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冲刺60天2012年高考文科数学解题策略专题四 概率与统计第二节 统计、统计案例


统计与统计案例是高中数学的重要学习内容,它是一种处理问题的方法,在工农业生产和社会生活 中有着广泛的应用,渗透到社会的方方面面,统计的基础知识成为每个公民的必备常识. 由于中学数学 中所学习统计与统计案例内容是基础的,高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法.该 部分在高考试卷中,一般是 2—3 个小题或一个解答题,难度值在 0.5~0.8.

考试

要求:统计:(1)随机抽样:① 理解随机抽样的必要性和重要性.② 会用简单随机抽样方 法从总体中抽取样本; 了解分层抽样和系统抽样方法. (2) : 用样本估计总体① 了解分布的意义和作用, 会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点.② 理解样本数据 标准差的意义和作用, 会计算数据标准差.③ 能从样本数据中提取基本的数字特征 (如平均数、 标准差) , 并给出合理的解释.④ 会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数 字特征,理解用样本估计总体的思想.⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单 的实际问题.(3)变量的相关性:① 会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的 相关关系.② 了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
统计案例:了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题.(1)独立性检验 了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方法及其简单应用.(2)回归分析:了解回归的基 本思想、方法及其简单应用.

题型一 抽样方法 例 1(1)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生,为了解学生的就业倾向, 用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查,应在丙专业抽取的学生人数 为 . (2)利用简单随机抽样的方法,从 n 个个体(n>13)中抽取 13 个个体,依次抽取,若第二次抽取 后,余下的每个个体被抽取的概率为

1 ,则在整个抽样过程中,每个个体被抽取的概率为 36

点拨: (1)在分层抽样中应注意总体中各个层次人数的比例,在样本中应保持比例不变(2)简单随机 抽样过程中,每一次的抽取,剩下的个体被抽到的概率都是一样的,所以应先求 n. 解: (1)总体甲:乙:丙:丁=3:3:8:6,所以样本中丙专业抽取的学生人数= 40 ? (1)由题意得:

8 =16 3+3+8+6

11 1 ? 解得 n ? 398 , n ? 2 36

∴在整个抽样过程中,每个个体被抽取的概率为

13 . 398

易错点:(1) 把样本中的各层次的比例算错.(2)误认为在简单随机抽样的每一次抽取中个体被抽到 的概率不同导致错误. 变式与引申 1:某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 1200 辆,6000 辆和 2000 辆.为检验该公司的产 品质量,现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取 ____, ____, ____辆. 变式与引申 2:经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢” 、 “不喜欢”和“一般”三种态度,其中执 “一般”态度的比“不喜欢”态度的多 12 人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影,如果选 出的 5 位“喜欢”摄影的同学、1 位“不喜欢”摄影的同学和 3 位执“一般”态度的同学,那么全班学 生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人. 题型二 统计图表问题

例 2 从一条生产线上每隔 30 分钟取一件产品,共取了 n 件,测得其产品尺寸后,画得其频率直方图 如下.尺寸在[15,45)内的频数为 46. (1)求 n 的值; (2)求尺寸在[20,25)内产品的个数. 点拨:用样本频率分布去估计总体分布. 解:(1)由题意得,尺寸在[10,15)内的 概率 是 5×0.016=0.08.所以尺寸在 [15,45)内的概率

46 =0.92,∴n=50. n (2)尺寸在[20,25)内的概率是 0.04×5=0.2. 故 区间内产品的个数是 50×0.2=10(个) 易错点:在直方图中频率每一个长方形的面积,而不是其高度. 变式与引申 3: ⑴有一个容量为 100 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [12.5,15.5] ,6; [15.5,18.5] ,16; [18.5,21.5] ,18; [21.5,24.5] ,22; [24.5,27.5) ,20; [27.5,30.5) ,10; [30.5,33.5) ,8. ①列出样本的频率分布表;②画出频率分布直方图;③估计数据小于 30.5 的概率
为 1-0.08=0.92.由

在该

题型三 平均数、标准差(方差)的计算问题 例 3 一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下: 9.4 8.4 9.4 9. 9 9.6 9.4 9.7 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( ) A.9.4,0.484 B.9.4,0.016 C.9.5,0.04 D.9.5,0.016 点拨:本题考查平均数与方差的计算公式; 解: x ?

