3 6
1 6

? 4 ?4 ?4 ?4
1

1 2

1 3

?4

1 1 1 1? ? ? 2 3 6

?4

2

=16

例3 化简(a>0,x>0,r?Q):

(1)(a x ) ? (a x
2 3

1 6

1 3

1 ? 2

) ;

?1

(2)( a )

3

15 ? r

1 r ?( ) . a

(1)(a x ) ? (a x
2 3

1 6

1 3

1 ? 2

)
1 2

?1

? (a x )(a
?a
1 1 ? 3 3

2 6

3 6

1 ? 3

x )

x

1 1 ? 2 2

?a x ?x
0 1

(2)( a )
? a ?a

3

15 ? r

15 ? r 3

a

r ? 2

1 r ?( ) a
5 5? r 6

r r 5? ? 3 2

?a

.

练一练:书本P54 第3题

探究:无理数指数幂的意义
思考1:我们知道 2 =1.414 21356…, 那么 5 2 的大小如何确定?

2 的过剩近似值

5

2

的过剩近似值

1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563

11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752

5

2

的不足近似值 269 669 171 305 461 508 516 517 517
5
2

2 的不足近似值

9.518 9.672 9.735 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738

694 973 039 174 907 928 765 705 736

1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562
2

一般地,无理数指数幂 a ( a >0,? 是无 理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的运 算性质同样适用于无理数指数幂.
?

小结: 1、n次根式的定义及有关概念; 2、幂的运算性质可以从整数指数推广到 有理数指数,再推广到实数指数的形式; 3、用分数指数表示根式的目的是为将根式 运算转化为指数运算;

4. a 是

m n

的一种新的写法,分数指数幂 与根式表示相同意义的量,只是形式 上的不同而已.
n

am

作业:
? 教材P59习题2.1A组:2、4(5)-(8)


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