9.4 ? 3 ? 9.6 ? 9.7 ? 9.5 , 5 1 s 2 ? [( 9.4 ? 9.5) 2 ? 3 ? (9.6 ? 9.5) 2 ? (9.7 ? 9.5) 2 ] ? 0.016 答案:D 5

易错点:没理解记忆,公式记错. 变式与引申 4: x 是 x1 , x2 则 x , a , b 之间的关系为

, x100 的平均数, a 是 x1 , x2


, x40 的平均数, b 是 x41 , x42

, x100 的平均数,

变式与引申 5:某人 5 次上班途中所花时间(单位:分钟)分别为 x 、 y 、10、11、9.已知这组数据 的平均数为 10,方差为 2,则 x ? y 的值为( )

A.1 B.2 C.3 D.4 题型四 线性回归分析 例 4 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨) 与相应的生产能耗 y(吨 标准煤)的几组对照数据:

x y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性 回归方程 y ? bx ? a ;

(3)已知该厂技术改造前 100 吨甲产品能耗为 90 吨标准煤;试根据(2)求出的线性回归方程,预测生 产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤? 点拨:本题中散点图好作,本题的关键是求 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ,它既可以由给出的回归 系数公式直接计算,也可以遵循着最小二乘法的基本思想――即所求的直线应使残差平方和最小,用求 二元函数最值的方法解决. 解: (1)散点图如图 4 ? 2 ? 2 ; (2)方法一:设线性回归方程为 y ? bx ? a ,则
f (a, b) ? (3b ? a ? 2.5)2 ? (4b ? a ? 3) 2 ? (5b ? a ? 4) 2 ? (6b ? a ? 4.5)2 ? 4a 2 ? 2a(18b ? 14) ? (3b ? 2.5)2 ? (4b ? 3)2 ? (5a ? 4)2 ? (6b ? 4.5)2

∴ a?

7 ? 9b ? 3.5 ? 4.5b 时, f (a, b) 取得最小值, 2

(1.5b ? 1)2 ? (0.5b ? 0.5)2 ? (0.5b ? 0.5)2 ? (1.5b ? 1)2

,



0.5[(3b ? 2)2 ? (b ? 1)2 ] ? 5b2 ? 7b ?

5 b ? 0.7, a ? 0.35 时, ,∴ 2

f ? a, b? 取得最小值.所以线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 .
方法二:由系数公式可知, x ? 4.5, y ? 3.5, b ?
a ? 3.5 ? 0.7 ?

66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 66.5 ? 63 ? ? 0.7 5 86 ? 4 ? 4.52

9 ? 0.35 ,所以线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 . 2

(3)x ? 100 时,y ? 0.7 x ? 0.35 ? 70.35 , 所以预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65 吨标准煤. 易错点:本题容易用错计算回归系数的公式,或是把回归系数和回归常数弄颠倒了. 变式与引申 6: 为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他前 7 次考试的数学成绩 x 、物理成绩 y 进行分析.下面是该生 7 次考试的成绩. 8 8 8 9 9 4 8 8 3 9 9 1 11 17 11 08 9 9 2 9 9 6 11 08 11 04 11 00 11 01 11 12 11 06

数学

物理

(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明; (2)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的,若该生的物理成绩达到 115 分,请你估计他的 数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在学习数学、物理上的合理 建议. 本节主要考查: (1)三种抽样方法;总体分布的估计;线性回归等. (2)解答概率统计试题时要注 意分类与整合、化归与转化思想的运用. 点评: (1)简单随机抽样方法应注意抽样的公平性,分层抽样应注意每个层次个体的比值; (2)用样本 频率分布去估计总体分布;用样本的某种数学特征去估计总体相应数学特征.解题途径:应用所掌握的 基础知识进行计算.(3)进行总体平均数的估计与总体方差的估计. 解题途径:利用样本的平均数与方

差分别作为总体的期望值和方差的估计.(4)线性回归分析.解题途径:先作出散点图,再根据公式确 定回归方程中的参数 a , b ,并可以根据求出的方程做预测或给出建议.

习题 4-2
1. 某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点.公司为了调查产品 销售的情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记这项调查为①;在丙地区中有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其收入和售后服务等情况,记这项调查为②.则完成①、②这两 项调查宜采用的抽样方法依次是( ) A.分层抽样法,系统抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法 2.某校有老师 200 人,男学生 1200 人,女学生 1000 人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量 为 n 的样本;已知从女学生中抽取的人数为 80 人,则 n = . 3. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图 4-2-3 是根据抽样检测后的 产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品 净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98) ,[98,100), [100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且 小于 104 克的产品的个数是 . 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 96 98 100 102 104 106 克 图 4-2-3

频率/组距

4.(2011 年高考北京卷。文)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个 数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示.

(1)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (2)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率. (注:方差 s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ( x n ? x) 2 ], 其中 x 为 x1 , x2 ,?, xn 的平均数) n

5. 假设关于某设备使用年限 x(年)和所支出的维修费用 y(万元)有如下统计资料: x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知,y 对 x 呈线性相关关系,试求: (1)回归直线方程;

(2)估计使用年限为 10 年时,维修费用约是多少?

【答案】
变式与引申 1:解:⑴三种型号的汽车数量比为 3:15:5,所以样本中三种汽车数量为 6,30,10. 变式与引申 2:解: “喜欢” : “一般” : “不喜欢”=5:3:1, ∴令全班总人数为 n ,则 ( ? ) n ? 12 ,解得 n ? 54 ∴“喜欢”的人数= ? 54 ? 30 人,比 27 多 3 人. 答案:3 变式与引申 3: ⑴①解:⑴样本的频率分布表如下:
分 组 频 6 16 18 22 20 10 8 100 数 频 0.06 0.16 0.18 0.22 0.20 0.10 0.08 1.00 率

3 9

1 9

5 9

12.5~15.5 15.5~18.5 18.5~21.5 21.5~24.5 24.5~27.5 27.5~30.5 30.5~33.5 合 计

②频率分布直方图如图. ③数据小于 30.5 的概率约为 0.92. 变式与引申 4:⑴ x ?

40a ? 60b ; 100

变式与引申 5:解:由题意得: ?
2

? x ? y ? 20 ?( x ? 10) ? ( y ? 10) ? 8
2 2

,∴ x 2 ? y 2 ? 208 ,2xy ? 192,

2 2 ∴ x ? y ? x ? y ? 2 xy ? 208 ? 192 ? 16 ,∴ x ? y ? 4 选 D

变式与引申 6: 分析:成绩的稳定性用样本数据的方差判断,由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决.

?12 ? 17 ? 17 ? 8 ? 8 ? 12 ? 100 ; 7 ?6 ? 9 ? 8 ? 4 ? 4 ? 1 ? 6 y ? 100 ? ? 100 ; 7 994 250 2 2 ? S数学 = =142 ,? S物理 = , 7 7
解: (1) x ? 100 ?

从而 S数学 ? S物理 ,所以物理成绩更稳定.
2 2

(2)由于 x 与 y 之间具有线性相关关系,根据回归系数公式得到

? ? 497 ? 0.5, a ? ? 100 ? 0.5 ?100 ? 50 , b 994

? 线性回归方程为 y ? 0.5x ? 50 .当 y ? 115 时, x ? 130 .
建议:进一步加强对数学的学习,提高数学成绩的稳定性,将有助于物理成绩的进一步 提高.

习题 4-2
1.B 根据抽样的特点进行选择不同的抽样方法


2.解: n ?

2400 ? 80 ? 192 1000

3. 90 解:产品净重小于 100 克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,设样本容量为 n , 则

36 ? 0.300 ,所以 n ? 120 ,净重大于或等于 98 克并且小于 n

104 克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本 中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 120×0.75=90. 4.解: (1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为

x?

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; 4 4

方差为

1 35 35 35 11 s 2 ? [(8 ? ) 2 ? (9 ? ) 2 ? (10 ? ) 2 ] ? . 4 4 4 4 16
(Ⅱ )记甲组四名同学为 A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为 9,9,11,11;乙组四名同 学为 B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为 9,8,9,10,分别从甲、乙两组中随机选取一 名同学,所有可能的结果有 16 个,它们是: (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,B3) , (A1,B4) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,B3) , (A2,B4) , (A3,B1) , (A2,B2) , (A3,B3) , (A1,B4) , (A4,B1) , (A4,B2) , (A4,B3) , (A4,B4) , 用 C 表示:“选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件,则 C 中的结果有 4 个,它们是: (A1, B4) , (A2,B4) , (A3,B2) , (A4,B2) ,故所求概率为 P (C ) ? 5. 解: (1)依题列表如下:

4 1 ? . 16 4
5 6 7.0 42.0

i
xi yi xi yi

1 2 2.2 4.4

2 3 3.8 11.4

3 4 5.5 22.0

4 5 6.5 32.5

x ? 4, y ?5

? xi2 ? 90, ? xi yi ? 112.3
i ?1 i ?1

5

5

??4 分


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